Методические указания для студентов заочной формы обучения по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика"
методическая разработка

Департамент образования, науки и молодежной политики

Воронежской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Воронежской области

 «Борисоглебский техникум промышленных и информационных технологий»

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Методические указания для студентов-заочников

по специальности 09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы»

2017 г.

Методические указания по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» разработаны на основе рабочей программы дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»  по специальности 09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы»

Разработчик:

Иванникова Елена Анатольевна, преподаватель ГБПОУ ВО «БТПИТ»

Рассмотрена цикловой комиссией Компьютерных систем и комплексов

Протокол от «___» _____________ 201_г.  № ____

Председатель ц/к _______________   Г.В.Торгашин

                                                        (Ф.И.О.)

Методист                                                     Зам.директора по УР

______________Е.В. Бабикова                  _____________С.С. Прохорова

1. Введение

1. Область применения программы

        Программа дисциплины является частью программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы»

1.2 Место дисциплины в структуре программы подготовки специалистов среднего звена

        Дисциплина входит в математический и общий естественнонаучный учебный цикл

1.3. Цели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен уметь:

- вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики;

- использовать методы математической статистики.

В результате освоения дисциплины студент должен знать:

- основы теории вероятностей и математической статистики;

- основные понятия теории графов.

1.4. Формируемые компетенции:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ПК 1.2. Разрабатывать схемы цифровых устройств на основе интегральных схем разной степени интеграции.

ПК 1.4. Проводить измерения параметров проектируемых устройств и определять показатели надежности.

ПК 2.2. Производить тестирование, определение параметров и отладку микропроцессорных систем.

2. Примерная программа учебной дисциплины:

Раздел 1.  Элементы теории вероятностей. Случайные события.

Тема 1.1. Основные понятия теории вероятностей.

Содержание учебного материала: Случайные события и операции над ними. Частота случайного события. Опыт с равновероятными исходами. Классическое определение вероятности. Статистическое и геометрическое определение вероятности.

Тема 1.2. Элементы комбинаторики

Содержание учебного материала: Примеры простейших комбинаторных задач. Размещения, перестановки, сочетания. Использование комбинаторики для вычисления вероятностей.

Тема 1.3. Теоремы сложения вероятностей.

Содержание учебного материала: Несовместные события. Теорема сложения несовместных и произвольных событий. Следствия из теорем.

Тема 1.4. Теоремы умножения вероятностей. Условная вероятность.

Содержание учебного материала: Условная вероятность. Независимые события. Теоремы умножения независимых и произвольных событий.

Тема 1.5.  Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Содержание учебного материала: Формула полной вероятности. Гипотезы. Формулы Байеса для переоценки вероятностей гипотез.

Тема 1.6.  Серии независимых опытов. Формула Бернулли.

Содержание учебного материала: Серии независимых опытов. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события.

Раздел 2.  Случайная величина и ее числовые характеристики.

Тема 2.1. Дискретная случайная величина и закон ее распределения.

Содержание учебного материала: Понятие дискретной случайной величины. Закон распределения случайной величины. Нормальный и биноминальный законы распределения.  

Тема 2.2. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

Содержание учебного материала: Определение математического ожидания случайной величины. Математическое ожидание случайной величины, распределенной по биноминальному закону.  Свойства математического ожидания. Примеры решения задач.

Тема 2.3. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

Содержание учебного материала: Определение дисперсии случайной величины и среднего квадратического отклонения случайной величины. Свойства дисперсии. Примеры решения задач.

Тема 2.4. Закон больших чисел

Содержание учебного материала: Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Примеры использования теорем при вычислении вероятностей.

Тема 2.5. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики.

Содержание учебного материала: Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения. Плотность распределения вероятностей. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины.

Раздел 3. Элементы математической статистики.

Тема 3.1. Основные понятия математической статистики.

Содержание учебного материала: Генеральная и выборочная совокупность. Ошибка репрезентативности. Вариационный ряд. Относительная частота. Статистическое распределение выборки. Функция распределения выборки. Геометрическая иллюстрация статистического распределения.

Тема 3.2. Среднее значение признака совокупности.

Содержание учебного материала: Генеральная и выборочная средняя. Генеральная и выборочная доля. Среднее геометрическое. Вычисление ошибки репрезентативности.

Тема 3.3. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Содержание учебного материала: Генеральная и выборочная дисперсия. Выборочное среднее квадратическое отклонение. Среднее абсолютное отклонение. Коэффициент вариации. Общая дисперсия.

Тема 3.4. Мода и медиана.

Содержание учебного материала: Понятие моды и медианы. Формулы вычисления для интервального распределения. Примеры.

Тема 3.5. Доверительные интервалы для средних. Выборочный метод.

Содержание учебного материала: Точечная и интервальная оценка. Доверительный интервал. Точность оценки. Выборочный метод. Примеры.

Тема 3.6. Элементы теории корреляции.

Содержание учебного материала: Понятие корреляционной связи между признаками. Форма корреляционной связи. Уравнение регрессии.  Линейная корреляция. Вычисление коэффициента корреляции. Коэффициент регрессии.

Раздел 4.  Основы теории графов

Тема 4.1. Основные понятия теории графов.

Содержание учебного материала: Понятие графа. Виды графов. Элементы графов, маршруты, циклы. Операции над графами. Способы представления графов.

Тема 4.2. Деревья.

Содержание учебного материала: Полные графы и деревья. Связность графа. Планарные и плоские графы. Теорема Эйлера.

Тема 4.3. Задачи на графах.

Содержание учебного материала: Задача коммивояжера, о наименьшем покрытии, о кратчайшем расстоянии, о раскрашивании (общая постановка и принципы решения).

3. Примерный перечень практических занятий:

4. Задания для контрольной работы

Вариант № 1.

1. В урне  3 белых, 4 черных и 5 красных шаров. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?
2. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.
3. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10 000 билетов разыгрывается 100 вещевых и 40 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета
4. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара черные?
5. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наугад вынимается 2 шара. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, если Х – число вынутых белых шаров.
6. Функция распределения случайной  величины X имеет вид:

Найти плотность вероятности φ(х)

Вариант № 2.

1. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны белый шар?
2. В коробке 90 годных и 10 дефектных шурупов. Какова вероятность того, что из 5 взятых наугад шурупов ровно три шурупа окажутся дефектными?
3. Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины: 0,2 и 0,4. Чему равна вероятность поступления к складу хотя бы одной машины.
4. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель для первого стрелка  равна 0,65, для второго – 0,7,для третьего – 0,85. Определить вероятность того, что все три стрелка попадут по мишени.
5. Из урны, содержащей 7 шаров: 4 белых и 3 красных шара, наугад извлекают 3 шара. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, если Х – число вынутых белых шаров.
6. Дана функция распределения случайной величины X:

Найти плотность вероятности φ(х)

Вариант № 3.

1. В урне 5 белых, 4 черных и 6 красных. Какова вероятность вынуть из урны красный шар?
2. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Какова вероятность того, что студент ответит на 2 из трех вопросов в билете?
3. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область – 0,15, во вторую – 0,25. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.
4. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В)— 0,7.
5. Из урны, содержащей 6 шаров: 4 белых и 2 желтых шара, наугад вынимается 3 шара. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, если Х – число вынутых белых шаров.
6. Случайная величина X задана функцией распределения:

Найти: плотность вероятности φ(х)

Вариант № 4.

1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
2. В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что среди первых пяти наугад выбранных билетов два будут выигрышными?
3. Вероятность того, что студент сдаст экзамен равна р=0,75. Найти вероятность того, что студент получит неудовлетворительную оценку.
4. В первом ящике 2 белых и 6 черных шаров, во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?
5. Из урны, содержащей 7 шаров: 5 красных и 2 зеленых шара, наугад вынимается 4 шара. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, если Х – число вынутых красных шаров.
6. Случайная величина X задана функцией распределения:  Найти: плотность вероятности φ(х)

Вариант № 5.

1. В урне  3 белых, 4 черных и 5 красных шаров. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?
2. В коробке 90 годных и 10 дефектных шурупов. Какова вероятность того, что из 5 взятых наугад шурупов ровно три шурупа окажутся дефектными?
3. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область – 0,15, во вторую – 0,25. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.
4. В первом ящике 2 белых и 6 черных шаров, во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?
5. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наугад вынимается 2 шара. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, если Х – число вынутых белых шаров.
6. Дана функция распределения случайной величины X:

Найти плотность вероятности φ(х)

5. Итоговый контроль знаний проводится в форме  дифференцированного зачета.

Вопросы к зачету:

1. Что называется случайным событием и частотой случайного события.
2. Какое событие называется достоверным, невозможным, противоположным? Равносильные  события.
3. Что называется суммой/произведением событий.
4. Какие события называются несовместными? Какие события образуют полную систему событий?
5. Сформулировать классическое определение вероятности.
6. Что называется размещением из N элементов по K элементов.
7. Что называется сочетанием из N элементов по K элементов.
8. Что называется перестановками из N элементов.
9. Сформулировать теорему сложения двух несовместных событий и двух произвольных событий.
10. Что называется условной вероятностью.
11. Сформулировать теорему умножения двух произвольных событий и двух независимых событий.
12. Записать и объяснить формулу полной вероятности.
13. Записать и объяснить формулы Байеса для переоценки вероятностей гипотез.
14. Записать и объяснить формулу Бернулли.
15. Что называется случайной величиной. Закон распределения случайной величины.
16. Что называется математическим ожиданием случайной величины. Основные свойства математического ожидания случайной величины.
17. Что называется дисперсией случайной величины. Основные свойства дисперсии случайной величины.
18. Что называется средним квадратическим отклонением случайной величины.
19. Записать и объяснить неравенство Чебышева.
20. Сформулировать теорему Бернулли.
21. Как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.
22. Что называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Сформулировать свойства плотности распределения.
23. Характеристики непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и  среднее квадратическое отклонение.
24. Что называется выборочной и генеральной совокупностью?
25. Какая выборка называется повторной/ бесповторной? Какая выборка является репрезентативной?
26. Назовите способы отбора.
27. Что называется вариационным рядом?
28. Что называется эмпирической/ теоретической функцией распределения?
29. Что называется полигоном и гистограммой  частот?
30. Какую оценку называют точечной/интервальной? Какой интервал называют доверительным?
31. Что называется коэффициентом вариации? Что такое функциональная, статистическая и корреляционная зависимости?
32. Что называется графом? Элементы графа.
33. Что называется деревом? Что называется лесом?
34. Способы задания графов.
35. Что называется матрицей инцидентности/ смежности?

Критерии оценки:

-  оценка «отлично» выставляется обучающемуся, если  он глубоко и прочно усвоил материал курса, исчерпывающе, последовательно, четко и логически его излагает,  владеет разносторонними навыками и приемами выполнения практических задач;

-  оценка «хорошо» выставляется обучающемуся, если он твердо знает материал курса, грамотно и по существу его излагает, не допуская существенных неточностей в ответе на вопрос, владеет необходимыми навыками и приемами выполнения практических задач;

-  оценка «удовлетворительно» выставляется обучающемуся, если он имеет знание только основного материала, но не усвоил его деталей, допускает неточность, недостаточно правильные формулировки, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, испытывает затруднения при выполнении практических задач;

-  оценка «неудовлетворительно»  выставляется обучающемуся, если он не знает значительной части изученного материала, допускает существенные ошибки, неуверенно отвечает на задаваемые вопросы, с большими затруднениями решает практические задачи или не справляется с ними самостоятельно. 

6. Перечень рекомендуемой литературы

Основные источники: 

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. СПО. / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - 7-е изд, стереотип. – М.: Академия, 2016. – 352 с.

Дополнительные источники:

1. Сергеева И. И. Статистика: Учебник / И.И. Сергеева, Т.А. Чекулина, С.А. Тимофеева. - 2-e изд., испр. и доп. - М.: ИД ФОРУМ: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 304 с. – Режим доступа http://znanium.com
2. Замедлина Е. А. Статистика: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений / Е.А. Земедлина. - М.: ИЦ РИОР: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 160 с. – Режим доступа http://znanium.com