Энергия гармонического колебательного движения
статья

Энергия гармонического колебательного движения

Кинетическую энергию гармонических колебаний можно представить в виде

                         (4.6)

Потенциальная энергия гармонического колебания под действием квазиупругой силы F = – кХ  определяется в виде

          (4.7)

Полную энергию представляем как сумму выражений (4.6) и (4.7) и равную

                                     (4.8)

Таким образом, если пренебречь силами трения, то полная энергия колеблющейся системы остается  постоянной  величиной.

4. 3. Простейшие механические колебательные системы.

        (пружинный, физический и математический маятники)

Колеблющаяся система, описываемая уравнением

                                         (4.9)

называется гармоническим осциллятором.

Гармонический осциллятор служит точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.

Примерами гармонического осциллятора в механике служат пружинный, физический и математический маятники.

Пружинный маятник. Груз массой  m,  прикрепленный к абсолютно упругой пружине с коэффициентом жесткости (упругости)  к,  совершает колебания под действием квазиупругой силы  

Уравнение движения имеет вид

или

                                             (4.10)

Решением уравнения является выражение

                                     (4.11)

где – собственная частота колебаний маятника;  – период колебаний пружинного маятника.

Физический маятник, показанный на рис. 4.3, представляет собой твердое тело, совершающее под действием силы тяжести малые колебания вокруг горизонтальной неподвижной оси (точка О), не проходящей через центр массы тела (точка С).

                    (4.12)

так как для малых  углов

где l – расстояние между точкой подвеса О и центром масс маятника;  – момент инерции относительно оси, проходящей через точку О; ()– момент возвращающей силы, т. е. произведение силы тяжести на плечо.

Перепишем уравнение (4.12) в виде

или

                                        (4.13)

Обозначив

получим

                                         (4.14)

Решение уравнения (4.14) имеет вид

                                   (4.15)

Таким образом, при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой  ω0  и периодом, равным

                                    (4.16)

Математический маятник – идеализированная система, состоящая из материальной точки массой  m, подвешенной на нерастяжимой и невесомой нити длиной  l,  и колеблющаяся под действием силы тяжести.

Момент инерции математического маятника определяется как

                                           (4.17)

Математический маятник можно рассматривать как частный случай физического маятника, предположив, что вся масса физического маятника сосредоточена в центре масс.

Тогда, подставив в (4.16) выражение для момента инерции, получим период колебаний математического маятника в виде

                                          (4.18)

4. 4. Сложение гармонических колебаний

Сложение колебаний одного направления.

Сложим колебания одного направления и одинаковой частоты (рис. 4.4).

.                                  (4.19)

Так как векторы  и  вращаются с одинаковой частотой  ω0,  то разность фаз двух колебаний будет оставаться постоянной, т.е. ϕ2 – ϕ1 = const. Уравнение результирующего колебания будет иметь вид

                         (4.20)

где А – амплитуда результирующего колебания, равная:

                         (4.21)

В зависимости от разности фаз имеем

1)

2)

Биение. Для практики особый интерес представляет случай, когда складываются два колебания одного направления, которые мало отличаются по частоте. В результате сложения получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой, которые называются  биениями.

Рассмотрим  два колебания с равными амплитудами и начальной фазой, равной 0

                                         (4.23)

                                (4.24)

Так как различие частот двух колебаний незначительно , то получим

                        (4.25)

а выражение, стоящее в скобках, практически не изменится, пока сомножитель    совершит несколько полных колебаний.

Поэтому результирующее колебание X можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой  и переменной амплитудой  (рис.4.5).

                                           (4.26)

Метод биений часто используется для сравнения измеряемой частоты с эталонной при настройке музыкальных инструментов.

Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим сложение колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей x и y.

Начальная фаза первого колебания    а начальная фаза второго колебания    

.                                  (4.27)

Уравнение траектории результирующего колебания имеет вид

                         (4.28)

Это уравнение эллипса, оси которого произвольно ориентированы относительно координатных осей (x, y). Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называют эллиптически поляризованными.

Рассмотрим несколько частных случаев.

1) Частоты одинаковы, начальные фазы отличаются на mπ,  т. е. , где  (m = 0, ±1, ±2...). В этом случае эллипс превращается в прямую, , где знак (+) соответствует нулю и чётным значениям  m (рис. 4.6а), знак (–) – нечётным  m  (рис. 4.6б).

Результирующее колебание является гармоническим с частотой    и амплитудой, равной  ,  и происходит вдоль прямой составляющей угол  φ  с осью  X .

2) Частоты колебаний одинаковы. Фазы отличаются на число, кратное π/2.

где  (m = 0, ± 1, ± 2...

Результирующее колебание в этом случае происходит по эллипсу

а при равенстве амплитуд – по кругу.

3) Если частоты складываемых взаимоперпендикулярных колебаний различны, то траектория результирующего колебания довольно сложна. Эти траектории называются фигурами Лиссажу. В зависимости от соотношения частот и разности фаз меняется форма кривых Лиссажу.

В измерительной технике фигуры Лиссажу широко используются для измерения соотношений частот и разности фаз складывающихся колебаний.