Санкт-Петербургское государственное  бюджетное профессиональное

образовательное учреждение
«Промышленно-технологический колледж»

 МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ  

УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ЕН. 01 МАТЕМАТИКА

(специальность 151901 «Технология машиностроения»)

Методические указания по выполнению самостоятельных работ учебной дисциплины «Математика» разработаны на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) по специальности  среднего профессионального образования 151901 «Технология машиностроения»,  базовый уровень.

Организация – разработчик: СПБ  ГБПОУ «Промышленно-технологический колледж»

Разработчики:

___________________ / В.А. Грешилова /

___________________ / _____________ /

Рецензент:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________

Рассмотрено  и одобрено                                                        

на заседании методической комиссии

Протокол №___ от «___»______20_____

Председатель _________  / ___________/

Содержание

Пояснительная   записка        

Перечень самостоятельных работ        

Задания для самостоятельной работы        

Методические рекомендации по выполнению работ по образцу:        

Методические рекомендации по подготовке к устному/письменному опросу:        

Методические рекомендации по подготовке презентаций        

Методические указания  для обучающихся по подготовке к  практическим работам        

Пояснительная   записка

     Данная работа содержит методические указания к самостоятельным работам по дисциплине «Математика» и предназначена для обучающихся по специальности 151901 «Технология машиностроения».

Цель разработки: оказание помощи обучающимся в выполнении самостоятельных работ по предмету «Математика».

Самостоятельные работы  служат  связующим  звеном  между  теорией  и  практикой. Они необходимы для закрепления теоретических знаний, полученных на уроках теоретического обучения, а так же для получения практических знаний.  Самостоятельные работы выполняются обучающийся с применением знаний и умений, полученных на уроках, а так же с использованием необходимых пояснений,  полученных от преподавателя.

Самостоятельные работы разработаны в соответствии с учебной программой.  Самостоятельные работы выполняются  обучающимися  индивидуально.

Отметку (зачет)  по  каждой  самостоятельной  работе  обучающийся  получает  после её выполнения и предоставления в письменном виде.

Перечень самостоятельных работ

Таблица 1

Задания для самостоятельной работы

(Решение примеров по образцу)

Таблица 2

Методические рекомендации по выполнению работ по образцу:

1. Повторите теоретический материал, используя учебное пособие.

2. Приступите к выполнению заданий, используя образцы решения примеров на уроках и/или в учебном пособии.

3. Не забудьте сдать выполненную работу преподавателю.

Методические рекомендации по подготовке к устному/письменному опросу:

Как научиться правильно говорить и справляться с негативными эмоциями?

Многие считают, что страх перед выступлением на публике испытывают только люди, робкие и стеснительные от природы. На самом деле через такие переживания проходит практически каждый. Не у вас одного от волнения путаются мысли, потеют ладони, слабеют колени, учащается пульс и срывается голос.

Спокойствие, только спокойствие

Даже волнуясь, можно произвести хорошее впечатление на публику. Как выглядеть спокойным и уверенным:

• жесты должны быть свободными
• говорите убежденно громким голосом, а не еле слышным шепотом
• избегайте долгих и лишних пауз, частых запинок.

Все это придаст вам внутренней уверенности, которую почувствуют и педагоги: раз уверен – значит, знает.

Упражняйтесь и в непрерывности речи, например, 10 мин говорите о каком-либо предмете или явлении.

Что делать, если сбились с мысли:

• проговорите про себя слова “потому что”, “поэтому” – они помогают найти нужные слова и мысли
• задайте про себя вопрос, связанный с темой ответа перейдите к смежной, родственной теме, с нее вы быстрее сможете вернуться к главному предмету обсуждения
• возникла заминка – развейте последнюю мысль.

Сам себе диктор

Сначала определите свои речевые недостатки. Со многими из них можно справиться самостоятельно, без логопеда. Например, невнятная артикуляция – часто всего лишь небрежность произношения. Запишите свою речь на магнитофон и объективно оцените: вы скомкано произносите звуки, бубните, спотыкаетесь на трудных и длинных словах, говорите монотонно или немного шепелявите? С каждым из дефектов лучше разбираться по отдельности, а затем переходить к следующему. Сохраните первую запись – так вы сможете наблюдать прогресс и корректировать систему занятий.

Одно из самых эффективных упражнений – чтение вслух с выражением в размеренном темпе.

Достаточно читать по 15-20 мин ежедневно, чтобы устранить:

• нечеткую дикцию
• проглатывание звуков при слишком быстром темпе речи
• монотонность, невыразительность речи
• небольшой словарный запас.

Добиться чистого произношения, ясной и четкой речи помогут и другие упражнения:

• Откройте словарь на тех буквах, которые вам сложно произносить (часто это бывают “л”, “р” или “с”). Читайте слова каждый день по странице.
• Произносите глубокий звук “ааааааааа”, чтобы расслабить горло.
• Перед тем, как начать говорить, опустите челюсть немного вниз. Это поможет создать небольшой промежуток между зубами, чтобы свободно произносить звуки.
• Заведите словарик труднопроизносимых слов. Проговаривайте длинное и сложное слово по пять-шесть раз, пока не освоите его. Так вы пополните свой словарный запас и устраните общий недостаток всех абитуриентов – слабое владение русским литературным языком.
• С помощью секундомера замерьте скорость речи. В среднем человек произносит 120-160 слов в минуту. Если вы говорите быстрее, наверняка “срезаете” часть звуков, вот почему ваша речь становится непонятной. Замедлить речь просто – нужно четко произносить все звуки и слоги.
• Монотонная речь утомительна для слуха. Чтобы говорить выразительно, учитесь интонировать – произносить одно и тоже предложение, выделяя голосом разные слова и меняя его смысл:
  Я буду читать книгу – буду делать то, что сказано.
  Я буду читать книгу – то есть читать буду именно я, а не кто-то другой.
  Я буду читать книгу – то есть сделаю это в будущем.
  Я буду читать книгу – не пролистывать, а читать.
  Я буду читать книгу – именно книгу, а не журнал или газету.

Негативное впечатление на публику оказывает и употребление сленга, слов-паразитов. Если сами вы их не замечаете, попросите родителей или друзей оценить вашу речь и делать замечания всякий раз, как вы произнесете “как бы”, “типа”, “э-э-э-э” и т.д. Точно так же поступают педагоги на курсах мастерства общения: они копируют вредные речевые привычки слушателей, обращая на них внимание, и со временем человек начинает замечать свои недостатки без посторонней помощи, старается их избегать, а затем совсем от них избавляется.

Полезно не только услышать, но и увидеть себя со стороны, свою мимику и жестикуляцию, сделав запись на видеокамеру. Чтобы не отвлекаться при устном ответе, не беспокоиться, что делать с руками, куда поставить ноги, порепетируйте перед зеркалом, в какой позе вам удобно сидеть и стоять.

На зарядку становись!

Бороться с волнением можно не только на психологическом, но и на физическом уровне.

Упражнения для осанки, дыхания и голоса:

• Встаньте так, чтобы лопатки, задняя сторона плеч, ягодицы, икры слегка касались стены. Не пытайтесь “вдавливать” в стену шею и поясницу – это естественные изгибы позвоночника. Мышцы спины и груди максимально расслаблены. Представьте, что голова подобна воздушному шару, наполненному гелием, поэтому она стремится вверх, увлекая за собой позвоночник. Вообразите, что воздушный шар словно “витает” в воздухе от легкого дуновения ветерка. Сохраняйте это ощущение “плавающей” головы во время речи.
• Чтобы расправить плечи – не напрягайте мышцы! Уравновесьте плечи. Для этого чуть приподнимите их вверх, слегка отведите назад и расслабьте. Пусть плечи пассивно упадут вниз. Повторите это упражнение несколько раз. Ощущайте легкость в плечах.
• Зевок поможет снять напряжение с мышц, участвующих в формировании голоса. Зевок должен быть круглым, мягким, “сладким”. Язык лежит расслабленный, “распластанный”, не торчит “колом”. Мягкое небо высоко поднято “куполом”. Это упражнение растягивает мышцы глотки, позволяет говорить свободно.
• После зевка произнесите несколько фраз. А теперь, уже не зевая, но сохраняя это ощущение, повторите те же фразы.
• Вспомните, какой вздох облегчения вырывался у вас в детстве, когда ручка учителя скользила по списку учеников в классном журнале и останавливалась не на вашей фамилии. А теперь на таком же вздохе облегчения (на выдохе) произнесите гласный звук “а” или “о”. Это освобождает дыхание и голос.

Чтобы перестроить диафрагму, перевести дыхание с грудного в глубокое, выполняйте вот такие упражнения:

• выдыхая, произносите “ой-ой-ой”, как будто испугались, сокращая мышцы живота
• через нос бесшумно вдохните и через рот (губы слегка сжаты, как на “ф”) шумно выдыхайте на счет 10 (постепенно увеличивайте количество выдохов, но вдох – только один)
• надувайте шарики, контролируя подачу воздуха через диафрагму
• тренируйте речевое дыхание: короткий вдох и ровный, а не затухающий долгий выдох (очередную порцию воздуха надо добирать во время ближайшей паузы в речи, когда возникло желание сделать вдох).

Рекомендации составлены на базе статьи Алены Казаковой

© Источник: http://www.student44.ru дата обращения 29.03.2014

Как подготовиться к письменному опросу

Письменный ответна вопросы, в отличие от устного, с одной стороны, избавляет от напряженной борьбы с преподавателем, с другой – лишает возможности защитить свой ответ. Поэтому успех сдачи письменного ответа полностью зависит от того, насколько эффектно и убедительно будет выглядеть написанный текст.

• К содержанию письменного ответа предъявляются требования более высокие, чем к устному. Поэтому готовиться к такому опру следует более тщательно, а на самом опросе постараться воспроизвести как можно больше информации по теме. 
• Очень хорошо, если помимо текстовой информации удастся вспомнить схемы, графики, таблицы, иллюстрации, любой другой наглядный материал.
• Как и при устном ответе, важно уделять внимание структуре ответа. Структурировать текст можно, используя красную строку, списки, подзаголовки. Следует помнить, что сплошной текст плохо воспринимается и создает впечатление сумбурности ответа.

Проверено на практике: не забывайте использовать черновик. На нем можно излагать свои мысли в любом порядке, зачеркивать, переставлять местами. А затем переписать в чистовик, в котором лучше избегать помарок. Кстати, это один из эффективных способов вспоминания материала: если покажется, что вы ничего не помните, берите черновик, и пишите на нем все, что приходит в голову по теме. Через некоторое время материал обязательно начнет вспоминаться.

В заключение скажем несколько слов о том, как вести себя непосредственно на опросе.

Вряд ли найдется много людей, умеющих не волноваться в подобной ситуации. В принципе, легкое волнение может быть даже приятно, важно лишь не дать ему завладеть собой и перерасти в настоящую панику.

© Источник: Как подготовиться к устному и письменному экзаменам? | hint4.me: Вопросы и Ответы 

Методические рекомендации по подготовке презентаций

Презентация - мультимедийный инструмент, используемый в ходе докладов или сообщений для повышения выразительности выступления, более убедительной и наглядной иллюстрации описываемых фактов и явлений.

Методические рекомендации содержат основные требования к оформлению, структуре и содержанию мультимедийной презентации ПРОЕКТА.

Структура, содержание и дизайн компьютерной презентации – это личное творчество автора.

Однако опыт показывает, что наиболее успешными являются презентации, составленные с соблюдением приведенных рекомендаций, которые могут предостеречь от ряда неудач.

Рекомендации по оформлению мультимедийной презентации

• Полезно использовать шаблоны оформления для подготовки компьютерной презентации.
• Слайды желательно не перегружать текстом, лучше разместить короткие тезисы, убрав вводные слова, даты, имена, термины и т.п. На слайдах необходимо демонстрировать небольшие фрагменты текста доступным для чтения на расстоянии шрифтом (количество слов на слайде не должно превышать 40); 2-3 фотографии или рисунка.
• Наиболее важный материал лучше выделить.
• Таблицы с цифровыми данными плохо воспринимаются со слайдов, в этом случае цифровой материал, по возможности, лучше представить в виде графиков и диаграмм.
• Не следует излишне увлекаться мультимедийными эффектами анимации. Особенно нежелательны такие эффекты как вылет, вращение, волна, побуквенное появление текста и т.д. Оптимальная настройка эффектов анимации – появление, в первую очередь, заголовка слайда, а затем — текста по абзацам. При этом если несколько слайдов имеют одинаковое название, то заголовок слайда должен постоянно оставаться на экране.
• Визуальное восприятие слайда презентации занимает от 2 до 5 секунд, в то время как продолжительность некоторых видов анимации может превышать 20 секунд. Поэтому настройка анимации, при которой происходит появление текста по буквам или словам нежелательна.
• Стихи лучше декламировать, чем записать на слайде презентации, зато небольшой эпиграф или изречение очень хорошо впишутся в презентацию.
• Чтобы обеспечить хорошую читаемость презентации необходимо подобрать темный цвет фона и светлый цвет шрифта. Нельзя также выбирать фон, который содержит активный рисунок.
• Звуковое сопровождение используется только по необходимости, поскольку даже тихая фоновая музыка создает излишний шум и мешает восприятию содержания.
• Режим просмотра презентации лучше установить «по щелчку мыши». Тогда вы сможете контролировать соответствие содержимого слайда тексту выступления.
• Желательно подготовить к каждому слайду заметки по докладу (Вид — страницы заметок). Затем распечатать их (Печать — печатать заметки) и использовать при подготовке или на самой презентации. Можно распечатать некоторые ключевые слайды в качестве раздаточного материала.
• Необходимо обязательно соблюдать единый стиль оформления презентации и обратить внимание на стилистическую грамотность (отсутствие орфографических и пунктуационных ошибок).
• Пронумеруйте слайды. Это позволит быстро обращаться к конкретному слайду в случае необходимости.

Рекомендации по содержанию слайдов мультимедийной презентации:

1-й слайд (титульный), на фоне которого конкурсант представляет тему проекта, фамилию, имя автора (ов) и научного руководителя.

Фоном данного слайда не обязательно должен быть цвет, намного информативнее может выглядеть изображение, заставляющее зрителя сразу окунуться в суть исследования. Это заранее настраивает на тему и вызывает интерес слушателей.

2-й слайд. Включает в себя объект, предмет и гипотезу исследования.

3-й слайд. Содержит цель и задачи исследования. Цель проекта должна быть написана на экране крупным шрифтом (не менее кегля 22). Здесь же, если позволяет место, можно написать и задачи. Задачи могут быть представлены и на следующем слайде.

4-й - … слайд. Содержит структуру работы, которую можно предоставить, например, в виде графических блоков со стрелками. А также – перечисление применяемых методов и методик.

5-й - … слайд. Представляется содержание и теоретическая значимость проекта. Суть решаемой проблемы может быть представлена в виде схем, таблиц, диаграмм, графиков, фотографий, фрагментов фильмов и т.п. Необходимо следить за тем, чтобы содержание соответствовало изображению. На теоретическую часть представления проекта должно быть создано несколько слайдов.

6-й - … слайд. Возможности применения результатов работы на практике. Эта часть проекта должна быть достойно представлена в презентации, особенно, при наличии эксперимента. На эту тему также должно быть несколько слайдов.

7-й слайд. Главные выводы, итоги, результаты проекта целесообразно поместить на отдельном слайде. При этом не следует перечислять то, что было сделано, а лаконично изложить суть практической, экономической, социальной или иной значимости проекта или полученных результатов исследования.

Последний слайд. В конец презентации желательно поместить титульный слайд, что позволит вести дискуссию не на фоне черного экрана или текста «Спасибо за внимание!», а, находясь еще под впечатлением услышанного, оставаться «в теме».

Общие рекомендации к подготовке мультимедийной презентации

Защиту проекта с мультимедийной презентацией желательно выполнять с использованием 10—15 слайдов (общая продолжительность не более 5 минут).

Презентация легко поможет провести выступление, но она не должна его заменить. Если конкурсант только читает текст слайдов, то это сигнал экспертам, что он не ориентируется в содержании. Но если он растерялся, то прочтение презентации будет лучшим выходом из ситуации.

Презентация составляется после тщательного обдумывания и написания текста доклада на защиту: сюжеты презентации иллюстрируют основные положения доклада.

Основными принципами при составлении подобной презентации являются лаконичность, ясность, уместность, сдержанность, наглядность (подчеркивание ключевых моментов), запоминаемость (разумное использование ярких эффектов).

Следует помнить, что при использовании в презентации табличных и иллюстративных материалов ссылки на авторов обязательны.

Важное значение имеет предварительная репетиция презентации

При демонстрации презентации нет необходимости постоянно поворачиваться к экрану, достаточно произнести: «Обратите внимание на экран, рисунок, схему…» или «Результаты эксперимента представлены на слайде» и т.п.

Помните, что все перечисленное - не жесткие требования, а рекомендации, поскольку, прежде всего, вы должны проявить свое творчество.

© Источник:  http://idea.mosuzedu.ru/projects/multimedia.html

Приложение 4

Методические указания  для обучающихся по подготовке к  практическим работам

Тема: Решение прикладных задач

(Приложения определенного интеграла)

Цель работы: 

1. Обобщить полученные знания по теме «Интегральное исчисление» на примере решения прикладных задач

2.  Подготовиться к успешному выполнению практической работы на аудиторном практическом занятии

Перечень справочной литературы :

Основные источники:

• Математика: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина; под редакцией В.А. Гусева – 10-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2014. – 416 с.
• Элементы высшей математики: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, Ю.А. Дубинский – 9-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2013. – 320 с.

Дополнительные:

Учебно6е пособие по дисциплине «Математика»: пособие для обучающихся СПБ ГБПОУ «ПТК»; сотавитель В.А. Грешилова; 2014.

Краткие теоретические сведения:

Вычисление площади плоской фигуры

Найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой  осью  и двумя прямыми и , где ,  (рис. 1)      

Так дифференциал переменной площади S есть площадь прямоугольника с основанием dx и высотой , т. е. , то, интегрируя это равенство в пределах от a до b, получим

        (1)

Если криволинейная трапеция прилегает к оси  так, что , (рис. 2), то дифференциал переменной площади S равен  откуда

         (2)

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой , осью  и прямыми x=a и x=b, лежит под осью  (рис. 3), площадь находится по формуле

        (3)

Если фигура, ограниченная кривой , осью  и прямыми x=a и x=b, расположена по обе стороны от оси  (рис. 4), то

                     (4)

Пусть, наконец, фигура S ограничена двумя пересекающимися кривыми  и  и прямыми x=a и x=b, где  и  (рис. 5). Тогда ее площадь находится по формуле

                       (5)

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями    и

Решение. Выполним построение фигуры. Строим прямую  по двум точкам А(4;0) и В(0;2) (рис.6). Выразив у через х, получим  По формуле (1), где ,  и , находим

 (кв. ед.)

В качестве проверки вычислим площадь трапеции  обычным путем. Находим: , , . Следовательно,  (кв. ед.).

Вычисление пути, пройденного точкой

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью  за промежуток времени от  до , вычисляется по формуле

                              (6)

Пример. Скорость движения точки изменяется по закону  м/с. Найти путь, пройденный точкой за 10 с от начала движения.

Решение. Согласно условию, , , . По формуле (6) находим

 (м).

Вычисление работы силы

Работа, произведенная переменной силой  при перемещении по оси  материальной точки от  до , находится по формуле

                                                                        (7)

При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука:

                                              ,                                           (8)

где F - сила, H; x - абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k - коэффициент пропорциональности, Н/м.

Пример. Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила 10 Н.

Решение. Так как,  м при Н, то, подставляя эти значения в равенство (8), получим  откуда 1000 Н/м. Подставив теперь в это же равенство значение k, находим , т. е.  Искомую работу найдем по формуле (7), полагая , :

 (Дж).

Вычисление работы, производимой при поднятии груза

Пример. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.

Решение. Выделим на глубине х горизонтальный слой высотой

dx (рис. 7).

Работа А, которую надо произвести, чтобы поднять слой воды весом Р  на высоту х, равна .

Изменение глубины х на малую величину dx вызовет изменение объема V на величину  и изменение веса Р на величину при этом совершаемая работа  А изменится на величину  

Проинтегрировав это равенство при изменении х от 0 до Н, получим

 (Дж).

Вычисление силы давления жидкости

Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.

Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле

где  - плотность жидкости, ; S площадь площадки, ; х - глубина погружения площадки, м.

Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р(х).

Пример. Вычислить силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 20 м и высотой 5 м (уровень воды совпадает с верхним обрезом шлюза).

Решение. На глубине х выделим горизонтальную полоску шириной dx (рис 8). Сила давления Р на стенку шлюза есть функция от х. Изменение глубины х на малую величину dx вызовет изменение силы давления Р на малую величину .

Продифференцировав переменную Р, получим приближенное значение (главную часть)  приращения .

Находим приближенное значение силы давления воды на эту полоску:  Но  Интегрируя  при изменении х от 0 до 5, получим

 (МН).

Длина дуги плоской кривой

Пусть плоская кривая АВ (рис. 9) задана уравнением  причем  и  - непрерывные функции в промежутке  Тогда дифференциал  длины дуги АВ выражается формулой

 или

а длина дуги АВ вычисляется по формуле

                                                  (9)

где  и  - значения независимой переменной х в точках А и В.

Если кривая задана уравнением  то длина дуги АВ вычисляется по формуле

                        (10)

где c и d – значения независимой переменной у в точках А и В.

Пример. Найти длину окружности

Решение. Дифференцируя уравнение окружности, имеем

По формуле (9) вычислим длину дуги четверти окружности, взяв пределы интегрирования от 0 до r:

Длина окружности равна

(рис. 1)                                  (рис. 2)                             (рис. 3)

        (рис. 4)                 (рис. 5)                 (рис. 6)

                (рис. 7)        (рис. 8)                           (рис. 9)

Порядок выполнения работы:

1. Прочитать условие предложенной преподавателем задачи
2. Определить к какой из выше перечисленных подтем относится данная задача
3. Ознакомиться с теоретическими сведениями подтемы
4. Используя теоретические сведения решить задачу

Оформление работы:

ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ  «ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА»

1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функциями:

 x-2y+4=0, x+y-5=0, y=0.

2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функцией x2+y2=r2.
3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функциями:

7x2-9y+9=0, 5x2-9y+27=0.

4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функциями:

 x-y+2=0, y=0, x=-1, x=2.

5. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функциями:

2x-3y+6=0, y=0, x=3.

6. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функциями: y=2x2+1, y=x2+10.
7. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функциями:   y=-1.5x2+9x-7.5, y=-x2+6x-5.
8. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=(6t2+2t) м/с, второе – со скоростью v=(4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?
9. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=(3t2-6t) м/с, второе – со скоростью v=(10t+20) м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?.
10. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=3t2 м/с, второе – со скоростью v=(6t2+10) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10с?
11. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=(3t2+4t) м/с, второе – со скоростью v=(6t+12) м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?.
12. При сжатии пружины на 0,05 м затрачивается работа 25 Дж. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0,1 м?
13. Для растяжения пружины на 0,04 м необходимо совершить работу 20 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, совершив работу 80 Дж?
14. Цилиндр с подвижным поршнем, площадь поперечного сечения которого S кв.ед., заполнен газом. Считая, что при увеличении объема газа в цилиндре соблюдается закон Бойля-Мариотта pV=k=const, вычислить работу, произведенную силой давления газа при увеличении его объема от V0 до V1 (температура газа поддерживается постоянной).
15.  Пружина растягивается на 0,02 м под действием силы 60Н. Какую работу производит эта сила, растягивая пружину на 0,12 м?
16. В цилиндрическом сосуде объема V0=0,2 м3 заключен атмосферный воздух при нормальном давлении P0=1014325Н/м2. Воздух сжимается поршнем до объема 0,05 м3. Какая работа производится при этом, если температура воздуха поддерживается постоянной?
17. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,1 м. Сила в 20Н растягивает её на 0,01м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть её от 0,12 до 0,14 м?
18. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.
19. Вычислить работу, которую надо произвести, чтобы выкачать из резервуара конической формы с вершиной, обращенной книзу. Резервуар наполнен доверху водой. Радиус основания конуса R=1м, высота конуса 2м.
20. Прямоугольный резервуар, основанием которого служит квадрат со стороной 3м, а высота равна 2м, заполнен водой. Вычислите работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из резервуара.
21. Цилиндрический резервуар с радиусом основания 2 м и высотой 3м заполнен водой. Вычислите работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из резервуара.
22.  Вычислить силу давления воды на вертикальный прямоугольный  шлюз с основанием 20м и высотой 5м (уровень воды совпадает с верхним обрезом шлюза).
23. Вычислить силу давления воды на вертикальную плотину, имеющую форму равнобедренной трапеции с основаниями a и b   (a • b) и высотой h.
24. Треугольная пластина с основанием 0,2 м и высотой 0,4 м погружена вертикально в воду так, что вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислите силу давления воды на пластину.
25. Найти длину дуги параболы y= между точками О (0;0) и А(;3/2).
26. Найти длину дуги параболыy=4-x2 между точками её пересечения с осью Ох.
27. Найти длину дуги параболы y2=x между точками О (0;0) и        А(; ).
28. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами у = x2, y2 = 8x.
29. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y2=x, y=x2.
30. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y2=8x, y=x2.
31. Найти работу, необходимую для выкачивания воды из бассейна, имеющего форму полуцилиндра, длина которого а=25 м, а радиус R=20 м.

Вычислите работу, необходимую для выкачивания воды из полусферического сосуда, диаметр которого 20 м.

Цель работы: 

1. Обобщить полученные знания по теме «Исследование функций при помощи производных»

2.  Подготовиться к успешному выполнению практической работы на аудиторном практическом занятии по данной теме.

Перечень справочной литературы :

Основные источники:

• Математика: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина; под редакцией В.А. Гусева – 10-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2014. – 416 с.
• Элементы высшей математики: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, Ю.А. Дубинский – 9-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2013. – 320 с.

Дополнительные:

Учебно6е пособие по дисциплине «Математика»: пособие для обучающихся СПБ ГБПОУ «ПТК»; сотавитель В.А. Грешилова; 2014.

Краткие теоретические сведения:

Исследование функции при помощи производных

Некоторые теоремы о дифференцируемых

функциях

Теорема Ролля. Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (а;b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка (а;b), в которой производная обращается в нуль, т. е. .

Теорема Коши. Если функции  и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале (а;b), причем  для  (а;b) то найдется хотя бы одна точка (а;b) такая, что выполняется равенство .

Теорема Лагранжа. Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (а;b)  и на концах отрезка принимает  одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка (а;b)  такая, что выполняется равенство .

Следствие 1 Если производная некоторой функции на промежутке равна нулю, то функция постоянна на этом промежутке.

Следствие 2 Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Возрастание и убывание функций

Теорема 1. (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (а;b) функция  возрастает (убывает), то    для любого .

Теорема 2. (достаточные условия). Если функция  дифференцируема на интервале (a;b) и   для любого , то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a;b).

Теоремы 1 и 2 позволяют довольно просто исследовать функцию на монотонность (функция, убывающая или возрастающая, называется монотонной).

Пример. Исследовать функцию =x3-3x-4 на монотонность.

Решение:

          +                  -                    +

                                                             Х

                 -1                         1

  при 

  при 

Ответ: данная функция возрастает при  и убывает  

Максимум и минимум функций

Теорема (необходимое условие). Если дифференцируемая функция  имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: =0.

Теорема (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция  дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки  и при переходе через нее (слева на право) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума, с минуса на плюс, то  - точка минимума.

Удобно использовать другой достаточный признак существования экстремума основанный на определении знака второй производной.

Теорема. Если в точке  первая производная функции  равна нулю , а вторая производная в точке  существует и отличная от нуля , то при  в точке  функция имеет максимум и минимум - при .

Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

Теорема. Если функция  во всех точках интервала (a;b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график функции в этом интервале выпуклый вверх.

Если же  для любого  - график выпуклый вниз.

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная  при переходе через точку в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.

Асимптоты графика функции

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции , если , или , или  .

Если существует наклонная асимптота у=Rx+b, то R и b находится по формуле:   ,   .

Если R=0, то у=b- уравнение горизонтальной асимптоты.

Общая схема исследования функции и построения

графика функции

Исследование функции целесообразно вести в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции.

2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых >0 или <0).

4. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.

5. Найти асимптоты графика функции.

6. Найти интервалы монотонности функции.

7. Найти экстремумы функции.

8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

Пример. Исследовать функцию  и построить ее график.

1.

2.

Точка (0;0)- точка пересечения графика с осями ОХ и ОУ.

3. Функция знакоположительна (у>0) в интервалах  и , знакоотрицательна – в  и

4. Функция   является нечетной т.к. . Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат. Для построения графика достаточно исследовать ее при .

5. Прямые х = 1 и х = -1 являются ее вертикальными асимптотами.

Выясним наличие наклонной асимптоты.

Следовательно, есть горизонтальная асимптота ее уравнение у=0. Наклонных асимптот нет.

Прямая у=0 является асимптотой и при , и при  .

6..

Так как у’>0 в области определения, то функции является возрастающей на каждом интервале области определения.

7. Т.к. , то критическими точками является точки

 х1 = -1 и х2 = 1.

Данные точки не принадлежат области определения функции, значит, функция экстремумов не имеет.

8. Найдем у”

Точка (0;0) – точка перегиба графика функции.

График выпуклый вверх на интервалах  и ; выпуклый вниз на интервалах  и

Порядок выполнения работы:

1. Прочитать краткие теоретические сведения
2. Используя общую схему исследования и построения графика функции выполнить предложенное преподавателем задание

Оформление работы:

Контрольное задание. Построить график функции:

Тема: Основные методы интегрирования

Цель работы: 

1. Обобщить полученные знания по теме «Основные методы интегрирования»

2.  Подготовиться к успешному выполнению практической работы на аудиторном практическом занятии по данной теме.

Перечень справочной литературы :

Основные источники:

• Математика: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина; под редакцией В.А. Гусева – 10-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2014. – 416 с.
• Элементы высшей математики: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, Ю.А. Дубинский – 9-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2013. – 320 с.

Дополнительные:

Учебно6е пособие по дисциплине «Математика»: пособие для обучающихся СПБ ГБПОУ «ПТК»; сотавитель В.А. Грешилова; 2014.

Краткие теоретические сведения:

Определенный интеграл

Определение. Пусть функция  определена на отрезке [a;b], a. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками

В каждом из полученных частичных отрезков  выберем произвольную точку Сi  и составим сумму     (*)

 где . Сумма вида (*) называется интегральной суммой для функции  на отрезке [a;b].

Обозначим через  длину наибольшего частичного отрезка разбиения:  

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы , когда так, что , то этот предел называют определенным интегралом от функции  на отрезке [a;b] и обозначают следующим образом:      или   . В этом случае функция  называется интегрируемой на отрезке [a;b] . Числа a и  b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – переменной интегрирования.

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости.

Основные свойства определенного интеграла

;   ;  

;  где a, b, c  любые числа.

;     .

Формула Ньютона – Лейбница

Если функция  непрерывна на отрезке [a;b] и функция у = F(x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона – Лейбница    .

Вычисление определенных интегралов

Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла  от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница:    .

При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Интегрирование подстановкой

Пусть для вычисления интеграла  от непрерывной функции сделана подстановка =(t)

Теорема. Если:

1) функция  и её производная  непрерывны при ;

2) множеством значений функции  при  является отрезок [a;b];

3)  и  то  

Интегрирование по частям

Теорема. Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формула  .

Пример.

 Вычислить .

Решение:

Ответ:

Неопределенный интеграл

 Основные свойства неопределенного интеграла

 ;                                                 ;

 ;                                               ;

                                                        .

12.2. Таблица основных интегралов.

в частности,

Основные методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Определение. Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интегрирования приводится к одному или нескольким табличным интегралом, называется непосредственном интегрированием.

Примеры:

1)

2)

Метод интегрирования подстановкой

Метод подстановки (или замены переменной) заключается в том, что заменяют  на , где  - непрерывно дифференцируемая функция, полагают  и получают  .

Примеры:

1)

2)

3)

4)

13.3. Метод интегрирования по частям

Примеры:

1)

2)

Порядок выполнения работы:

5. Используя теоретические сведения выполнить предложенное преподавателем задание
6. Соответствующим образом оформить работу

Оформление работы:

Контрольное задание. Вычислить определенный интегралы:

1.                                               17.

2.                                                             18.

3.                                              19.  

4.                                                    20.

5.                                                        21.  

6.                                      22.  

7.                                                  23.  

8.                                                  24.

9.                                                      25.    

10.                                                   26.

11.                                                  27.

12.                                        28.    

13.                                                   29.  

14.                                                30.    

15.                                         31.

16.                                                      32.

33.                                                    35.

34.                                                      36.

№1. Применяя метод непосредственного интегрирования, вычислить интегралы:

Тема: «Решение простейших задач теории вероятностей»

Цель работы: 

1. Обобщить полученные знания по теме «Решение простейших задач теории вероятностей»

2.  Подготовиться к успешному выполнению практической работы на аудиторном практическом занятии по данной теме.

Перечень справочной литературы :

Основные источники:

• Математика: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина; под редакцией В.А. Гусева – 10-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2014. – 416 с.
• Элементы высшей математики: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, Ю.А. Дубинский – 9-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2013. – 320 с.

Дополнительные:

Учебно6е пособие по дисциплине «Математика»: пособие для обучающихся СПБ ГБПОУ «ПТК»; сотавитель В.А. Грешилова; 2014.

Краткие теоретические сведения:

Опыт, испытание. Основным понятием, с которым мы будем иметь дело в дальнейшем, является понятие опыта, или испытания. Этому понятию нельзя дать математическое определение, однако ясно, что значат слова «подбросим монету и посмотрим, упала она вверх гербом или цифрой» или «включить электрическую лампочку и поглядеть, через какое время она перегорит». Для нас будет существенно лишь то, что данное испытание может иметь различные исходы. При этом для простоты будем рассматривать лишь случаи, когда множество  этих исходов конечно и равно n. С каждым опытом можно связать различные множества исходов. Важно лишь то, что при каждом испытании происходит один и только один исход.

Пример 1. При бросании игральной кости возможны следующие  исходы:

1)   А1, А2, А3, А4, А5, А6  это означает выпадение  очков от 1 до 6 включительно;

2)   В1 — выпадение нечетного числа очков, а В2 — выпадение четного числа очков;

Пример 2. При бросании монеты возможны исходы А1 – выпал герб, А2 – выпала «решка»

Пример 3. Произведен выстрел по мишени: А1 – попадание, А2 – промах.

Введем следующее определение:

Определение. Событием при данном испытании называется любое подмножество X множества U исходов.

В дальнейшем, говоря об исходах, из которых состоит событие X, мы будем говорить, что они благоприятствуют этому событию. Про остальные же исходы будем говорить, что они не благоприятствуют событию X.

Определение2. Вероятностью события X называют сумму вероятностей исходов, благоприятствующих этому событию.

Пример 1. Бросают игральную кость, событие А – выпадение четного числа очков. Ему благоприятствуют случаи А2, А4, А6, т.о. 3 исхода из 6-ти возможных.

Пример 2. Бросают монету, событие В – выпадение герба, ему благоприятствует один исход из двух возможных.

Если испытание может привести к одному и только одному из n различных равновозможных исходов и если m из этих исходов благоприятствуют появлению события А определяется формулой

Р(А)=m/n

Это классическое определение вероятности.

Основные свойства:

1. Вероятность любого события заключена между 0 и единицей:   0≤ Р(А)≤ 1
2. Вероятность достоверного события U, т.е. такое событии обязательно произойдет при испытании: Р(U)=1
3. Вероятность испытание невозможного события V равна нулю: Р(V)=0
4. Сумма вепроятностей двух противоположных событий А и Ā, т.е. таких событий, что появление одного из них исключает появление другого, равна единице:

                          Р(А)+Р(Ā)=1

Пример 1.

Из урны, в которой находится 4 белых, 9 черных, 7 красных шаров. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность, что этот шар белый?

Решение:

Элементарным исходом является извлечение любого шара. Число таких исходов равно числу шаров: 4+9+7=20, т.е. n=20. Событие А – извлечение белого шара, ему благоприятствуют 4 исхода, т.к. белых шаров 4, значит m=4, поэтому по формуле Р(А)=m/n находим: Р(А)=4/20=1/5=20%

Пример 2. Задача о выборке.

В партии из S деталей имеются Т нестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу p деталей нестандартными окажутся ровно t деталей.

Решение:

Элементарным исходом является выборка любых p изделий из общего числа S. Число таких исходом равно числу сочетаний из S по p, т.е.n=           

Интересующее нас событие А – это извлечение p деталей, из которых t нестандартные. Следовательно, благоприятными для А являются такие группы по p изделий, в которых p-t изделий – качественные, а t – нестандартные.

Число таких групп

              m=·, где , причем события из группы стандартных комбинируются из группы нестандартных, тогда

Р(А)=

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном осуществлении всех этих событий.

Теорема сложения вероятностей.

 Если события Ах, А2, ... , А п несовместны, т. е. никакие два из них не могут осуществиться вместе, то

P(А1+ А2+ ...+ Ап) = Р (A1) + Р(А2) + ... + Р(Аn)      (1)

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А при условии В {обозначается Р (А/В).

Теорема умножения вероятностей.

 Вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятности этих событий:

Р(А1А2  ... Аn) = = Р (A1)·P (А2) ·Р(А3)   ... Р (Аn )      (2)

(события А1, А2, ..., Ап независимы, т. е. осуществление любого числа из них не меняет вероятностей осуществления остальных).

Пример 3.   В партии из 50 изделий содержится пять бракованных. Какова вероятность того, что из выбранных наудачу 30 изделий не более одного бракованного?

Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что 30 изделий выборки — качественные, В — в рассматриваемой выборке из 30 изделий только одно бракованное, С— не более одного бракованного. Тогда, очевидно, С = А + В. Так как события А и В несовместны, то по формуле (1) имеем

Р(С) = Р(А) + Р(В).

Найдем вероятности событий А и В:

Р(А)=               ≈ 0,007                               Р(В)=           ≈0,065

Отсюда  Р(С)≈ 0,072

Пример 4.   Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность бесперебойной работы первого станка в течение некоторого времени t равна p1= 0,9, второго — р2= 0,8. Какова вероятность бесперебойной работы обоих станков в течение указанного промежутка времени?

Решение. Рассмотрим следующие события: A1 и А2— бесперебойная работа соответственно первого и второго станков в течение времени t; A — бесперебойная работа обоих станков в течение указанного времени. Тогда событие А есть совмещение событий А1 и А2, т. е. А  = А1·A2. Так как события At и А2 независимы (станки работают независимо друг от друга), то по формуле (3) получим

Р(А) = Р(А1)·Р(А2) = 0,9·0,8 =0,72.

Пример 5.   В примере 3 определить вероятность бесперебойной работы хотя бы одного из двух станков в течение времени   t   (событие   В).

Решение. Первый способ. Рассмотрим противоположное событие В, означающее простой обоих станков в течение времени /. Очевидно, что событие В есть совмещение событий A1 и А2 простоев первого и второго станков, т. е. В = Ā1 ·Ā2. Так как события Ā1 и Ā2? независимы,   то

Р(В) = Р (Ā1) .Р(Ā2) = ( 1- Р(А1))· ( 1- Р(А2)) = = 0,1·0,2 = 0,02.

Отсюда

Р{В) = 1 — Р(В) = 0,98.

Второй способ. Событие В происходит в том случае, когда имеет место одно из следующих трех несовместных событий: либо A1·Ā2—совмещение событий A1 4 и Ā2 (первый станок работает, второй — не работает), либо Ā1·А2— совмещение событий   Ā1  и А2 (первый станок не работает, второй — работает), либо А1А2— совмещение событий А1 и Л2 (оба станка работают), т. е.

В = А1 Ā2+Ā1А2+ A1A2.

По формуле (1) получим

Р(В) = Р(А1    Ā2) + P(Ā1A2) + P(A1A2).

В силу того, что события A1 и А2, а следовательно, Ā1 и Ā2,  независимы, имеем

Р(В)=Р(А1)·Р(Ā2)+Р(Ā1).Р(А2) + Р(А1)·Р(А2) = = Р(А1)[1-Р(А2)]+[1-Р(А1)]Р(А2) + Р(А1).Р(А2)=0,98.

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Если   с  некоторым  опытом  связано   п   исключающих  друг друга событий (гипотез)Н1 , Н2, ..., Нn и если событие А может осуществиться только при одной из этих гипотез, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

 Р(А) = P(H1)P(A/H1) + Р(А2)Р(А/Н2) +   ... + Р(Нп)Р(А/Нп).

После проведения опыта, в результате которого осуществилось событие А, вероятности гипотез Нi можно переоценить по формуле   Байеса:

Р (Нi / А) =   Р(Нi) · Р( А / Нi )

                                    Р (А)

Пример 5. Имеется три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 5 черных, во второй — 5 белых и 4 черных, в третьей — 6 белых шаров. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что: а) этот шар окажется белым; б) белый шар вынут из второй урны.

Решение, а) Пусть А — событие, означающее, что извлечен белый шар. Рассмотрим три гипотезы:

H1— выбрана первая урна; Н2— выбрана вторая урна ; Нз—     третья .Так как урна, из которой извлекают шар, выбирается наугад, то

Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Нз) = ⅓

Условные вероятности события А соответственно равны:

P(A/Н1) = 4/9  (вероятность   извлечения   белого   шара    из первой урны),

Р(А/Н2) = 5/9 (вероятность   извлечения   белого   шара  из второй урны),

Р(А/Н3) = 1    (вероятность    извлечения    белого    шара   из третьей урны).

а) Отсюда по формуле полной вероятности получим

Р(А)=1/3×4/9 + 1/3×5/9 + 1/3×1 = 2/3

б) Для определения вероятности того, что белый шар извлечен из второй урны, воспользуемся формулой Байеса:

Р{Н2 /А) = Р(Н2)Р(А/Н2) ‗  1/3×5/9         

                       P(A)                 2/3

Схема повторных испытаний. Формула Бернулли

Если при одних и тех же условиях определенный опыт повторяется п раз и если вероятность появления некоторого события А в каждом опыте равна р, то вероятность того, что событие А в серии из п опытов произойдет ровно k раз, находится по формуле Бернулли:

Рn (k) = С   рk  q n-k  , где q=1- р

Порядок выполнения работы:

1. Используя теоретические сведения выполнить предложенный преподавателем вариант задания.
2. Соответствующим образом оформить работу

Задания по вариантам:

Тема: «Матрицы и действия с ними»

Цель работы: 

1. Обобщить полученные знания по теме «Матрицы и действия с ними»

2.  Подготовиться к успешному выполнению практической работы на аудиторном практическом занятии по данной теме.

Перечень справочной литературы :

Основные источники:

• Математика: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина; под редакцией В.А. Гусева – 10-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2014. – 416 с.
• Элементы высшей математики: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, Ю.А. Дубинский – 9-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2013. – 320 с.

Дополнительные:

Учебно6е пособие по дисциплине «Математика»: пособие для обучающихся СПБ ГБПОУ «ПТК»; сотавитель В.А. Грешилова; 2014.

Краткие теоретические сведения:

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

.

Для обозначения матрицы используют прописные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись « матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица  имеет размер 2x3. Далее, bij  - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца данной матрицы (в примере b23=5).

При ссылке на i-ю строку матрицы A используют обозначение Ai, при ссылке на j-й столбец – обозначение Aj.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы a11 , a22 ,…,  ann  квадратной матрицы A (размера nxn) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1, называется единичной. Наконец, квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней) треугольной матрицей. Например, среди квадратных матриц размера 3x3

, , ,

матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.

Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.

Арифметические действия с матрицами.

Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Чтобы найти сумму матриц A, B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

.

Пример 1. Найти 2A-B, если , .

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число «2», затем матрицу B на число «-1», и, наконец, находим сумму полученных матриц:

Имеем:

Произведение AB можно определить только для матриц A размера mxn и B размера nxp, при этом AB=C, матрица C имеет размер mxp, и ее элемент cij находится как скалярное произведение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B:  (i=1,2,…,m;  j=1,2,…,p). Фактически необходимо каждую строку матрицы  A (стоящей слева) умножить скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа).

Пример 2. Найти произведение матриц   и .

Решение.  Размер матрицы  A 3x2, матрицы  В  2х2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА – нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:

Матрицей, транспонированной к матрице A размера mxn, называется матрица AT размера nxm, строки которой являются столбцами исходной матрицы.

Например, если  , то .

Пример 3. Найти  .

Решение. Воспользовавшись вычислениями, проведенными при решении примера, а также правилами умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:

.

Матрицы A, B называются эквивалентными, если одна получена из другой путем элементарных преобразований.

Рангом матрицы A в дальнейшем будем считать число строк эквивалентной ей ступенчатой матрицы, используя обозначение  r(A). Так, в рассмотренном выше примере 3.4 r(A)=3, r(B)=2. Можно доказать, что ранг матрицы A (размера mxn) не может быть больше  (например, для матрицы А размера 2x3 ). Кроме того, ранг матрицы не зависит ни от выбора ведущих элементов, ни от проводимых преобразований. Это свойство можно использовать при проверке. Так, в примере 3.4 после перестановки первой и второй строки в матрице B можно в качестве ведущего сначала рассмотреть элемент b12, а затем вычеркнуть третью строку, пропорциональную второй ():

Вычисление определителей. Определитель  матрицы A размера 2x2 (определитель 2-го порядка) – это число, которое можно найти по правилу:

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Определитель матрицы A размера 3x3  (определитель 3-го порядка) – число, вычисляемое по правилу «раскрытие определителя по первой строке»:

Пример 4. Найти:

Решение. При нахождении определителя воспользуемся сначала формулой , а затем (для вычисления определителей 2-го порядка) формулой .

Порядок выполнения работы:

1. Используя теоретические сведения выполнить предложенный преподавателем вариант задания.
2. Соответствующим образом оформить работу

Задания

Задание 1. Выполнить арифметические действия с матрицами:

1) ;                         2) ;

3) ;                4) ;

5)  ;        

6);

7)         

Задание 2. Доказать равенство (AB)C=A(BC) для матриц:

1) ,  ,  ;

2) ,  ,  ;

3) ,  ,  ;

Задание 3. Найти: 1) ;       2) ;       3) .

Задание 4. Вычислить определители:

Тема: «Действия над комплексными числами»

Цель работы: 

1. Обобщить полученные знания по теме «Действия над комплексными числами»

2.  Подготовиться к успешному выполнению практической работы на аудиторном практическом занятии по данной теме.

Перечень справочной литературы :

Основные источники:

• Математика: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина; под редакцией В.А. Гусева – 10-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2014. – 416 с.
• Элементы высшей математики: учебник для студентов образовательных учреждений СПО/С.Г. Григорьев, Ю.А. Дубинский – 9-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия». 2013. – 320 с.

Дополнительные:

Учебно6е пособие по дисциплине «Математика»: пособие для обучающихся СПБ ГБПОУ «ПТК»; сотавитель В.А. Грешилова; 2014.

Краткие теоретические сведения:

Основные понятия

        Квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не  имеет действительных корней. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.

        Комплексным числом - называется выражение вида  z = a+b i , где a  и b действительные числа, число а называется действительной частью комплексного числа z = a+b·i,       а число b – его мнимой частью,  а i – мнимая единица, определяемая равенством i ² = -1.

Например, действительная часть комплексного числа z = 2+3·i  равна      a =2, а мнимая равна b = 3.

Действительные числа:      z=a+0i=a, z=Re z.

Мнимые числа:      z=0+bi=bi, z=Im z.

Равные комплексные числа:      z1=a+bi, z2=c+di,              z1=z2, если a=c, b=d.

Противоположные комплексные числа:           z=a+bi,                 z=-a-bi.

Сопряженные комплексные числа:           z=a+bi,                 z=a-bi.

        Алгебраическая форма записи комплексных чисел:    z =a + bi

Сложение и умножение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z1=a+b·i  и z2= c+d·i называется комплексное число:       z = z1 + z2  = (a+b·i ) + ( c+d·i ) = (a+c) + (b+d)·i,

Произведением двух комплексных чисел z1=a+b·i  и z2= c+d·i называется комплексное число :      z = z1 · z2 =( a+b·i )·( c+d·i )=(a·c – b·d) + (a·d + b·c)·i

Из формул вытекает, что сложение и умножение можно выполнять  по правилам действий с многочленами, считая i2= –1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства:

Переместительное свойство:

        Z1 +Z2=Z2+Z1,   Z1·Z2=Z2·Z1

Сочетательное свойство:

        (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3),  (Z1·Z2)·Z3=Z1·(Z2·Z3)

Распределительное свойство:

        Z1·(Z2+Z3)=Z1·Z2+Z1·Z3  

        Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

                                                            Рисунок 1.

        Согласно определению сложения двух комплексных чисел, действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых, мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей слагаемых. Точно также определяются координаты суммы векторов (Рис.1).

Вычитание и деление комплексных чисел

Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел Z1 и Z2 существует, и притом только одно, число Z, такое, что:     Z + Z2=Z1                                 Z = Z1 – Z2

Число Z=Z1+(-Z2 )называют  разностью чисел Z1 и Z2.

                Z= (a+b·i ) - ( c+d·i ) = (a-c) + (b-d)·i,

Деление вводится как операция, обратная умножению:   Z⋅Z2=Z1

Разделив обе части на Z2 получим:      Z=

Из этого уравнения  видно, что Z20

Производится умножение делимого и делителя на число, сопряженное делителю.                                Z==    

      Геометрическое изображение разности комплексных чисел                    

  Рисунок 2

      Разности  Z2  – Z1 комплексных чисел Z1 и Z2, соответствует разность векторов, соответствующих числам Z1 и Z2. Модуль  разности двух комплексных чисел Z2 и Z1 по определению модуля есть длина вектора Z2  – Z1. Построим этот вектор, как сумму векторов Z2 и      (–Z1) (рисунок 2). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.

Примеры вычислений

Пример 1: Найти сумму и произведение комплексных чисел  Z1=2 – 3⋅i  и              

Z2= –7 + 8⋅i.

Z1 + Z2 = 2 – 7 + (–3 + 8)⋅i = –5 + 5⋅i

Z1⋅Z2 = (2 – 3⋅i)⋅(–7 + 8⋅i) = –14 + 16⋅i + 21⋅i + 24 = 10 + 37⋅i

Пример 2: Найти сумму и произведение комплексных чисел  Z1=1 + 2⋅i  и Z2= 2 -  i.

    Имеем

Пример 3:

Даны комплексные числа Z1= 4 + 5·i  и Z2= 3 + 4·i. Найти разность Z2 – Z1 и частное

Z2 – Z1 = (3 + 4·i) – (4 + 5·i) = –1 – i

==

Контрольные вопросы:

• понятие комплексного числа (К.Ч.);
• алгебраическая форма записи К.Ч;

      -     арифметические операции над К.Ч.

Порядок выполнения работы:

1. Используя теоретические сведения выполнить предложенный преподавателем вариант задания.
2. Соответствующим образом оформить работу

Задания

Вариант № 1

1. Дано  комплексное  число

                           Z  =   21  –   4  i

      Записать  число  равное,  противоположное, сопряженное  исходному.  

2. Выполнить действие

                           Z  = ( 3    -   2 i  +  ( - 6    -   2 i  )

3. Выполнить умножение

                           Z  = (  3    +   4 i  ) (  1   +   3 i  )

4. Выполнить деление

                            Z  = ( - 6    +   2 i  )) : ( 3    -   4 i  )

5. Выполнить действия

                       Z  = ( 5    +   2 i  ) : (  2   -   5 i  ) + (7    +   3 i  ) : (  1   -   2 i  )

Вариант № 2

1. Дано  комплексное  число

Z  =   3  +  9  i

Записать  число  равное,  противоположное, сопряженное  исходному.  

2. Выполнить действие

Z  = ( 5    +   3 i  ) +  ( - 2    -   5 i  )

3. Выполнить умножение

Z  = (  -2    +   3 i  ) ( -1    -  6 i  )

4. Выполнить деление

Z  = ( 4   +-  3 i  ) : ( -2   -   5 i  )

5. Выполнить действия

                       Z  = ( -1    +   3 i  ) : (  5   +    i  )  - ( 3    -   4 i  ) : (  4   +   3 i  )