Методические рекомендации к проведению уроков по теме: «Объёмы тел вращения».
учебно-методический материал на тему

Методические рекомендации
к проведению уроков  по теме: «Объёмы тел вращения».

ТЕОРИЯ ОБЪЁМОВ

Изложение  теории объёмов.

Общая формула для объёмов тел вращения.

Телом вращения называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам, с центрами на этой прямой.

> 0,

 - функция от .

Каждая плоскость, перпендикулярная оси OX и пересекающая отрезок  этой оси в точке , даёт в сечении с телом круг радиуса  и площади .

Из формулы  получаем

.

1. Объём цилиндра.

0 <  ≤ H,        H > 0

.

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

2. Объём конуса.

0 <  ≤ Н,        Н > 0,

,

,        

,         

.

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

3. Объём усечённого конуса.

0 <  ≤ Н,        Н > 0,

,

,

,

,        ,

,

,

.

4. Объём шара.

,

,

> 0,

Пределы интегрирования: –R ≤  ≤ R. Но учитывая свойства интеграла вычислим интеграл с пределами интегрирования: 0 <  ≤ R.

.

5. Объём шарового сегмента.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.

,

,

> 0,

R-H ≤  ≤ R.

R – радиус шара,

H – высота шарового сегмента.

6. Объём шарового сектора.

Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом: если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента; если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется. Объём шарового сектора получается сложением или вычитанием объёмов соответствующих сегмента и конуса.

 или

Для объёма шарового сектора получается следующая формула:

,

где R – радиус шара,

H – высота соответствующего шарового сегмента.