Практическая работа "Последовательности"
учебно-методическое пособие на тему

Департамент образования города Москвы

Государственное автономное образовательное учреждение

Технологический колледж № 28

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

«Последовательности»

 ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2 КУРСА

СПЕЦИАЛЬНОСТИ:

 «Технология мяса и мясных продуктов»

«Товароведение и экспертиза потребительских товаров»

«Монтаж и эксплуатация холодильно- компрессорных машин и установок»

Авторы:  преподаватели

 Плотникова И.А.

Соколова Л.А.

Методические указания по выполнению практических работ по математике (алгебре и началам анализа) содержат следующие позиции:

- цель работы;

- какие знания и умения должен приобрести студент по выполнении работы;

- краткие сведения по теории;

- образцы решения примеров и задач по теме;

- задания для самостоятельного решения;

- контрольные вопросы для проверки теоретических знаний;

- общие рекомендации по выполнению самостоятельной работы.

          Методические указания     предназначены для студентов второго курса и преподавателей математики профессиональных колледжей.

Авторы: Соколова Людмила Александровна, Плотникова И.А.– преподаватели математики.

Рецензент и редактор Малькова Людмила Алексеевна, методист ГАОУ СПО ТК №28

Рукопись рассмотрена и обсуждена на заседании ЦМК естественнонаучных дисциплин, протокол № 2 от 23 октября 2013 г.

Практическая работа

Последовательности

Теоретическая часть

(Методические рекомендации)

Основные понятия.

Последовательность  - функция натурального аргумента. И функция и аргумент – дискретные величины. Больше того, аргумент принимает значения только из множества натуральных чисел.

Итак, если каждому натуральному числу   поставлено  в соответствие f некоторое число y, то говорят, что задана последовательность .

Для такой функции , .

Иногда пишут не , а , понимая, что значения аргумента:

1, 2, 3, …, n, …,   а  полученные значения функции  .

 называют общим членом последовательности.

Способы задания такой функции те же, что и функции непрерывного аргумента.

Например, если , то последовательность запишется в виде:

 или просто

 , или .

Графики такой функции можно строить тоже по-разному. Это либо привычная система координат:

Где на горизонтальной оси отмечаются значения аргумента: 1,2,3,…,n,… ,   а на вертикальной – соответствующие значения функции.

Либо числовая прямая:

И отмечаются только значения функции, понимая/подразумевая, что соответствующие  значения аргументов однозначно строго определены: 1,2,3,…,i,…  для каждого yi .

Последовательность задана, если указан способ получения любого ее члена.

Из всех ранее названных свойств функции для последовательностей представляют интерес некоторые из них, причем поведение аргумента строго задано  , т.е. .  В силу дискретности аргумента и дискретности функции не нужен анализ поведения функции в окрестности какой-то точки: можно просто вычислить значение функции. Так что, если уж и интересны какие-то свойства такой функции, то только при .

Ограниченность.

Последовательность  называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство

.

Геометрически это означает, что все значения функции находятся внутри интервала (-М;М).

Бывают последовательности, которые ограничены только сверху (определение дайте самостоятельно, это просто), либо только снизу. Таким образом, последовательность ограничена, если она ограничена и сверху и снизу.

 Последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной. Для неограниченной последовательности при любом М>0 найдутся такие члены последовательности (хоть один), которые лежат вне интервала (-М;М).

Заметим, что число М не обязано быть «наименьшим».  

Например, последовательность {1/n} ограниченная. Она ограничена снизу числом 0 (либо числом –3; -0.7; и т.п.), сверху числом 1 (либо числом 6; 105; 3.09; и т.п.).

А последовательность {2n} неограниченная, так как нет такого числа М, чтобы для любого n  было бы меньше М.

Последовательность ,   т.е.    7, 7, 7, …, 7, …  - ограничена.

Пример:

 Дана функция/последовательность  , .

Выяснить, имеет ли она предел при .

Решение:

График этой функции:  

Ее значения 1; -1.

Выдвинуть гипотезу можно, например, А=0. И если взять , то в интервал (-0.3;0.3) не попадает ни одного значения функции. С таким же успехом опровергаются и все остальные предположения. Т.е. какой бы номер N не взять, найдется такой , что ни одно из f(n) не попадет в -окрестность А. Это означает, что данная функция не имеет предела ( что вовсе не противоречит здравому/бытовому смыслу). Так и пишут:   .

Если  предел  последовательности  существует и конечен, то такую последовательность называют сходящейся. Или, говорят, что последовательность  сходится  (сходится к А).

Если последовательность не имеет конечного предела, ее называют расходящейся.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

Определение. Последовательность  называется бесконечно большой, если для любого числи М>0 найдется такой номер N, что для всех n>N  выполняется неравенство .

Геометрически это означает, что какое бы число М>0 ни взяли, все члены последовательности , кроме может быть конечного их числа, лежат вне отрезка (-М;М).

Номер N, начиная с которого выполняется неравенство , вообще говоря зависит от М.

Примеры:  ;   ;  ;  .

Факт, что последовательность бесконечно большая, записывают так ,  или   .

Определение. Последовательность  называется бесконечно малой, если   или  .

Примеры: ;   ;   .

Другими словами, последовательность  называется бесконечно малой, если для любого положительного  найдется такое число N, что как только n>N, так , т.е. при   .

Теоремы о пределах.

Теорема 1 (связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями).  Если последовательность {уn} – бесконечно малая и все ее члены отличны от нуля, то последовательность  - бесконечно большая, и наоборот,  если последовательность {уn} – бесконечно большая, то последовательность  - бесконечно малая.

Пример: Последовательность   бесконечно малая при , а последовательность  - бесконечно большая при .

Теорема 2. Алгебраическая сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Произведение ограниченной последовательности и бесконечно малой/большой есть бесконечно малая/большая последовательность.

Замечание. Разность двух бесконечно больших последовательностей – неопределенность, которую нужно раскрыть: далеко не всегда в результате бывает ноль (или любая const). Неопределенность часто получается  и при делении как бесконечно малых, так и бесконечно больших.

Теорема 4. Для того, чтобы последовательность {yn} – сходилась к числу А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

.

Теорема 5. Если последовательность имеет предел, то он единственный. (Легко доказывается с помощью теоремы 4).

Теорема 6. Сходящаяся последовательность ограничена.

Замечание. Обратная теорема неверна. Например, последовательность   - ограничена, но она расходящаяся.

Теорема 7. Алгебраическая сумма/произведение двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, ее предел равен соответствующей сумме/произведению пределов данных последовательностей.

Теорема 8. Если последовательности {xn}  и  {yn} сходятся, ,

, причем  при n=1,2,…   и , то последовательность  сходится и ее предел равен отношению пределов последовательностей {xn}  и  {yn}.

Замечание.  Если условия теоремы не выполняются, то появляются неопределенности. Раскрываются неопределенности по-разному,  в зависимости от последовательностей {xn}  и  {yn}.

Монотонность.

Определение. Последовательность {xn} называется возрастающей, если       x12<…nn+1<…;   неубывающей, если ; убывающей, если ; невозрастающей, если  .

Все такие последовательности называются монотонными.

Из определения монотонных последовательностей непосредственно следует: если монотонно возрастающая последовательность ограничена сверху, то она ограничена; если монотонно убывающая последовательность ограничена снизу, то она ограничена.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Число е.

Рассмотрим последовательность .

Члены этой последовательности:

 .

Эта последовательность возрастающая (доказывается по определению возрастающей последовательности, пользуясь биномом Ньютона).

При любом n ее члены не превосходят 3 (доказательство этого факта есть в любом учебнике).

Итак,  последовательность - монотонно возрастающая и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел. Этот предел  обозначается буквой е (обозначение введено Л.Эйлером).

.

Это число больше 2 и меньше 3, т.е. 2).

Для более точного вычисления е использовался соответствующий ряд Тейлора. И его значение :

е=2.718281828459045… .

Как уже упоминалось, число е широко используется в математике, практических расчетах, например, показательная функция у= ех, логарифмическая функция  у= lnx (основание логарифма е).

Контрольные вопросы

1. Дать определение ограниченной последовательности.

2. Дать определение монотонной последовательности.

3. Дать определение  б.м.и б.б последовательности.

Задания для самостоятельного решения

 Задание 1. Дано:

1) ;   2) ;        3) ;   4) ;   5) ;     6) ;     7) ;        

 8) ;   9) ;        10) ;     11) ;       12) ;   13) ;        14) ;

15) ;     16) ;          17)  .

Надо для каждой последовательности

а) написать ее в  виде ;

б) для (1), (2), (3) дать геометрическую интерпретацию;

в) исследовать на монотонность;

г) исследовать на ограниченность;

д) исследовать на сходимость.

Пособие по математике для студентов 2-го курса

Соколова Людмила Александровна, преподаватель математики ГАОУ

ТК № 28

Плотникова Ирина Анатольевна, преподаватель математики ГАОУ ТК № 28

Сдано в печать 16.11.2013 г.

Формат бумаги 60х90/16

Тираж 30 экз.

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования города Москвы

Технологический колледж № 28

109382, Москва, ул. Верхние поля, 27

Тел./факс 8(495)359-65-29

E-mail: 28-2@prof.educom.ru