Лекция №9(2 курс)(2ЭННУ)
план-конспект занятия на тему

                      Случайная величина.
         Случайной величиной называется переменная величина, значения которой зависят от случая. Случайные величины обозначаются буквами латинского алфавита X,Y,Z.
Примеры случайных величин: число попаданий в мишень при данном числе выстрелов; число очков, выпадающие при бросании игральной кости.
         Случайная величина обычно обозначается прописанной латинской буквы (X,Y,Z), её конкретные значения – строчными буквами х,у,z….)
       Случайная величина, возможные значения которой можно перенумеровать, называется дискретной. При этом число значений может быть конечным или бесконечным.
         Непрерывным называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно.
        Случайной величины X и Y называются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждый из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой и не зависит от  того, какое возможное значение приняла другая величина. В производном случае эти величины называются зависимыми.
         

Закон распределения дискретной случайной величины.
Для характеристики случайной величины нужно знать совокупность возможных значений этой величины, а также вероятности с которой эти значения могут появляться.
Эти данные образуют закон распределения случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины х может быть задан виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения  , а вторая – вероятности .
X         …  
P          …
где
Если множество возможных значений X бесконечно, то ряд ++ …+ + …
сходится и его сумма равна единице.
Закон распределения дискретной случайной величины X может быть задан аналитически( в виде формулы )
                                                         

         

 Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Числа, которые описывают случайную величину суммарно, называют числовыми характеристиками случайной величины.
Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
    M(X)=++ … +=

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

                                        D(X)=M()
Дисперсию удобно вычислять по формуле:
                                                 D(X)=M() -

Среднеквадратическим отклонением случайной величины называется квадратной корень из дисперсии:

                  Свойствa математического ожидания:
Свойство 1: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:                                     M(C)=C

Свойство 2: Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:                                       M(CX)=C  M(X)    

Свойство 3: Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:                M()= M() M() …  M()

Свойство 4: Математическое ожидание сумма случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

                                        M()= M()M() +… M()

                           Свойствa дисперсии :
Свойство 1: Дисперсия постоянной равна нулю:   D(C)=0
Свойство2: Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя в квадрат:   D(CX)=
Свойство3: Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D()= D()D() +… D()

Пример 1:
В темной комнате 7 красных кубиков и 8 синих, не отличаемых друг от друга на ощупь. Мальчик вынес три кубика. Х  - случайная величина числа красных кубиков среди вынесенных. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.
Решение:
Возможные значения случайной величины Х: 0,1,2,3.
Пусть им соответствуют вероятности: ,
Найдем их:  
 =  =  =
 =  =  =  =  =  =
Проверка:  

То закон распределения имеет вид:

Найдем: M(X):
M(X) = ++ + = 0 + 1  + 2  + 3   = =1,4

Дисперсию будем искать по формуле:    D(X)=M() –
Составим закон распределения для :

M() =  +  +  = 2,6
D(X) = 2,6 –  = 0,64
 

                        Примеры дискретных распределений.
Биноминальными называют закон распределения дискретной случайной величины X- числа появлений “yспеха” в n независимых испытаниях (возможные значения величины Х- 0,1,2,… n), в каждых из которых вероятность появления “успеха” равна p; вероятность возможного значения X=k(числа к появлений “успеха”) вычисляется по формуле Бернулли:
                                              =

Математическое ожидание биноминального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:                              M(X)=np

Дисперсия биноминального распределения равна произведению числа испытаний на вероятность появлений и не появлений события в одном испытании:                             D(X)=npq

=  - формула вычисления числа сочетаний.

Пример2: Производится n независимых испытаний в каждой из которых некоторое событье А наступает с вероятностью P(A)=p,X – число наступлений события А в n испытаний. Для малого n построить ряд распределения случайной величины X, найти M(X), D(X), (X).
1)n=4, p=0,8
Возможные значения случайной величины X: 0,1,2,3,4. Пусть им соответствуют вероятности  Найдем их, используя формулу Бернулли:
                                            (k)= (q=1- p)

=1   = 0,0016
=4   = 0,0256
=6   = 0,1536
=4   = 0,4096
=1  1 = 0,4096
То ряд распределения имеет следующий вид:

M(X)=np=4 0,8=3,2     D(X)=npq=4 0,80,2=0,64      

                         Задачи математической статистики.
  Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных – результатах наблюдений.
Первая задача математической статистики – указать способы сбора и группировки (если данных очень много) статистических сведений.
Вторая задача математической статистики – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.

             Основные понятия математической статистики.
Генеральная совокупность – совокупность всех изучаемых объектов,N  – ее объем (количество всех объектов ).
Выборочная совокупность – или просто выборка – совокупность объектов, отобранных для изучения, n – объем выборки.
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.
Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n= 100.

         Статистическое распределение выборки и его характеристики.
Пусть из генеральной совокупность извлечена выборка, причем наблюдалось  раз, -  раз, …,  раз и =n – объем выборки. Наблюдаемые значение . называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом.
Числа наблюдений называются частотами, а их отношения к объему выборки
 относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.
Результаты выборки представляются в виде статистического распределения:

где  
 
 
 объем выборки
 
Распределение относительных частот:

Основные характеристики выборки:
;
 
 
 

Пример:  

n = 8+9+10+3=30 - объем выборки
 = =

                                                             или