МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЖУКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИКУМ ИМЕНИ В.А. КАЗАКОВА»

Методические рекомендации по решению задач на тему «пределы функции» для студентов специальности

 160108 «Производство летательных аппаратов»        

Разработал преподаватель                                                Шарова Ж.В.

Жуковский, 2013 г.

1. Пояснительная записка        

2. Принцип построения программы        

3. Методические рекомендации        

4. Тематическое планирование        

5. Примерная разработка занятия по теме «Пределы функции и их вычисление»        

7. Заключение        

1. Пояснительная записка

Необходимостью в наши дни становится непрерывное образование, что требует полноценной  подготовки. Всё больше специальностей связаны с непосредственным применением математики (физика, химия, биология, экономика, информатика и др.) и ее подразделов, в частности, математический анализ.

Предел функции является одним из базовых понятий математического анализа. Важно дать студентам представление об основных определениях и свойствах пределов, а также методах решения задач, связанных с вычислением пределов функций. Успешное усвоение данной темы позволит упростить в дальнейшем  изучение дифференциального и интегрального исчислений.

На занятиях можно повторить теорию по данному вопросу, рассмотреть основные термины и понятия пределов, отработать навыки решения типовых задач. Предлагаемые задачи должны различаться по уровню сложности: от простейших упражнений на применение формул до достаточно сложных расчетов.

 Каждое занятие предполагает: изучение теоретических основ, решение задач с преподавателем, самостоятельная работа, домашнее задание.

2. Принцип построения программы

         Содержание программы составляют специально подобранные задачи для развития математического мышления.

 Цели курса: 

• формирование у студентов интереса к математике;
• выявление и развитие математических способностей;
• овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практике математического анализа;
• интеллектуальное развитие студентов;
• формирование понимания основ математического анализа.

Задачи:

• дать необходимые знания о сущности пределов;
• сформировать умение производить вычисление пределов;
• научить вычислять пределы функции с различными видами неопределенностей.

Ожидаемые результаты.

В результате обучения студенты должны:

• понимать смысл термина «предел»;
• понимать смысл терминов «бесконечно малые» и «бесконечно большие величины»;
• знать виды неопределенностей;
• знать свойства предела;
• уметь преобразовывать алгебраические выражения для упрощения вычисления пределов;
• уметь использовать в своих вычислениях «первый и второй замечательные пределы».

3. Методические рекомендации

При объяснении студентам теоретического вопроса, необходимо доступно изложить определение предела на примере числовой последовательности.

 Обязательным является повторение различных способов преобразования алгебраических дробей для упрощения выражений. Вспомнить такие способы, как вынесение общего множителя за скобку, приведение дроби к общему знаменателю, разложение квадратного трехчлена на множители, домножение на сопряженное значение. Необходимо уделить большое внимание повторению формул сокращенного умножения.

Важно предоставить студентам возможность овладеть  способами преобразования выражений для решения пределов сложных функций, прежде чем перейти к изучению «первого» и «второго замечательного пределов». Устный счет является обязательной составляющей каждого занятия, так как приучает к рационализации вычислений и  аналитической оценке результатов, что имеет значение для более рационального вычисления не только пределов, но и других поставленных задач математического анализа.

 При закреплении материала, совершенствовании знаний, умений и навыков целесообразно практиковать самостоятельную работу студентов.

 Домашние задания в разумных пределах являются обязательными для более успешного освоения материала.

4. Тематическое планирование

5. Примерная разработка занятия по теме «Пределы функции и их вычисление»

Цели и задачи урока:

Понять термин «предел», изучить его свойства и приобрести навыки его вычисления.

Объяснение нового материала:

На примере числовой последовательности с общим членом  () объяснить определение предела.

Предел числовой последовательности ()- объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера.

Перейти к пределу функции.

Объяснить значение бесконечно малой величины и бесконечно большой и изложить свойства предела:

• предел отношения конечной величины к бесконечно малой величине равен бесконечно большой величине;
• предел отношения конечной величины к бесконечно большой равен бесконечно малой величине;
• предел суммы функций равен сумме пределов;
• предел произведения функций равен произведению пределов;
• предел степени с натуральным показателем равен степени предела с таким же показателем;
• постоянный множитель перед функцией можно вынести перед пределом.

Рассказать про основные виды неопределенностей, которые наиболее часто встречаются в поставленных задачах: ( и показать примеры вычисления пределов простых и сложных функций.

Для раскрытия неопределённостей типа используется следующий алгоритм:

1. Выявление старшей степени переменной;
2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа существует следующий алгоритм:

1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
2. Сокращение дроби.

В дальнейшем предоставить студентам возможность решать самостоятельно под контролем учителя.

Примеры:

1.

2.

3.

4. (один из видов неопределенности, поэтому необходимо преобразование выражения для вычисления данного предела)

5.

6.  (для того, чтобы вычислить данный предел необходимо квадратный трехчлен числителя и знаменателя разложить на множители)

7.

8.

9. 

Для решения данного примера, необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя.

10.

В этом случае, числитель домножаем на сопряженное, для того чтобы использовать формулу «разность квадратов» , соответственно на это же выражение домножаем знаменатель и таким образом вычисляем предел.

11.

12.

Постановка домашнего задания:

1. Повторить определение предела и его свойства.
2. Решить примеры:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Первый замечательный предел

1.

2.

3.

4.

5.

Второй замечательный предел

1.

2.

6. Закрепление материала.

Примеры для самостоятельного решения.

1.

2.

3.  

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

7. Заключение

Решение задач по теме «Пределы функции» позволяет освоить и закрепить практические навыки работы с различными видами пределов для выражений и функций. По данной теме рассматриваются вычисления пределов для выражений рациональных дробей, тригонометрических и степенных функций. Такой подход позволяет студентам упорядочить базовые знания о пределах, понять свойства замечательных пределов. Опыт, полученный при работе над темой «Пределы функции», послужит в дальнейшем одним из базовых элементов в изучении дифференциального и интегрального исчисления.