Логарифмы
план-конспект урока

Открытый урок по теме «Логарифмы»

Цель урока: (учитель):  

Создать условия для личностной самореализации каждого обучающегося в процессе изучения темы: «Логарифм», способствовать развитию личностных, учебно-познавательных, коммуникативных компетенций.

(ученик):

•        знать и уметь записывать определение логарифма;

•        уметь применять определение логарифма при решении упражнений;

•        научиться применять свойства логарифмов при решении заданий;

•        закрепить вычислительные навыки;

•        продолжить работу над математической речью.

•        формировать навыки самостоятельной работы, работы с учебником, навыки самостоятельного добывания знаний;

•        формировать самостоятельность мышления, мыслительных операций: сравнение, анализ, синтез, обобщение, аналогия;

Задачи:

- образовательные – Формирование учебно-познавательных компетенций, способностей учащихся к самостоятельной деятельности по доказательству дополнительных свойств логарифмов на основе основных, выстраивать логические умозаключения, делать выводы;

- развивающие – формировать навыки освоения учащимися картины мира через изучение нового материала, развивать навыки самооценки и самоанализа учебной деятельности;

- воспитательные – формировать умения представлять себя, аргументированно отстаивать свое мнение, воспитывать культуру математического мышления, умения работать самостоятельно, в паре, поддерживать интерес к предмету математики;

Формируемые универсальные учебные действия:

 1.Личностные: развитие самостоятельности, эрудиции, формирование условий для саморазвития личности.

2.Коммуникативные: участие в коллективном обсуждении и решении проблемы, делать выводы, умение слушать,  вступать в диалог.

3. Познавательные: умение анализировать, выдвигать гипотезу, делать выводы, принимать решение, построение речевого высказывания.

 4. Регулятивные: принятие цели, развитие умения сравнивать, производить оценку.

Планируемый результат:

 Предметные:

- знать определение логарифма;

- уметь применять определение логарифма при решении упражнений;

 Личностные:

- понимать смысл поставленной задачи; инициатива, находчивость, активность при решении математических задач.

Метапредметные:

- умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации;

- понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Базовые знания:

•        определение показательной функции;

•        таблица степеней числа 3

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления  новых знаний.

Методы работы:

•        проблемный;

•        частично-поисковый.

Виды работ:

•        индивидуальная;

•        групповая;

•        фронтальная.

Мотивация познавательной деятельности: на занятии необходимо предоставить учащимся возможность проявить сообразительность, смекалку в формировании навыков самостоятельной работы, работы с учебником, навыков самостоятельного добывания знаний.

Время проведения: 45 минут

Оборудование:

•        текст «Из истории логарифмов»; Познавательный материал «В мире логарифмов»

•        сигнальные карточки

 •        учебники

•        цветные мелки

Межпредметные связи: история, астрономия, биология, физика,  химия, экономика

Внутрипредметные связи: «Корень n-ой степени и их свойства»

 План урока

1. Организационный момент. 1 мин.

2. Постановка цели. 1 мин.

3. Актуализация знаний . 3 мин

4. Введение понятия логарифм.

            1. Определение логарифма. 5 мин

            2.  Выполнение упражнений 10 мин

            3. Историческая справка 8 мин

5. Рефлексия. 2 мин .

6. Домашнее задание. 1 мин.

7. Практическая работа. 12 мин.

8. Подведение итогов. 2 мин.

Ход урока:

1. Организационный момент. Приветствие.

Ребята, это 13 урок по разделу «Корни, степени, логарифмы» и первый урок по теме нового для вас понятия.

Этот урок я хочу начать со слов ученого-кораблестроителя, академика Алексея Николаевича Крылова: «Рано или поздно всякая  правильная математическая идея находит применение в том или ином деле».

2. Постановка цели.

Уважаемые студенты, сегодня на уроке вам предстоит проверить умения решать простейшие показательные уравнения, чтобы можно было ввести новое для вас понятие;

 умения применять определение нового понятия при решении упражнений;

будем продолжать закрепять вычислительные навыки;

продолжим работу над математической речью;

продолжим формировать навыки самостоятельной работы, работы с учебником, навыки самостоятельного добывания знаний.

3. Проверка ранее изученного материала.

Учащимся предлагается определить тему урока, решив уравнения

2х = ; 3х = ; 5х = 1/125; 2х = 1/4;

2х = 4; 3х = 81; 7х = 1/7; 3х = 1/81

– Назовите новое понятие, с которым мы познакомимся:

З        М        Л        Г        Е        Р        Ф        О        И        А

5        – 4        2/3        – 3        – 2/7        2        – 1        1/2        4        – 2

4. Введение понятия логарифм

– Тема нашего урока « Логарифм».

4.1. Определение логарифма

Понятие логарифма числа связано с решением показательных уравнений.

На предыдущем занятии мы построили график показательной функции   у=2 . Воспользуемся графиком этой функции и решим графически  уравнения:    ; 2 =4 и  2 =5 (по теореме о корне,это показательное уравнение имеет единственное решение).

Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением  2 =5  математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения   записали так:   (читается : логарифм числа   по основанию  

Остановимся теперь на понятии логарифма числа. Очень часто приходится решать задачу: известно, что   необходимо найти показатель степени Х  т.е. решить задачу, обратную возведению числа в степень. При нахождении этого показателя степени Х  и возникает понятие логарифма числа b  по основанию   a

Например

а) log 3 81 = 4, так как 34 = 81;

б) log 5 125 = 3, так как 53 = 125;

в) log 0,5 16 = -4, так как (0,5)-4 = 16;

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить число b.

4.2 Фронтальная работа класса:

а) Проверьте истинность равенства:

) log 10 100 = 2, т.к. 102 = 100 (определение логарифма и свойства степени),

2) log 5 53 = 3, т.к. 53 = 53 (…),

3) log 4  = –1, т.к. 4–1 =  (…).

б) Используя знак логарифма, выразите показатель степени из равенства:

4.3 Работа с учебником (самостоятельно в тетради)

Повторить таблицу степеней числа 3.

Ш.А. Алимов «Алгебра и начала анализа 10-11» (стр.90 № 269, 270)

Домашнее задание

 Ш.А. Алимов «Алгебра и начала анализа 10-11» (стр.90 № 267, 268, 271, 272, 273)

4.4 Работа с сигнальными карточками (зеленой, красной).

- Я буду зачитывать утверждения, если утверждение верно, то вы показываете зеленую карточку, если неверно, то красную.

Имеет ли смысл выражение:

4.5 Историческая справка

Из истории логарифмов.

Из истории возникновения логарифма Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и швейцарским  математиком, астрономом и часовым мастером Иостом Бюрги (1552-1632), работавшим с великим И. Кеплером.

Первой в 1614г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов», где ученый изложил свойства логарифмов, правила пользования таблицей и привел примеры вычислений.

Бюрги пришел к логарифмам раньше в 1610 году, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620г.), поэтому они остались незамеченными.

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации.

Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку, ставшей рабочим инструментом для многих поколений.

Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы.

Познавательный материал «В мире логарифмов»

Джону Неперу принадлежит сам термин «Логарифм», который он перевел как «Искусственное число». Этот термин был введен в 1594 году.

Джон Непер-шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течении 5 лет в университете изучал математику, физику, астрономию. В своей дальнейшей жизни Непер серьезно не занимался математикой и астрономией. Имел свое имение, занимался земледелием и изобретением приборов.

К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».

Логарифмы позволили перейти от сложных действий: возведение в степень, извлечение корня к умножению и делению, а затем к сложению и вычитанию.

Логарифмы послужили основой создания замечательного вычислительного инструмента – логарифмической линейки, которая более 360 лет служила инженерно-техническим работникам всего мира (вплоть до 70-х годов двадцатого века). Логарифмическая линейка имеет 12 шкал, с помощью которых можно выполнить действия умножения, деления, возведение в степень (чаще всего в квадрат и в куб), извлечение квадратных и кубических корней.

Точность выполнения операций была достаточно высокая – 4-5 знаков после запятой.

Интересный факт: отправляясь на Луну, американские астронавты взяли с собой логарифмическую линейку в качестве запасного калькулятора.

С логарифмами связана кривая, получившая название логарифмическая спираль или изогнутая спираль. Это особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана французским математиком Рене Декартом.

Логарифмическая спираль тесно связана с явлениями природы. В качестве доказательства этого удивительного соседства можно привести такие примеры:

живые существа обычно растут во всех направлениях, сохраняя общее начертание своей формы. Раковины улиток и маллюсков могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину им приходится скручиваться.

в ухе человека есть орган – улитка, который тоже закручен по логарифмической спирали.

чешуйки сосновой шишки и семечки в подсолнухе расположены по дугам, близким к логарифмической спирали.

паук эпейра, сплетая паутину, скручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали

рога горных козлов (архаров) закручены по логарифмической спирали

по логарифмической спирали формируется тело циклона, океанские волны

можно обратить внимание, что Галактики открытого космоса (в том числе Галактика, включающая в себя Солнечную систему), хвосты комет – это тоже явления в природе логарифмической спирали.

Интересный факт: Ночные бабочки, которые пролетая большие расстояния, ориентируются по параллельным лунным лучам. Но если они сменят ориентацию на точечный источник света, например, на пламя свечи, то инстинкт их тут же подводит и бабочки попадают в пламя по скручивающейся логарифмической спирали.

Еще один интересный факт: если вы хотите немедленно наблюдать логарифмическую спираль в природе, то согните указательный палец и он тут же примет форму логарифмической спирали.

При оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума, имеют дело с логарифмической зависимостью между величинами ощущения и порождающего его раздражения. Оба эти явления – следствия общего психофизического закона, согласно которому ощущения измеряются пропорционально логарифму раздражения.

Химическая шкала кислотности очень близка к шкале звездных величин и тоже связана с логарифмами.

Классификация силы землетрясений, созданная и представленная в 1935 году геологом Чарльзом Рихтером в виде шкалы, основана на принципе логарифма.

Логарифмы используются при нахождении банковского процента по вкладам. Зная процент по вкладам, который предлагают разные банки, можно определить какой из них более выгодный.

5. Практическая работа

Примечание: сравнить число в, основание а с единицей и знаком степени.

Сделать вывод:

Оценка "5" ставится за 10 правильных ответов +правильный вывод

Оценка "4" ставится за 8 правильных ответов +правильный вывод

 Оценка "3" ставится за 6 правильных ответов + вывод с недочетом

6.        Обобщение и систематизация знаний.

- Продолжите фразы:

•        Сегодня на уроке я повторил…

•        Сегодня на уроке я узнал…

•        Сегодня на уроке я научился…

7. Подведение итогов

Ребята, если вам понравился урок, то поднимите зеленую карточку, а если у вас нет – красную.

Урок закончен.

Оценки за практическую работу будут озвучены на следующем уроке.

СПАСИБО ЗА РАБОТУ НА УРОКЕ!!!