Методическая разработка по теме "Множества и операции над ними"
методическая разработка

Элементы теории множеств

1. Понятие о множестве

   Без знания элементов теории множеств невозможно серьезное изучение любого раздела математики.

Множество – основное понятие математики.

           Это значит, что ему не дают определения. Его можно пояснить, дать представление, описывая его свойства. Оно само служит для определения понятий.

     Часто в быту совокупности некоторых предметов мы рассматриваем как одно целое. Например, у Васи много марок, а мы говорим: «коллекция» - называем словом в единственном числе. В театре много актеров, а мы говорим «труппа», на лугу пасется стадо – много домашнего скота. Класс, группа, букет, стая, набор, коллектив, семья – каждое из этих слов обозначает  совокупность объектов. В математике каждую совокупность называют словом «множество»: множество учеников – класс, множество цветов – букет, множество чашек – сервиз.

      Группа, компания                        Конструктор                       Семья

     Объекты, составляющие множество, называют элементами множества.  

2. Обозначение множеств

Равные множества

     Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита.

Перечисляют элементы множества в фигурных скобках через запятую или точку с запятой. Элементы в множестве можно записывать в любом порядке.

     Если множество арабских цифр обозначить латинской буквой А, то  предложение «Множество А состоит из элементов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0» записывают так:

              А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}.

     Множество В животных, живущих в одной семье можно изобразить так:

               В = {,, , , }

     Множество  С – множество букв слова «класс» -  запишем так:                

                       С = {к, л, а, с}.

     Из записи видно, что

одинаковые элементы в множестве записываются только один раз.

Множество букв слова «математика» запишем так: {м, а, т, е, и, к}.

Это же множество можно записать и  иначе, например: {а, е, и, к, м, т }.

        В записи множества не важен порядок элементов.

               {м, а, т, е, и, к} = {а, е, и, к, м, т}

 Множества равны, если состоят из одних и тех же элементов.

Для обозначения некоторых множеств используют общепринятые  символы. Например, множество  натуральных чисел принято обозначать буквой N.

Какие бывают множества

     Задание . а) Записать множества  А, В, С цифр чисел  3 747,   900,   888;

        б) Записать множество Nч четных чисел;

        в) Записать множество  М четных цифр числа  1357.

     В задании 3 а) получилось, что в множество входят 3 элемента, 2 элемента, 1 элемент.  Такие множества называют конечными. 

     Может состоять множество из бесконечного количества элементов. Это бесконечные множества. Например, множество натуральных чисел N – множество чисел, применяемых для счёта предметов. И множество Nч ={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14…}

     И даже есть множества, в которых нет элементов.  

Действительно, множество может содержать любое количество элементов: много, бесконечно много, один и даже ни одного.

Если в множестве нет элементов, его называют пустым множеством и обозначают значком «пустое множество»: ∅.

     Например, множество М – множество цифр в записи предыдущего предложения. Оно пусто, в предложении нет ни одной цифры. Запишем: «Множество М – пустое множество».

М = ∅

     Можно записать и так: М = {  }.  Но ни в коем случае, обозначая пустое множество,  нельзя значок «пустое множество» брать в скобки. Ведь получится запись, обозначающая, что множество состоит из одного элемента - значка «пустое множество».  Такое множество с одним элементом тоже существует, и оно совсем не пустое.

    Если перечисляют элементы бесконечного множества, то, обычно, записав несколько элементов, ставят многоточие.

Задание. а) записать множество натуральных чисел N.

        б ) записать множество двузначных чисел, кратных 5 и меньших 40;

        в) записать множество чисел, кратных 5.

        г) записать множество  трехзначных чисел, меньших 100;

        д) записать множество трехзначных чисел не больших 100.

Задание. Какое изображение является обозначением пустого множества?

  Θ   Ο    ⊕   Ο  ⊗             Ο     ∅           0

Задание.  Приведите примеры  а) конечных множеств,

                       б) бесконечных множеств,

                                                 в) пустых множеств.

Знаки «принадлежит» и  «не принадлежит»

                                    ∈ ∉

        Чтобы записать, что элемент принадлежит множеству, употребляют специальный значок «принадлежит»: ; если  объект не является элементом данного множества, употребляют значок «не принадлежит»: ∉.

                                     А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}.

                                         В = {,, , , }

                1∈А,      2 ∈ А,      ∈ В     12∉ А,    7∉ В

 Данные записи можно читать по-разному, главное – сохранить смысл, например: «цифра 1 принадлежит множеству А,  2 является элементом множества  А, элемент «кот» входит в множество В, 12 не принадлежит множеству А,  7 не является элементом множества В», и т.д.    

Равные множества

 Задание. а) запишите  множество А – множество букв слова «колокол»,   б) множество В – множество букв слова «кол»,

в) множество С – множество букв слова «клок».

г) Сравните эти множества. Они получились одинаковыми.

          А = { к, о, л}       B={ к, о, л }        C={ к, л, о }

                                                       А = В = С

Множества называют равными,

 если они состоят из одних и тех же элементов.

Задание 9.   а)  D – множество букв слова «локон», Е -  множество букв слова «кокон» Запишите  эти множества. Не забудьте, что порядок элементов  может быть любым  и что одинаковые буквы в записи множества не повторяют.

б) Сравните эти множества  с множествами А, В и С из задания 8. Запишите сравнения, используя знаки «=» и «≠».

 А  В,       А  С,          В  С,          A  D,    

 B  D,       А  Е,          D  Е,           E  E

Задание 10.   А = {a, b, c};   B={c, b, a };    C={a, b};   D={m, x, k}

а) Найдите  равные множества.

б) Равны ли  множества А и D?  Почему?

в)  F –  множество двузначных чисел, кратных 10 ,  K -  множество чисел, меньших 100 и имеющих на конце цифру «0».  Запишите, равны ли эти множества.

г) Р – множество равносторонних и равноугольных параллелограммов. Н – множество квадратов. Х – множество прямоугольников. У – множество прямоугольников с равными сторонами. Запишите пары равных множеств.

    {ò,ó,õ , ö,ÿ } = {ÿ, ö,õ , ó,ò}

   {ò,ó,õ , ö,ÿ } = {ò,ó, , ö,ÿ }

Способы задания множеств

Множество считается заданным, если точно можно сказать, принадлежит ему данный элемент или нет. Существуют два способа задания множеств.

                                  I. Способ перечисления.

а) Множество первых людей на Земле, согласно библейской легенде

{Адам, Ева}

б) Множество цифр в записи года 2010

          {2, 0, 1 }          (Одинаковые элементы не повторяют)    

в) Обычно перечисляют конечные  множества,  но можно перечислением задавать и бесконечные множества, если по нескольким элементам можно догадаться о том, какие элементы входят в это множество.

 Множество натуральных чисел:  N={1,2,3,4,5…}

 Множество целых чисел:        Z={…-2, -1, 0, 1, 2, 3… }

 Множество трёхзначных круглых чисел: {100, 110, 120, 130, …, 970, 980, 990} – это множество конечное, в нём 90 элементов. Перечисление всех элементов составляет техническую сложность (долго, много места занимает). Потому записаны несколько элементов так, чтобы стало понятно, какие элементы будут дальше, показано «и так далее» - многоточие, и несколько последних элементов, чтобы стало ясно, что множество не бесконечно.

II. Способ указания характеристического свойства элементов множества

Характеристическое – свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Характеристическое свойство можно указывать по-разному, например:

               а)  словесное описание:

 множество точек плоскости АОС, находящихся на расстоянии 5 см от точки А. (задана окружность с центром О и радиусом 5 см, лежащая в плоскости АОС)

              б) формульное описание:

        А= {х| x=2n, n∈N } –  читают: А – множество всех таких элементов х, которые находятся по формуле х=2n, где n принадлежит множеству N – множеству натуральных чисел)

            в) Множество корней уравнения: х (х-3)=0:   В= {х| х (х-3)=0}

            г) Множество решений неравенства:   -6

            д)  Графическое изображение характеристического  свойства:  

                                                                  ////////

                                                               -6       2        

  и другие способы указания характеристик элементов множеств.

Характеристическим свойством задают  любые множества.                             

Как задать множество, состоящее из следующих действующих лиц: Андрей Болконский, Наташа Ростова, Анатоль Куракин, Николай Ростов, Денис Давыдов, Тушин, Соня…(всего 600 действующих лиц) ?  Перечислением? Все 600?            

 Это герои романа «Война и мир» - указание характеристического свойства.        

Одно и то же множество может быть задано по-разному, например:                        

С={1,2,3,4},  D={х| (х-1)(х-2)(х-3)(х-4)=0},  Е={х| х∈ N, x<5}.   C=D=E – все три множества – одно и то же множество.

Подмножества

Дано множество букв слова «множества»:       А= {м, н, о, ж, е, с, т, в, а}

Рассмотрим множества букв слов  «весна», «вес», «сев».

             B ={ в, е, с, н, а },   C = {в,е,с},   D = {с, е, в}  

Любой элемент полученных множеств принадлежит множеству А.

Если каждый элемент множества В является элементом множества А,

 то множество В является подмножеством множества А.

Записать «множество В является подмножеством множества А можно так:  

                                                    В⊂А, или  А ⊃ В         

    Любое непустое подмножество В множества А , не совпадающее с А, называется собственным подмножеством множества А.

     Множество, равное А и пустое множество называются несобственными подмножествами множества А.

     Пример.    F = {a, b, c}. Запишем все его подмножества.

          F1 = {a},           F2 = {b},        F3={c},  

          F4 = {a, b},       F5 = {a, c},     F6= {b, c}

          F7 = {a, b, c},   F8 = ∅

В множестве F содержится 3 элемента. Значит, количество подмножеств у этого множества равно 23:   2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8.  

Задание. Запишите несколько собственных подмножеств множества А – множества букв слова «множества». Запишите все несобственные подмножества этого множества. Сколько всего подмножеств имеет данное множество?

Примечание. В научной литературе встречается  знак  ⊆ . Догадайтесь, какой смысл имеет этот знак?

Пересечение множеств

 А – множество букв слова «садик», В – множество букв слова «зоосад». У множеств есть одинаковые (общие) элементы.

        А = { с, а, д, и, к}              В = {з, о, с, а, д}

       А   .к            .с  .а   .з В              А               В    

        .и            .д   .о                                             А∩В

        Эти множества пересекаются.  Пересечением множеств А и В является множество, состоящее из элементов  «с», «а», «д». Записывают:  А∩В = {с, а, д}

   Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих в множество А  и в множество В одновременно.

Свойства пересечения

1. Коммутативное (переместительное) свойство: А∩В=В∩А

2. Ассоциативное (сочетательное) свойство: (А∩В)∩С= А∩(В∩С)

3. Дистрибутивное (распределительное) свойство пересечения

относительно объединения:     (АВ) ∩С= (А∩С)  (В∩С)

 4. Если  В ⊂ А, то   В∩А= В

5. ∅ ∩ А = ∅

6. А∩А = А

Покажем сочетательное свойство на примере.

Даны множества   А={а,б,в,г,д,е},   В={а,о,е,у,д,ы },   С={г,д,е,у,}

Выполним действия, указанные в левой части равенства.

1)  А∩В = {а,д,е}    2) (А∩В)∩С ={д,е}

Выполним действия, указанные в правой части равенства.

1) В∩С={д,е,у}       2) А∩(В∩С)= {д,е}

Как видим, ответы левой и правой частей равенства совпали.

              А                    В                       А                    В

                         С                                  С

Проиллюстрировать сочетательное свойство можно на диаграмме Эйлера-Венна.  Изображение слева соответствует левой части равенства. Первое действие – нахождение пересечения множеств А и В – показано штриховкой (сверху вниз, справа налево). Второе действие – нахождение пересечения получившегося ответа и множества С – отмечено другой штриховкой (слева направо, сверху вниз).

   Чтобы изобразить правую часть равенства, надо начертить так же расположенные множества А, В и С, затем выполнить первое действие - найти пересечение множеств В и С – показано штриховкой справа налево, сверху вниз. Второе действие – нахождение пересечения множества А с ответом первого действия – показано штриховкой слева направо, сверху вниз.

   Теперь сравним ответы на левой  и правой диаграмме – области, отмеченные серым цветом. Они одинаковы. Это говорит о справедливости проверяемого равенства.

   Если у множеств нет одинаковых элементов, говорят, что множества не пересекаются, или что пересечение множеств – пустое множество.

  Пример.  А                В                     Даны непересекающиеся прямые. Запишем это:  

                              С          D                                        АВ ∩ СD = ∅       

 Прямые a и b пересекаются в точке К: a ∩ b= К

          а      К       b                                    

                                          Объединение множеств

   Пусть даны два множества фигур:

            А = {□, •, ◊, Ο}      и       В = {⌂, ∆, Ο, ∙, ◊}.

Образуем  из элементов этих двух множеств одно множество.

             АВ =   {⌂, ∆, □, ◊, •, Ο, ∙}

Новое множество называется объединением множеств А и В.

Объединением множеств А и Вназывают множество, состоящее

из всех элементов, принадлежащих множествам  А и В.

 Знак объединения похож на мешочек, в который складывают все элементы обоих множеств:

                        А                В           А             В

                                •.    Ο.  ⌂.                  А  В

                           □.        ◊.  ∆.∙.

   Объединение множеств часто называют сложением множеств, при этом могут употреблять и знак «», и знак «+».  В некоторых источниках сложением множеств называют объединение непересекающихся множеств.

   Количество элементов в объединении непересекающихся множеств равно сумме количеств элементов в множествах, которые объединяли.

   Пример. А = {□, •, ◊, Ο}, в множестве А  4 элемента.    

    В = {⌂, ∆, ∙}, в множестве В  3 элемента.

  АВ = {□, •, ◊, Ο ⌂, ∆, ∙},  в объединении множеств  7 элементов (4 + 3 = 7).

  Если множества пересекаются, то в их объединении число элементов равно сумме количеств элементов объединяемых множеств без количества элементов в пересечении этих множеств. Если количество элементов в множестве А  обозначить n(A )  (читают «Численность множества А» ), то это положение запишется так:

                                     n(АВ) = n(А) + n(В) – n(А∩В) 

( см. задачу в теме «Диаграммы Эйлера-Венна»)           

Пример. А = {□, •, ◊, Ο},          n(А)=4

В = {⌂, ∆, Ο, ∙, ◊},                      n (В) = 5

Множества пересекаются:  А∩В={◊, Ο},      n (А∩В) = 2

 АВ = {□, •, ◊, Ο, ⌂, ∆, ∙},  n(АВ) = 7.  Действительно,  4 + 5 – 2 = 7.

Разность множеств. Дополнение множества.

Разностью множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов  множества А, которых нет в множестве В.

  Разность обозначают наклонной чертой, которую пишут слева направо и сверху вниз « \ ».                                                           А

Пример 1.  А={а, б, в, г, д, е},   B = {а, е, о, и}                                               В

                   A\ B = {б, в, г, д}                                            А\В

                                 А\В

Пример 2. А={а, б, в, г, д, е},    В = {б, в, г, д}                                                       В            А

                   A\ B = {а, е}

В обоих примерах разность множеств А и В на диаграмме заштрихована.

Дополнение подмножества

Если множество В является  подмножеством множества А, то разность множеств А и В называют  дополнением множества В до множества А

Если множество В является  подмножеством множества А, то дополнением множества В до множества А называют множество, состоящее

из тех элементов множества А, которых нет в множестве В.

Дополнение множества В до множества А обозначают или так же, как обозначают разность (дополнение и есть разность), или ставят черту над множеством В и записывают внизу индекс - обозначение множества А:  «».Если множество дополняют до универсального множества, то индекс внизу не пишут :  .

Пример. А = {а, б, в, г, д, е},    B = {в, г, д},   В ⊂ А,           = {а, б, е}

      А                                                         I                                                   

             В                                                                А      

Упражнения по теме «множества»

1. Заштриховать пересечения данных множеств.

 а)А                  В        б)                        в)                                г) А

                        А     В                А                В                                

2. А={2,4,6,8,10},    B={1,2,3,4,5}.

Записать пересечение и объединение этих множеств, разность множеств А и В и разность множеств В и А. Дополните множество В до объединения множеств А и В. 

3. А – множество букв слова «математика», В- множество буква слова «геометрия».

Задайте эти множества перечислением, найдите их пересечение, объединение, разность множеств А и В и разность множеств В и А.

4. Заштриховать объединение пар множеств, данных в задании № 1. 

5. Задача. Администрация школы потребовала справку о количестве детей в классе, посещающих кружки. В классе 25 человек. Музыкой занимаются 12 человек, 13 человек ходят в кружок ИЗО. Какую справку может дать учитель?

6. Показать на числовой прямой пересечение и объединение множеств А и В, если  

a) А={x| x>-3}, B={x| x<-5};      б) А={x| x>-3}, B={x| x<5};   в) A ={x| -2≤x≤0}, B={x| -1≤x ≤4 },    г) A ={x| -3,5≤x<1},  B={x| -7

7. Заштриховать указанные разности множеств.

     А                В         А                В          А                                            А        

                                                    В                  

        А\В                   В\А            А\ В                                                А\А

8. На диаграммах Эйлера-Венна покажите справедливость данных равенств:

1. AUB\C=(A\C)U(B\C)  
2. 2. (A\B)∩C=(A∩C)\(B∩C)
3. 3.A\(BUC)=(A\B)∩(A\C)