Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине "Электротехника и электроника"
методическая разработка на тему

Лабораторная работа № 3 ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Цель работы:

• исследование режимов работы симметричного и несимметричного потребителей электрической энергии в трехфазных электрических цепях;
• определение основных соотношений между фазными и линейными токами и напряжениями при симметричной нагрузке и включении потребителей звездой и треугольником.

Основные теоретические положения

Симметричная трехфазная ЭДС

Трехфазные цепи представляют собой частный случай многофазных цепей переменного тока. Многофазными цепями называется совокупность однофазных электрических цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, отличающиеся по фазе одна от другой. Каждую из цепей, входящих в многофазную цепь, называют фазой.

Наибольшее распространение в современной электроэнергетике получили трехфазные цепи.

К преимуществам использования трехфазных электрических цепей по сравнению с однофазными следует отнести: возможность получения вращающегося магнитного поля и использования наиболее простых, надежных и дешевых асинхронных электродвигателей, меньший расход проводниковых материалов на сооружение линий электропередачи, высокие экономические показатели трехфазных генераторов и трансформаторов, возможность подключения к трехфазной сети приемников, рассчитанных на два различных по значению напряжения. Благодаря этим преимуществам трехфазные цепи получили исключительно широкое применение.

Трехфазная цепь состоит из трех основных элементов: источника, линии передач, приемников (потребителей). В качестве трехфазных источников напряжений на электрических станциях используются трехфазные синхронные генераторы, на статоре которых размещается трехфазная обмотка, фазы которой смещены в пространстве относительно друг друга на угол 120°. Трехфазный генератор схематически изображен на рис. 1.

Каждая фаза обмотки генератора условно показана одним витком. Начала фаз обозначаются буквами А, В, С, а соответствующие им концы X, Y, Z. При вращении ротора, выполненного в виде электромагнита постоянного тока, в неподвижных обмотках статора будут индуцироваться переменные ЭДС, сдвинутые друг относительно друга по фазе также на

120° (2л/3):

еА = EAm sin rat;

eB = EBm sin (rat - 2л/3); eC = ECm sin (rat + 2л/3),

где EAm, EBm и ЕСт — амплитудные значения ЭДС соответственно фаз А, В и С. Положительное направление ЭДС в каждой фазе от конца обмотки к началу обмотки.

Рис. 1

ЭДС обмоток имеют одинаковые амплитуды и сдвинуты по фазе относительно друг друга на угол 2 л/3. Такая система называется симметричной. На рис. 2 показаны векторные диаграммы трехфазной симметричной системы ЭДС.

Система ЭДС, в которой EB отстает от EA, а EC отстает от EB, называется системой прямой последовательности фаз (рис. 2, а). Если изменить направление вращения ротора генератора, то последовательность фаз ЭДС изменится и будет называться обратной (рис. 2, б).

Схема соединения "звезда"

Обмотки современных трехфазных генераторов соединяются, как правило, по схеме "звезда". Звездой называется такое соединение фаз генератора или трехфазной нагрузки, при котором одноименные зажимы (например, концы фаз X, Y, Z) объединяются в одну общую точку (рис. 3).

Приемники электрической энергии соединяются по схемам "звезда" и "треугольник".

Общие точки обмоток генератора (точка N) и ветвей звезды приемника (точка n) называются нейтральными или нулевыми точками, соеди

няющий их провод — нейтральным или нулевым проводом. Провода, соединяющие начала фаз генератора и приемника, называют линейными. Цепь, изображенная на рис. 3, называется четырехпроводной. Отключая нулевой провод, получим трехпроводную трехфазную цепь, соединенную звездой.

а)        б)

Рис. 2

Напряжение между началом и концом каждой фазы генератора (нагрузки) называют фазным:

UA, Ub , Uc — фазные напряжения генератора,

Ua, Ub, Uc — фазные напряжения нагрузки.

Напряжения между началами фаз генератора (нагрузки) называют линейными — Um, UBC, UCA.

На практике часто пренебрегают внутренним сопротивлением фаз

генератора, поэтому фазные напряжения генератора UA, UB, Uc считают
равными фазным ЭДС и изображают их симметричной системой векторов
(рис. 4).

Линейные и фазные напряжения генератора связаны следующими
соотношениями, полученными по второму закону Кирхгофа:

Uab = Ua - Ub , Ubc = UR - Uc, U(

'CA

Ur

Ua ■

В соответствии с этими уравнениями построена топографическая
векторная диаграмма линейных напряжений (рис. 4). Для генератора вели-
чина каждого линейного напряжения будет в V3 раз больше величины
фазного напряжения:

U Л =Лиф ■

По аналогии с фазными и линей-
ными напряжениями различают фазные
и линейные токи. Токи IA, IB и IC в
соответствующих линейных прово-
дах называются линейными, токи,
протекающие по фазам, — фазны-
ми, а ток IN в нейтральном проводе
называется нейтральным.

Из схемы рис. 3 видно, что об-
мотка генератора, линейный провод и
приемник, принадлежащие одной фазе,
соединяются последовательно, следо-
вательно, фазные токи равны соответ-

и

BC

ствующим линейным:

Ток в нейтральном проводе может быть определен по первому зако-
ну Кирхгофа, на о4новании которого для нейтральной точки потребителя
можно записать уравнение

L

1A + 1B + 1C

- N •

Следовательно, ток в нейтральном проводе равен векторной сумме фазных токов.

Применяя второй закон Кирхгофа к контурам anba, bncb и cnac (см. рис. 3) можно получить следующие соотношения между линейными и фазными напряжениями потребителя:

U

AB

Ua - Ub , UBC

Ub - Uc , UCA = Uc - Ua ■

Эти соотношения справедливы независимо от величины и характера сопротивлений фаз потребителя, а также от того, имеется или отсутствует нейтральный провод.

Нагрузка, при которой комплексные сопротивления всех фаз потребителя равны между собой: Za = Zb = Zc, называется симметричной. При этом равны в отдельности активные и реактивные сопротивления всех фаз: Ra = Rb = Rc и Xa = Xb = Xc.

Сопротивления линейных проводов, так же как и сопротивление нейтрального, обычно малы, и их можно не учитывать. В этом случае комплексные значения линейных и фазных напряжений приемника оказываются равными соответственно комплексным значениям линейных и фазных напряжений генератора. Следовательно, векторная диаграмма напряжений потребителя будет совпадать с векторной диаграммой напряжений генератора (рис. 4). Из векторной диаграммы следует, что при соединении потребителя электроэнергии звездой при симметричной нагрузке между фазными и линейными напряжениями потребителя существует соотношение:

u Л = Тэиф.

Ток в каждой фазе может быть определен по закону Ома для цепи синусоидального тока:

Ia = UJZa , Ib = Ub/Zb и Ic = UJZc . (1)

Так как фазные напряжения и фазные сопротивления потребителя электроэнергии равны между собой, то фазные токи при симметричной нагрузке также равны по значению 1А = 1B = Ic = 1Ф и углы сдвига векторов фазных токов относительно векторов фазных напряжений одинаковы фа = фЬ = фс = ф и определяются из выражений:

Фа = arctg(Xa/Ra) = фь = arctg(Xb/Rb) = фс = arctg(Xc/Rc)

При симметричной нагрузке фазные токи образуют симметричную систему, вследствие чего ток в нейтральном проводе равен нулю:

Ia +1 в + Ic = 0 >

поэтому при симметричной нагрузке этот провод становится не нужным и применять его нет смысла. Векторная диаграмма напряжений и токов при симметричной активно-индуктивной нагрузке дана на рис. 5.

При несимметричной нагрузке комплексные сопротивления всех трех фаз в общем случае не равны между собой, т.е. Za ф Zb ф Zc.

Пренебрегая сопротивлениями линейных проводов, можно считать, что линейные напряжения потребителя независимо от характера нагрузки равны соответствующим линейным напряжениям генератора, т.е. система линейных напряжений и при несимметричной нагрузке симметрична.

Включение нейтрального про-
вода позволяет принудительно урав-
нять потенциалы нейтральных точек
генератора и приемника. Следова-
тельно, фазные напряжения потреби-
теля равны соответствующим фазным
напряжениям генератора, т.е. остается
справедливым соотношение между
фазными и линейными напряжениями
приемника:

и ф= и J 43.

При наличии нейтрального про-
вода и несимметричной нагрузки гео-
метрическая сумма векторов фазных

токов трехфазной системы в соответствии с первым законом Кирхгофа для
нейтральной точки равна току в нейтральном проводе:

I A + IB + IC = IN ф 0

Векторная диаграмма для несимметричной активной нагрузки с нейтральным проводом имеет вид, представленный на рис. 6, а.

Таким образом, нейтральный провод обеспечивает симметрию фазных напряжений приемника при несимметричной нагрузке. Поэтому несимметричную нагрузку включают в четырехпроводную цепь, при этом режим работы каждой фазы нагрузки, находящейся под неизменным фазным напряжением, не будет зависеть от режима работы других фаз.

Если сопротивлением нейтрального провода не пренебрегать, то при 1N ф 0 (нагрузка несимметричная) напряжения на фазах нагрузки не будут равны соответствующим фазным напряжениям генератора.

Между нейтральными точками генератора и нагрузки появится напряжение Um, называемое напряжением смещения нейтрали. На векторной диаграмме произойдет смещение нейтральной точки нагрузки (n) (рис. 6, б).

Из рис. 3 видно, что при соединении звездой трехфазная система представляет собой электрическую цепь с двумя узлами - нейтральными точками N и n. Наиболее удобным методом расчета в данном случае является метод двух узлов. В соответствии с ним напряжение между нейтральными точками генератора и потребителя определяется по следующей формуле:

r V = U A • Y a + U в • Y b + U с • Y с

nN        Ya + Y b+ Y с + Y N , ()

Рис. 5

где Ya = 1/ Za; Yb = 1/ Zb; Yc = 1/ Zc; YN = 1/ ZN — комплексные проводимости фаз потребителя и нулевого провода соответственно. Данное выражение позволяет учесть реальные, отличные от нуля сопротивления линейных и нейтрального проводов.

a)

Ubc

б)

Рис. 6

Фазные напряжения генератора, приемника и напряжения смещения нейтрали связаны соотношениями, полученными по второму закону Кирхгофа (рис. 3):

Ua = Ua - U„N, Ub = Ub - U„N, Uc = Uc - U„N.

По определенным таким образом фазным напряжениям и используя приведенные выше соотношения (1), можно найти токи фаз потребителя, работающего в несимметричном режиме.

При увеличении сопротивления нулевого провода эффективность его использования при несимметричной нагрузке уменьшается. В случае обрыва нейтрального провода значения фазных напряжений оказываются существенно зависящими от степени несимметрии нагрузки, т.е. от значений и характера сопротивлений различных фаз трехфазного потребителя. Так как сопротивления фаз могут изменяться в широких пределах, существенно могут изменяться и фазные напряжения. На одних фазах приемника напряжение может оказаться значительно больше, а на других меньше

фазного напряжения сети ил/V3, т.е. того напряжения, на которое рассчитаны приемники. А это недопустимо. По этой причине предохранители не включают в нулевой провод.

Рассмотрим два крайних случая несимметричного режима работы трехфазного потребителя без нейтрального провода: режим короткого за

мыкания и режим обрыва фазы. Для определенности предположим, что до возникновения несимметричного режима сопротивления фаз трехфазного потребителя были одинаковыми и активными: Ra = Rb = Rc = R.

В случае короткого замыкания одной фазы потребителя электроэнергии (например, фазы «а», рис. 7, а), потенциал нейтральной точки приемника оказывается равным потенциалу начала фазы А генератора. Нейтральная точка n на векторной диаграмме (рис. 7, б) смещается в вершину треугольника линейных напряжений (А, а), соответствующую короткозамкнутой фазе. Фазное напряжение Ua = 0. Напряжения на незако-

роченных фазах: Ub = -UAB, Uc = UCA, т.е. увеличиваются до линейных напряжений. По этой причине токи /в и /С возрастают в л/3 раз. Ток фазы A при этом IА = -(Iв + Ic) и превышает свою величину до возникновения режима короткого замыкания в три раза.

A

B

c

а

b

R„

/

R

/

n

R

а)

б)

Рис. 7

с

A

Г еометрическая сумма векторов всех трех фазных токов в этом случае также равна нулю.

Отключение нагрузки одной из фаз в трехфазной системе (рис. 8, а) можно также рассматривать как частный случай несимметричной нагрузки, при которой сопротивление отключенной фазы равно бесконечности.

A

B

C

a

b

R

I

R

n

I

R

а)

Рис. 8

б)

Пусть имеет место обрыв фазы а. В этом случае комплексная проводимость фазы а: Y a = 0, а проводимости двух других фаз одинаковы и активны: Y b = Y c = G. Подстановка проводимостей фаз в выражение для напряжения смещения нейтрали (2) дает

UnN = G (U в + Uc)/2G = -Ua /2.

Вектор UnNна рис. 8, б определяет положение, куда сместится нейтральная точка потребителя n' в результате обрыва фазы. Фазное напряжение Ua увеличивается в 1,5 раза, а напряжения Ub и Uc уменьшаются в

2/V3 раза, т.к. они становятся равными половине линейного напряжения. Ток в фазе а равен нулю, а токи в фазах b и с остаются равными друг другу по величине и уменьшаются в 2/ V3 раза из-за уменьшения напряжений Ub и Uc.

Схема соединения "треугольник"

При соединении по схеме “треугольник” конец предыдущей фазы соединяется с началом следующей фазы (рис. 9). Напряжения, токи и сопротивления фаз потребителя обозначаются индексами, соответствующими линиям, к которым подключается данная фаза. Независимо от значений и характера сопротивлений фаз приемника каждое фазное напряжение приемника        равно        соответствующему        линейному:

Uab = UAB; Ubc = UBC; Uca = UCA. По величине фазные напряжения равны

линейным U,^ и Uj. Если не учитывать сопротивлений проводов сети, то напряжения приемника равны соответствующим напряжениям генератора.

c

Соединение фаз потребителя треугольником следует применять в случае,
когда номинальное напряжение каждой фазы приемника соответствует ли-
нейному напряжению сети.

Из схемы рис. 9 видно, что фазные токи Iab, Ibc и !са в общем случае не
равны линейным токам IA, IB и IC. Соотношение между линейными и фаз-
ными токами можно установить, применяя первый закон Кирхгофа для то-
чек разветвления a, b и с:

IA = I

ab

I ca ; IB

I bc - I ab ; IC = I ca - I be (3)

Из полученных выражений следует, что каждый вектор линейного
тока равен разности векторов соответствующих фазных токов. Фазные то-
ки при соединении потребителя "треугольником" определяются в соответ-
ствии с законом Ома:

1 ab = UAb/Zab ; Ac = UBc/Zbc ; 1 ca = UCa/Zca .

Углы сдвига по фазе между векторами фазных напряжений и соот-
ветствующими векторами фазных токов I ab, I Ьс, 7са определяются
фазными сопротивлениями потребителя:

9ab = arctgXb/Rab; Фьс = arctgXbс/Rbс; фса = arctgXca/Rca .

При симметричной нагрузке токи
всех трех фаз будут равны между собой
и векторы токов сдвинуты относительно
соответствующих векторов линейных
напряжений на одинаковые углы. Из
векторной диаграммы для активно-
индуктивной нагрузки, представленной
на рис. 10, видно, что и линейные токи
оказываются равными. Следует обра-
тить внимание на то, что при построе-
нии векторной диаграммы для соедине-

ния потребителя треугольником вектор линейного напряжения U приня-
то направлять вертикально вверх. Между фазными и линейными токами
при симметричной нагрузке выполняется соотношение

IЛ = 4bI„ .

Важной особенностью соединения фаз нагрузки треугольником является то, что при изменении сопротивления одной из фаз будут изменяться только ток данной фазы и линейные токи в проводах, соединенных с этой фазой.

c

Рис. 9

Так как линейные напряже-
ния генератора постоянны, режимы
работы других фаз останутся неиз-
менными, поэтому схема соедине-
ния треугольником широко ис-
пользуется для включения несим-
метричной однофазной нагрузки,
например, ламп накаливания.

Векторная диаграмма, по-
строенная для случая несиммет-
ричной активной нагрузки трех-
фазного потребителя при соедине-
нии треугольником, представлена
на рис. 11.

Проведем анализ двух част-
ных случаев несимметричной на-
грузки трехфазного потребителя:
обрыва фазы и обрыва линейного
провода. В обоих случаях будем
предполагать для определенности,
что до возникновения несиммет-
ричных режимов работы потреби-
теля сопротивления фаз были оди-
наковыми по величине и активны-
ми, т.е.: Rab = Rbc = Rca. При обрыве
фазы ab фазный ток Iab = 0
(рис. 12, а). Другие фазные токи не
изменились. Линейный провод B
оказывается        последовательно

включенным с фазой bc, поэтому

линейный ток

же основании

1 в = I bc (3). На этом

1 a =-1 ca(с учетом

Рис. 11

взаимного направления токов IA и Ica). Таким образом, токи IA и IB уменьшаются в л/3 раз и становятся равными фазным токам. Ток линии C Ic остается неизменным и определяется так же, как и в исходном режиме (1). Векторная диаграмма данного режима работы потребителя приведена на рис. 12, б.

При обрыве одного из линейных проводов трехфазная цепь преобразуется в однофазную цепь. На рис. 13, а представлена схема трехфазной цепи с обрывом линейного провода С. Фазы приемника образуют две па-

раллельные ветви, находящиеся под действием линейного напряжения UAB. Ток /аЬ фазы ab не меняется, так как остается неизменным напряжение, приложенное к этой фазе. Фазы bc и ca соединены последовательно, поэтому их токи одинаковы (это фактически один и тот же ток) и совпадают по фазе с током /аЬ, так как определяются одним и тем же напряжением Ub. Линейный ток 1А = /аЬ + /са совпадает по фазе с током /аЬ, а по значению в 1,5 раза больше его. Векторная диаграмма токов и напряжений для данного режима представлена на рис. 13, б.

A

«

Ib

а)        б)

Рис. 12

Мощность трехфазного потребителя

Мощности каждой фазы трехфазного потребителя определяются так же, как и при расчете однофазных цепей. Активная, реактивная и полная мощности фаз определяются из выражений:

Рф — Uфlфcosфф, — иф/ф8Шфф, 5ф —

При несимметричной нагрузке необходимо определять мощность каждой фазы в отдельности. Активная мощность трехфазного потребителя равна сумме активных мощностей фаз. С учетом принятых обозначений при соединении звездой активная мощность потребителя

P — Pa + Pb + Pc — и^СОБфа + Ц/вСОБфь + ЩсСОБфс.

При соединении треугольником

P Pab + Pbc + Pca UabIabcosфab + UbcIbccosфbc + UcaIcacosфca.

Реактивная мощность трехфазного потребителя равна алгебраической сумме реактивных мощностей отдельных фаз. Для соединения звездой реактивная мощность Q = Qa + Qb + Qc = Ua/Asin9a + U^sin^ + Ц^шфс.

Реактивная мощность при соединении треугольником

Q Qab + Qbc + Qca UAB^ab^n^ab + UBC^bc^n^bc + UcA-^ca^^^ca.

Реактивная мощность фазы будет положительной при индуктивном характере сопротивления фазы, а отрицательной - при емкостном.

Полная мощность трехфазной цепи

S = V P2 + Q2 .

При симметричной нагрузке фазные напряжения, токи и углы сдвига фаз оказываются равными. Вследствие этого равны также активные, реактивные и полные мощности всех трех фаз потребителя электроэнергии. Мощность трехфазного потребителя всегда удобнее вычислять через линейные напряжение и ток, так как линейные величины всегда удобнее измерять.

A

а)

/bc /ca

I

ab

б)

Рис. 13

ab

V-/b

Активная мощность симметричного трехфазного потребителя независимо от схемы его соединения может быть найдена через линейные токи и напряжения:

Р=3Рф=3иф/ф^фф =73 UлIлC0Sфф.

Аналогично можно получить и формулу для реактивной мощности симметричного трехфазного потребителя:

Q = 3Qф = зиф/ф sin фф = л/3 UлIлsinфф.

При симметричном приемнике его полная трехфазная мощность

s=з(/ф iф=Su ЛiЛ.

Методические указания по выполнению работы

1. Ознакомиться с основными теоретическими положениями и законами цепей трехфазного тока и ответить на контрольные вопросы.
2. Произвести внешний осмотр измерительных приборов: амперметров, вольтметров, установленных на панели № 2 универсального лабораторного стенда, измерительного комплекта К505, цифрового вольтметра В7-38 и записать в отчет по лабораторной работе технические данные (тип, систему, род тока, предел измерения, класс точности, цену деления шкалы прибора), параметры исследуемой электрической цепи.
3. Исследовать трехфазную цепь при соединении приемников электрической энергии звездой с нейтральным проводом. Принципиальная схема цепи приведена на рис. 14, а.

а)        б)

Рис. 14

4. Собрать четырехпроводную трехфазную цепь по монтажной схеме, рис. 15, используя в качестве нагрузки каждой фазы три постоянных и один переменный резисторы, соединенные последовательно. Подключить к исследуемой цепи нейтральный провод. Для этого соединить соединителем штекерное гнездо «0» источника питания с соответствующей генераторной клеммой измерительного комплекта, а нагрузочную клемму «0» измерительного комплекта с соответствующим нагрузке штекерным гнездом (рис. 15).
5. Питание цепи производить от трехфазного источника, расположенного на панели источников с линейным напряжением иЛ = 220 В. Измерить линейные токи с помощью измерительного комплекта К505. Измерить фазные и линейные напряжения с помощью вольтметра В7 -38, установленного на панели стенда, поочередно подключая его к соответствующим точкам цепи. Измерение тока в цепи нейтрального провода произво-

дить амперметром с пределом измерения 1 A, расположенным на панели
№ 3.

100 Ом        100 Ом        150 Оы

К 505

100 Ом        100 Ом 150 Ом

Рис. 15

6. Изменяя сопротивления переменных резисторов в фазах цепи, измерить и записать в табл. 1 величины линейных токов, фазных и линейных напряжений для различных режимов работы цепи.

Таблица 1

7. Исследовать трехфазную цепь при соединении приемников электрической энергии звездой без нейтрального провода. Собрать трехпроводную трехфазную цепь по монтажной схеме, рис. 16. Отключить нейтральный провод от исследуемой цепи.

Примечание:

Обрыв фазы производить отжатием кнопки, размыкающей фазу, указанную преподавателем.

8. Изменяя сопротивления переменных резисторов в фазах цепи, измерить и записать в табл. 2 величины линейных токов, фазных и линейных напряжений для различных режимов работы цепи.

Примечания:

Обрыв фазы производить отжатием кнопки, размыкающей фазу, указанную преподавателем.

Короткое замыкание производить, соединяя проводом начало и конец указанной преподавателем фазы.

100 Ом

100 Ом 150 Ом

Рис. 16

Таблица 2

9. Исследовать трехфазную цепь при соединении потребителей электрической энергии треугольником. Принципиальная схема трехфазной цепи показана на рис. 14, б.
10. Собрать электрическую цепь по монтажной схеме на рис. 17.
11. Изменяя величины переменных сопротивлений резисторов нагрузки, измерить и записать в табл. 3 величины линейных и фазных токов, линейных напряжений при симметричном и несимметричном режимах работы цепи. Произвести обрыв фазы и линии, указанных преподавателем, результаты измерений также записать в табл. 3.
12. Измерение линейных токов производить, используя измерительный комплект К505. Линейные напряжения измерить цифровым вольтмет

ром В7-38. Для измерения фазных токов использовать амперметры на панели стенда с пределом измерения 1 A.

150 Ом

Рис. 17

Таблица 3

13. Обработать результаты измерений по пп. 5 , 8 и 11:

1. Рассчитать мощности отдельных фаз Рф = 1фПф и общую мощность P = ^Рф для соединения "звезда" с нейтральным проводом (табл. 2).

Сравнить вычисленные значения с результатами измерений.

2. Определить соотношения между фазными и линейными значениями напряжений (пп. 5, 8), а также фазными и линейными значениями токов (п. 11) для симметричных режимов; внести эти соотношения в соответствующие таблицы.
3. По данным измерений табл. 1 построить в масштабе векторные диаграммы напряжений, по данным измерений табл. 2 и 3 построить векторные диаграммы токов и напряжений.

Контрольные вопросы

1. Чем была вызвана необходимость разработки трехфазных цепей и почему они получили широкое практическое применение?

2. Каковы способы изображения симметричной системы ЭДС трехфазного генератора?
3. Укажите соотношения между фазными и линейными напряжениями.
4. В чем преимущество четырехпроводной трехфазной цепи?
5. Какова роль нейтрального провода? Почему в нейтральный провод не включают предохранители?
6. Что такое напряжение смещения нейтрали? Как его определяют?
7. В каких случаях применяют трехпроводные цепи?
8. Как определяют фазные и линейные токи при соединении приемников треугольником?
9. Укажите соотношения между фазными и линейными токами.
10. Как выбрать схему включения приемника в трехфазную сеть?
11. Как выражается активная, реактивная и полная мощности трехфазных приемников (симметричных и несимметричных)?

Лабораторная работа № 4 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Цель работы:

• исследование переходных процессов в линейных электрических цепях при наличии одного и двух накопителей энергии;
• установление влияния параметров исследуемой цепи на характер переходного процесса;
• исследования и измерения параметров быстропротекающих периодических несинусоидальных токов и напряжений с помощью электронного осциллографа.

Основные теоретические положения

В линейных электрических цепях при наличии в них электроемкости и индуктивности переход от одного установившегося режима работы к другому сопровождается возникновением переходных процессов. Под действием периодических или постоянных ЭДС и токов переходные процессы в электрических цепях возникают при включении и выключении (коммутации) цепи или изменении одного или нескольких ее параметров.

Любому установившемуся режиму в электрической цепи с реактивными элементами всегда соответствуют определенный запас электрической или магнитной энергий сосредоточенных на емкостном и индуктивном элементах соответственно. Именно по этой причине в таких электрических цепях все электромагнитные процессы не могут протекать мгновенно, а происходят в течение некоторого конечного интервала времени, называемого временем переходного процесса. В реальных условиях для возникновения переходного процесса должно произойти мгновенное изменение состояния или режима работы в электрической цепи, которое называется коммутацией.

Переход из одного установившегося состояния электрической цепи в другое при коммутации называется переходным процессом.

Для электрических цепей с индуктивным элементом при всех изменениях тока выполняется принцип непрерывности магнитного потока — магнитный поток в катушке индуктивности может изменяться только непрерывно. Как следствие этого, изменения тока на индуктивности подчиняются первому закону коммутации.

Ток на индуктивном элементе изменяется только непрерывным образом: ток до начала коммутации равен току после коммутации и

совпадает с током в момент коммутации.

4(0-) = 4(0+) = 4(0).

В электрических цепях с емкостным элементом выполняется принцип непрерывности электрического тока — электрические заряды не могут изменяться мгновенно, а способны накапливаться или уменьшаться только непрерывно. Поэтому при коммутациях в цепях с емкостным элементом выполняется второй закон коммутации, в соответствии с которым электрическое напряжение на нем не может изменяться скачком.

Напряжение на емкостном элементе изменяется только непрерывным образом: напряжение до начала коммутации равно напряжению после нее и совпадает с напряжением в момент коммутации.

Uc(0-) = Uc(0+) = Uc(0).

При этом напряжение на индуктивности (L ) и ток на емкости (С ) при этих же коммутациях фактически могут изменяться мгновенно. Это происходит из-за малости величин межвитковой емкости в L и индуктивности в С соответственно.

Для расчетов переходных процессов в электрических цепях применяют законы токопрохождения: Ома, токов и напряжений Кирхгофа. На основе этих законов получают уравнение относительно тока (для последовательного включения) или напряжения (для параллельного включения) элементов в исследуемой электрической цепи. Результирующее уравнение представляет собой интегродифференциальное уравнение, которое может быть сведено к дифференциальному уравнению. Если в электрической цепи включен один накопитель энергии (L- или С-элемент), то результирующее дифференциальное уравнение имеет первый порядок. Соответственно для двух накопителей получается дифференциальное уравнение второго порядка. Для n реактивных элементов порядок уравнения будет равен n. Решения таких уравнений позволяют получить временную зависимость переходного тока или напряжения. В настоящее время разработано достаточно много методов решения таких уравнений. Рассмотрим один из них: классический метод расчета переходных процессов.

Полное решение дифференциального уравнения этим методом с правой частью, то есть неоднородного уравнения, складывается из частного решения данного неоднородного уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения, получаемого, когда правая часть исходного уравнения приравнивается нулю.

Решение однородного уравнения оказывается соответствующим процессам в исследуемой электрической цепи, происходящим при отсутст

вии внешних источников питания, то есть под действием электрической и магнитной энергий, запасенных в L и С элементах. В реальных электрических цепях обязательно наблюдается рассеивание энергии в джоулево тепло. В результате магнитная и электрическая энергии, имевшиеся в соответствующих элементах цепи, со временем будут рассеяны, и, следовательно, все электромагнитные процессы в цепи через определенный промежуток времени прекратятся. Такой режим в электрической цепи называется свободным, а переходные токи или напряжения называют свободными. Таким образом, свободные составляющие являются общим решением однородного дифференциального уравнения. С учетом этого свободные ток (i” ) и напряжение (и” ) стремятся к нулю, то есть имеют апериодический характер.

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения,

получаемое с учетом внешнего воздействия, соответствует установившейся или принужденной составляющим тока (i') и напряжения (иг). Таким образом, установившийся режим в исследуемой цепи определяет временные зависимости тока и напряжения в ней после окончания переходных процессов.

В результате полные токи и напряжения в электрической цепи будут определяться в виде суммы свободных и принужденных или установившихся составляющих: i = i' + i”, (1)

и = и' + и”. (2)

Для примера проведем расчет переходного тока и напряжения классическим методом в последовательном колебательном контуре, состоящем из последовательно включенных сопротивления (R ), индуктивности и емкости, а также источника постоянного или периодического напряжения, приведенного на рис. 1. Коммутация в такой цепи осуществляется с помощью генератора прямоугольных импульсов (ГПИ). Время нарастания i или

и,        называемое передним фронтом (тф), много меньше длительности всего импульса (ти). Это позволяет считать такой переход совпадающим с идеальным ключом, в котором в момент замыкания Rm мгновенно обращается в нуль, а при размыкании — в бесконечность.

Уравнение неразветвленной электрической цепи с элементами R, L и С, составленное по второму закону Кирхгофа, является интегро- дифференциальным и представляет алгебраическую сумму напряжений на каждом из элементов:

di 1

(3)

Уравнение (3) после дифференцирования переходит в дифференци

альное уравнение второго порядка.

,d2 i „d i i d u(t) ,.N L—- + R— + — =——. (4) d t2 d t C d t

Установившийся ток как частное решение может быть получен из уравнения (4) для напряжения и(1) в установившемся режиме, когда переходный процесс уже закончился. Частное решение для тока зависит от конкретного вида и^).

При Тф << ти источник питания в виде ГПИ можно считать постоянным. Переходный режим наблюдается в цепи от момента подачи прямоугольного импульса и до достижения им амплитудного значения. При постоянном напряжении U сопротивление емкости становится бесконечным, а сопротивление индуктивности наоборот стремится к нулю. Таким образом, установившийся ток будет равен нулю. В то же время в исследуемой цепи будет иметь место только установившееся напряжение, которое, очевидно, будет равно напряжению источника питания: i' = 0; и' = U. (5)

Для источника периодического напряжения (в частности, синусоидального и(1) = Um sin(mt +у)) величина установившегося тока будет зависеть от частоты. В установившемся режиме мгновенное значение тока будет равно:

i(t) = Im sin(mt +у - ф),

2 2 1/2

где Im = Um /(R + (mL - 1/юС)) и ф = arctg(mL - 1/mC)/R — амплитудное значение тока и фазовый сдвиг соответственно.

Учитывая, что в электрической цепи при условии тф << ти в установившемся режиме фактически действует постоянный источник напряжения, установившаяся составляющая напряжения и' определяется уравнением (5).

Свободный ток в исследуемой цепи определяется из решения однородного дифференциального уравнения вида:

r d2 i nd i i L—- + R— + — = 0. (6) d t2 d t C

Ищем решение в виде i(t) = A ept, где e — основание натурального логарифма. Уравнение (6) перейдет в характеристическое уравнение алгебраического вида Lp2 + Rp + 1/C = 0. (7)

Умножим его на 1/L, что позволит записать уравнение (7) в приведенном виде p2 + (R/L)p + 1/(LC) = 0.

Корни этого алгебраического уравнения имеют вид

р1>2 = - (R/2L) ±^l(R/2L)2 - (1/LC)2 .

2

Окончательно, введя обозначения 8 = R/2L, m0 = 1/LC, получим

Р\,2 = - 8 ± V8 -®2 (8)

Данные обозначения имеют вполне физический смысл, являясь по размерности частотами электромагнитных колебаний в последовательном колебательном контуре. При этом ю0 — резонансная частота свободных колебаний в нем, а 8 учитывает затухание, вызванное наличием в электрической цепи резистивного элемента R.

Полученные корни позволяют записать свободную составляющую переходного тока:

где А1 и А2 — постоянные интегрирования. Для данной цепи свободная составляющая тока совпадает с полным переходным током, так как установившийся ток будет отсутствовать.

Постоянные интегрирования А1 и А2 находятся с учетом независимых начальных условий iL(0) и ис(0). Зачастую для этого требуется использо-

ваемом примере по свободной составляющей тока (9) можно получить свободную составляющую напряжения на емкости:

В результате полное переходное напряжение на емкости, согласно (2), будет равно

На этой основе определим значения констант интегрирования. Независимые начальные условия являются нулевыми: iL(0) = 0 и ис(0) = 0. Из выражений (9) и (10) при t = 0 получим систему из двух уравнений для нахождения постоянных интегрирования:

i"(t) = A ePlt + A eP21, (9)

вать и зависимые начальные условия:          и          при t = 0. В рассматри

d t d t

d iL d uc

(10)

A\ + A2 = 0;

A1/(Cp1) + A2(Cp2) = - U.

В итоге А1 и А2 будут иметь следующий вид:

A1 = Cp 1p2 U/(p 1 - p2); A2 = - Ab

а полные переходные ток в цепи и напряжение на емкости выглядят так:

i = Cp, PU (е » - е Pl1).

Pl - P2

U (Pl е P - P,e P21)

fU. (12)

uc =

P, - Pi

Таким образом осуществляются расчеты переходных процессов классическим методом.

Применим классический метод расчета для исследования переходных процессов в электрической цепи с одним накопителем энергии в виде L или C. Согласно рис. 1 это достигается замыканием накоротко одного из реактивных элементов с помощью ключей BL и BC. Вначале рассмотрим переходной процесс в RL - цепи. Для этого замкнем емкостный элемент ключом ВС, а затем подключим цепь к источнику прямоугольных импульсов.

Bl        Bc

HZZF-

L

JTA         ►

/

u

Рис. 1

Таким образом индуктивный элемент включается под постоянное напряжение. По второму закону Кирхгофа переходной процесс будет описываться дифференциальным уравнением первого порядка:

L — + Ri = U. (13) dt

Характеристическое уравнение, соответствующее ему, будет иметь следующий вид: R + pL = 0. Единственный корень этого уравнения: p = - R/L позволяет сразу же записать выражение для свободной составляющей тока в этой цепи: i"(t) = A еpt.

Так как в цепи действует постоянное напряжение, то значение принужденной составляющей совпадает с его установившимся значением:

i' = U/R. Полный переходный ток в цепи согласно (1) имеет вид

i = U + A ePt.

R

Постоянную интегрирования определяют, исходя из независимых
начальных условий, которые являются нулевыми. По первому закону ком-
мутации ток в начальный момент времени не может измениться скачком,
то есть i(0) = U/R + A = 0. Отсюда получается значение А = -U/R. Таким
образом, свободный ток в цепи будет равен

U -Rt / L

i (t) =        e .

R

Полный переходной ток будет выглядеть следующим образом:

i(t) = U - U e-Rt/L = U (l - e-R"L )= U (l - e-'/ t), (14)

R R        R        R

где T — постоянная времени электрической цепи, соответствует време-
ни, в течение которого свободная составляющая тока в цепи изменя-
ется в е раз по сравнению со своим исходным значением, при этом пе-
реходный ток достигает 63,2 % от установившегося тока. Значение
т = - L/R. Согласно (14), скорость нарастания тока будет наибольшей при
наименьшей величине т. Практически можно считать, переходной процесс
в данной цепи заканчивается через t = (4^5)т. Полученный переходной ток
для исследуемой цепи (14) позволяет рассчитать величину переходного

напряжения uL:

uh (t) = L — = L d U (l - e-t/T)

LW d t \_ Ry \

На рис. 2 представлены временные зависимости переходных харак-
теристик i и uL для данной цепи. Постоянная времени электрической цепи
T может быть определена непосредственно из временной зависимости пе-
реходных характеристик (рис. 2). Величина постоянной времени совпа-
дает с длиной подкасательной к кривым переходного тока или напря-
жения.

Для исследования РС-цепи под постоянным напряжением выключа-
телем BL отключают индуктивность, а выключателем Вс подключают ем-
кость в соответствии с рис. 1. Допустим, что к моменту включения конден-
сатор не был заряжен, то есть независимые условия были нулевыми
uC(0) = 0. Тогда по второму закону Кирхгофа мгновенные значения напря-
жений для этой цепи при t > 0 будут иметь следующий вид:

Ri + ис = U. (16)

Id t = LU e-t / T Rt

= U e

-1 / t

(15)

Рис. 2

Так как в качестве переходной характеристики в данной цепи выступает напряжение на емкости, выразим ток в ней через напряжение на кон-

„ d Uq

денсаторе: i = C        , подставляя ток в уравнение цепи (16), приходим к

d t

дифференциальному уравнению первого порядка:

RC + uc = U. (17) d t

Этому уравнению будет соответствовать характеристическое уравнение: RCp +1 = 0, полученное по аналогии с (7) и (13) заменой d/dt ^ р. Корень этого простого алгебраического уравнения р = -1/ RC.

Решение дифференциального уравнения (17) позволяет определить свободную составляющую переходного напряжения на конденсаторе u" (t) = A e_t 1RC . (18)

В свою очередь, напряжение и'с на обкладках конденсатора в установившемся режиме является частным решением дифференциального уравнения электрической цепи (18). В установившемся режиме, при условии Тф << ти , то есть фактически с постоянным напряжением, ток в цепи i'(t) = 0, следовательно, u'c(t) = u(t) = U.

Полное переходное напряжение на конденсаторе во время переходного процесса:

uc (t) = u'c (t) + u"c (t) = U + A e_t'RC. (19)

Постоянная интегрирования А находится с учетом начальных усло-
вий, в соответствии с которыми напряжение на конденсаторе до включе-
ния равнялось нулю uC(0) = 0, так как к моменту достижения амплитудного
значения напряжения при t = ти конденсатор не был заряжен. Тогда, со-
гласно (19), получим uC(0) = U + А = 0. Отсюда постоянная интегрирования
А = - U.

Таким образом, временная зависимость переходного напряжения на
обкладках конденсатора во время переходного процесса определяется

уравнением:

мс (t) = U - U e-t'RC

U (l - e-t'RC )= U (l - e-t t T), (20)

где т = RC — постоянная времени RC-цепи, равная промежутку времени, за которое напряжение в цепи изменяется в е раз по сравнению со своим исходным значением.

По аналогии с (15) можно рассчитать ток в RC-цепи при переходном процессе:

duc

dt

i(t) = i' (t) + i" (t) = C

n u

= 0 +— exp

R

м/ч Л . и U (

где i(t) = 0, i" =— exp R

du' du"

C—C + C- C

dt

dt

(21)

. U и i = — exp R

—Л

RC ,

Анализ полученных временных зависимостей напряжения на конденсаторе (20) и тока (21) в RC-цепи во время переходного процесса, представленных на рис. 3, показывает, что с течением времени uC (t) возрастает, стремясь к установившемуся своему значению, равному U, а ток убывает от значения, равного U/R, до нуля. При этом скорость изменения напряжения на конденсаторе и тока в RC-цепи при переходном режиме будет возрастать с уменьшением постоянной времени цепи т = RC.

В общем случае при расчетах переходных процессов в линейных разветвленных электрических цепях для определения токов в отдельных ветвях и напряжений на участках цепи составляется соответствующее число уравнений, по первому и второму законам Кирхгофа по аналогии с представленным выше. На основании этих уравнений записываются их характеристические уравнения, которые можно не объединять в одно относительно одного неизвестного параметра. Система однородных дифференциальных уравнений, записанных для свободных составляющих токов в ветвях разветвленной цепи, сводится к системе простых алгебраических уравнений. Подобный переход от системы линейных дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений называется алгебраизацией

системы дифференциальных уравнений для свободных токов. Для полученной системы алгебраических уравнений записывается определитель D(p). Приравняв D(p) нулю, получают корни характеристических уравнений. Число корней характеристического уравнения определяется его степенью.

При этом корни могут быть:

• действительными, равными (кратными) или неравными, но только отрицательными, что соответствует невозможности существования источников питания с бесконечной мощностью;
• комплексно-сопряженными, обязательно с отрицательной действительной частью. Требование комплексной сопряженности корней определяется физической природой электрических параметров: их амплитудные и действительные значения должны совпадать;
• чисто мнимые корни также должны быть комплексносопряженными, но некратными, так как в противном случае в электрических цепях с реактивными элементами происходило бы бесконечное накопление магнитной или электрической энергий.

Особый интерес представляет случай именно комплексносопряженных корней. Для цепи, согласно рис. 1, это возможно при условии, что декремент выражения (8) является отрицательным. Фактически это означает, что частота затухания в цепи становится значительно меньше

1/2 тт

частоты свободных колебаний, то есть 8 < ю0 или (R < 2(L/C) ). При этом

корни характеристического уравнения (10, 11) становятся комплексносопряженными :

Pi,2 = - 8 ± ^св = a ± jb,

2 2 1/2

где юсв = (ю0 - 8 ) - частота собственных колебаний. Воспользовавшись выражениями (11) и (12), найдем переходные ток в цепи и напряжения на индуктивности и емкости:

• U -8t . i =        e sin юсв t;

Юсв L

uc = U

ю

1        ^e"8t sln^t + y)

V ®св^

Ul = - U e~bt sin^t - y),

где у — начальная фаза затухающих колебаний, равная у = агС^(юсв/8).

В этой ситуации в исследуемой цепи даже при постоянном воздействии в переходном режиме будут наблюдаться гармонические затухающие колебания с частотой юсв, что иллюстрирует рис. 4.

Угловая частота таких затухающих колебаний будет равняться 2 %/Т. Огибающая затухающих колебаний переходного процесса соответствует свободным апериодическим составляющим. Величины 8 и у определяются значениями параметров рассматриваемой цепи, начальными условиями и значением напряжения источника питания. При этом значения угловой частоты свободных колебаний и коэффициент затухания зависят только от параметров цепи после коммутации.

Эти колебания обусловливаются взаимными преобразованиями электрической и магнитной энергий, накапливаемых на конденсаторе и индуктивности. Причем часть энергии будет теряться на сопротивлении. Именно эти потери приводят к уменьшению амплитуды колебаний тока Ц/(юсв£)е- 8t за время t = 1/8 в е раз. Величину 1/8 = 2L/R называют постоянной времени затухания колебательного процесса. Скорость затуханий оказывается зависящей от величин 8 и ю0, чем меньше 8 по сравнению с ю0 , тем медленнее затухают колебания, а их частота юсв приближается к ю0. В предельном случае, когда корни характеристического уравнения становятся чисто мнимыми, юсв = ю0, колебания становятся незатухающими.

Скорость уменьшения амплитуды колебаний принято характеризовать декрементом колебаний, определяемым как отношение амплитуд тока в моменты времени, отличающиеся на величину периода затухающих колебаний, равного Тсв = 2%/(1/(LC)-R2/(4L2))1/2:

Д = i(t)/i(t + Тсв) = Ime- 5t/(/me- 8(t+Тсв) = е8Тсв.

Часто в технике для описания затухающих колебаний используют логарифмический декремент колебаний, который фактически является натуральным логарифмом декремента колебаний:

1. = 1пД = 8Тсв.

Практическое значение имеют также условия, когда 8 << ю0, то есть юсв ^ ю0 . Ток и напряжение на конденсаторе при этих условиях достигают своего максимального значения: imax * Ц/(Юс^) * U/(L/C)'12,

Umax * 2U. (22)

Выражение (22) должно приниматься во внимание при проектировании электрических цепей, так как при 8 << ю0, максимальная величина напряжения на конденсаторе может превышать его амплитудное значение, но не более чем в 2 раза.

1/2

В случае, если имеет место неравенство 8 > ю0 (R < 2(L/C) ), в RLC- цепи наблюдается апериодический режим. При этом ток в цепи нарастает от нуля до максимального его значения к некоторому моменту времени t1, а затем в конце импульса от ГПИ снижется до нуля. Напряжение на конденсаторе за время импульса нарастает от нуля до U, а напряжение на ин

дуктивности снижается от U до нуля к моменту времени t1.

1/2

В случае, когда 8 = ю0 или R = 2(L/C) , имеет место критический режим. Переходные характеристики имеют при этом аналогичный описанному выше для случая 8 > ю0 вид, однако изменяются более плавно.

Переходные процессы широко используются в электронной и импульсной технике для генерирования синусоидальных электрических колебаний (генераторы типа RC и LC) и получения электрических колебаний специальной формы (генераторы прямоугольных, пилообразных и других колебаний).

Методические указания по выполнению работы

1. Перед началом работы изучить основные теоретические положения и законы переходных процессов в линейных электрических цепях и ответить на контрольные вопросы.
2. Ознакомиться с экспериментальной установкой (рис. 5) и приборами, используемыми при выполнении работы. Занести в отчет по лабораторной работе параметры исследуемых электрических цепей.
3. Подключить экспериментальную установку для исследования переходных процессов (панели № 7 и 9) к стабилизированному источнику постоянного напряжения U = 12 В и включить электронный коммутатор.
4. Нажатием кнопки «Сеть» на передней панели прибора включить осциллограф С1-118 и дать ему прогреться его в течение 3-5 мин.
5. С помощью соединительного кабеля подать на «Вход Y» осциллографа напряжение с резистора R = 1 кОм.
6. С помощью ручек на передней панели осциллографа «Стабильность», «Уровень» и «Развертка» добиться на его экране устойчивого изображения прямоугольных импульсов требуемой длительности (следует получить 1,5 - 2 периода прямоугольных импульсов). По полученной временной зависимости u(t) на экране осциллографа определить:

а)        амплитуду напряжения импульса;

б)        длительность импульса и паузы;

в)        частоту коммутации электронного коммутатора.

2. кОмП о— ГОООмП = =0,01мкФ

:=г0,01мкФ

-12 S

о

Рис. 5

7. Исследовать переходные процессы в электрической цепи с резистором и конденсатором:

1. Вход осциллографа с резистором R = 1 к0м переключить на конденсатор С = 0,01 мкФ;
2. Получить осциллограммы переходных напряжений на конденсаторе и на резисторе для трех значений сопротивления переменного резистора (R = 20; 60 и 100 кОм), устанавливаемых с помощью цифрового мультиметра В7-22А;
3. С учетом масштаба (развертки по времени и делителя по напряжению) перенести каждую осциллограмму на кальку или миллиметровую бумагу.

8. Исследовать переходные процессы в электрической цепи с резистором и катушкой индуктивности:

1. Кнопками на панели стенда подать прямоугольное напряжение электронного коммутатора в электрическую цепь из переменного резистора и катушки индуктивности; отключив конденсатор С = 0,01 мкФ;
2. По осциллограмме поданного на исследуемую цепь прямоугольного напряжения определить его амплитуду. Получить осциллограммы переходных напряжений на катушке индуктивности и сопротивлении для трех значений переменного резистора (R = 100 Ом; 5 и 10 кОм), устанавливаемых с помощью цифрового мультиметра В7-22А;
3. С учетом масштаба (развертки по времени и делителя по напряжению) перенести каждую осциллограмму на кальку или миллиметровую бумагу.

9. Исследовать переходные процессы в электрической цепи с двумя накопителями энергии — конденсатором и катушкой индуктивности:

4. Кнопками на панели стенда подключить параллельно переменному резистору и катушке индуктивности конденсатор с емкостью С = 0,01 мкФ;
5. Исследовать переходные характеристики при 3 значениях суммарного

сопротивления (измерения его величины производить при выключенном

1/2

напряжении питания), удовлетворяющих условиям: R > 2(L/C) ; R = 2(L/C)1/2; R < 2(L/C)1/2;

6. С учетом масштаба (развертки по времени и делителя по напряжению) перенести каждую осциллограмму на кальку или миллиметровую бумагу.

10. Обработка результатов опытов:

1. По осциллограммам i, uC(t) для исследованных РС-цепей (п. 6) определить постоянные времени при разрядке и зарядке конденсатора и сравнить их с соответствующими расчетными значениями, полученными по параметрам отдельных элементов цепи;
2. По осциллограммам u, iL(t) для исследованных RL-цепей (п. 7) определить постоянные времени переходных процессов и сравнить их с соответствующими расчетными значениями, полученными по параметрам отдельных элементов цепи;
3. По осциллограмме u(t) (п. 8), соответствующей переходному процессу в колебательном RLC-контуре, определить частоту собственных колебаний исследуемой цепи и коэффициент затухания и сравнить их с расчетными;
4. По осциллограмме i(t) (п. 8), соответствующей предельному апериодическому переходному процессу, определить интервал времени, в течение которого напряжение на катушке индуктивности достигает максимального значения, и сравнить его с расчетным по заданным параметрам исследуемой цепи.

Контрольные вопросы

1. Что называется установившимся режимом и переходным процессом в в электрической цепи?
2. Сформулируйте законы коммутации. Выполняются ли они для резистивных цепей?
3. Что определяет порядок дифференциальных уравнений, описывающих электрические цепи с реактивными элементами?
4. Какая составляющая переходных процессов имеет апериодический вид?
5. Какими могут быть характеристические корни, что это означает для электрических цепей?
6. В течение какого промежутка времени практически заканчивается переходный процесс в электрической цепи?
7. Определите постоянную времени электрической цепи по экспериментальным зависимостям тока и напряжения при переходном процессе.

Чему равна ее величина на временных зависимостях переходных тока и напряжения?

8. Можно ли по осциллограммам переходных процессов определить параметры электрической цепи?
9. Какие режимы реализуются в RLC-цепях при коммутации?
10. Что характеризует декремент колебаний?
11. Назовите устройства, в которых используются явления, возникающие при переходных процессах в электрических цепях.

Лабораторная работа № 5 КАТУШКА ИНДУКТИВНОСТИ С МАГНИТОПРОВОДОМ

Цель работы:

• исследование вольт-амперных характеристик перемагничивания катушки индуктивности на основе магнитопровода с регулируемым воздушным зазором при подключении к источнику переменного тока, влияния размеров зазора на величину индуктивности катушки.

Основные теоретические положения

Одним из основных конструктивных элементов электрических машин и автоматов, промышленной электроники и компьютерной техники, других приборов и устройств является катушка индуктивности. При протекании тока в катушке создается магнитное поле, энергия которого равняется: W = LI2/2.

Магнитные поля характеризуются векторами: магнитной индукции B, напряженности магнитного поля H, магнитным потоком

Ф = J Bds .

Согласно принципу непрерывности магнитного потока, поток, вошедший внутрь любого объема, равен потоку, вышедшему из того же объема. Следовательно, магнитный поток через замкнутую поверхность равен нулю:

J Bds = 0.

Количественная связь между напряженностью поля и токами определяется законом полного тока: линейный интеграл вектора напряженности магнитного поля H вдоль замкнутого контура равен алгебраической сумме токов I сквозь поверхность, ограниченную данным контуром:

J Hdl =£ I.

Между величинами магнитной индукцией B и напряженности магнитного поля H существует следующая связь:

В = цц0Н,

где ц - относительная магнитная проницаемость среды; ц0 — магнитная постоянная. Для большинства, материалов проницаемость ц постоянна и близка к единице, тогда как у ферромагнетиков ц является функцией тока,

2 5

создающего магнитное поле и достигает больших значений (10 ^ 10 ). За

висимость магнитной проницаемости ферромагнитных материалов ц(Н) нелинейная, поэтому зависимость В(Н) при наличии сердечника является также нелинейной (рис. 1).

Ток, протекая по виткам катушки с сечением s, создает магнитный поток Ф = Bs, который пропорционален магнитодвижущей силе F, равной произведению тока I на число витков w: F = Iw. Зависимость Ф(1) при отсутствии магнитопровода является линейной.

Согласно закону полного тока, если контур интегрирования охватывает катушку, имеющую w витков, то полный ток равен Iw. Закон полного тока записывается так:

pn

Z HJk = Z ,

к=1 к=1

где р - число участков магнитопровода, вдоль каждого из которых можно считать H = const; n - число катушек.

При наличии магнитопровода поток, создаваемый аналогичной катушкой индуктивности при прочих равных условиях, значительно возрастает за счет магнитного потока, создаваемого ферромагнитным веществом.

Катушка индуктивности, как правило, имеет сердечник из ферромагнитного материала со значительной магнитной проницаемостью (ц >> 1), который намагничивается магнитным полем катушки. Магнитный поток катушки Ф = ццН?. При включении катушки индуктивности с магнито- проводом под синусоидальное напряжение u(t) = Umsinrot (рис. 2) в цепи катушки появляется синусоидальный ток i(t), возбуждающий переменный магнитный поток Ф(0, основная часть которого замыкается по цепи магнитопровода (основной магнитный поток Фо), так как его магнитная проводимость больше магнитной проводимости воздуха. Однако незначительная часть магнитного потока Ф(1) рассеивается и замыкается по воздуху вокруг отдельных витков катушки индуктивности (поток рассеяния Фр).

Зависимость В(Н) - кривая намагничивания - является одной из важнейших характеристик ферромагнитных материалов. Ферромагнитный магнитопровод вследствие наличия переменного магнитного потока циклически, с частотой подаваемого напряжения перемагничивается по кривой гистерезиса, обусловленной наличием остаточного магнетизма (остаточной магнитной индукции) Вг и коэрцитивной (задерживающей) силы Нс (рис. 3). За несколько полупериодов переменного тока устанавливается замкнутая симметричная петля гистерезиса. Кривая 0а, проходящая через начало координат, является основной кривой намагничивания, она снимается при одностороннем намагничивании ненамагниченного материала.

Практическое значение петли гистерезиса состоит в том, что она дает исчерпывающую характеристику магнитного материала, в частности:

• показывает, что характеристика В(Н) у магнитного материала неоднозначна и что магнитное состояние материала зависит от его предыстории, т. е. от предыдущих значений В и Н;
• из петли гистерезиса определяются величины, необходимые для расчета магнитных систем;
• площадь, ограниченная петлей гистерезиса, характеризует потери мощности на гистерезис Рг (нагревание материала) за один цикл перемагничивания.

Потери мощности в магнито- проводе Рм (потери мощности в стали), кроме потерь на гистерезис, включают в себя потери от вихревых токов Рв, наводимых переменным магнитным потоком в металле магнитопровода:

Р = р + р р м р г 1 р в-

Потери мощности на гистерезис определяют по формуле

Рг = Руг f Bl G,

где Руг - удельные потери мощности на гистерезис; f - частота питающего тока; Bm - амплитудное значение магнитной индукции; G - масса магнитопровода.

Вихревые токи оказывают размагничивающее действие на магнитопровод. Потери от вихревых токов рассчитывают по формуле

Рв = Ру.в f Bl G,

где Ру.в - удельные потери мощности от вихревых токов.

Потери мощности в магнито- проводе, выделяясь в виде теплоты,

Рис. 2

Рис. 3

приводят к нагреву катушки индуктивности и магнитопровода, что ведет к снижению КПД соответствующих устройств.

Для уменьшения потерь мощности на гистерезис и вихревые токи магнитопровод изготавливают из тонких, электрически изолированных друг от друга листов специальной электротехнической стали, имеющей узкую петлю гистерезиса.

Рассмотрим идеализированную катушку индуктивности (катушка, активным сопротивлением обмотки которой можно пренебречь, магнитный поток рассеяния отсутствует). Переменный магнитный поток наводит в витках обмотки ЭДС самоиндукции е = wdФ/dt, где w - число витков. Приложенное к катушке напряжение уравновешивается этой ЭДС, поэтому u0 = е. Выразив магнитный поток, получим

Ф(г)

ww

sin( wt — 90 ) = Фт sin(wt — 90 ) .

Из формулы видно, что вектор магнитного потока должен отставать от векторов ЭДС и напряжения на угол 900, что показано на векторной диаграмме (рис. 4).

Амплитуда магнитного потока

ф = Um ш

ww

и

0ш

2nfw

откуда при переходе к действующему значению напряжения получается

и

4,44 fw’

т.е. максимальное значение магнитного потока катушки определяется дей-
ствующим значением подводимого напряжения, его частотой и числом
витков катушки. Учитывая, что ЭДС самоиндукции Е = U0, из полученно-
го выражения следует

Е = 4,44fw0 .

“ J        m

Так как зависимость В(Н) яв-
ляется нелинейной, следовательно,
будет нелинейной и зависимость
Ф(/). С учетом этого на рис. 5 приве-
дена зависимость Ф(0, которая стро-
ится по временным графикам маг-
нитного потока тока Ф(t) и тока i(t)
при синусоидальном питающем на-
пряжении г/о = lh)m sin со/. Из пред-

рис 4        ставленных зависимостей видно, что

ток и магнитный поток достигают максимальных значений одновременно, но их нулевые значения не совпадают по времени, ток катушки опережает магнитный поток на угол а вследствие явления гистерезиса. Кроме того, ток искажает свою форму и является несинусоидальным во времени.

Рис. 5

При наличии несинусоидальных токов для упрощения расчетов переходят к эквивалентному синусоидальному току /Э. При этом должны быть соблюдены два условия эквивалентности: одинаковое действующее значение тока при одинаковой частоте и одинаковые потери мощности при одинаковом значении коэффициента мощности:

1. =Ш*^ = 72 ; cosФэ = P / U4.

При анализе режима работы реальной катушки учитывают активное сопротивление проводов обмотки, т.е. Як ф 0 и сопротивление, обусловленное потоком рассеяния, Хр. Учитывая сказанное, схему замещения реальной катушки можно представить так, как на рис. 6. Для этой схемы замещения по второму закону Кирхгофа

U=RKI+)Xpi+E=RKi+jXpi+Rl+jxj, (i)

где / - ток катушки; Е - ЭДС, обусловленная основным магнитным потоком Фо; Яо = Рм // - активное сопротивление, обусловленное потерями мощности в магнитопроводе; Хо - индуктивное сопротивление, обусловленное основным магнитным потоком Фо.

Полное сопротивление катушки
индуктивности с магнитопроводом
находят по закону Ома:

Z = U / 1э.

Эквивалентное активное сопро-
тивление ЛЭ катушки определяется по
значению активной мощности Р, по-
требляемой катушкой, и ее току или
по значению мощности потерь в маг-
нитопроводе Рм и активному сопро-
тивлению проводов катушки Лк:

Кэ = P / / 2 = Рм / / 2 + Лк.

Индуктивное эквивалентное сопротивление катушки

Хэ = Хр + Хо = 2 - R2 .

Индуктивность катушки

L = Xp / ю = Xp / 2 к f

Векторная диаграмма реальной катушки индуктивности, построен-
ная в соответствии с (1) и с учетом вышесказанного, изображена на рис. 7
В соответствии с законом полного тока для катушки индуктивности,
схема которой представлена на рис. 2, магнитодвижущая сила

F = Iw = Hih + H2l2 + Я3/3 + Нъ 5,

где H1, H2, H3 - напряженности магнит-
ного поля на участках магнитопровода
длиной l1, l2, l3; Hb - напряженность поля
в воздушном зазоре; 8 - величина воз-
душного зазора.

В общем виде

iw = 1 HJt + H„ 8 .

k=1

Принимая во внимание, что В = цН, а Ф = Bs, полученное выражение можно записать относительно магнитного потока в виде закона Ома для магнитной цепи:

л

= FIR

1 м ?

Цksk ЦоSo )

где Лм - магнитное сопротивление магнитной цепи; цк - магнитная прони

цаемость, соответствующая напряженности магнитного поля Нк участка
магнитопровода длиной 1к; s0 - сечение магнитопровода в воздушном за-
зоре.

Магнитная проницаемость материала магнитопровода несоизмеримо
больше магнитной проницаемости воздушного зазора, поэтому состав-
ляющая 8 /ц0 s0 является наибольшей, определяющей магнитное сопротив-
ление магнитной цепи величиной.

Как уже отмечалось, магнитный поток зависит только от напряжения
U, частоты f и от числа витков обмотки w. Поэтому можно считать, что
магнитный поток от величины воздушного зазора не зависит. Из закона
Ома для магнитной цепи следует, что увеличивается магнитное сопротив-
ление, но так как магнитный поток Ф = const, то должен увеличиваться
ток. Таким образом, при разных воздушных зазорах получаются разные
действующие значения тока, причем значение тока устанавливается таким,
чтобы магнитный поток не изменился.

Характер изменения индуктивности и тока катушки с изменением
воздушного зазора показан на рис. 8. При увеличении воздушного зазора
возрастают магнитное сопротивление и ток дросселя. Это происходит за
счет уменьшения реактивного сопротивления в результате уменьшения
индуктивности. Путем изменения величины воздушного зазора в магнито-
проводе можно регулировать ток катушки индуктивности (дросселя) при
включении ее в цепь переменного тока при неизменном подводимом на-
пряжении. Примером регулируемой индуктивности при помощи изменяе-
мого воздушного зазора может служить дроссель, включаемый для регу-

лирования тока в электрических цепях,
сварочных трансформаторах, магнит-
ных усилителях, выпрямителях и дру-
гих устройствах.

Методические указания по вы-
полнению работы

1. Перед началом работы изучить
   теоретическое описание исследуемых
   процессов в электрических цепях, под-
   готовить ответы на контрольные во-
   просы.
2. Снять вольт-амперные харак-
   теристики катушки индуктивности с

ферромагнитным сердечником при трех значениях воздушного зазора
(8 = 0; 3; 5 мм) и при питании от источника переменного тока:

1. По монтажной схеме рис. 9 собрать электрическую цепь и подключить ее к источнику переменного напряжения. Измерить ток в цепи, напряже

ние на катушке и потребляемую мощность при помощи цифрового вольтметра, цифрового амперметра и ваттметра измерительного комплекта К505;

2. Установить воздушный зазор магнитопровода 8 = 5 мм и, плавно изменяя напряжение с шагом 30 В от нулевого значения до 220 В, записать показания всех измерительных приборов в табл. 1; снизить напряжение до нуля;
3. Провести аналогичные измерения для двух других значений воздушного зазора 8 = 3; 0 мм и записать их в табл. 1. Снизить напряжение до нуля.

3. Снять вольт-амперные характеристики катушки индуктивности с ферромагнитным сердечником при трех значениях воздушного зазора (8 = 0; 3; 5 мм) и при питании от источника постоянного напряжения:

1. По монтажной схеме рис. 10 собрать электрическую цепь и подключить ее к источнику постоянного напряжения. Измерить ток в цепи и напряжение на катушке при помощи цифрового вольтметра и цифрового амперметра;
2. Установить воздушный зазор магнитопровода 8 = 5 мм и, плавно изменяя напряжение с шагом 2 В от нулевого значения до 10 В, записать показания всех измерительных приборов в табл. 2; снизить напряжение до нуля;
3. Провести аналогичные измерения для двух других значений воздушного зазора 8 = 3; 0 мм и записать их в табл. 2.

Рис. 9

4. Снизить питающее напряжение до нуля, отключить вольтметр и амперметр. Переключить катушку от источника постоянного напряжения к источнику регулируемого синусоидального напряжения и размагнитить магнитопровод. Размагничивание проводится изменением величины напряжения от нулевого значения до номинального (иН = 220 В) и обратно несколько раз. Величина напряжения контролируется по вольтметру ис-

точника переменного напряжения на панели питания. Таблица 1

5. По результатам измерений п. 1, 2 построить вольт-амперные ха-
рактеристики катушки U(I) при различных воздушных зазорах магнито-

провода.

Рис. 10

6. По результатам измерений в п. 1 построить зависимость тока катушки от воздушного зазора магнитопровода I( 8) при номинальном напряжении на зажимах катушки (иН = 220 В). Также рассчитать полное сопротивление катушки при номинальном напряжении и различных воздушных зазорах магнитопровода; построить зависимость Z(I) при иН = 220 В.
7. По заданным преподавателем значениям воздушного зазора и напряжениям рассчитать параметры схемы замещения и эквивалентную индуктивность катушки.

Таблица 2

Контрольные вопросы

12. Объясните назначение магнитопровода катушки индуктивности.
13. Поясните влияние магнитопровода и его сечения на значение индуктивности катушки.
14. Объясните физическую природу потерь в катушке индуктивности с магнитопроводом.
15. Поясните, как влияет воздушный зазор в магнитопроводе катушки на зависимости u(t), Ф(), i(t).
16. Напишите уравнение и постройте векторную диаграмму реальной катушки с магнитопроводом.
17. Объясните расчет катушки индуктивности методом эквивалентной синусоиды.
18. Какова причина искажения синусоидальной формы тока при питании катушки индуктивности переменным напряжением?
19. Как изменится вольт-амперная характеристика катушки индуктивности при увеличении частоты питающего напряжения?
20. Напишите для катушки с магнитопроводом формулу зависимости магнитного потока от приложенного напряжения.
21. Как изменится вольт-амперная характеристика катушки индуктивности при увеличении воздушного зазора при питании от сети переменного и постоянного тока?