Материалы для учителей математики

Департамент образования администрации города Братска

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №8»

Муниципального образования города Братска

Рабочая учебная программа

по алгебре

на 2013-2014 учебный год

для обучающихся 7 класса

Образовательная область: математика

Автор разработки:

Бабакова Людмила Исааковна

учитель математики МБОУ «СОШ №8»

I квалификационная категория

Братск, 2013

Пояснительная записка.

  Рабочая программа по математике для обучающихся 6 класса составлена                                   в соответствии с нормативными документами:

1. Федеральный компонент государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего, среднего (полного) общего образования (Приказ Минобр России № 1019 от 5 марта 2004г.) - для педагогов, работающих по ГОС первого поколения.
2. «Программы для общеобразовательных учреждений: Математика, 7-9 кл. / Сост.      Т.А. Бурмистрова  М.: Дрофа, 2008   для завершённой предметной линии учебников по алгебре для  7 класса  под редакцией  С.А. Теляковского.
3. Учебный план  МБОУ «СОШ № 8» на 2013-14 учебный год.

По учебному плану  3 часа в неделю

Количество часов на 1 полугодие: 48 часов

Количество часов на 2 полугодие: 54 часов

Количество всего часов по программе: 102 часа

        Изменения: в связи с тем, что геометрия по 2 часа все четыре четверти по базисному плану, а алгебра по 3 часа, программу по алгебре на 120 часов, которая рассчитана на 5 часов в I четверти и по 3 часа в II, III и IV четвертях переделала на 102 часа (15% изменений)

     Цели обучения алгебре в 7 классах определены следующим образом:

• овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения  в практической деятельности,  изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
• интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей;
• формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;
• воспитание культуры личности, отношение к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

        В ходе обучения алгебре по данной программе с использованием учебника и методического пособия для учителя, решаются следующие задачи:

• развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач математики и смежных предметов (физика, химия, основы информатики и вычислительной техники и др.);
• усвоение аппарата уравнений и неравенств как основного средства математического моделирования прикладных задач;
• осуществление функциональной подготовки учащихся;
• овладение конкретными знаниями необходимыми для применения в практической деятельности;
• выявление и развитие математических способностей,  интеллектуального развития ученика.

Учебно - тематический план.

Содержание  учебного курса.

        Содержание программы соответствует  обязательному минимуму содержания образования и имеет большую практическую направленность.

1. Выражения, тождества, уравнения. 20 ч

Числовые выражения и выражения с переменными. Простейшие преобразования выражений. Уравнение с одним неизвестным и его корень, линейное уравнение. Решение задач методом уравнений. Среднее арифметическое, размах и мода.

О с н о в н а я  ц е л ь: систематизировать и обобщить сведения о преобразовании выражений и решении уравнений с одним неизвестным, полученные учащимися в курсе математики 5-6 классов.

Знания, умения:

- выполнять простейшие преобразования выражений (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых );

- верно употреблять знаки >,  <; читать и записывать двойные неравенства;

- понимать смысл требования «решить уравнение»;

- усвоить алгоритм решения уравнений первой степени, сводящихся к линейным;

- вычислять среднее арифметическое нескольких чисел;

- определять размах, моду.

Контроль ЗУН предлагается при проведении математических диктантов, самостоятельных работ обучающего и контролирующего вида. Выполняется 2 контрольных  работы: К/р № 1 «Числовые выражения», К/р № 2 «Уравнение и его корни»

2. Функции. 12 ч

Функция, область определения функции. Способы задания функции. График функции. Функция

у = кх + в, ее свойства и график.

О с н о в н а я  ц е л ь: познакомить учащихся с основными функциональными понятиями и с графиками функций у = кх + в, у = кх.

Знания, умения:

- определять область определения функции, область ее значений;

- находить значения функции, заданной таблицей или несложной формулой;

- строить графики линейной функции, перечислять их свойства.

Контроль ЗУН предлагается при проведении математических диктантов, самостоятельных работ обучающего и контролирующего вида. Выполняется контрольная  работа №3 « Функция»

3. Степень с натуральным показателем. 13 ч

Степень с натуральным показателем и ее свойства. Одночлен. Функции у = х2 , у = х3 и их графики.

О с н о в н а я  ц е л ь: выработать умение выполнять действия над степенями с натуральным показателем.

Знания, умения:

- записывать произведение нескольких одинаковых множителей в виде степени;

- упрощать числовые и буквенные выражения со степенями с натуральным показателем на основе свойств степени;

- строить графики функций у = х2, у = х3 .

Контроль ЗУН предлагается при проведении математических диктантов, самостоятельных работ обучающего и контролирующего вида. Выполняется контрольная работа  К/р №4 «Степень с натуральным показателем»

4. Многочлены. 17 ч

Многочлен. Сложение, вычитание многочленов. Произведение одночлена и многочлена. Умножение многочленов. Разложение многочленов на множители.

О с н о в н а я  ц е л ь: выработать умение выполнять сложение, вычитание, умножение многочленов и разложение многочленов на множители.

Знания, умения:

- находить сумму, разность, произведение двух многочленов;

- представлять многочлен в виде произведения путем вынесения общего множителя за скобки.

Контроль ЗУН предлагается при проведении математических диктантов, самостоятельных работ обучающего и контролирующего вида. Выполняется2 контрольных  работы:  К/р №5 «Умножение одночлена на многочлен», К/р №6 «Произведение многочленов».

5. Формулы сокращенного умножения. 17 ч.

Применение формул сокращенного умножения двучленов к разложению на множители.

О с н о в н а я  ц е л ь: выработать умение применять в несложных случаях формулы сокращенного умножения для преобразования целых выражений в многочлены и для разложения многочленов на множители.

Знания, умения:

- освоить применение формул сокращенного умножения в чистом виде;

- применять формулы сокращенного умножения для преобразования многочленов и разложения их на множители.

Контроль ЗУН предлагается при проведении математических диктантов, самостоятельных работ обучающего и контролирующего вида. Выполняется 2 контрольных работы: К/р № 7 «ФСУ». К/р № 8 «Преобразований целых выражений»

6. Системы линейных уравнений.  15 ч

Уравнение первой степени с двумя неизвестными. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными и способы их решения. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени.

О с н о в н а я  ц е л ь: сформировать умение решать системы двух линейных уравнений и задачи, сводящиеся к системам линейных уравнений.

Знания, умения:

- использовать подстановку для проверки того, является ли данная пара значений неизвестных решением уравнения с двумя неизвестными;

- понимать смысл требования « решить систему уравнений»;

- решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки;

- решать текстовые задачи методом составления систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Контроль ЗУН предлагается при проведении математических диктантов, самостоятельных работ обучающего и контролирующего вида. Выполняется контрольная работа  по теме: «К/р № 9 «Системы линейных уравнений»

7. Повторение. 8 ч

Требования к уровню подготовки обучающихся.

В результате изучения алгебры ученик должен

1. знать/понимать^[1] 

• существо понятия математического доказательства; приводить примеры доказательств;
• существо понятия алгоритма; приводить примеры алгоритмов;
• как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач;
• как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;
• как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;
• вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов.

1. Арифметика

уметь

• выполнять устно арифметические действия: сложение и вычитание двузначных чисел и десятичных дробей с двумя знаками, умножение однозначных чисел, арифметические операции с обыкновенными дробями с однозначным знаменателем и числителем;
• записывать большие и малые числа с использованием целых степеней десятки;
• выполнять арифметические действия с рациональными числами, сравнивать рациональные и действительные числа; находить в несложных случаях значения степеней с натуральными показателями; находить значения числовых выражений;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• решения несложных практических расчетных задач, в том числе c использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора, компьютера;
• устной прикидки и оценки результата вычислений; проверки результата вычисления, с использованием различных приемов;
• интерпретации результатов решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений.

1. Алгебра

уметь

• составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные;
• выполнять основные действия со степенями с натуральными показателями, с многочленами; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;
• решать линейные уравнения и системы двух линейных уравнений;
• решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи;
• определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами;
• находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей;
• определять свойства функции по ее графику; применять графические представления при решении уравнений, систем;
• описывать свойства изученных функций, строить их графики;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• выполнения расчетов по формулам, для составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; для нахождения нужной формулы в справочных материалах;
• моделирования практических ситуаций и исследования построенных моделей с использованием аппарата алгебры;
• описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами, при исследовании несложных практических ситуаций;
• интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами.

Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей

уметь

•  извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;
• вычислять средние значения результатов измерений;
• находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• выстраивания аргументации при доказательстве и в диалоге;
• распознавания логически некорректных рассуждений;
• записи математических утверждений, доказательств;
• анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц;
• решения практических задач в повседневной и профессиональной деятельности с использованием действий с числами, процентов, длин, площадей, объемов, времени, скорости;
• понимания статистических утверждений.

Перечень учебно-методических средств обучения.

Основная литература:

• Учебник: Алгебра 7. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Пешков,     С.В. Суворова. Под редакцией С.А. Теляковского. / М.: Просвещение, 1989 – 2006.  
• «Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика, 5 – 11 кл. / Сост.      Г.М. Кузнецова,  Н.Г. Миндюк.,  М.: Дрофа, 2004.

             Дополнительная литература:

• Уроки алгебры в 7 классе. / В.И. Жохов, Л.Б. Крайнева. Пособие для учителей. / М.: Вербум – М, 2000. – 96 с.
• Звавич Л. И. Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс/ Л.И.Звавич, Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова. — М.: Просвещение, 2007—2009.
• Дидактические материалы по алгебре.7 класс. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.М. Короткова. / М: Просвещение, 1997 – 160с.

Основные формы организации  деятельности обучающихся

 на учебных занятиях.

• Индивидуальная.
• Групповая.
• Фронтальная.

         Формы контроля.

• Текущий.
• Итоговый.

Контроль проводится в форме контрольных работ, рассчитанных на 40 минут, тестов и самостоятельных работ на 15 – 20 минут с дифференцированным оцениванием. Текущий контроль проводится с целью проверки усвоения изучаемого и проверяемого программного материала;  содержание  определяются учителем с учетом степени сложности изучаемого материала, а также особенностей обучающихся  класса. Итоговые контрольные работы проводятся:

• после изучения наиболее значимых тем программы,
• в конце учебной четверти.

Система измерения результатов.

Система измерения результатов состоит из  :

• входного, промежуточного и итогового контроля;
• тематического и текущего контроля,
• административного.

Входной контроль – сентябрь

Входной контроль - проводится в начале учебного года для определения уровня подготовленности к продолжению образования и как метод исследования на этапе констатирующего эксперимента.

Промежуточный контроль – декабрь

Цели промежуточной аттестации:

-  диагностика уровня обученности учащихся по предметам;

- определение уровня освоения обязательного минимума содержания образования учащимися 6-х классов;

-  контроль за уровнем сформированности учебных умений и навыков.

Итоговый контроль – май

Итоговый контроль - проводится как оценка результатов обучения за определенный, достаточно большой промежуток учебного времени - четверть, полугодие, год. Итоговый контроль по полугодиям в нашей школе регламентируется Положением о формах и периодичности промежуточной аттестации учащихся школы.

Критерии оценки знаний и умений учащихся:

        Учитель оценивает знания и умения учащихся с учетом их индивидуальных особенностей.

• Содержание и объем материала, подлежащего проверке, определяется программой.
• Основными формами проверки знаний и умений учащихся по математике являются письменная контрольная работа и устный опрос.
• Среди погрешностей выделяются ошибки и недочеты.
• Задания для устного и письменного опроса учащихся состоят из теоретических вопросов и задач.
• Оценка ответа учащегося при устном и письменном опросе проводится по пятибалльной системе, т.е. за ответ выставляется одна из отметок: 1 (плохо), 2 (неудовлетворительно),             3 (удовлетворительно), 4 (хорошо), 5 (отлично).
• Учитель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии учащегося, за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные учащемуся дополнительно после выполнения им заданий.

Оценка устных ответов учащихся.

Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:

• полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником;
• изложил материал грамотным языком в определенной логической последовательности, точно используя математическую терминологию и символику;
• правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;
• показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными примерами, применять их в новой ситуации при выполнении практического задания;
• продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость используемых при ответе умений и навыков;
• отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя.

Возможны одна-две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по замечанию учителя.

Ответ оценивается отметкой «4», если он удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недостатков:

• в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математическое содержание ответа;
• допущены один-два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные по замечанию учителя;
• допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию учителя.

Отметка «3» ставится в следующих случаях:

• неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного материала;
• имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий, использовании математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;
• ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;
• при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

Отметка «2» ставится в следующих случаях:

• не раскрыто основное содержание учебного материала;
• обнаружено незнание или непонимание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;
• допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.
• ученик обнаружил полное незнание и непонимание изучаемого учебного материала или не смог ответить ни на один из поставленных вопросов по изучаемому материалу.

Оценка письменных контрольных работ учащихся.

Отметка «5» ставится, если:

• работа выполнена полностью;
• в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
• допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

• допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если

• допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Отметка «1» ставится, если:

• работа показала полное отсутствие у учащегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.

О ведении и проверке тетради по математике.

1.        Количество тетрадей.

Для выполнения всех видов классных и домашних работ рекомендуется иметь следующее количество тетрадей:

• 5-6 классы по две тетради;
• 7-11 классы по одной тетради на каждый предмет,
• для контрольных работ вводятся специальные тетради, которые в течение всего учебного года хранятся в школе и выдаются ученикам на дом только для работы над ошибками.

2.        Оформление записей в тетради:

• поля шириной 2-2,5см;на полях проставляется дата выполнения записей, можно указать и номер урока;

• записывается вид работы: домашняя или классная;
• желательно подчеркиванием или более крупным шрифтом выделить название темы урока;
• при выполнении отдельных заданий получаемые результаты и выводы тоже выделяются;
• вся работа, в том числе и отдельные преобразования и вычисления, выполняются в тетради, записи ведутся набело;
• все записи делаются чернилами или шариковыми ручками синего или фиолетового цвета, чертежи выполняются карандашом, при необходимости можно использовать и цветные карандаши;
• буквы и цифры нужно писать четко, правильного начертания, среднего размера, каждому знаку действий, а также знакам равенства, неравенства и скобке отводить столько же места, сколько и цифре, числитель и знаменатель дроби пишутся в половинном размере.

3.        Требования к проверке тетрадей.

 Тетради учащихся, в которых выполняются обучающие работы, проверяются учителями:

• в 5 классе и в I полугодии 6 класса в начале изучения новых тем программы ежедневно у всех учащихся, а в остальных случаях выборочно, главным образом у слабоуспевающих учащихся. Во всех случаях каждую тетрадь следует проверять не реже 1 раза в неделю;
• во II полугодия 6 класса и в 7-11 классах учитель ежедневно проверяет тетради только слабоуспевающих учеников, а у остальных периодически просматривает не все работы, а лишь наиболее значимые по своей важности, но с таким расчетом, чтобы 2 раза в месяц им проверялись тетради всех учащихся;
• работа над ошибками, как правило, выполняется в тех же тетрадях, в которых выполнялись соответствующие работы;
• контрольные работы в 5-9  классах учитель проверяет и возвращает учащимся к следующему уроку, а при большом количестве работ (более 70) - через один урок; контрольные работы в 10-11 классах следует проверять не более 5 дней;
• в проверяемых работах учитель отмечает и исправляет все допущенные учащимися ошибки, руководствуясь следующим:

• при проверке тетрадей и контрольных работ, учащихся 5-6 классов учитель зачеркивает ошибку и надписывает вверху правильный результат;
• при проверке тетрадей и контрольных работ, учащихся 7-11 классов учитель только подчеркивает (или отмечает на полях) допущенную ошибку, которую исправляет сам ученик.

 За все проверенные контрольные работы, в том числе и кратковременные, учитель выставляет оценки и заносит их в журнал, кроме того, оцениваются все классные и домашние обучающие работы. Но оценка в журнал выставляется только за наиболее значимые из них (по усмотрению учителя).

Количество контрольных и проверочных работ.

• Итоговые контрольные работы проводятся

а) после изучения крупных программных тем,

б) в конце ученой четверти или полугодия. Время проведения определяется общешкольным графиком, чтобы избежать перегрузки учащихся.

• Текущие контрольные работы имеют целью проверку усвоения изучаемого материала, их количество и содержание определяется учителем с учетом особенностей учащихся каждого класса и степени сложности изучаемого материала.
• Основным видом классных и домашних работ являются обучающие работы.

Лист

 корректировки рабочей программы

Пояснительная записка

1. Предмет, класс, в котором используется продукт( комплект рейтинговых контрольных работ)

– Математика, 5 класс.

2. Авторы учебника, учебно-методического комплекса –Н.Я.Виленкин, Ж.В.Жохов, А.С. Чесновов, С.И. Шварцбурд

3. Представленный материал: комплект рейтинговых контрольных работ для 5 класса.

Цель использования:

1.Выявление уровня математической подготовки учащихся  по курсу математики в 5 классе.

Преимущества:

1. Возможность выбора уровня сложности задания.( самооценка своих знаний)
2. При такой форме контроля знаний ученик становится менее тревожными, исчезает нервозность, т. к. возможность получения двойки практически отсутствует.
3. Возрастает интерес к предмету.

   Рекомендации:

1. Обязательное выполнение по одному заданию ( на выбор) из I, II, III блоков контрольной работы.
2. Далее выполнение заданий по усмотрению ученика.

Литература:

1. Математика-5, Учебник для общеобразовательных учреждений. Н.Я.Виленкин, Ж.В.Жохов, А.С. Чесновов, С.И. Шварцбурд

Изд. «Мнемозина », 2001.

2. «Поурочные разработки по математике: 5 класс, З.С.Стромова,  О.П. Пожарская.  Изд. Волгоград: Учитель, 2003.

 3.Дидактические материалы по математике 5 класс. А.С. Чесноков, К.И. Нешков. Изд. Москва: Просвещение, 1990.

Методы решения неравенств, содержащих знак модуль.

I) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет

Если , то

Если , то неравенству  равносильна система

II) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет

Если , то решений нет

Если , то неравенству  равносильна система

III) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых х из области определения

Если , то неравенство верно для любых х из области определения

Если , то неравенству  равносильна совокупность

IV) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых х из области определения

Если , то неравенству  равносильна система

Если , то неравенству  равносильна система

V) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству  равносильна система

VI) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству  соответствует уравнение

Если , то неравенству  равносильна система

VII) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то неравенство  верно для любых значений x из области определения неравенства

Если , то неравенству  равносильна система

Если , то неравенству  равносильна совокупность

VIII) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Если , то неравенство  верно для любых значений x из области определения неравенства

Если , то неравенство  верно для любых значений x из области определения неравенства

Если , то неравенству  равносильна совокупность

IX) Неравенства вида  и  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует неравенство

Неравенству  соответствует неравенство

X) Решение неравенств используя определение модуля (общий способ).

P.S

Любое неравенство можно решит общим способом.

Методы решения уравнений, содержащих знак модуль.

I) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Если , то корней нет.

Если , то уравнению  соответствует уравнение

Если , то уравнению  соответствует равносильная совокупность

II) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Способ №1

Уравнению  соответствует равносильная совокупность систем

Способ №2

Уравнению  соответствует равносильная совокупность систем

III) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Способ №1

Уравнению  соответствует равносильное уравнение

Способ №2

Уравнению  соответствует равносильная совокупность

IV) Уравнения вида  и  решаются следующим образом.

Уравнению  соответствует равносильное неравенство

Уравнению  соответствует равносильное неравенство

Методы решения иррациональных неравенств.

I) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству  

соответствует равносильная система

II) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству  

соответствует равносильная система

III) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильная совокупность систем.

        или        

IV) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильная совокупность систем.

        или        

V) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильная совокупность систем.

                или        

VI) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильная система.

VII) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильная совокупность систем.

        или        

VIII) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильная система.

IX) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильное неравенство

X) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильное неравенство.

XI) Неравенствах вида  решаются следующим образом.

Неравенство  решается обобщенным методом интервалов.

Методы решения иррациональных уравнений.

I) Метод возведения в четные степени (неравносильный переход нужна проверка) и нечетные степени (равносильный переход).

II) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению вида  

соответствует равносильная система

III) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл, то данное уравнение равносильно следующей совокупности.

                или        

IV) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению вида  соответствует равносильная система.

Способ №1                 Способ №2

V) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению вида  соответствует равносильная система.

                или                

VI) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Возведем обе части уравнения в куб.

        (1)

                (2)

При переходе из 1 в 2 происходит не равносильный переход, значит, необходима обязательная проверка.

VII) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению вида  соответствует равносильная совокупность систем.

VIII) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению вида решаются с помощью введения переменных.

Сводятся к решению системы алгебраических уравнений.

IX) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Обе части исходного уравнения умножаются на выражение, сопряженное с левой частью уравнения и сложением затем исходного и полученного уравнений, что приводит к решению простейшего иррационального уравнения. (Нужна проверка)

X) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Удобно произвести замену.

Исходное уравнение примет вид.

Обычно под знаком одного из радикалов, после такой замены, появляется полный квадрат двух члена.

XI) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Теорема. Если  - возрастающая функция, то уравнение  и  - равносильны.

Например.

                                решений нет

XII) Решение некоторых иррациональных уравнений можно свести к однородным уравнениям.

Например.

Пусть , , тогда

Методы решения логарифмических неравенств.

1) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует равносильная система

2) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Неравенству

соответствует равносильная

система

3) Неравенства вида  решаются следующим образом.

Неравенству  соответствует два случая

I сл.                         II сл.

Методы решения показательно-степенных уравнений.

1) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Уравнению  соответствует пять случаев:

2.  – обязательно проверка.
3.  – обязательно проверка.
4.  – обязательно проверка.
5.  – обязательно проверка.

Методы решения показательных уравнений.

1) Уравнения вида  решаются следующим образом.

Если , следовательно, тогда

Введем замену. Пусть , тогда

Методы решения уравнений высших степеней.

I) Возвратные уравнения и к ним сводящиеся.

Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. , ,

1) Возвратные уравнения четной степени.

т.к.  - не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на .

Введем замену: Пусть ,

2) Возвратные уравнения нечетной степени.

Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного уравнения нечетной степени один из корней всегда равен –1

Очевидно  - корень уравнения.

         или        

т.к  - не является корнем уравнения, то разделим обе части  уравнения на

Введем замену: Пусть , ,

II) Уравнения вида, где  решаются как возвратные.

III) В следующих уравнениях используется “идея однородности”.

Пример №1.

Введем замену: Пусть , , тогда

1) если , тогда , тогда

2) Разделим обе части уравнения на , получим

Пример №2.

Пусть , , тогда

Найдем

Составим систему:

IV) Уравнения вида, где  эффективно решать перемножением  и , а затем делать замену.

V) В уравнениях вида  и в уравнениях к ним сводящимся, в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

VI) В уравнениях вида  обе части уравнения делятся на

VII) Уравнения вида  и к ним сводящиеся решаются при помощи замены

Методы решения тригонометрических уравнений.

I) Решение тригонометрических уравнений как однородное.

Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.

, где  - действительные числа.  - показатель однородности.

Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит . Разделим обе части на , получим:

II) Уравнения вида

1) если , то уравнение однородное.

2) если  и (то есть хотя бы одно из чисел  или  не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , тогда

а) если,  т. е. , то корней нет.

в) если,  т. е. , тогда

III) Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного.

Уравнение вида  решается следующей заменой , , ,

Общие критерии оценивания заданий приведены в таблице:

При оценивании заданий следует придерживаться указаний, данных в комментариях  к данной задаче или к данному способу решению задачи.

Нельзя уменьшать количество баллов за то, что решение слишком длинное. Исправления в работе (зачеркивания ранее написанного текста) также не являются основанием для снятия баллов. В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не содержащий полезных продвижений, должен быть оценен в  0 баллов.

7 класс

7-1. Разрежьте по клеточкам каждый из квадратов 3 х 3 и 4x4 на две части так, чтобы из получившихся четырех кусков можно было сложить новый квадрат.

Решение.   Два из возможных примеров разрезания приведены на рисунках 1 и 2.

Рис. 1           +                                   

Рис. 2

                                                                                     +

7-2. На доске были записаны четыре натуральных числа. Сложив их всевозможными различными способами по два, Петя получил следующие шесть сумм: 17, 18, 20, 21, 23, 26.  Докажите, что Петя ошибся при вычислении сумм.

Решение.   1-й способ. Сумма всех шести попарных сумм равна 125.  Каждое из записанных на доске чисел входит в эту сумму три раза, значит, эта сумма должна быть кратна 3, но 125 на 3 не делится.

Комментарии.

Найдена сумма всех попарных сумм, равная 125:   1 балл.

Указано, что каждое число в качестве слагаемого используется три раза:   2 балла.

Высказаны оба предыдущих утверждения:   3 балла.

Найдена сумма, равная 125, и замечено, что раз каждое число является слагаемым три раза, то сумма должна делиться на 3, но не указано, что 125 на 3 не делится:   6 баллов.

2-й способ. Расположим написанные числа в порядке неубывания:  a  b  c  d .  Тогда  а + b = 17,  a + c = 18,

b + d = 23,  c + d = 26 .  18 + 23 = a + b + c + d = 17 + 26 .  Получили противоречие: 41 = 43. Следовательно, была ошибка в вычислениях.

7-3.  В таблицу 2x5 записали все натуральные числа от 1 до 10. После этого подсчитали каждую из сумм чисел по строкам и по столбцам (всего получилось 7 сумм). Какое наибольшее количество этих сумм может оказаться простыми числами?

Решение. Если бы все 7 сумм были бы простыми числами, то простыми были бы, в частности, две суммы по 5 чисел (суммы чисел в строках). Но тогда каждая из этих сумм была бы нечётна, так как каждая такая сумма простая и больше 2 . И при сложении этих сумм получили бы чЁтное число. Однако в эти две суммы входят все числа от 1 до 10, и их сумма равна 55 — числу нечЁтному. Поэтому среди полученных сумм не больше 6 будут простыми числами. На рисунке показано, как можно расставить числа в таблице, чтобы получить 6 простых сумм (в нашем примере все суммы по 2 числа равны 11, а 1 + 2 + 3 + 7 + 6 = 19).

Комментарии.   Есть пример, но нет оценки – 3 балла.      Есть оценка, но нет примера – 4 балла.

7-4.  На полоске 120 на 10 левых полях стоят 10 шашек. Шашка может ходить на соседнюю справа свободную клетку или перепрыгнуть через соседнюю справа шашку на следующую за ней клетку, если эта клетка свободна. Движение влево не разрешается. Можно ли все шашки переставить подряд без пробелов в обратном порядке?

Решение.  Можно. Приведём пример перестановок. Занумеруем шашки числами 1,2,3,…,9,10. Перемещения состоят из двух частей: перемещение нечётных чисел («разборка») и перемещение чётных чисел («сборка»). Перемещение каждой фишки показано начальным и конечным положением, промежуточные ходы легко восстановить.

Комментарии.

Указаны все перестановки:  7 баллов.

Указано начальная, конечная и некоторые (не все) промежуточные перестановки:   6 баллов.

Указано начал «разборки» и далее сказано: аналогично (то есть нет «сборки») – 3 балла.

Если «сборка» тоже есть, но есть пропуск ходов:  5 баллов.

7-5.  В девятом классе 26 учеников. Каждый из них либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. На уроке физкультуры все ученики этого класса выстроились по кругу лицом к учителю, который задал каждому ученику по два вопроса: «Кто стоит слева от тебя?» и «Кто стоит справа от тебя?»,  и каждый из учеников на оба эти вопроса ответил: «Мальчик». Сколько в классе может быть мальчиков?  

Решение.    Ответ:   26 ,  13  или   0 .

Если все говорят правду, то в классе 26 мальчиков. Если все лжецы, то мальчиков нет вообще. Рассмотрим случай, когда есть и лжецы и правдивые. Тогда найдутся честный и лжец, стоящие рядом. И тот и другой друг про друга говорят, что сосед мальчик. Значит,  честный - это девочка, а лжец - это мальчик. Но тогда у лжеца-мальчика оба соседа - девочки, и они - честные. А оба соседа каждой честной девочки – мальчики. Поэтому в круге девочки и мальчики чередуются. Следовательно, в классе 13 девочек и 13 мальчиков.

Комментарии.        

За вариант ответа «0»:    +1балл.          

За вариант ответа «26»:    +1балл.

За вариант ответа «13»:    +1балл.    

За обоснование ответа «13»:   +4балла.

8 класс

8-1. На доске были записаны четыре натуральных числа. Сложив их всевозможными различными способами по два, Петя получил следующие шесть сумм: 17, 18, 20, 21, 23, 26.  Докажите, что Петя ошибся при вычислении сумм.

Решение.   1-й способ. Сумма всех шести попарных сумм равна 125.  Каждое из записанных на доске чисел входит в эту сумму три раза, значит, эта сумма должна быть кратна 3, но 125 на 3 не делится.

Комментарии.

Найдена сумма всех попарных сумм, равная 125:   1 балл.

Указано, что каждое число в качестве слагаемого используется три раза:   2 балла.

Высказаны оба предыдущих утверждения:   3 балла.

Найдена сумма, равная 125, и замечено, что раз каждое число является слагаемым три раза, то сумма должна делиться на 3, но не указано, что 125 на 3 не делится:   6 баллов.

2-й способ. Расположим написанные числа в порядке неубывания:  a  b  c  d .  Тогда  а + b = 17,  a + c = 18,

b + d = 23,  c + d = 26 .  18 + 23 = a + b + c + d = 17 + 26 .  Получили противоречие: 41 = 43. Следовательно, была ошибка в вычислениях.

8-2. Есть 100 карточек, у каждой одна сторона черная, а другая белая. Карточки лежат на столе белой стороной вверх. Костя перевернул 50 карточек, затем Серёжа перевернул 60 карточек, а после этого Оля перевернула 70 карточек, и наконец, Дима перевернул 80 карточек. В результате все карточки оказались повёрнуты чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевёрнуто только один раз? А сколько три раза? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.

Решение. Поскольку все карточки сменили цвет, значит, каждую переворачивали нечётное число раз. А поскольку каждую переворачивали не более четырёх раз, то каждую переворачивали один или три раза. Пусть  x - количество переворачиваний по три раза. Тогда по одному разу было  100 – x   переворачиваний. И всего их было 3x + (100 – x) = 2x + 100 .  С другой стороны, их было 50 + 60 + 70 + 80 = 260 .   Получаем уравнение 2x + 100 = 260.  Его корнем является число 80. Значит, три раза перевёрнуто 80 карточек и один раз 100 – 80 = 20 карточек.

Можно  решить задачу, не составляя уравнения. Поскольку все карточки сменили цвет, значит, каждую переворачивали нечётное число раз. А поскольку каждую переворачивали не более четырех раз, то каждую переворачивали один или три раза. Всего переворачиваний 50 + 60 + 70 + 80 = 260 .   А так как карточек 100, то  260 – 100 = 160  дополнительных переворачиваний приходится на карточки, которые переворачивали три раза.  Значит, по два переворачивания на карточку. Поэтому 160 : 2 = 80 карточек переворачивались три раза.   Один раз переворачивали 100 – 80 = 20 карточек.

Комментарии.

Уравнение составлено, но решено неверно:   3 балла.

Указан только один ответ (про карточки с тремя или одним поворотом), а всё остальное есть:   6 баллов.

8-3. Придумайте десятизначное число, все цифры которого различны, такое, что после вычеркивания любых шести его цифр остается составное число.

Решение. Таким числом будет, например,  9713502468 .  При вычеркивании любых шести цифр возможны два случая: а)  на конце числа останется одна из цифр  5, 0, 2, 4, 6  или  8 .  Тогда полученное число делится на  5  или на  2 ;   б) останется число  9713 ,  которое делится на  11 .

Комментарии.

При отсутствии каких-либо объяснений просто указано какое-нибудь число, в котором на конце идут цифры  5, 0, 2, 4, 6, 8  в каком-либо порядке, а первые четыре цифры  9,7,1,3  образуют простое число:   1 балл.

При отсутствии каких-либо объяснений просто указано какое-нибудь число, в котором на конце идут цифры  5, 0, 2, 4, 6, 8  в каком-либо порядке, а первые четыре цифры  9,7,1,3  образуют составное число, но это утверждение не доказано:   4 балла.

8-4.   Диагонали четырехугольника  ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке  O .  Пусть  H – точка пересечения высот остроугольного треугольника  ADC .  Оказалось, что  DH = BO  и  CAB = CDB .  Докажите, что H – середина  DO .

Решение.   Пусть  AE - высота треугольника ACD. Заметим, что в прямоугольных треугольниках OHA  и EHD острые углы OHA и EHD равны как вертикальные.  А значит, равны и вторые острые углы этих треугольников:

EDH = ОAH .

Из этого равенства и равенства углов CAB=CDB получаем, что BAO=HAO. А значит, AO – биссектриса треугольника ABH, но она же и высота этого треугольника (диагонали перпендикулярны). И поэтому треугольник ABH  равнобедренный. AO – его медиана. BO = OH, ВO = HD (по условию) и, значит, OH = HD  и  H – середина отрезка DO.

Комментарии.

Указано, но не доказано, что треугольник ABH –равнобедренный: 1 балл.

А если из этого доказано утверждение задачи:  3 балла.

8-5. Клетки таблицы  8x8 покрашены в три цвета. Оказалось, что в таблице нет трёхклеточного уголка, все клетки которого одного цвета (трёхклеточный уголок — это фигура, получаемая из квадрата 2x2 удалением любой одной клетки). Также оказалось, что в таблице нет трёхклеточного уголка, все клетки которого трёх разных цветов. Докажите, что количество клеток каждого цвета чётно.

Решение.   Рассмотрим произвольный квадратик  2 х 2 .  В нем не может быть клеток всех трёх цветов, так как тогда можно было бы найти трёхклеточный уголок, все клетки которого трёх разных цветов. Также в этом квадратике  2 x 2  все клетки не могут быть одного цвета, так как тогда можно было бы найти трёхклеточный уголок, все клетки которого одного цвета. Значит, в этом квадратике клетки только двух цветов. Заметим также, что в этом квадратике клеток одного цвета не может быть 3, так как тогда можно было бы найти трёхклеточный уголок, все клетки которого одного цвета. То есть в этом квадратике по 2 клетки двух разных цветов. Разобьем теперь таблицу  8x8 на 16 квадратиков 2 х 2.  В каждом из таких квадратиков либо нет клеток первого цвета, либо две клетки первого цвета. То есть всего клеток первого цвета чётное количество. Аналогично клеток второго и третьего цветов чётное количество.

9 класс

9-1.  Разрежьте приведённую на рисунке картинку, составленную из косточек домино, на четыре равные по площади части, разрезав при этом как можно меньше костей домино.  Объясните, почему нельзя обойтись меньшим числом разрезанных костей домино.

Решение.  Каждая кость домино состоит из двух клеток. Всего клеток  36 . Значит, каждая из четырёх частей равновелика  9 клеткам и поэтому содержит, по крайней мере, одну часть кости домино. Чтобы получить четыре части домино,  нужно разрезать  минимум две кости домино. Как можно произвести требуемое разрезание, показано на рисунке. (Возможны и другие решения).

Комментарии:

Есть пример, но нет оценки – 3 балла.                      Есть оценка, но нет примера – 4 балла.

9-2.  Известно, что при любых целых значениях  x  выражение    принимает целые значения. Докажите, что числа  2b  и  6a  – целые.

Решение. Если  – целое при любом целом  х , то и числа,  ,    – целые.  Поэтому числа   и     – целые .

Комментарии.

Доказано, что одно из указанных чисел целое:  3 балла.

9-3.  В четырехугольнике  ABCD  углы  A  и C равны. Биссектриса угла  B  пересекает прямую  AD  в точке  P .  Перпендикуляр к  BP ,  проходящий через точку  A ,  пересекает прямую  BC  в точке  Q .  Докажите, что прямые  PQ  и  CD  параллельны.

Решение.

Пусть  R — точка пересечения  BP  и  AQ .   BR  является одновременно и высотой и биссектрисой треугольника ABQ, следовательно, этот треугольник равнобедренный, AB = BQ. Треугольники  BPA  и  BPQ  равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому угол BQP  равен углу  BAP и, следовательно, равен углу BCD, а значит,  PQ  и  CD   параллельны.

Комментарии:

Если доказано, чтотреугольник ABQ, равнобедренный – 2 балла.

Если ещё доказано, что треугольники  BPA  и  BPQ  равны – 4 балла.

9-4.  Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата  6 × 6 ,  в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: «Среди моих соседей нечётное число лжецов».  Доказать, что количество лжецов в деревне чётно.

Решение.  Разобьем доску на четыре квадрата  3 × 3 .  Докажем, что в каждом таком квадрате нечётное количество лжецов. Рассмотрим жителя из центральной клетки. Если он рыцарь, то среди его соседей нечётное число лжецов и значит и во всём квадрате их нечётное число. Если он лжец, то среди его соседей чётное число лжецов, да еще он сам, и всего в квадрате - нечётное число лжецов.  Так как сумма четырёх нечётных чисел чётна, значит чётно и общее число лжецов. А так как общее число клеток чётно, то общее число рыцарей также чётно.

Комментарии.

Есть идея разбиения на квадраты  3 × 3 :    1 балл.

Указано, что в квадрате  3 × 3  нечётное число лжецов, но это не доказано:    3  балла.

9-5.   На доске  выписано число 181818…18 (всего 2014 цифр: 1007 единиц и 1007 восьмёрок). Из этого числа вычеркнули какие-то 200 цифр. Может ли оказаться, что полученное число будет кратно 7?

Решение. Нет, не может. Если любую из цифр  8  заменить на  1 ,  то делимость на  7  не меняется, так как разность между старым и новым числом равна  7000…000  и, следовательно,  кратна  7 .  Значит, требуется установить, делится ли число  111…11  (1814  единиц)  на  7 . Выполняя деление столбиком, можно заметить, что число 111111 делится на 7, а числа из меньшего числа единиц не делятся. Но поскольку  1814  не кратно  6,  то полученное число не может оказаться кратным 7.

Комментарии.

Замечено, что можно 8 заменить на 1 и более ничего -  1 балл.

А если еще и объяснено почему, то  2 балла.

10 класс

10-1.   Решите уравнение:    .

Решение.  Ответ:  решений нет.

1-й способ. Последовательность  является геометрической прогрессией со знаменателем . Сумма геометрической данной прогрессии равна . Числитель и знаменатель этой дроби – положительные числа. Поэтому уравнение    не имеет решений.

Комментарии.

Если замечено, что в левая часть уравнения - сумма геометрической прогрессии:  1 балл.

Найдена эта сумма, но не сделан вывод:   2 балла.

2-й способ. При  левая часть равна  1 ,  и неравенство верно. Если  ,  то    ,    ,   и левая часть уравнения не меньше  1 . Если  ,  то    ,    ,   и левая часть уравнения положительна.

Комментарии.

Рассмотрен только один из случаев  или  :  2 балла.

3-й способ:  не является решением уравнения. Разделим обе части уравнения на  и получим уравнение .   Перепишем слагаемые в следующем порядке   ,

и заменим   . Возведя последнее равенство в квадрат, получим . С учетом последнего соотношения получим уравнение  которое имеет корни ,  Заметим, что ,согласно неравенству Коши,   и, следовательно, оба корня не подходят.

Комментарии.

Приведено к виду    после соответствующей замены:  2 балла.

Найдены корни для уравнения   :    +1 балл.

Отброшен один из корней:   +1 балл.

10-2.   Докажите, что для всех натуральных  n  справедливо неравенство

             . 

Решение.  Разделим обе части неравенства на положительную величину  Получим неравенство       Если  , то степень отрицательна и неравенство верно.  При      степень неотрицательна и неравенство верно.

Комментарии:

Получен вид      или:             :   1 балл.

Доказано только для одного из случаев   или  :            3 балла.

10-3.   На доске  выписано число 181818…18 (всего 2014 цифр: 1007 единиц и 1007 восьмёрок). Из этого числа вычеркнули какие-то 200 цифр. Может ли оказаться, что полученное число будет кратно 7?

Решение. Нет, не может. Если любую из цифр  8  заменить на  1 ,  то делимость на  7  не меняется, так как разность между старым и новым числом равна  7000…000  и, следовательно,  кратна  7 .  Значит, требуется установить, делится ли число  111…11  (1814  единиц)  на  7 . Выполняя деление столбиком, можно заметить, что число 111111 делится на 7, а числа из меньшего числа единиц не делятся. Но поскольку  1814  не кратно  6,  то полученное число не может оказаться кратным 7.

Комментарии.

Замечено, что можно 8 заменить на 1 и более ничего -  1 балл.

А если еще и объяснено почему, то  2 балла.

10-4.  В остроугольном треугольнике АВС отрезок  МК, соединяющий основания высот АМ и ВК,  виден из середины Е стороны АВ под прямым углом. Найдите величину угла С.

Решение.  Ответ:  45º

1-й способ. Так как МЕ - медиана прямоугольного треугольника АМВ, проведенная из вершины прямого угла, то МЕ = 0,5 АВ. Аналогично, КЕ = 0,5 АВ. Следовательно, КЕ = ЕМ и треугольник КЕМ является равнобедренным прямоугольным треугольником и углы КМЕ и ЕКМ равны  по 45º. Так как треугольники КСМ и ВСА подобны и угол КМС равен углу  А треугольника  АВС, а в равнобедренном треугольнике ВЕМ (МЕ = ВЕ) , то получаем следующее равенство:

С другой стороны, . Сравнивая два последних равенства, получаем, что угол С равен  45º.

 2-й способ: В равнобедренном треугольнике МЕВ (МЕ = ЕВ = 0,5 АВ)  , а в равнобедренном треугольнике АЕК (АЕ = ЕК = 0,5 АВ) . Получаем:  ,  откуда  ,  и .

Комментарии.  Если доказано, что треугольник КЕМ равнобедренный – 2 балла.

Если также отмечено, что треугольники  МЕВ  и  АЕК равнобедренные – 4 балла.

10-5.  В классе 33 человека. Известно, что четверо из них занимаются карате в одной секции, но не всем известно кто это. Учитель физкультуры  тоже не знает кто это, но попросил каждого ученика назвать трех человек, которые, по его мнению, занимаются карате. Каждый каратист назвал трех других каратистов, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что, пользуясь этими данными, учитель сможет выбрать одного из ребят, который не занимается карате.  

Решение.  1-й способ.  Возьмем первого ученика, назовем его №1. Пусть он указал на 3-х человек: №2, №3 и №4. Если №1 занимается карате, то №2, №3 и №4 занимаются карате тоже и указали друг на друга и на него. Если же кто-то из них указал на человека, не входящего в эту четверку, то №1 не занимается карате и учитель может выбрать его. В случае, когда №1, №2, №3 и №4 указали друг на друга, исключаем их из рассмотрения и рассматриваем оставшихся 29 ребят. Из них выбираем любого - №5. Сначала смотрим - не указал ли он на кого-нибудь из уже исключенных из рассмотрения. Если указал, то быть  каратистом он не может,  так как те не указали на него. Если не указал, то рассматриваем тех, на кого он указал - №6, №7 и №8. Поступаем точно так же, как с первой четверкой. И так далее. В худшем случае, у нас окажется восемь четверок ребят, указавших друг на друга (33:4=8 (ост. 1)), но при этом останется один человек, на которого не указал никто. Он каратистом быть не может.

2-й способ. Рассмотрим двух учеников. Если они друг на друга  указывают, что они каратисты,  то они оба каратисты или оба не каратисты. Если найдутся двое, один из которых указывает на второго, а второй не указывает на первого, то тот, который указывает, не является каратистом. Поскольку всего указаний  3 × 33 = 99  – нечётное число, то пара  «один указывает, а другой – нет», имеется.

Комментарии:  Отмечено, что ученик не является каратистом, если один из тех, на кого он указал, не указал на него:  2 балла.

11 класс

11-1.  Известно, что при любых целых значениях  x  выражение    принимает целые значения. Докажите, что числа  2b  и  6a  – целые.

Решение. Если  – целое при любом целом  х , то и числа,  ,    – целые.  Поэтому числа   и     – целые .

Комментарии.

Доказано, что одно из указанных чисел целое:  3 балла.

11-2.  Для некоторого действительного  x  числа    и      являются целыми.  Докажите, что тогда и   – целое число.

Решение.   Обозначим  ( к = 1, 2, 3).  Нетрудно проверить, что ; .  Из второго равенства сразу следует, что   - рациональное число при любом . Но, поскольку , а квадратный корень из целого числа – либо целое, либо иррациональное (можно считать известным фактом), то .  Если же , то , и уравнение  не имеет действительных решений.

Комментарии.   Доказано, что    - рациональное число при любом  :     2 балла.

11-3.   На доске  выписано число 181818…18 (всего 2014 цифр: 1007 единиц и 1007 восьмёрок). Из этого числа вычеркнули какие-то 200 цифр. Может ли оказаться, что полученное число будет кратно 7?

Решение. Нет, не может. Если любую из цифр  8  заменить на  1 ,  то делимость на  7  не меняется, так как разность между старым и новым числом равна  7000…000  и, следовательно,  кратна  7 .  Значит, требуется установить, делится ли число  111…11  (1814  единиц)  на  7 . Выполняя деление столбиком, можно заметить, что число 111111 делится на 7, а числа из меньшего числа единиц не делятся. Но поскольку  1814  не кратно  6,  то полученное число не может оказаться кратным 7.

Комментарии.

Замечено, что можно 8 заменить на 1 и более ничего -  1 балл.

А если еще и объяснено почему, то  2 балла.

11-4.  (О) Пусть М – точка пересечения диагоналей выпуклого вписанного четырёхугольника АВСD. Докажите, что если AB = AM, то прямая, проходящая через точку M  и середину дуги ВС (не, содержащую других вершин четырёхугольника), перпендикулярна AD.

Решение. 1-й способ. Так как треугольники  AMB и  DMC подобны и AB = AM, то DM = DC .  Пусть N – середина дуги ВС. Тогда AN и DN – биссектрисы равнобедренных треугольников AMB и  DMC соответственно, поэтому AEBD и DFAC (где E и F – точки пересечения прямых AN и BD AC и  DN соответственно). Следовательно, N – точка пересечения высот треугольника AMD, и NKAD  (К – точка пересечения NM и AD).

2-й способ. Отметим, что EF – средняя линия треугольника  МВС, и четырехугольник MNEF  - вписанный,  поэтому . Углы ВСА и BDA равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, . Аналогично, . Обозначим . Тогда . Таким образом,     и   .  Что и требовалось доказать.

11-5.  На плоскости расположены  2013   41-угольников.  Известно, что любые два из них имеют ровно одну общую вершину.  Доказать, что все  41-угольники  имеют общую вершину.

Решение. Рассмотрим любой 41-угольник, обозначим его  А .  Он имеет общую вершину с любым из оставшихся  41- угольников. Поэтому у него найдется вершина A1, являющиеся общей не менее, чем для  50   41-угольников (если это не так, то каждая из 41 вершины является общей не более, чем для  49   41-угольников и получаем, что всего имеется не более  49 × 41= 2009   41-угольников отличных от выбранного,  а их  2013). Покажем теперь, что если вершина  А1  41- угольника  A ,  является общей для 51  41-угольника A, B1, B2,…,B50 ,  то эта вершина является общей и для всех остальных  41-угольников. Возьмем произвольный 41-угольник  B  из оставшихся, пусть вершина  А1  не является вершиной  B ,  тогда  B  имеет общую и отличную от  A1  вершину с  каждым из A, B1, B2,…, B50 ,  . При этом все эти 51 вершины попарно различны (иначе какие-то два 41-угольника из  A, B1, B2,…,B50 имели бы две общие вершины), но тогда 41-угольник B должен иметь не менее 51 вершин. Противоречие. Значит, A1 является вершиной  B,  и, в силу произвольности B, получаем, что все 41-угольники имеют общую вершину A1.

Комментарии.

Замечено, что найдется вершина, которая является общей не менее чем для 50  41-угольников:    2 балла.

Ссылки сайтов  при подготовке к урокам математики

(рекомендую):

• Тренажеры по решению заданий по различным темам 5-11 классы

http://mathematics-120.ucoz.ru/

• Тесты и экзамены по курсу 6 класса (новый ФГОС)

http://onlinetestpad.com/ru-ru/User/2837/Page/356

• СЕРВИСЫ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПОРТАЛА «СДАМ ГИА»

http://sdamgia.ru/?redir=1

• Интернет-сообществе учителей

http://gorkunova.ucoz.ru/

• Разработки уроков, тесты, презентации и многое другое

http://videouroki.net/index.php?subj_id=2

• Сайт учителя математики Ярощук М.А.

http://yaroshchukmaria.ucoz.ru/index/0-5

• Занимательные задачи, тесты

http://ozenok.net/

• Математика онлайн . Тесты 5-6 класс

http://www.matematika-na.ru/index.php

• Онлайн тесты по математике

http://www.matematestonline.narod.ru/

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОЛИМПИАДАМ

Малый мехмат МГУ (архив)

http://mmmf.msu.ru/archive/

http://mathematics-120.ucoz.ru/load

http://onlinetestpad.com/ru-ru/User/2837/Page/356

http://www.resolventa.ru/metod/school/percent.htm

http://mary-olga.jimdo.com/%D0%B4%D0%BB%D1%8F-6-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B0/

http://videouroki.net/filecom.php?fileid=98662673

http://dist-tutor.info/mod/book/view.php?id=45282&chapterid=3411

http://www.eorhelp.ru/node/35930

http://shpargalkaege.ru/EGEB6.shtml

http://ozenok.net/math/second-level/

http://www.mathematics-repetition.com/

http://ru.onlinemschool.com/math/practice/