Вектор
презентация к уроку по теме

Слайд 1

ВЕКТОР. Подготовила преподаватель ГБОУ НПО ПУ № 17 г. Тимашевск КК Акчурина А.Ю.

Слайд 2

Вектором называется направленный отрезок. Характеризуется числовым значением и направлением. Примерами физических величин, которые имеют векторный характер, могут служить скорость, ускорение, сила, импульс и другие. А В начало конец Обозначается АВ Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора и обозначается АВ

Слайд 3

Вектора, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными. а в с d e a || в || с || d || e

Слайд 4

Коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными . Коллинеарные векторы, имеющие противоположные направления, называются противоположно направленными. а в а в d e d e

Слайд 5

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Равные векторы одинаково направлены и имеют одинаковую длину. От любой точки можно отложить вектор равный данному, и притом только один. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым. Любая точка является нулевым вектором.

Слайд 6

Три вектора (или большее число) называются компланарными , если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости. Если хотя бы один из трех векторов - нулевой, то три вектора тоже являются компланарными . Два вектора всегда компланарны. Три вектора, среди которых два вектора коллинеарны , также компланарны .

Слайд 8

Графические действия над векторами.

Слайд 9

Сложение векторов. а в а в а+в Правило треугольника : откладываем вектора равные данным векторам по цепочке друг за другом. Результатом будет вектор, проведенный из начала первого вектора к концу второго. а в а + в А А Правило параллелограмма : от общей точки откладываем вектора равные данным векторам, строим параллелограмм. Результатом будет вектор, являющийся диагональю параллелограмма. В С АВ + ВС = АС

Слайд 10

Правило многоугольника применяется для сложения нескольких векторов. Построение аналогичное правилу треугольника. Результатом сложения будет вектор, проведенный от начала первого вектора к концу последнего. Если А1, А2, А3,….А n – произвольные точки, то А1А2 + А2А3 +…А n -1 А n = А1А n Вычитание векторов. а в а в а - в 1.От общей точки откладываем вектора, равные данным. Результатом будет вектор, проведенный из конца второго вектора в к концу первого вектора а. 2. Сложить вектор, равный вектору а с вектором, противоположным вектору в по правилу треугольника. А В С АВ - АС = СВ

Слайд 11

Умножение вектора на число. Если вектор умножается на число k > 1 , то получаем сонаправленный вектор, больший данного в k раз. Если вектор умножается на число 0 < k < 1 , то получаем сонаправленный вектор, меньший данного в k раз. Если вектор умножается на число k< 0 , то получаем вектор, противоположно направленный данному вектору (уменьшенный или увеличенный по модулю).

Слайд 12

Примеры. а № 1. k = 3 3 a a a a № 2 k = 0,5 Ответ: Ответ: 0,5 а а № 3. а k = - 4 Ответ: -а -а -а -а -4 а

Слайд 13

Координаты вектора в пространстве .

Слайд 14

Определение. Прямоугольными координатами вектора а называются алгебраические проекции вектора на оси координат. Каждый вектор а равен сумме произведений трех основных векторов на соответствующие координаты вектора : а = x i + у j + z k , где х, у, z – координаты вектора, i, j, k – единичные вектора на координатных осях(базисные векторы). а = x i + у j + z k - разложение вектора по базису. Если точка А (х 1 , у 1 , z 1 ) и точка B (x 2 , y 2 , z 2 ) , то вектор АВ = ( x 2 – x 1 , у 2 – у 1 , z 2 – z 1 ) Координаты вектора не меняются при параллельном переносе. Если начальная точка вектора совпадает с началом координат, то координаты вектора равны координатам конечной его точки.

Слайд 15

Задания. Найдите координаты вектора АВ: а) А(2;1;0), В(1;-2;3); б) А(1;2;3), В(3;0;-1); в) А(3;-1;4), В(0;2;3). Разложить его по базису. 2. От точки А отложен вектор АВ = а . Найдите координаты точки В: а) А(0;0;0), а = 2 i + j – k ; б) А( 3;1;-2), а = i - 3 j + k ; в) А(1;-1;0), а = 3 i - 2 j .

Слайд 17

Действия над векторами, заданными своими координатами При сложении векторов их координаты складываются: а 1 = (х 1; у 1; z 1 ) и а 2 = (х 2; у 2; z 2 ), то (а 1 + а 2) = (х 1 +х 2 ; у 1 +у 2; z 1 +z 2 ). При вычитании векторов их координаты вычитаются. При умножении вектора на число все координаты умножаются на это число: а 1 = (х 1 ; у 1 ; z 1 ) и а 2 = λ а 1 , то а 2 = ( λ х 1 ; λ у 1 ; λ z 1 ) Длина вектора а = ( х ; у; z ) выражается через его координаты формулой: а = √ x²+y²+z² 5. Скалярным произведением двух векторов называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними: (а·в) = | a|·| в| · cos (а, в)

Слайд 18

Выражение скалярного произведения через координаты векторов: если а 1 = ( х 1 ; у 1 ; z 1 ) и а 2 = ( х 2 ; у 2 ; z 2 ), то (а 1 ·а 2 ) = х 1 ·х 2 +у 1 ·у 2 + z 1 · z 2 . –скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. ! ! ! Если скалярное произведение векторов равно нулю, то вектора перпендикулярны. Формула для вычисления угла между векторами: х 1 · x 2 +y 1 ·y 2 +z 1 ·z 2 с os (a 1^ a 2 ) = √ x 1 ²+y 1 ²+z 1 ² · √x 2 ²+y 2 ²+z 2 ²

Слайд 19

Примеры. Найти длины векторов а = (3; 2; 1) и в=(2; -3; 0) и скалярное произведение этих векторов. Решение. |а| = = ; |в| = = (а· в) = 3· 2 + 2· (-3) + 1· 0 = 0. Вывод: так как скалярное произведение равно 0, то векторы а и в перпендикулярны.

Слайд 20

Вектора называются коллинеарными, если соответствующие координаты пропорциональны. Если коэффициент пропорциональности положителен, то вектора – сонаправлены . Если коэффициент пропорциональности отрицателен, то вектора – противоположно направлены. Примеры. 1. Пусть даны векторы: а = ( 1;2;3) и в = (3; 6; 9) λ х = = =3; λ у = = = 3; λ z = = = 3. Так как λ х = λ у = λ z = 3>0 , то а в. Даны векторы: а = (-3; 5; 7) и в = ( -6; 15; 21) λ х = = =2; λ у = = = 3. Так как λ х ≠ λ у , то а || в .

Слайд 21

Самостоятельная работа. 1 уровень . №1. Дан параллелограмм АВСД. Точка К является серединой стороны ВС. АВ = m ; A Д = n . Выразите вектор АК через векторы m и n . №2. Дан параллелепипед АВСДА1В1С1Д1. В1А1 = а , В1С1 = в , В1В = с . Разложите вектор В1М по векторам а , в , с , если точка М – точка пересечения сторон АС и ВД. №3. На стороне АВ треугольника АВС взята такая точка М, что |АМ|:|МВ|= 1:1. Вычислите |МС|, если |АС| =а, |ВС| = 2а , ‹ АСВ = №4. Вычислите угол между векторами а = 3 i + 2 j и в = i + 5 j 2 уровень. №1. Дан параллелограмм КЛМН. Точка А лежит на стороне МН так, что |МА|:|АН| = 1: 2; КЛ = а , КН = в . Выразите вектор АК через векторы а и в. №2. Дан тетраэдр АВСД, точка К – середина стороны ВС. АД = а , АВ = в , АС = с . Выразите вектор ДК через векторы а, в, с . №3.Точка К – середина стороны треугольника ДЕС. Вычислите расстояние |СК|, если |ДС| = m, |ЕС| = m ‹ДСЕ = №4. Вычислите угол между векторами а = i и в = i - 2 j + 3 k

Слайд 22

Ответы к самостоятельной работе. 1 уровень. №1. n + m . №2. В1М = с + а + в . №3 . №4. 2 уровень . №1. – ( а + в ). №2. 0,5 ( в + с – 2 а ). №3. m . №4. cos = -