Методические рекомендации для студентов 2 курса по теме "Матрицы и определители"
учебно-методическое пособие

Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1.1 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Практическая работа №1

Тема: вычисление определителей второго и третьего порядков

Цель: научиться вычислять определители второго и третьего порядков

Теоретические сведения и примеры решения задач

к практической работе

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и  n столбцов:

 .

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются  прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, А, В, С, …, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: aij, где i- номер строки,  j- номер столбца. Цифры m и  n  указывают размерность матрицы.

Запись « матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица  имеет размер 2x3. Далее, bij  - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и  j-го столбца данной матрицы (в примере b23=5).

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной т.е. m = n. Например,

 - квадратная матрица размерности 3.

Элементы a11 , a22 ,…,  ann  квадратной матрицы A (размера n x n) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали) равны 1, называется единичной. Например,

   
B – диагональная матрица, E – единичная матрица.

Арифметические действия с матрицами

1) Чтобы найти сумму матриц А, В одной размерности, необходимо сложить   элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах).

Пример 1. Найдите сумму матриц

Решение:         

Пример 2. Найдите 2A-B, если , .

Решение: Сначала умножаем матрицу A на число «2», затем матрицу B на число «-1», и, наконец, находим сумму полученных матриц:

Имеем:

2) Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.

Пример 3.  Умножьте матрицу А на число 3.

Решение:

3) Матрицу А можно умножить на матрицу В, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй ( произведением матриц будет называться матрица, каждый элемент, которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В).

Пример.  вычислить произведение матриц А∙ В, где

Решение:

Вычисление определителей. 

Для квадратных матриц вводится понятие определителя - числа, характеризующего квадратную матрицу А. Определитель матрицы А обозначается |A| или .

Определителем первого порядка, называется элемент a11:

  Например. А=(3), тогда |A|=3.

Определитель  квадратной матрицы A (размера 2x2)   второго порядка называется  число, которое можно найти по правилу:

     △ =   .                 (1)          

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Пример 4. Вычислите  определитель матрицы            

 Решение: По формуле (1) находим:

=

1 способ: определитель матрицы A размера 3x3  (определитель 3-го порядка) – число, вычисляемое по правилу «раскрытие определителя по первой строке»:

  (2)

Пример 5. Вычислите определитель третьего порядка:  

Решение. При нахождении определителя воспользуемся сначала правилом (2)  

 А=       = 1 - (-1)  + 1  , а затем

(для вычисления определителей 2-го порядка) правилом  (1)

△=  А = 4 - 3 + 8 + 6 + 2 + 2 = 19

2 способ: определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по правилу треугольника (рис. 1):

                                  а11 а12 а13

                                     а21 а22 а23

                                     а31 а32 а33

           +                           рис. 1                         -

Пример 6. Вычислите определитель

Решение:

=1.1.4+2.1.1+(-1)3(-2)-1.1(-2)-1.3.1-2(-1)4=

= 4 + 2 + 6 + 2 – 3 + 8 = 19

Порядок проведения работы:

1.  Используя теоретические сведения и примеры решения задач,  выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу.

Задания  для самостоятельного решения:

Вариант  1

1.  Найти:  3

2.  Найти А+В, если А= , В =.

3.  Вычислить определители второго и третьего порядков:

а)  =

б)  =

в)  =

г)  =  

д)  =  

е) =

Вариант  2

1. Найти:  2

2. Найти А + В, если А =

3. Вычислить определители второго и третьего порядков:

а)  =

б)  =

в)  =

г)  =  

д)  =  

е)  =

Вывод:

Контрольные вопросы:

1. Что называется матрицей?
2. Назовите арифметические действия с матрицами?
3. Напишите правило, по которому вычисляется определитель матрицы второго порядка.
4. Напишите правило, по которому вычисляется определитель матрицы третьего порядка.