Методические рекомендации для студентов 2 курса по теме "Матрицы и определители"
учебно-методическое пособие

Данная методическая разработка по дисциплине "Математика"   предназначена для преподавателей дисциплины "Математика" и для обучающихся специальностям среднего профессионального образования.

Скачать:


Предварительный просмотр:

Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1.1 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Практическая работа №1

Тема: вычисление определителей второго и третьего порядков

Цель: научиться вычислять определители второго и третьего порядков

Теоретические сведения и примеры решения задач

к практической работе

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и  n столбцов:

 .

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются  прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, А, В, С, …, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: aij, где i- номер строки,  j- номер столбца. Цифры m и  n  указывают размерность матрицы.

Запись « матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица  имеет размер 2x3. Далее, bij  - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и  j-го столбца данной матрицы (в примере b23=5).

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной т.е. m = n. Например,

 - квадратная матрица размерности 3.

Элементы a11 , a22 ,…,  ann  квадратной матрицы A (размера n x n) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали) равны 1, называется единичной. Например,

   
B – диагональная матрица, E – единичная матрица.

Арифметические действия с матрицами

1) Чтобы найти сумму матриц А, В одной размерности, необходимо сложить   элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах).

Пример 1. Найдите сумму матриц

Решение:         

Пример 2. Найдите 2A-B, если , .

Решение: Сначала умножаем матрицу A на число «2», затем матрицу B на число «-1», и, наконец, находим сумму полученных матриц:

Имеем:

2) Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.

Пример 3.  Умножьте матрицу А на число 3.

Решение:

3) Матрицу А можно умножить на матрицу В, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй ( произведением матриц будет называться матрица, каждый элемент, которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В).

Пример.  вычислить произведение матриц АВ, где

Решение:


Вычисление определителей. 

Для квадратных матриц вводится понятие определителя - числа, характеризующего квадратную матрицу А. Определитель матрицы А обозначается |A| или .

Определителем первого порядка, называется элемент a11:

  Например. А=(3), тогда |A|=3.

Определитель  квадратной матрицы A (размера 2x2)   второго порядка называется  число, которое можно найти по правилу:

      =   .                 (1)          

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Пример 4. Вычислите  определитель матрицы            

 Решение: По формуле (1) находим:

=

1 способ: определитель матрицы A размера 3x3  (определитель 3-го порядка) – число, вычисляемое по правилу «раскрытие определителя по первой строке»:

  (2)

Пример 5. Вычислите определитель третьего порядка:  

Решение. При нахождении определителя воспользуемся сначала правилом (2)  

 А=       = 1 - (-1)  + 1  , а затем

(для вычисления определителей 2-го порядка) правилом  (1)

△=  А = 4 - 3 + 8 + 6 + 2 + 2 = 19

2 способ: определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по правилу треугольника (рис. 1):

                                  а11 а12 а13

                                     а21 а22 а23

                                     а31 а32 а33

           +                           рис. 1                         -

Пример 6. Вычислите определитель

Решение:

=1.1.4+2.1.1+(-1)3(-2)-1.1(-2)-1.3.1-2(-1)4=

= 4 + 2 + 6 + 2 – 3 + 8 = 19

Порядок проведения работы:

  1.  Используя теоретические сведения и примеры решения задач,  выполнить предложенное преподавателем задание.
  2. Соответствующим образом оформить работу.

Задания  для самостоятельного решения:

Вариант  1

1.  Найти:  3

2.  Найти А+В, если А= , В =.

3.  Вычислить определители второго и третьего порядков:

а)  =

б)  =

в)  =

г)  =  

д)  =  

е) =

Вариант  2

1. Найти:  2

2. Найти А + В, если А =

  1. Вычислить определители второго и третьего порядков:

а)  =

б)  =

в)  =

г)  =  

д)  =  

е)  =

Вывод:

Контрольные вопросы:

  1. Что называется матрицей?
  2. Назовите арифметические действия с матрицами?
  3. Напишите правило, по которому вычисляется определитель матрицы второго порядка.
  4. Напишите правило, по которому вычисляется определитель матрицы третьего порядка.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методические рекомендации для студентов 2 курса по математике по теме "Интегральное исчисление"

Раздел Интегральное исчисление представляет определённые трудности при изучении. Данные рекомендации содержат краткие теоретические сведения по данной теме, содержат образцы решения интегралов и задан...

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГЕОГРАФИЯ ТУРИЗМА для студентов обучающихся по специальности 43.02.10 Туризм

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ"ГЕОГРАФИЯ ТУРИЗМА" для студентов обучающихся по  специальности 43.02.10 Туризм...

Методические рекомендации для студентов 2 курса по выполнению практической работы по дисциплине "Математика" по теме "Арифметические действия с матрицами и вычисление определителей второго и третьего порядков "

Методическая разработка по дисциплине "Математика" по теме "Арифметические действия с матрицами и вычисление определителей второго и третьего порядков" предназначена для преподават...

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 3 КУРСА ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ПРОФЕССИИ 35.01.11 Мастер сельскохозяйственного производства

Данная работа содержит методические указания к лабораторным работам  по дисциплине «Технология механизированных работ в растениеводстве» и предназначена для подготовки по профессии 35...

Методические рекомендации для студентов 1 курса по Истории

Методические рекомендации по проведению итоговой аттестациипо учебной дисциплине история в форме экзамена (устная форма)...