Презентация
презентация урока для интерактивной доски на тему

Слайд 1

Комплексные числа и координатная плоскость

Слайд 2

Геометрической моделью множества С является координатная плоскость. Каждому комплексному числу r = а + bi можно естественным образом поставить в соответ­ствие точку (а; b ) координатной плоскости. Тогда любому комп­лексному числу соответствует единственная точка на координат­ной плоскости, и наоборот, каждая точка плоскости является «изображением» единственного комплексного числа.

Слайд 4

При таком соответствии действительному числу а = а + 0 • i соответствует точка (а; 0) с нулевой ординатой. Значит, действи­тельные числа изображаются точками оси абсцисс. Мнимой единице i = 0 + 1 • i соответствует точка (0; 1) на оси ординат, и вообще точками этой оси будут изображаться все чисто мнимые числа.

Слайд 5

На рисунке отмечены на координатной плоскости комплексные числа: z 1 = 2 + 3 i , z 2 = -4 + i , z 3 = -4 - i , z 4 = 5 - 2,5 i .

Слайд 6

На рисунке отмечены на координатной пло­скости некоторые действительные и чисто мнимые числа: 0, 5, -3,5, i , 3 i , -2 i .

Слайд 8

То есть, для таким образом определенных суммы и произведения комплексных чисел верны сочетательный, переместитель­ный и распределительный законы. При этом пара (0; 0) будет нулем от­носительно сложения, а пара (1; 0) будет единицей относительно умно­жения комплексных чисел.

Слайд 9

Пример 1. Изобразить на координатной плоскости мно­жество всех комплексных чи­сел, у которых: а) действительная часть рав­на -4; б) мнимая часть является четным однозначным натураль­ным числом; в) отношение мнимой части к действительной равно 2; г) сумма квадратов действи­тельной и мнимой частей рав­на 9.

Слайд 10

Решение. а) Нас интере­суют комплексные числа z = х + yi , у которых х = -4. Это уравнение прямой, параллельной оси ординат.

Слайд 11

б) Нас интересуют комплексные числа z = х + yi , у которых у = 2, 4, 6 или 8. Это множество состоит из четырех прямых, па­раллельных оси абсцисс.

Слайд 12

в) Нас интересуют комплексные числа z = x + yi , у которых y / x = 2, или у - 2х, х ≠ 0. Это прямая, проходящая через начало координат, с выколотой точкой (0; 0)

Слайд 13

г) Нас интересуют комплексные числа z = х + yi , у которых х 2 + у 2 = 9. Это окружность радиусом 3 с центром в начале координат.

Слайд 14

Любую точку на координатной плоскости можно воспринимать дво­яко: алгебраически, как упорядочен­ную пару (а; b ) действительных чи­сел, и как вектор с началом в точке (0; 0) и концом в точке (а; b ). При векторном подходе к изображению комплексных чисел наглядный смысл получают операции сложения и вы­читания двух комплексных чисел: а) вектор , соответствующий сумме z 1 + z 2 двух комплексных чисел, ра­вен сумме векторов, соответ­ствующих числам z 1 и z 2 ; б) вектор , соответствующий разно­сти z 1 - z 2 двух комплексных чисел, равен разности векторов, соответ­ствующих числам z 1 и z 2 .

Слайд 15

а) вектор , соответствующий сумме z 1 + z 2 двух комплексных чисел, ра­вен сумме векторов, соответ­ствующих числам z 1 и z 2

Слайд 16

б) вектор, соответствующий разно­сти z 1 - z 2 двух комплексных чисел, равен разности векторов, соответ­ствующих числам z 1 и z 2 .

Слайд 17

Точно так же дело обстоит и с умножением комплексных чи­сел на действительные числа: вектор, соответствующий произ­ведению k ∙ z действительного числа k на комплексное число z , равен произведению вектора, соответствующего числу z , на число k .

Слайд 18

Пример 2. Для комплексных чисел z 1 = 1 + i и z 2 = -1 + 2 i изобразить на координатной плоскости числа: а ) 2 z 1 ; б ) -3 z 2 ; в) z 1 +z 2 ; г ) 2 z 1 - z 2 .

Слайд 19

Решение . а) 2 z 1 ;

Слайд 20

б) -3 z 2

Слайд 21

в) z 1 +z 2 ;

Слайд 22

г) 2 z 1 - z 2 .

Слайд 23

Числа в заданиях можно найти по фор­мулам, а затем изобразить их на координатной плоскости. Иногда приведенные правила для сложения, вычитания ком­плексных чисел и умножения комплексных чисел на действитель­ные числа объединяют таким образом: во множестве комплекс­ных чисел операции сложения, вычитания и умножения на дей­ствительные числа производятся покоординатно . Подчеркнем, что сама эта формулировка предполагает операции уже не с самими комплексными числами, а с их геометрическими, векторными представениями .

Слайд 24

В координатной плоскости яс­ный геометрический смысл имеет операция сопряжения (перехода к сопряженному числу). Действи­тельно, если изобразить комплекс­ные числа z = х + yi и =х - yi на координатной плоскости, то по­лучатся точки ( х; у ) и (х ; - у) сим­метричные относительно оси абс­цисс.

Слайд 25

Сопряженные друг другу комплексные числа равноудалены от начала координат, а вектора изображающие их, наклонены к оси абсцисс под одинаковыми углами, но расположены по разные стороны от этой оси. Сложим , например, «по правилу параллелограмма» ком­плексные числа z 1 и z 2 , а затем отразим и их, и весь параллело­грамм симметрично относительно оси абсцисс. Полу­чим : = + .

Слайд 27

Итак, мы познакомились с геометрической моделью множе­ства С комплексных чисел и с тем, как в этой модели выглядят некоторые арифметические операции над комплексными числа­ми. Оказалось, что модель эта — привычная нам координатная плоскость, а операции в точности совпадают с векторными опера­циями сложения, вычитания и умножения на действительное число. Пока что ничего принципиально нового мы не увидели. Чтобы различать координатную плоскость саму по себе и коорди­натную плоскость как модель множества комплексных чисел, при­нято в последнем случае говорить о комплексной плоскости.