Предел функции и непрерывность
учебно-методическое пособие
Учебное пособие "Предел функции и непрерывность"
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 583.12 КБ |
Предварительный просмотр:
Предел функции и непрерывность
Учебное пособие по предмету
ЕН.01 Математика
Введение.
Теория пределов – одна из древнейших в истории математики, на протяжении многих веков занимавшая умы ученых. Знакомство с ней произошло еще в древности. Еще в 3 в. до н.э. Архимед вычислял площади криволинейных фигур с помощью метода «исчерпывания». Впоследствии ею интересовались такие ученые, как Г. Галилей, И. Кеплер, Ф. Паскаль, И. Ньютон. Но только сравнительно недавно, в 19 веке, эта теория приобрела стройность и форму, тот вид, с которым мы с ней знакомы по сей день.
Данное учебное пособие поможет читателю узнать суть и понятие пределов, их свойства и специфику, понятие непрерывности, а так же методы вычисления пределов.
2
Оглавление:
Введение…………………………………………………………………………2
Глава 1. Теория пределов……………………………………………………….4
Предел переменной и функции…………………………………...…...4
Односторонние пределы…………………………………………….....5
Непрерывные функции и точки разрыва…………………………..…7
Глава 2. Вычисление пределов……………………………………………..…11
Вычисление пределов в точке и на бесконечности при наличии неопределенностей…………………………………………………………..….11
Замечательные пределы…………………………………………….….13
Тест «Проверь себя»…………………………………………………………….15
Список литературы……………………………………………………………...17
3
Глава 1. Теория пределов.
- Предел переменной и функции.
Опр.1. Пусть х – переменная величина. Будем говорить, что х стремится к а или предел х равен а, если модуль разности |x-a| сколь угодно мал.
Обозн. или .
Замечание. или означает, что, какое бы мы ни выбрали положительное число, значение х всегда будет больше этого числа.
Опр.2. Пусть дана функция y=f(x). Говорят, что предел функции в точке а равен числу b, если при всех х, достаточно близких к а, значения функции сколь угодно близки к b.
Обозн. .
Свойства пределов функций.
А. Если предел функции существует, то он единственный.
Б. Предел суммы двух и более функций в точке а равен сумме пределов этих функций в точке а, если они существуют.
4
В. Предел произведения двух и более функций в точке а равен произведению пределов этих функций в точке а, если они существуют.
Г. Предел частного функций в точке а равен частному пределов этих функций в точке а, если они существуют и если предел знаменателя не равен нулю. , при
Д. Правило сжатой переменной: Если и и дана функция , т.ч. , то
Задание 1.1.1. По рисункам определить значение предела в точке а.
- Односторонние пределы.
Пусть дана функция y=f(x), область определения которой обозначим , и точка .
Обозначим множества и .
5
Опр.3. Предел функции в точке на множестве назовем пределом функции в точке справа, а предел функции в точке на множестве назовем пределом функции в точке слева.
Пределы справа и слева называются односторонними пределами.
Обозн. и .
Теорема1 (б/д). Если существуют оба односторонних предела в точке и они равны, то существует предел функции в точке , равный их общему значению.
Теорема2 (б/д). Если хоть один из односторонних пределов функции в точке не существует, или же односторонние пределы функции в точке не равны, то предел функции в точке не существует.
- Примеры
- , ,
- , ,
- , , не существует.
6
- , , не существует.
- , , не существует.
- , ,
- Непрерывные функции и точки разрыва.
Опр.4. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если существует предел функции в этой точке, равный значению функции в ней.
Опр.5. Функция f(x) называется непрерывной на множестве (отрезок, интервал, луч, прямая), если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Свойства непрерывных функций.
А.Сумма двух и более функций, непрерывных в точке а – непрерывная в точке а функция.
Б.Произведение функций, непрерывных в точке а – непрерывная в точке а функция.
В.Частное функций, непрерывных в точке а – непрерывная в точке а функция при условии, что значение функции-знаменателя в точке а не равно нулю.
7
Опр.6. Говорят, что функция f(x) разрывна в точке а , если она не является непрерывной в ней.
Функция разрывна в точке а, если:
- Хоть один из односторонних пределов в точке а не существует;
-Существуют оба односторонних предела в точке а , не равные между собой;
- Существуют оба односторонних предела в точке а , равные между собой, но не равные значению функции в точке а .
Разрывные функции бывают двух видов.
- Разрыв 1 рода. (Если существуют оба односторонних предела в точке а). Этот вид разрыва делится на
- Устранимый (существуют конечные односторонние пределы в точке а , равные друг другу)
- Неустранимый (существуют конечные односторонние пределы в точке а , не равные друг другу или хоть один из односторонних пределов функции в точке а бесконечен)
- Разрыв 2 рода( хоть один из односторонних пределов функции в точке а не существует).
- Примеры
8
- Разрыв 1 рода, устранимый.
- Разрыв 1 рода, неустранимый.
- Разрыв 1 рода, неустранимый.
9
1.3.2.Задание
Построить графики функций и указать вид разрыва.
- Замечание. Данная функция называется (знак х).
10
Глава 2. Вычисление пределов.
2.1.Вычисление пределов в точке и на бесконечности при наличии неопределенностей.
Задание 2.1.1. Вычислить предел
Замечание. Положим . В самом деле, если х стремится к бесконечности, знаменатель неограниченно растет, а значит, дробь неограниченно уменьшается, т.е. приближается к нулю.
Решение. Если необходимо вычислить предел частного двух многочленов, выносим из числителя и знаменателя переменную в наибольшей общей степени.
. Далее, сокращая вынесенные множители и полагая по предыдущему замечанию, , получаем
Задание 2.1.2. Вычислить предел .
Подставляя вместо х число 2, получаем неопределенность . Разложим числитель и знаменатель на множители.
11
Задание 2.1.3. Вычислить предел
Подставляя вместо х число -1, получаем неопределенность . Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное иррациональности.
=
2.1.4. Задания для самостоятельной работы.
12
2.2. Замечательные пределы.
Существуют пределы, значение которых помогает решать широкий спектр задач. Приведем некоторые из них.
Положим без доказательства:
Задание 2.2.1. Вычислить предел . По свойствам пределов и приведенным выше формулам, получаем
Задание 2.2.2. Вычислить предел
2.2.3. Задания для самостоятельной работы:
13
14
2.3. Тест «Проверь себя»:
- Какая из перечисленных функций не является непрерывной?
А. 1 и 3 Б. 2 и 4 В. 2 Г. Все непрерывны
- Среди данных указать функцию, имеющую разрыв 1 рода, устранимый.
А. 1 и 5 Б. 2 и 5 В. только 5 Г. Только 1 Д. 3 и 5
- Вычислить предел последовательности:
А. -1 Б. В. 1 Г. 0
- Про какую (какие) из функций известно: , ,
15
А. 1 Б. 2. В. 1 и 2 Г. 1 и 3 Д. 3 и 5 Е. 2 и 5
- У каких из функций есть неустранимый разрыв?
А. 2 Б. 3 В. 4 Г. 1 и 4 Д. 2 и 4 Е. 1, 2, 4 Ж. У всех.
- Предел равен…
А. 3/5 Б.5/3 В. 9/25 Г. 25/9
16
Список используемой литературы:
Основные источники:
- Балдин К.В., Башлыков В.Н., Рукосуев А.В. Высшая математика, Москва, 2010.
- Шамолин М.В. Высшая математика, М., 2008
- Кремер Б.А. Высшая маематика, М., 2007
- Баврин И.И. Высшая математика, М, 2010
- Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.:Айрис-пресс, 2006
- Абчук В. А. Математика для менеджеров и экономистов: Учебник/ В. А. Абчук ; Соот. ГОСТУ. -СПб: Изд-во Михайлова В. А. , 2002. (Высшее профессиональное образование)
- Лисичкин В. Т. Математика : учебник/ Лисичкин В. Т.; Рек. Мин. образования РФ. -М: Высшая школа, 2003
- Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник : рекомендовано Мин.образования/ ред. Ермаков В. И.. -М, 2004.
- Сборник задач по высшей математике для экономистов. Учебное пособие. : рекомендовано Мин.образования/ ред. Ермаков В. И.. -М, 2004.
- Солодовников А. С.Солодовников А. С. Математика в экономике: Учебник.: в 2-х т. Ч 1.2/ Солодовников А. С., Бабайцев В. А.; Рек. Мин. образования РФ. - М, 2001.
Дополнительные источники:
- Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980
- Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа, под ред. Яковлева Т.Н., ч. 1 и 2, М., 1987 г.
17
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2013/07/01/picture-268860-1372704365.jpg)
Учебное пособие "ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ"
Данное учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов2 курса. Пособие составлено в соответствии с рабочей программой учебнойдисциплины «Математика» по специальностям 080114, 100701. Учеб...
![](/sites/default/files/pictures/2013/12/14/picture-367205-1386966897.jpg)
"Предел функции и непрерывность"
Методическое пособие по предмету "Высшая математика", разделу "Пределы", на тему "Предел функции и непрерывность", содержащее теоретический материал, иллюстрации, примеры и итоговый тест....
![](/sites/default/files/pictures/2013/08/29/picture-286876-1377778811.jpg)
Методическая разработка по предмету ЕН.01 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ по теме: «Предел функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы».
Тип занятия: комбинированный.Формы занятия: индивидуальная.Оборудование: проектор, компьютер, доска, рабочие тетради.Продолжительность занятия: 90 мин.Цели занятия:Дидактическая цель. Познакомить обуч...
![](/sites/default/files/pictures/2015/04/17/picture-552964-1429254346.jpg)
Методическая разработка по учебной дисциплине «Математика». " Дифференциальное исчисление. Функции. Предел функции".
Дифференциальное исчисление это раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Методы математического анализа нашли применение ...
![](/sites/default/files/pictures/2020/08/26/picture-1263828-1598427064.jpg)
Презентация к занятию на тему "Предел последовательности, предел функции"
Для проведения занятий по математике студентов 2 курса...
Нахождение пределов функций с помощью замечательных пределов
Практическая работа "Нахождение пределов функций с помощью замечательных пределов"...
Вычисление пределов функции с использованием 1-го и 2-го замечательного предела.
Вычисление пределов функции с использованием 1-го и 2-го замечательного предела....