Нахождение оптимального результата с помощью производной в практических задачах.
план-конспект занятия

Тема: Нахождение оптимального результата с помощью производной в практических задачах.

Цели

Образовательная цель:
Показать, как с помощью производной можно решать задачи на поиск оптимального (наилучшего) результата в реальных условиях сельскохозяйственного производства — будь то максимизация прибыли, урожайности или минимизация затрат и потерь.

Развивающая цель:
Развивать умение строить математические модели профессиональных ситуаций, интерпретировать результаты, аргументированно принимать решения на основе анализа функций.

Воспитательная цель:
Формировать ответственное отношение к ресурсам, осознание ценности точных расчётов в аграрной деятельности, воспитывать стремление к эффективности и рациональности в работе.

Задачи

1. Повторить связь между производной и экстремумами функции.
2. Сформулировать общий подход к решению задач на оптимизацию.
3. Рассмотреть примеры из сельского хозяйства: оптимизация затрат, урожайности, времени, ресурсов.
4. Научить студентов самостоятельно составлять и решать такие задачи.
5. Подготовить к выполнению домашнего задания с элементами профессиональной направленности.

План:

1. Основные понятия
2. Примеры
3. Самопроверка.
4. Домашняя работа.

#1048;зучение материала. Теоретическая основа

1. Основные понятия.

Что такое задача на оптимизацию?

Это задача, в которой требуется найти наилучшее (оптимальное) значение некоторой величины при заданных ограничениях.
Чаще всего это:

максимизация (прибыли, урожая, эффективности),

минимизация (затрат, времени, потерь).

В математике такие задачи сводятся к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции на заданном множестве (обычно на отрезке).

Как использовать производную для оптимизации?

Если величина y зависит от переменной x по закону y=f(x), то:

Точка, где f′(x)=0 и меняет знак с «+» на «–», — точка максимума.

Точка, где f′(x)=0 и меняет знак с «–» на «+», — точка минимума.

Важно! Не каждая критическая точка — экстремум. Нужно проверять знак производной или использовать второй способ — сравнение значений на границах и в критических точках.

Общий план решения задач на оптимизацию

1. Определить, что нужно оптимизировать (целевая функция).
2. Выбрать переменную x, от которой зависит результат.
3. Составить функцию f(x), описывающую зависимость.
4. Указать область допустимых значений (например, x≥0, или x∈[a;b]).
5. Найти производную f′(x).
6. Найти критические точки и определить, какие из них принадлежат области.
7. Определить тип экстремума (максимум/минимум) — через знак производной или сравнение значений.
8. Сформулировать ответ в контексте задачи.

2. Примеры

Пример 1. Минимизация затрат на кормление

Фермер кормит телят комбикормом. Суточный привес (в кг) зависит от количества корма x (в кг) по формуле:

P(x)=−2+, 0≤x≤

Стоимость 1 кг корма — 30 руб.

Цена 1 кг привеса — 200 руб.
При каком количестве корма прибыль будет максимальной?

Решение:

Доход: D(x)=200⋅P(x)=200(−2+)=−10x2+300x

Расход: R(x)=30x

Прибыль:

Π(x)=D(x)−R(x)=(−10x2+300x)−30x=−10x2+270x

Найдём производную:

Π′(x)=−20x+270

Критическая точка:

−20x+270=0⇒x=

x=∈[0;20]

Проверим знак:

При x<: Π′>0 → функция возрастает

При x>: Π′<0 → функция убывает
⇒ максимум при x=

Ответ: максимальная прибыль достигается при кг корма в сутки.

Пример 2. Оптимизация площади огороженного участка

Фермер хочет огородить прямоугольный участок вдоль реки (по реке забор не нужен). У него есть 120 м сетки. Какие размеры участка дадут максимальную площадь?

Решение:

Пусть ширина — x (перпендикулярно реке), длина — y (вдоль реки).

Периметр: 2x+y=120⇒y=120−2x

Площадь:

S(x)=x⋅y=x(120−2x)=120x−2x2

Производная:

S′(x)=120−4x

Критическая точка:

120−4x=0⇒x=30

Тогда y=120−2⋅30=60

Площадь: S=30⋅60=1800 м2

Ответ: максимальная площадь — 1800 м², при ширине 30 м, длине 60 м.

3. Самопроверк

Задача 1

Себестоимость хранения 1 т зерна в зависимости от времени хранения t (в месяцах) выражается функцией:

C(t)=2+2t+5, 0≤t≤12.

Через сколько месяцев себестоимость будет наименьшей?

Задача 2

Производительность труда бригады (в центнерах за день) описывается функцией:

W(t)=−t2+10t, 0≤t≤8,

где t — часы работы. В какой момент дня производительность максимальна?

Вопросы:

Почему в задачах на оптимизацию важно учитывать ограничения на переменную?

Может ли оптимальное значение находиться на границе области? Приведите пример.

Какие ещё сельскохозяйственные процессы можно оптимизировать с помощью производной?

Домашняя работа

Задание 1 (обязательное)

Функция прибыли от продажи молока в зависимости от объёма производства x (в тыс. литров):

Π(x)=−2x2+40x−100, 5≤x≤15.

Найдите объём производства, при котором прибыль максимальна. Чему равна эта прибыль?

Задание 2 (профессиональное)

Расход топлива трактора (в литрах на час) зависит от скорости v (км/ч):

R(v)=2−+20, 10≤v≤30.

При какой скорости расход топлива минимален?

Задание 3 (творческое — по желанию)

Придумайте задачу, связанную с вашей будущей профессией, где нужно найти оптимальное решение с помощью производной. Оформите условие, решение и вывод.

Пояснение к ДЗ

Используйте план решения задач на оптимизацию.

Обязательно укажите единицы измерения и практический смысл ответа.

Для проверки можно построить график функции в Excel, GeoGebra или Desmos.

Срок сдачи: до следующего занятия через учебную платформу.

Рекомендации для дистанционного обучения

Пересмотрите разбор примеров.

Попробуйте решить задачи сначала без подсказок, затем сверьтесь с ключами.

Если возникнут трудности — задайте вопрос в чат или на почту.

Используйте мобильные приложения (например, Photomath, Microsoft Math Solver) для проверки производных, но не заменяйте ими мышление!)

Ключи к самопроверке

Задача 1:

C′(t)=+2>0 при всех t≥0 → функция возрастает

Минимум — при t=0 → сразу после уборки
Ответ: 0 месяцев (себестоимость растёт со временем)

Задача 2:

W′(t)=−2t+10=0⇒t=5

При t<5: W′>0;

при t>5: W′<0 → максимум
Ответ: на 5-м часу работы

Ответы на вопросы:

1. Потому что, например, нельзя внести отрицательное количество удобрений или работать 25 часов в сутки.
2. Да. Например, если функция убывает на всём отрезке, минимум — в правом конце.
3. Оптимизация полива, графика работы техники, маршрутов доставки урожая, плотности посадки и др.