Методическая разработка по предмету математика: алгебра по теме: «Значения тригонометрических функций. Решение простейших тригонометрических уравнений».
методическая разработка по теме

Методическая разработка

по предмету ЕН.01

 математика: алгебра

по теме:

«Значения тригонометрических функций. Решение простейших тригонометрических уравнений».

Преподаватель математики:

Т.Н. Рудзина

Москва

2015 г.

Тема: Значения тригонометрических функций. Решение простейших тригонометрических уравнений.

Тип: урок по изучению нового материала

Цель урока: вычисление значений тригонометрических функций, изучение метода решения простейших тригонометрических уравнений, повторение изученного ранее

Структура урока

Организационный момент

        Домашнее задание 19(3,6), 20(2,4)

        Постановка цели

Актуализация опорных знаний

        Свойства тригонометрических функций

        Формулы приведения

Новый материал

        Значения тригонометрических функций

        Решение простейших тригонометрических уравнений

Закрепление

        Решение задач

Цель урока: сегодня мы будем вычислять значения тригонометрических функций и решать простейшие тригонометрические уравнения

АОЗ

Вызов двух студентов к доске. Задание:

Устный опрос:

В: Какие из тригонометрических функций являются четными, какие нечетными:

О: Косинус – четная, синус, тангенс, котангенс – нечетные

В: Когда в формулах приведения функция меняется на кофункцию?

О: когда π/2 или 3π/2 добавляются к аргументу

В: Когда функция не меняется на кофункцию в формулах приведения?

О: Когда добавляется ±π

В: В каких четвертях тангенс принимает положительные значеня?

О: В I и III

В: В каких четвертях котангенс принимает положительные значеня?

О: В I и III

В: Какое число является наименьшим положительным периодом синуса и косинуса?

О: 2π

В: Назовите основное тригонометрическое тождество.

О: SIN2 x + COS2 x = 1

В: Чему равно произведение тангенса на котангенс?

О: Единице

Новый материал:

Пусть SIN t = -3/5 и t лежит в III четверти

SIN2 t + COS2 t = 1

COS2 t = 1 – SIN2 t

т. .к. коинус в III четверти имеет знак -, то

COS t = -√1 - SIN t

COS t = -√1 – 9/25 = -√16/25 = -4/5

TG t = SIN t / COS t =3/4

CTG t = 1 / TG t = 4/3

Катет, противолежащий углу в 30 градусов или π/6 равен половине гипотенузы, а т. к. у нас единичная окружность и катет равен синусу угла, то SIN 30° = 1/2.

COS 30° = √1 - SIN 30°

COS 30° = √1 – 1/4

COS 30° = √3/2

SIN 60° = COS (90° - 30°)  = COS 30° = √3/2

COS 60° = SIN (90° - 30°)  = SIN 30° = 1/2

Если угол прямоугольного треугольника равен 45°, то катеты равны:

SIN2 45° + COS2 45° = 1

2SIN2 45° = 1

SIN 45° = √2/2

COS 45° = √2/2

Полезно записать значения этих углов в таблицу:

Решение простейших тригонометрических уравнений

Возьмем уравнение SIN t = 0. Вращающаяся точка Pt имеет ординату 0 в точках 0, π, 2π

Т. к. период синуса равен 2π, то вращающаяся точка будет иметь ординату 0 также и в точках -π, -2π, 3π, 4π, т. е. в точках πk, k∈Z

Таким образом, решение уравнения SIN t = 0 можно записать в виде t = πk, k∈Z

Запишем еще решения простейших уравнений:

SIN t = 1, t = π/2 + 2πk, k∈Z

SIN t = -1, t = 3π/2 + 2πk, k∈Z

COS t = 0, t = π/2 + πk, k∈Z

COS t = 1, t = 2πk, k∈Z

COS t = -1, t = π + 2πk, k∈Z

Решение задач

№18

1) SIN 135° = SIN (90° + 45°)  = COS 45° = √2/2

2) COS 135° = COS (90° + 45°)  = -SIN 45° = √2/2

3) COS 120° = COS (90° + 30°)  = -SIN 30° = -1/2

4) TG 150° = TG (90° + 60°)  = -TG 60° = -√3

9) TG 3/4π = TG (π/2 + π/4) = -CTG π/4 = -1

10) CTG 4/3π = CTG (π + π/3) = CTG π/3 = -√3

16) SIN2 402° + SIN2 48° + TG2 225° = SIN2 (360° + 42°) + SIN2 (90° - 42°) + TG2 (180° + 45°) = SIN2 42° + COS2 42° + TG2 45° = 1 + 1 = 2

№20

1) SIN t = 12/13 ; π/2 < t < π

COS t = -√1 – SIN2 = -√25/169 = -5/13

TG t = SIN t / COS t = -12/5

CTG t = 1 / TG t = -5/12

3) TG t = 5/2 ; π < t < 3π/2

COS t = -√1 / (1 + TG2 t) = -√1 / (1 + 25/4) = -2/√29

SIN t = TG t COS t = 5/2 (-2/√29) = -5/√29

CTG t = 1 / TG t =2/5

Самостоятельная работа

I вариант

Найти знак:

16.5) sin (13/5π)

16.7) cos(-4/3π)

Вычислить:

18.12) cos (3/2π)

18.13) tg (5/4π)

Найти COS t и SIN t, если TG t = -5/12, COS t < 0

Упростить:

SIN2 t / (COS t – 1) =

1 – COS2 t + TG2 t COS2 t

Существует ли такое t, что

1. SIN t = 0,5, COS t = 0,5
2. TG t = 5, CTG t =1/5

II вариант

Найти знак:

16.8) cos (5/4π)

16.9) ctg(-3/4π)

Вычислить:

18.12) ctg (7/6π)

18.13) sin (11/6π)

Найти COS t и SIN t, если TG t = -5/12, COS t < 0

Упростить:

COS2 t / (SIN t – 1)

1 – SIN2 t + CTG2 t SIN2 t

Существует ли такое t, что

1. TG t = -2/9, CTG t = -9/2
2. SIN t = 0,6, COS t =0,8