Математические неожиданности листа Мёбиуса
проект

Слайд 1

Мариинско-Посадский технологический техникум Минобразования Чувашии Математические неожиданности листа Мёбиуса Выполнила: учащаяся группы №5 Симакова Екатерина Руководитель: Стрелкова Галина Александровна-преподаватель математики

Слайд 2

Цели и задачи : Цель: рассказать и показать учащимся, что на вид простая лента, повёрнутая на 180 градусов со склеенными концами, может заключать в себе много неожиданностей. Задачи: выявить источники и литературу по данной теме и проанализировать их; научиться и научить других изготавливать лист Мёбиуса; изучить разнообразные свойства и сюрпризы листа Мёбиуса и провести с ним опыты; найти, где используются его свойства.

Слайд 3

Историческая справка Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. Он рассказывал, что открыть свой «лист» Мёбиуса помогла служанка, сшившая неправильно концы длинной ленты В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

Слайд 4

Лист Мебиуса или кольцо Мебиуса? Кольцо Мебиуса Лист Мебиуса Бутылка Клейна Лента Мебиуса Петля Мебиуса

Слайд 5

Лист Мёбиуса и его изготовление Лист Мёбиуса - поверхность, получающаяся при склеивании двух противоположных сторон AB и А ` В ` прямоугольника ABB ` A ` так, что точки А и В совмещаются соответственно с точками B ` и A ` . А В В` А` а А`В АВ` б

Слайд 6

Свойства листа Мёбиуса: Лист Мебиуса имеет один край, одну сторону. Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, он не меняет своих свойств, пока его не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски. Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния. Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии и изучении свойств Вселенной. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников. Лента Мебиуса вдохновляет многих художников на создание известных скульптур и картин. Чудесные свойства ленты порождают множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также множество фантастических рассказов.

Слайд 7

Опыт № 1. Мы привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) – две стороны. Начала красить лист Мёбиуса, не переворачивая его. Результат . Лист Мёбиуса закрасился полностью . Опыты с листом Мебиуса

Слайд 8

Опыт №2 связан с разрезанием листа Мёбиуса, результаты занесены в таблицу : № опыта Описание опыта Результат 1. Простое кольцо разрезала по середине вдоль. Получила два простых кольца, такой же длины, шириной в два раза уже, с двумя границами. 2. Лист Мёбиуса разрезала по середине вдоль. Получила 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот, с одной границей. 3. Лист Мёбиуса шириной 5см разрезала вдоль на расстоянии 1 см от края. Получила два сцепленных друг с другом кольца: 1) лист Мёбиуса - длина = длине исходного, ширина 3см; 2) ширина 1см, длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота, с двумя границами. 4. Лист Мёбиуса шириной 5 см разрезала вдоль на расстоянии 2 см от края. Получила два сцепленных друг с другом кольца: 1) кольцо – лист Мёбиуса шириной 1см, длина = длине исходного; 2) кольцо - ширина 2см, в два раза длиннее исходного перекрученного на два полных оборота, с двумя границами. 5. Лист Мёбиуса шириной 5 см, разрезала вдоль на расстоянии 3 см, от края. Получила два сцепленных друг с другом кольца: 1) кольцо – лист Мёбиуса шириной 1см такой же длины; 2) кольцо – шириной 2см длина его в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота. 6. Лист Мёбиуса шириной 5см. разрезала вдоль на расстоянии 4 см, от края. Получила два сцепленных друг с другом кольца: 1) кольцо - лист Мёбиуса 3см длина = длине исходного; 2) кольцо шириной 2см, длина в два раза больше исходного, перекручена на два полных оборота, с двумя границами. 7. На обеих сторонах бумажной ленты провела две пунктирные линии, на равном расстоянии друг от друга, склеила лист Мёбиуса, разрезала вдоль пунктирных линий. Получила два сцепленных друг с другом кольца: 1) кольцо - в два раза длиннее исходного, ширина в три раза меньше; исходного, два раза перекрученное; 2) кольцо - лист Мёбиуса длина = длине исходного, ширина в три раза меньше исходного, с двумя границами.

Слайд 9

Эксперименты для всех. А что если, мы ленту перед склейкой перекрутить . Число перекручиваний Результат разрезаний Свойства 0 2 кольца Длина окружности та же, но кольцо в два раза уже 1 1кольца Кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но уже 2 2 кольца Кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но уже 3 1 кольца Кольцо перекручено дважды, оно в 6 раз длиннее, но уже

Слайд 10

Результаты проведённых опытов и социологического опроса с 1, 2, 5 группами Группа Вопрос 1 2 5 ∑ Количество листов/ ответы учащихся Ответы в процентах Неверный ответ Верный ответ Неверный ответ 1. Сколько сторон у листа Мёбиуса? 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 - 0 20 - 7 11 - 5 10 - 12 - 23 % 41 - 77 % 2. Сколько получится листов Мёбиуса при однократном разрезании? 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 - 5 1 5 - 11 7 - 9 6 - 25 - 47 % 2 8- 53 % 3. Сколько получится листов Мёбиуса при двукратном разрезании? 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 5 2 2 1 4 2 0 5 10 5 - 10 % 34-6 4 % 14-2 6 % 4. Сколько получится листов Мёбиуса при однократном разрезании листа и кольца находящегося в нём? 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 16 1 1 14 3 3 11 1 7-13% 41-77% 5-10%

Слайд 11

Результаты исследований Обучающиеся, пока были не знакомы с листом Мёбиуса, отвечали на первые три вопроса неверно (1- 77%, 2-53%, 3-36%). Причём, с каждым вопросом и проведённым опытом, количество правильных ответов увеличивалось. Мне удалось заинтересовать данной темой опрошенных настолько, что в итоге большинство из них отвечало верно (4-77%). А некоторые ребята изъявили желание в следующем году участвовать на фестивале «Юность Большой Волги» по математике.

Слайд 12

Сюрпризы листа Мёбиуса Сюрприз №1 Сначала я попробовала склеить кольцо Мёбиуса не из одной, а из двух полосок бумаги, предварительно уложив их в стопку (Фото 1). Получилось нечто похожее на настоящее кольцо Мёбиуса (Фото 2). Фото 1 Фото 2 И в чем тут сюрприз? А в том, что, при растягивании исходного кольца, не нарушалась его целостность. Это значит, что "Афганская лента" достаточно просто складывается в исходное кольцо (псевдокольцо Мёбиуса (Фото 3 ).

Слайд 13

Сюрприз 2 Этот сюрприз является продолжением сюрприза 1. Я склеила уже три бумажных полоски по форме кольца Мёбиуса (кМ), предварительно уложив их в стопку. Получился некий "бутерброд" в форме кМ. Если растянуть этот "бутерброд", то он разложится на два кольца: меньшее – это кМ и большее - это «афганская лента», сцепленные друг с другом .

Слайд 14

Сюрприз 3 Я взяла кольцо Мёбиуса и оклеила его бумажными кольцами. Получилась вот такая конструкция. И где здесь обещанный сюрприз? Рассматривая полученный "тор" я открыла, что кольцо Мёбиуса не делит внутренний объём тора на два изолированных друг от друга объёма. Для наглядности представим себе тор в виде спасательного резинового круга, внутри которого находится кМ. Данный рисунок очень наглядно моделирует форму магнитного поля вокруг продольной катушки Мёбиуса.

Слайд 15

Примеры применения листа Мёбиуса Парфюмерия Спорт Техника Скульптура Одежда , обувь Живопись Мебель Логотипы Примеры применения листа Мёбиуса в жизни Архитектура Физика Литература Фокусы Кулинария

Слайд 16

Здание библиотеки В настоящее время рассматривается проект постройки библиотеки в виде листа Мёбиуса в Казахстане. Архитектура

Слайд 17

Лист Мёбиуса в архитектуре Лестница Мёбиуса

Слайд 18

Скульптура В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра “Горизонт” находится памятник “Ленте Мёбиуса”. Памятник был установлен в 1997 году. Авторы памятника: скульптор А.З.Налич, архитектор О.Н.Иванченко и строитель Г.Л.Федорков. В Екатеринбурге на улице Свердлова установлен памятник листу Мёбиуса в 2008 году. Скульптор Адуашвили

Слайд 19

Спорт Ручной эспандер "Робур" Одна из любимых вещей всех школьных учителей физкультуры, которая по их собственному выражению «тренирует не только мышцы кисти, но и мышцу мозга".

Слайд 20

Парфюмерия Духи Bugatti, Духи Loewe Quzas, Quizas, Quizas, Духи UFO Limited Edition, Kenzo Компания Bugatti начала выпуск не только сверхдорогих автомобилей (модель Veyron стоит 1,3 млн. евро), но и… духов. каждый флакончик, сделанный из хрусталя и покрытый настоящим золотом выполнен в виде необычного листа Мёбиуса, который имеет лишь одну сторону. Цена духов Bugatti составляет 3500 евро.

Слайд 21

Мебель Диван Мёбиуса Стол Мёбиуса Книжная полка Infinity

Слайд 22

Одежда . Обувь. Интересная вещь - шарф Мёбиуса, появившаяся в гардеробах 21 века. Шарф Мёбиуса можно сделать самому, связав концы шарфа и перекрутив на один оборот. Шарф Мёбиуса Туфли Мёбиуса

Слайд 23

Живопись Граффити Современная лента Мёбиуса нарисована на одной из стен в Праге, Чехия. По ленте двигаются два типа машин: танки и строительно-дорожная техника. Символ современной цивилизации: разрушаем-строим-разрушаем-строим.

Слайд 24

Логотипы. Символы Логотип был создан в 1964 году в результате дизайнерского конкурса. Член жюри Franco Grignani не устоял и предложил свой вариант, спрятавшись под псевдонимом Francesco Seraglio. Данный логотип напоминает лист Мебиуса и является символом вечности и гибкости компании. Символ математики Символ переработки Логотип

Слайд 25

Техника Кинолента В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон. Автомобиль Toyota MOB Кассета Матричный принтер

Слайд 26

Лист Мёбиуса в кулинарии Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста. А также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).

Слайд 27

Лист Мёбиуса в литературе Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно – фантастические рассказы предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. В рассказе автора А.Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в лист Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.

Слайд 28

Лист Мёбиуса физике Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах листа Мебиуса, в частности, отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой… правильно, зеркального своего двойника.

Слайд 29

Мёбиусовый лист понравился не только математикам, но и фокусникам Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Слайд 30

Неудачное применение Ленты Мёбиуса Одновременно с Мёбиусом, подобную ленту предложил также известный еврейский маркетолог Карл Маркс в целях экономии сырья для изготовления туалетной бумаги. При этом обрезание всей «нерабочей» поверхности по мнению разработчика должно было увеличить экономию ресурсов ровно в два раза. Но поскольку сей великий изобретатель также был в высшей степени теоретиком, работоспособный прототип подобной туалетной бумаги так и не удалось создать.

Слайд 31

Работая над данной темой, я получила удовольствие от полезной и интересной информации о листе Мёбиуса от того, что смастерила своими руками и поделилась этим с учащимися нашего училища. Лист Мёбиуса – жёлтая страница, Односторонний сказочный маршрут, Летит метелью, песенкой, синицей, Бульварной лентой склеенный маршрут. Эх, Мёбиус, спасибо за науку! Поверхность одинокой стороны Подобна заколдованному звуку Вибрирующей неоновой струны

Слайд 32

Используемая литература Величко М.В. Математика 9-10 классы. Проектная деятельность учащихся. -Волгоград: «Учитель», 2006. – 122 с. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. - М.: «В - 71», 1957. – 576 с. Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы/ Г.Хромова, И. Комарова. - М.: «Дрофа», 2002. – 864 с. Трошин В.В. Магия чисел и фигур. Занимательные материалы по математике. - М.: «Глобус», 2007. – 127 с. Энциклопедия для детей. Математика. Том 11, М.: Аванта +, 2002. – 687 с. Я познаю мир. Математика. - Минск: «АСТ – ЛТД», 1998. – 475 с. Материалы сайтов: http://arbuz.uz/t_lenta.html http://www.frei.ru/golos/books/ http://umiranie.chat.ru/sphere.htm http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/

Слайд 33

Спасибо за внимание!