Задания для подготовки к ЕГЭ математика профильный уровень
тест на тему
Задание 15 с решением и подробным решением
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 498.5 КБ |
Предварительный просмотр:
№1
Решим уравнение sin2x = 2 cos2x.
2sin xcos x - 2cos2x = 0, 2 cosx (sinx - cosx) = 0,
- 2 cosx = 0, X = + Пn, nZ,
- 2.sinx - cosx = 0, │ : sinx ≠ 0,( Так как cos x =0, то sinx≠0,nZ.) ctgx = ,
Ответ. X = + Пn, nZ, x = +Пk, kZ.
№2
Решим уравнение 9х + 6х = 24х,
32х +2х 3х - 222х = 0,|: 2х3х≠0,
t>0, тогда получим уравнение t + 1 - =0. Так как t≠0, то t2+t -2 =0, t1=-2, t2=1.
-2 не удовлетворяет условию t>0. Вернёмся к переменной х:
=1, =, х=0.
Ответ: х=0.
№3
Решим уравнение 4|sinx|+ 2cos2x =3,
- 2.
Решим первую систему.
а) 4sinx +2cos2x =3, 4sinx +2( cos2x – sin2x) =3, 4sinx+2(1-sin2x –sin2x) =3,
4sinx+2(1-2sin2x)=3, 4sinx +2 -4sin2x -3 = 0, 4sin2x- 4sinx + 1 = 0,
Пусть sinx =t, |t|≤1, тогда 4t2 – 4t +1 =0, (2t – 1)2 =0, 2t – 1 =0,
t =-удовлетворяет условию |t|≤1. Вернёмся к переменной х:
sin x =, x=(-1)n
б) Найдём решение , удовлетворяющее условию sinx ≥0:
Решим вторую систему.
а) – 4 sinx + 2 cos2x – 3 =0, -4 sinx + 2(cos2x – sin2x) – 3 =0,
-4 sinx + 2 ( 1 – sin2x- sin2x) – 3 =0, -4sinx + 2 – 4sin2x – 3 =0,
4sin2x +4sinx +1 =0, Пусть sinx =t, |t|≤1, тогда тогда 4t2 + 4t +1 =0,
(2t + 1)2 =0, 2t + 1 =0,
t = - -удовлетворяет условию |t|≤1. Вернёмся к переменной х:
sin x = - , x=(-1)k+1
б) Найдём решение , удовлетворяющее условию sinx < 0:
Ответ:
№4
Решим уравнение log2 + log2(x2- 25) = 0,
1.ОДЗ: х2 - 25 > 0, (х-5)(х+5) > 0.
Решим методом интервалов:
+ - +
-5 5
OДЗ: (-∞; -5)(5; +∞).
2.log2+log2(x2- 25) = 0 log2(x-5)2=0, (x-5)2=20 ( по определению логарифма), (x-5)2=1,
a) x-5 = 1 б) х-5 = -1,
Х=6, 6ОДЗ. Х=4, 4ОДЗ.
Ответ: х = 6.
№5
Решим уравнение arcsinx + arcsin(x) = .
Так как правая часть уравнения положительна, то Х>0. В противном случае
левая часть будет отрицательной.
ОДЗ:
2.Так как функция у= arcsinx + arcsinx возрастающая на ОДЗ, то
cos(arcsinx + arcsinx) = cos, Применим формулу сложения для косинуса:
cos(arcsinx) cos(arcsin(x)) - sin(arcsinx)sin(arcsin(x)) =cos,
Левая и правая части последнего уравнения неотрицательны.
Возведём обе части в квадрат: (1-х2)(1-3х2) =3х4. Пусть х2=t, t>0, тогда получим уравнение (1-t)(1-3t) =3t2, 3t2 -4t +1 = 3t2, -4t=-1,
t =, удовлетворяет условию t>0.
Вернёмся к переменной х: х2 =, х1,2 = ±. -ОДЗ, ОДЗ.
Ответ: х=.
№6
Решим систему уравнений
1.ОДЗ:
2.
(*) Разделим первое уравнение на второе:
=, х =. Подставим вместо х его значение в уравнение (*), получим
у=64, у3 =642, у3=212, у=24 = 16. Найдём х:
Х=, х = 4. 4 и 16 ОДЗ.
Ответ: (4; 16).
№7
Решим систему уравнений
Сложим и вычтем эти уравнения и получим систему:
Сложим и вычтем уравнения этих систем и получим:
Ответ: ( ), (
№8
Решим систему уравнений
ОДЗ:
Упростим первое уравнение: 2( = 5,
=.
Упростим второе уравнение:
, (x-y)(x+y) =3.
Получим систему уравнений: (*) Пусть =t, тогда t +,
t2 + 1 = t 2t2 -5t+2=0, D =25-16 =9, t1,2=, t1=2, t2=.
Вернёмся к переменным х и у:
1. =2, х = 2у. Подставим это значение во второе уравнение системы (*).
3у2=3, у2 = 1, у1.2 =±1, найдём х: х1,2=±2. Решение: (2; 1), (-2;-1).
(-2;-1) не удовлетворяет условию х+у>0, (2; 1)ОДЗ.
2. =, х= у. Подставим это значение во второе уравнение системы (*).
-уу =3, =3 - не имеет действительных корней.
Ответ: (2; 1).
№9
Решим неравенство
(*)
1.ОДЗ:
ОДЗ: (-∞; 0)U(0;1)U(1;2)U(2;3).
Неравенство (*) равносильно системам:
а) б)
Так как (х-1)2<1 при 0
(0;2). (-∞; -1)U(2;+∞).
С учётом ОДЗ получим: (-∞; -1)U (0;2) U (2;3)
Ответ: (-∞; -1)U (0;2) U (2;3)
№10
Решим неравенство .
1.ОДЗ: решим первое неравенство: 7+12х-4х2≥0.
Применим метод интервалов: -4(х+)(х-)≥0, (х+)( х -)≤0,
+ - +
-
Решение неравенства : . Итак, ОДЗ:
- , Так как числитель- неотрицательное число, по определению арифметического квадратного корня, то получим
(*)
X=- [], x=[],
Решение системы (*): x=, [].
С учётом ОДЗ получим: .
Ответ:
№11
Решим неравенство x2 + 4x < arcsin(sin5).
- Так как≤ arcsin(sin5)≤ , то х2+4х <,
- D = 16 - 2 П, 16 - 2 П >0 . Уравнение x2 + 4x + = 0 имеет два корня:
Х1,2= ,
Решение неравенства x2 + 4x + < 0: (
2.Так как
Следовательно, arcsin(sin5) = arcsin(sin(5-2П)) = 5- 2П.
Получим неравенство x2 + 4x <5- 2П, x2 + 4x -5 + 2П<0,
D = 36 - 8 П, 36 - 8 П >0 . Уравнение x2 + 4x -5 + 2П = 0 имеет два корня:
Х1,2= ,
Х1 = -2 + , х2 = -2 - . Получим неравенство :
(х-(-2+))(х- (-2-))<0, (х+2-)(х+2+)<0.
Применим метод интервалов:
+ - +
-2 - -2 +
Решение неравенства x2 + 4x -5 + 2П<0: (-∞; -2-)U (-2+).
С учётом условий 1 и2 получим: (-2-
Ответ: (-2-
№12
Решим неравенство .
Преобразуем: Cгруппируем слагаемые:
Вынесем общий множитель: Это неравенство равносильно двум системам:
1. 2.
Решим первую систему неравенств.
Решим вторую систему неравенств.
х=0
Ответ: (-∞;), х=0
№13
Решим уравнение с параметром sin2x + 2cosx =a.
1-cos2x + 2cosx =a, -cos2x +2cosx +1 –a =0, cos2x -2cosx -1 +a =0.
Пусть cosx =у, |у|≤1, тогда у2 -2у-1 +а =0.
Квадратное уравнение у2 -2у-1 +а =0 :
1.Не имеет корней, если D <0: 8-4a <0, a>2.
2.Имеет один корень, если D =0, 8-4a =0, a=2.
При а=2 получим уравнение у2 -2у +1 =0 , (у-1)2=0, у-1 =0, у=1.
У=1 удовлетворяет условию |у|≤1.
Вернёмся к переменной х: cosx =1, x=2Пn, nZ.
3.Имеет два различных корня при условии, что D >0: 8-4a >0, a<2.
Y1,2=, y1 = , y2 =.
y1= не удовлетворяет условию |у| 1.
Вернёмся к переменной х: cosx =, х= ±arccos()+2Пk,kZ.
Ответ: При а>2 корней нет,
при а=2 x=2Пn, nZ,
при а<2 х= ±arccos()+2Пk,kZ.
№14
При каких значениях параметра а неравенство
выполнено при любых значения х?
Решение:
Перенесём -1 в левую часть и приведём к общему знаменателю.
Квадратный трёхчлен х2 -3х+4>0 при всех значениях переменной х,
так как старший коэффициент положительный и D<0 ( D= -7).
х2-ах -2 +х2 -3х +4 >0, 2х2 –(а+3)х +2 >0.
Чтобы это неравенство было выполнимо при любых значениях х, должно выполняться условиe:
а=2>0, D =(a+3)2-16, (a+3)2- 16<0, (a+3-4)(a+3+4)<0,
(a -1)(a+7)<0, Применим метод интервалов:
+ - +
-7 1
(-7; 1).
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2021/11/07/picture-138498-1636300617.jpg)
Задания для подготовки к ЕГЭ математика профильный уровень
Задание 15 с решением и подробным решением...
![](/sites/default/files/pictures/2014/03/03/picture-414712-1393875601.jpg)
Тестовые задания для подготовки к олимпиаде по физической культуре.
Предлагаются 4 варианта тестов по физической культуре из разных разделов программы с вариантами ответов...
Тренировочные задания по подготовке к ЕГЭ (задание №8 «Проверяемые безударные, чередующиеся и непроверяемые гласные в корне слова»).
Данный материал содержит 12 тренировочных тестовых заданий по теме " Безударные проверяемые, непроверяемые и чередующиеся гласные". Тесты составлены в формате ЕГЭ по русскому языку....
![](/sites/default/files/pictures/2016/12/12/picture-378211-1481566404.jpg)
Физика. Сборник тестовых заданий для подготовки к Единому государственному экзамену. Издание 3 дополненное. СПб.: ЛОИРО, 2015г(часть 1)
Сборник предназначен для подготовки к Единому государственному тестированию (ЕГЭ) по физике. Отдельные главы сборника могут быть...
![](/sites/default/files/pictures/2016/12/12/picture-378211-1481566404.jpg)
Физика. Сборник тестовых заданий для подготовки к Единому государственному экзамену. Часть II.
ЧастьII продолжение Сборника тестовых задаий в сжатом виде. Тестовые задания охватывают весь курс физики для СПО и НПО. Материал может быть использован для текущего контроля качества знаний....
Подготовка к ЕГЭ базовый уровень
В работе приведены наиболее часто встречающиеся задания в базовом уровне ЕГЭ по математике 2017 года...
![](/sites/default/files/pictures/2018/04/18/picture-1032056-1524050786.jpg)
Рабочая прогррамма объединения дополнительного образования "Поварское дело в рамках подготовки к JuniorSkills" базовый уровень
Цель программы – формирование теоретических и практических, навыков поварского дела; расширение знаний обучающихся о способах приготовления различных видов холодных и горячих закусок , вторых бл...