Наибольшее и наименьшее значение функции.
план-конспект урока

Опубликовано 07.01.2023 - 15:27 - Филипова Елена Константиновна

1) Находим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку.

Ловите ещё одну плюшку: здесь отпадает необходимость проверять достаточное условие экстремума, поскольку, как только что было показано, наличие минимума или максимума ещё не гарантирует, что там минимальное или максимальное значение. Демонстрационная функция достигает максимума и волей судьбы это же число является наибольшим значением функции на отрезке[a.b] . Но, понятно, такое совпадение имеет место далеко не всегда.

Итак, на первом шаге быстрее и проще вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, не заморачиваясь есть в них экстремумы или нет.

2) Вычисляем значения функции на концах отрезка.

3) Среди найденных в 1-м и 2-м пунктах значений функции выбираем самое маленькое и самое большое число, записываем ответ.

Скачать:

Вложение	Размер
13.12.22_naibolshee_i_naimenshee_znachenie_funktsii.docx	37.98 КБ
13.12.22_naibolshee_i_naimenshee_znachenie_funktsii.ppt	2.07 МБ

Предварительный просмотр:

ОТКРЫТЫЙ УРОК

тема: «Наибольшее и наименьшее значение функции»

Разработала: Филипова Елена Константиновна,

преподаватель математики

Владикавказ

2022г.

Тип урока: урок изучения нового материала с использованием ИКТ.

Методы урока: репродуктивный, частично-поисковый.

Внутрипредметные связи: с темами: «Свойства непрерывных функций», «Исследование функции с помощью производной».

Вид занятия: Применение знаний, умений и навыков.

Виды контроля знаний и умений: предварительный, текущий, тематический.

Оборудование и материалы для урока: ПК, проектор, доска, презентация для сопровождения урока, карточки.

Цель: познакомить учащихся с приемами нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке.

Задачи.

Образовательная - повторить необходимые и достаточные условия существования точек экстремума, понятия: стационарная и критическая точка; вывести алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, формировать умения решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции.

Развивающая – развивать познавательный интерес обучающихся, умение исследовать, выделять главное, сравнивать, анализировать, делать выводы.

Воспитательная – воспитывать умения работать в сотрудничестве в парах и группе, оценивать работу товарища.

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют, приобретут, закрепят, ученики в ходе урока:

- овладение практическими умениями и навыками по теме “Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке”

- умение устанавливать причинно-следственные связи, выделять главное, обобщать, систематизировать;

- формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом;

- формирование навыков самоконтроля.

Структура урока.

Орг. момент. (1-2 мин)
Актуализация знаний. (5-6 мин)
Мотивационно-целевой этап. (5-6 мин)
Изучение нового материала. Первичное осмысление (7-8 мин).
Закрепление изученного материала. (15-17 мин)
Рефлексия. Определение домашнего задания (5 мин)

Ход урока

«В мире не происходит ничего,

в чем бы ни был виден смысл

какого-нибудь максимума или минимума!»

Леонард Эйлер

1. Орг. момент.

Приветствие. Эпиграф к уроку (слайд 1).

2. Актуализация знаний.

Устная работа (слайды 2-6). Повторение материала, изученного на предыдущих уроках. Фронтальная работа. Учитель обращает внимание обучающихся на существенное различие понятий максимума (минимума) функций и наибольшего (наименьшего) значений.

3. Мотивация.

С некоторыми из таких задач мы познакомимся на следующих уроках. Чтоб успешно решать такие задачи необходимо уметь находить наибольшее и наименьшее значения заданных функций на заданном промежутке.

Постановка обучающимися темы и целей урока (слайды 7-10).

4. Изучение нового материала.

Давайте рассмотрим различные варианты поведения, непрерывной на отрезке функции, и попытаемся определить, в каких точках она достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

Обсуждение в группах по предложенному плану. Обмен мнениями. Фиксация выводов.

План обсуждения слайдов.

Что можно сказать о монотонности функции на отрезке [a; b]?
В какой точке функция достигает своего наибольшего значения?
В какой точке функция достигает своего наименьшего значения?
Чем можно сказать о данных точках отрезка [a; b]?
Какой вывод можно сделать?

А) Функция возрастает (убывает) на отрезке.

(слайд 11)

Б) Функция имеет на отрезке [a; b] единственную точку экстремума.

(слайд 12)

В) Функция имеет несколько точек экстремума на отрезке [a; b].

(слайд 13)

Г) Анализ всех рассмотренных случаев, установление закономерности нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Беседа по слайду:

Где функция может достигать своего наибольшего (наименьшего) значения на отрезке?
Какой общий подход к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке можно применить?

(слайд 14)

Выводы:

1. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] имеет лишь одну точку, и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

2. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] не имеет критических, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает одном конце отрезка, а наименьшее – на другом.

3. Если на отрезке [а; b] функция имеет несколько критических точек, то своего наибольшего (наименьшего) значения она достигает либо на концах этого отрезка, либо в критических точках, лежащих на данном отрезке.

3) Составление алгоритма.

(слайды 15-16)

5. Закрепление изученного материала.

А) Решение упражнения. Ученики у доски с комментированием.

Подведение мини-итога, повторение алгоритма.

Проверка через мультимедийный проектор. (слайды 17-19.)

Б) Применение алгоритма нахождения наибольшего наименьшего значения функции при решении задач ЕГЭ (12 задания из профильной математики)

Вводное слово учителя: ребята, мы уже говорили о большой практической значимости данной темы. Традиционно задачи, связанные с нахождением наибольшего и наименьшего значения функции, на отрезке включаются в ЕГЭ. Давайте попробуем применить полученные знания при решении задач. Самостоятельно с последующей проверкой.

Задача 1. Найти наибольшее значение функции:

на отрезке [3; 10].

Задача 2. Найти наибольшее значение функции:

Задача 3. Найти наименьшее значение функции:

Задача 4. Найти наибольшее значение функции:

Проверка через мультимедийный проектор. (слайды 20-23).

В) Математическое моделирование.

(слайды 23-28)

Задача 1. Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м2. Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром.

Задача 2. Кусок проволоки 48 метров сгибают так, чтобы получился прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Решение: Пусть длина- а см. ширина –в см. Тогда периметр 2(а+ в) а по условию 48 см. Площадь а· в полупериметр а+ в=24 см Чтобы перейти к функции , вводим новое обозначение : длина х см, ширина 24-х см, тогда площадь х(24-х)=24х-х2 должна быть наибольшей. Применяем заданный алгоритм (24х-х2)1=24-2х 24-2х=0 х=12, критическая точка

Находим значения функции при х=0, х=1, и х=48 (на концах промежутка 0,48) f(0)=0 f(12)=144 f(48)= -1152: площадь будет наибольшей , если стороны равны по 12 см данный прямоугольник -квадрат.

Рефлексия. Определение домашнего задания.

(слайды 29-30)

Учитель предлагает учащимся обсудить урок и свою деятельность при постановке учебной задачи, планировании, изучении нового материала, обращая внимания на следующие моменты:

1.Каковы ваши главные результаты, что вы поняли, чему научились?

2.Способы, которые использовались в ходе вашей учебной деятельности для достижения цели урока?

3.Какие чувства испытывали во время урока?

4.Пережили ли вы чувство радости, успеха?

5.С каким настроением вы уходите с урока?

Дома предлагается выполнить задания:

Уровень «А»: №5.10, № 5.11

Уровень «В»: № 5.12

Уровень «С»: № 5.13

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Слайд 1

Урок в 11 А классе 13.12.2022 год Учитель :Филипова Е. К. .

Слайд 2

« В мире не происходит ничего, в чем бы ни был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума!» Леонард Эйлер

Слайд 3

Функция у = f( х ) определена на отрезке [ - 6;3]. График её производной изображен на рисунке. Определите промежутки возрастания и убывания функции f(x) .

Слайд 4

Функция у = f( х ) определена на отрезке [ -5 ; 4 ]. График её производной изображен на рисунке. Определите точки максимума и минимума функции f(x) .

Слайд 5

Функция у = f( х ) определена на отрезке [ - 5;4]. График её производной изображен на рисунке. Определите сколько существует точек на графике функции f( х ) , касательные в которых параллельны прямой y = 5 – 2x .

Слайд 6

у х 0 -7 6 5 4 2 -5 у наиб. = 4 [-5; 6] у наиб. = 5 [-7; 6] 1 1

Слайд 7

у х 0 -7 6 у наим . = - 3 [- 7 ; 4 ] у наим. = - 4 [-7; 6] -3 - 2 4 -4

Слайд 8

Найти наибольшее и наименьшее значения функции по её графику

Слайд 9

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

Слайд 10

° ВЫВЕСТИ АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ. ° РЕШАТЬ ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ. Цели урока:

Слайд 11

Если функция f(x) возрастает (убывает) на [a;b] , то наибольшего или наименьшего значения она достигает на концах этого отрезка .

Слайд 12

Если функция у = f(х) на отрезке [ а ; b ] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение fmax = f наиб. fmin = f наим.

Слайд 13

Наибольшего (наименьшего) значения непрерывная на [ а ; b ] функция достигает либо на концах отрезка , либо в критических точках , лежащих на этом отрезке.

Слайд 14

Проанализируйте все рассмотренные случаи. В каких точках функция достигает наибольшего (наименьшего) значений?

Слайд 15

Выводы 1.Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений. 2.Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него. 3.Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в критической точке.

Слайд 16

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у = f(x) на отрезке [a;b] 1 . Найти производную f´( х) 2. Найти критические точки функции, лежащие внутри o трезка [a;b] 3. Вычислить значение функции у= f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b . Выбрать среди этих значений наименьшее ( это будет у наим )и наибольшее (это будет у наиб )

Слайд 17

Этапы 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x 2 – 27 2) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 x = 3 [0; 4] x = –3 [0; 4] y (4) = 4 3 – 27 4 = – 44 y ( 3 ) = 3 3 – 27 3 = – 54 3 х 1 0 х - 5 4 3) y (0) = 0 Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.

Слайд 18

Этапы 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x 2 – 27 2) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 y ( 3 ) = 3 3 – 27 3 = – 54 3 х 1 0 х - 5 4 3) Другой способ решения + + – x y \ y -3 3 0 4 min Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. Этот способ будет удобно вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.

Слайд 19

x = – 1 [ -2 ; 0 ] Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 1) y (0) = 4 y (-2) = (-2) 3 – 3 (-2) +4 = 2 2) y / = 3x 2 – 3 = 3(x 2 – 1 ) = 3(x – 1 )(x + 1 ) x = 1 [ -2 ; 0 ] y (-1) = (-1) 3 – 3 (-1) + 4 = 6 3 х 1 0 х 6 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. 1 -1 Найдите наибольшее значение функции y = x 3 – 3 x + 4 на отрезке [ – 2 ; 0 ] 2.

Слайд 20

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 3 ; 10 ] 3. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка . 3 х 1 0 х 1 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. x = 7 [ 3 ; 10 ]   / / / uv v u uv   1). Первое число меньше 1, т.к. знаменатель e 4 > 5 . 2). Второе число – отрицательно e. 3). Значит, наибольшее число 1. 7 1

Слайд 21

– + x y \ y -5 -4 – + Найдите наибольшее значение функции y = ln(x+5) 5 – 5x на отрезке [-4,5; 0] 3 х 1 0 х 2 0 4. -4,5 0 max Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.   / 1 lnx  x y = 5ln(x+5) – 5x 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее. x = -4 [-4,5; 0] 0 Можно рассуждать иначе Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде

Слайд 22

Функция на всей области определения убывает. Нетрудно догадаться, что у / < 0 . Тогда наименьшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0. 3 х 1 0 х 9 Найдите наименьшее значение функции y = 5 cosx – 6x + 4 на отрезке 5. 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.   / cosx  – sinx 1 0 Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наименьшее.

Слайд 23

3 х 1 0 х 5 Найдите наибольшее значение функции y = 3 tgx – 3 x + 5 на отрезке 6. 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок   / tgx  cos 2 x 1 0 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений сделаем выбор наибольшего. -1 0

Слайд 24

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач на нахождение наилучших , оптимальных решений при наименьших затратах труда, в так называемых задачах на оптимизацию. ПРИМЕР. Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м 2 . Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром

Слайд 25

Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м 2 . Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром

Слайд 26

Из всех прямоугольников с площадью 9 м 2 ,найти прямоугольник, периметр которого наименьший. 1. S= a*b = 9 ( м 2 ) Р =( a+b)*2 (м) х - ширина прямоугольника 9./х – длина прямоугольника Р= ( х+9/х) * 2 2. 3. Рассмотрим функцию у=( х+9/х) * 2 х>0

Слайд 27

Найдем наименьшее значение по известному алгоритму Ответ: шит имеет форму квадрата со стороной 3м

Слайд 28

Задача 2 . Кусок проволоки 48 метров сгибают так, чтобы получился прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Слайд 29

Решение: Пусть длина- а см. ширина –в см. Тогда периметр 2(а+в) а по условию 48 см. Площадь а*в полупериметр а+в=24 см Чтобыперейти к функции , вводим новое обозначение : длина х см, ширина 24-х см, тогда площадь х(24-х)=24х-х 2 должна быть наибольшей. Применяем заданный алгоритм 24х-х 2 ) 1 =24-2х 24-2х=0 х=12 критическая точка Находим значения функции при х=0 х=12 и х=48 ( на концах промежутка 0,48) f (0)=0 f (12)=144 f (48)= -1152: площадь будет наибольшей , если стороны равны по 12 см данный прямоугольник -квадрат.

Слайд 30

Рефлексия. 1.Каковы ваши главные результаты, что вы поняли, чему научились? 2.Способы, которые использовались в ходе вашей учебной деятельности для достижения цели урока 3.Какие чувства испытывали во время урока? 4.Пережили ли вы чувство радости, успеха? 5.С каким настроением вы уходите с урока?

Слайд 31

Домашнее задание Уровень «А»: № 5.10 ,№ 5.11 Уровень «В»: № 5.12 Уровень «С»: № 5.13

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО УРОКА ПО ПРЕДМЕТУ “МАТЕМАТИКА” ПО ТЕМЕ: НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Автор-составитель: преподаватель математики Козырева Татьяна Александровна Краснодар, 2014г.

Разработка урока составлена в соответствии с программой по математике ( по учебнику А. Н. Колмогоров и др. „ Алгебра и начало анализа ” 10 – 11кл. Урок по теме: „ Нахождение наибольшего и наимень...

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО УРОКА ПО ПРЕДМЕТУ “МАТЕМАТИКА” ПО ТЕМЕ: НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Автор-составитель: преподаватель математики Козырева Татьяна Александровна Краснодар, 2014г.

Методическая разработка по предмету математика: алгебра по теме: «Значения тригонометрических функций. Решение простейших тригонометрических уравнений».

Тема: Значения тригонометрических функций. Решение простейших тригонометрических уравнений.Тип: урок по изучению нового материалаЦель урока: вычисление значений тригонометрических функций, изучение ме...