Тема. «Объёмы многогранников». Методическое пособие по решению задач для студентов 2 курса СПО. Дистанционная форма обучения.
методическая разработка
В данной методической разработке приведены формулы и разобраны примеры решения традиционных задач на вычисление объёмов многогранников. Методическая разработка предназначена для студентов СПО, находящихся на дистанционной форме обучения. Также эта разработка может быть полезна преподавателям математики учреждений системы СПО для организации подготовки студентов к контрольной работе по данной теме.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 534.22 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема. «Объёмы многогранников».
Методическое пособие по решению задач для студентов 2 курса СПО.
Дистанционная форма обучения.
1. Теоретический материал.
Вид многогранника | Формула объёма |
1. Призма
| V=Sосн H |
2. Прямоугольный параллелепипед
| V=abc |
3. Куб
| V=a3 |
4. Пирамида
| V=Sосн H |
5.Усеченная пирамида
| V=h |
2. Решение задач.
Задача № 1
Найдите объем прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 25 и 60, и боковым ребром, равным 25.
| Дано: АВСДА1В1С1Д1 - прямая четырехугольная призма АС = 60; ВД = 25; АА1 = 25 Найти: V призмы Решение V призмы = Sосн H; Н=АА1 АВСД - ромб, следовательно Sосн = ; Sосн = ; V призмы = 75025=18750 Ответ. 18750 |
Задача № 2
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 8 и 15, боковое ребро равно 9. Найдите объем призмы.
Дано: АВСА1В1С1 - прямая треугольная призма. АВС - прямоугольный; АС и ВС - катеты АС = 15; ВС = 8; АА1 = 9 Найти: V призмы V призмы = Sосн H; Н=АА1 АВС - прямоугольный треугольник, следовательно Sосн = ; Sосн = ; V призмы = 609=540 Ответ. 540 |
Задача № 3.
В основании наклонной треугольной призмы лежит треугольник со сторонами 14; 12 и 12. Боковое ребро равно 6 и наклонено к плоскость основания под углом 30. Найти объём призмы.
Дано: АВСА1В1С1 - наклонная треугольная призма. АС = 12; ВС = 12; АВ = 14; СС1 = 6; С1СО=30. Найти: V призмы V призмы = Sосн H; ОСС1 - прямоугольный треугольник, так как С1О плоскости АВС; С1СО = 30; С1О = С1С sin 30= 6= 3 Н=ОС1 = 3 Sосн = ; р=; р =; Sосн = V призмы = Ответ. 21 |
Задача № 4.
Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.
Дано: прямоугольный параллелепипед; а=4; в=6; с=9. Vп.п = Vк Найти : d Решение: Vп.п =авс; Vп.п = 469=216; Vк = d3; d3 = 216; d = Ответ. 6 |
Задача № 5
От треугольной пирамиды, объем которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
Дано: VSАВС = 34; SМN - сечение SАВС MN - средняя линия треугольника АВС Найти: VSMNC Решение: Так как MN - средняя линия треугольника АВС, то MN = АВ , поэтому АВС подобен MNC. Коэффициент подобия к=2, следовательно ; 22; 4; Так как высоты пирамид SАВС и SMNC совпадают, то VSMNC = VSАВС : 4= 34:4=8,5 Ответ. 8,5 |
Задача № 6
Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
Дано: SABCD - пирамида; ABCD - прямоугольник; АВ=3; ВС = 4; VSABCD = 16 Найти: H Решение: V=Sосн H; VSABCD = SАВСDH; SАВСD = АВВС; SАВСD = 34=12; 16=; 4Н=16; Н=4 Ответ. 4 |
Задача № 7
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6см, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти объем пирамиды.
Дано: SABCD - правильная четырехугольная пирамида; АВ=6см; SKO=60° Найти: VSABCD Решение: VSABCD =Sосн H; Sосн = AB2; Sосн = (6)2 = 363=108(см2) SKO - прямоугольный треугольник, так как SO - высота пирамиды; SKO - линейный угол двугранного угла при основании пирамиды SABCD, следовательно SKO = 60; ОК=АВ; ОК=6=3(см) ; SO=OKtg60°=3=9(cм); Н=SО = 9см; VSABCD =108 9=324(см3) Ответ. 324 см3 |
Задача № 8
Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6см и 8см. Все боковые ребра равны 13 см. Найти объём пирамиды.
Дано: SABCD - пирамида; ABCD - прямоугольник; АВ=6см; ВС = 8си; SA=SB=SC=SD=13cм. Найти: VSABCD Решение: VSABCD =Sосн H; SАВСD = АВВС; SАВСD = 68=48(см2) АВС - прямоугольный, по теореме Пифагора АС2 = АВ2 + ВС2 ; АС2 = 62 + 82 =100; АС=10; AO=5см SO АВСD, поэтому SАO прямоугольный, по теореме Пифагора SO2 = АS2 - AO2 ; SO2 = 132 - 52 =169-25=144; SO=12см Н=SO VSABCD =48 12=192(cм3) Ответ. 192см3 |
Задача № 9
Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны
2см, а объем равен см3.
Дано: SABC-правильная треугольная пирамида; АВ=2см; VSABC = см3 Найти: Н Решение: VSABC =Sосн H; АВС - правильный, поэтому SABC = ABACsin600; SABC = 22sin600=2(см2); =Н; Н=(см) Ответ. 3 |
Задача № 10
Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 3см и 5см. Найдите объем пирамиды, если ее боковое ребро равно 2см и наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов.
Дано: ABCDA1B1C1D1-правильная усеченная четырехугольная пирамида; АВ=5см; A1B1 = 3 см; DD1 = 2см; D1F(ABCD); D1DF=600 Найти: V Решение: V=h S1 =; S2 =; h = D1F =АВ2; = 52 = 25(см2) =А1В12; = 32 = 9(см2); D1DF - прямоугольный, поэтому D1F= D1Dsin600; D1F = 2sin600=2(см); V=(cм3) Ответ. 49 см3 |
Задания для самостоятельного решения
1. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .
2. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.
4. Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12см и углом 60º. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найти объем призмы.
5. В кубе AD1 через середину ребер АВ, DС и вершину D1 проведено сечение. Найдите объем куба, если площадь этого сечения равна .
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Учебно-методическое пособие "Графическое решение задач линейного программирования"
Данное учебное пособие написано на основе занятий, проводимых автором в течение 5 лет в Санкт-Петербургском техническом колледже для студентов направления «Гостиничный сервис». В пособии рассматривают...
![](/sites/default/files/pictures/2017/01/19/picture-704254-1484844436.jpg)
Методическое пособие к решению задач по дисциплине "Техническая механика"
Методическое пособие к решению задач предназначено для студентов строительных специальностей всех форм обучения, как вспомогательное пособие при выполнении ими самостоятельных работ и для ...
![](/sites/default/files/pictures/2014/10/12/picture-478220-1413101389.jpg)
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по решению контрольных заданий для обучающихся по заочной форме обучения по предмету «Элементы математической логики» Специальность: 09.02.04 «Информационные системы»
Методические указания по решению контрольных заданий для обучающихся по заочной форме обучения по предмету «Элементы математической логики», специальность 09.02.04 «Информационные системы»...
![](/sites/default/files/pictures/2017/05/15/picture-924945-1494870071.jpg)
Методические указания и контрольные задания для студентов очной и заочной формы обучения по курсу: Основы электротехники, Электротехника и электронная техника для специльностей 35.02.08 Электрификация и автоматизация с/х и 35.02.07 Механизация с/х
АннотацияМетодические указания по дисциплине «Основы электротехники», «Электротехника и электронная техника» содержат четыре основных раздела курса. В каждом разделе даны краткая теория и примеры реше...
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИПО ПРОХОЖДЕНИЮ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРАКТИКИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ ПМ. 03. «Организация занятий по основным общеобразовательным программам дошкольного образования»
Рассмотрено и рекомендовано к изданию на заседании методического Совета колледжа (Протокол №10, от 17 июня 2015г.) Составитель: Л.А.Елизарова Методи...
![](/sites/default/files/pictures/2020/10/17/picture-1276299-1602934684.jpg)
Тема. «Объёмы тел вращения». Методическое пособие по решению задач для студентов 2 курса СПО. Дистанционная форма обучения.
В данной методической разработке приведены формулы и разобраны примеры решения традиционных задач на вычисление объёмов тел вращения. Эта разработка предназначена для студентов СПО, находящихся на дис...
![](/sites/default/files/pictures/2015/02/15/picture-593939-1424003785.jpg)
Методические рекомендации "Итоговая аттестация по учебной дисциплине ПСИХОЛОГИЯ ОБЩЕНИЯ" (дистанционная форма обучения)
Данные Методические рекомендации могут быть полезны учащимся колледжа при подготовке к итоговой аттестации по учебной дисциплине ПСИХОЛОГИЯ ОБЩЕНИЯ....