Кяхтинский филиал

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

 «Байкальский базовый медицинский колледж МЗ РБ»

Рабочая тетрадь

по математике: алгебра и начало анализа

Тема «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ»

Составил преподаватель математики Дашеева Туяна Валерьевна

Кяхта,

2017

Рассмотрена на заседании ЦМК общепрофессиональных дисциплин

Протокол № __________

От «___»_____________20___г.

Председатель _____________/Тудупова В.В./

Рабочая тетрадь для студентов I года обучения для специальности 34.02.01 Сестринское дело (на базе 9 классов) разработана по теме «Показательная функция» с целью повышения качества обучения студентов по математике.

Структура рабочей тетради соответствует структуре учебного пособия; уровень заданий соответствует требованиям, предъявляемым федеральной программой к уровню математической подготовки обучающихся; система заданий дополняет и расширяет систему заданий учебника.

Данная рабочая тетрадь разработана с учётом того, что в рабочей программе дисциплины «математика» на тему «Показательная функция» отводится 22 часа.

Рабочая тетрадь содержит основные понятия теории и основные формулы по теме «Показательная функция», а также набор заданий для самостоятельной работы. Обязательно включено решение одной, двух  типовых задач по каждой теме. В заключении предложено выполнить несколько тренировочных  тестов по форме ЕГЭ.

Разработчик: Дашеева Туяна Валерьевна, преподаватель математики Кяхтинского филиала ГАПОУ «Байкальский базовый медицинский колледж МЗ РБ»

Содержание

1. Пояснительная записка………………………………………………………………....5
2. Формируемые компетенции…………………………………………………………...6
3. Установочная инструкция……………………………………………………………..7
4. Тема 1. Степень с действительным показателем……………………………………..9
5. Тема 2. Показательная функция, её свойства и график……………………………...14
6. Тема 3. Решение показательных уравнений………………………………………….17
7. Тема 4. Решение показательных неравенств…………………………………………23
8. Контрольная работа…………………………………………………………………….25
9. Подготовка к Единому Государственному экзамену (ЕГЭ)………………………...26
10. Список литературы…………………………………………………………………….30

Пояснительная записка

Данная  рабочая тетрадь  может использоваться  как самостоятельно (так как в тетрадь включены не только множество заданий разной степени сложности, но и все необходимые  определения, подробные примеры и пояснения к ним),  так и совместно с  учебниками:

• «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., М:Просвещение;
• «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Мордкович А.Г., М:Мнемозина;

В данной рабочей тетради  использованы различные формы изложения материала. Для изучения нового материала рабочие тетради оформлены как  полноценный  конспект, в котором есть и теория, и  примеры решённых заданий, и  задания для самостоятельного выполнения. Учебные пособия - рабочие тетради, разработаны так, что по алгоритму и количественной части решённого, а также с учетом  возрастания сложности необходимо выполнить задание. При выполнении данных заданий требуются умения систематизировать, сравнивать, анализировать предложенную информацию, применять имеющиеся знания и умения в нестандартной ситуации. Причём информация представлена в различных видах (схемы, таблицы и тд.). Задание так же  имеют разную формулировку и различны по своему характеру: вводные, пробные, по образцу, творческие. Помимо упражнений и заданий в тетради включены и справочные материалы. В конце тетради предлагается уровневая контрольная работа, но выполнять её можно частями (при окончании изучения тем «Степень с действительным показателем», «Решение показательных уравнений» и  «Решение показательных неравенств»,     чтобы легче контролировать усвоение материала и корректировать ошибки).

Использование рабочей тетради в учебном процессе позволяет осуществить: во-первых, достижение  уровня обязательной математической подготовки; во-вторых сформировать умение применять полученные знания в несколько отличных от обязательных результатов обучения ситуациях; в – третьих ведёт к  повышению активности и самостоятельности,  планированию  собственной деятельности.

Содержание учебного материала

Формируемые компетенции

Установочная инструкция

УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!

1. Прежде чем приступить к выполнению заданий, внимательно прочти блок – информационный материал, ознакомься со списком литературных источников.
2. Особое внимание обратите на перечень знаний, умений, ОК.
3. Ознакомься с контрольно-измерительными материалами по данной теме.
4. Подготовив всё необходимое для выполнения заданий (рабочую тетрадь, учебник, лекционный материал, ручку, карандаши), приступайте к работе. Старайтесь задания выполнять качественно, аккуратно, разборчиво, в соответствии с требованиями инструкции к заданию.
5. Если у Вас возникнут затруднения в процессе работы, обратитесь к преподавателю.

Цель: научить самостоятельно применять знания по преобразованиям графиков показательной функции, в решении показательных уравнений и неравенств.

Задачи:

• образовательная: обобщить знания студентов по теме «Показательная функция»;
• развивающая: развивать математическую речь при комментировании решения, при составлении алгоритмов выполнения задания;
• воспитательная: способствовать воспитанию личностных качеств студентов: культуры труда и навыков работы в группе, духа соперничества и желания достичь успеха.

Основные результаты обучения:

Студент должен усвоить следующие понятия:

• Степень с иррациональным показателем;
• Показательная функция;
• График показательной функции;
• Показательное уравнение;
• Показательное неравенство;
• Экспонента.

Студент должен усвоить следующие обозначения:

• ;
• .

В результате изучения темы студент должен:

знать:

• свойства показательной функции;
• основные теоремы;
• понятие корня n-степени из числа;
• основные свойства корней.
• понятие степени с действительным показателем;
• понятие основания степени;
• понятие показателя степени;
• свойства степени с действительным показателем.
• понятие показательных уравнений;
• методику решения показательных уравнений;
• понятие показательных неравенств;
• методику решения показательных неравенств.

В результате изучения темы студент должен:

уметь:

• Строить график показательной функции;
• Решать простейшие показательные уравнения;
• Приводить обе части уравнения к степени с одинаковым показателем;
• Пользоваться свойством монотонности показательной функции;
• Делать замену переменной в более сложных показательных уравнениях;
• Решать системы показательных уравнений.
• Решать простейшие показательные неравенства

Тема 1. Степень с действительным показателем

Историческая справка

Ещё в V веке до н.э. в школе Пифагора было доказано, что множество рациональных чисел не хватает  для точного измерения длин любых отрезков. Одной из первых задач, выводящих на понятие несоизмеримости отрезков, была задача нахождения стороны квадрата, площадь которого равна 2. Тем самым было доказано существование несоизмеримых отрезков. Идею доказательства методом от противного факта  несоизмеримости диагоналей квадрата и его сторон можно найти в «Началах» Евклида (IV век до н.э.).

Все последующие после Евклида годы, вплоть до XII в., математики Индии и Востока использовали иррациональные величины для нужд математической науки и астрономии, но не признавали их за числа. В начале XIIв. Персидский и таджикский поэт, математик и философ Омар Хайям (ок.1048 – после 1112) теоретически расширил понятие числа до положительного действительного числа. ВXV в. Самаркандский учёный аль-Каши стал применять десятичные дроби для увеличения точности извлечения корней. В 1594г. Нидерландский математик и инженер Симон Стевин (1548-1620) в книге «Приближение к алгебре» показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечного приближения к точному значению иррационального числа. Позже французский математик, философ, физик и физиолог Рене Декарт (1596 – 1650) показал, то иррациональные числа, как и рациональные, изображаются точками на числовой оси и образуют вместе с рациональными числами множество действительных чисел.

Степень с действительным показателем

Определение:

ах = а · а · а · ··· · а ,     где ах –степень,

                                                           а – основание степени

                                                   х раз                  n – показатель степени

Таблица степеней:

Задание 1: Вычислить по примеру:

35= 3·3·3·3·3=243

54=……………..

28=……………..

42=…………….

Задание 2: Заполнить, так чтобы равенство было верным:

2….=8

3….=81

=2-….

=3-5

=2….

Основные свойства степени:

1. а0 = 1 , а ≠ 0
2. а-n = , а ≠ 0
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 

Задание 3: Записать в виде степени результат выполнения действий, заполняя пропуски:

1. 59 : 52 · 5-4 = 59-2+(-4)=53
2. 7-2 · 73:78=7-2+………=7…
3. 212:2-5·2-7=212- ………=2…
4. (43)-2·43=4………=4…….
5. (7-6)-3:7-7=7………=7…

Задание 4: Заполнить таблицу, используя равенство , где х>0

Пример: Упростить:

1)

2)

3)

Задание 5:Упростить:

1)                 5)

2)             6)  Ответ записать в виде таблицы:

3)                  7)        

4)                  

Пример: Упростить:

1)2)

Задание 6: Соединить пример с правильным ответом:

Задание 7: Выполнить устно тест, выбирая букву с правильным ответом:

1) 

У: 4                                           Б:

       2) 1610·16-9

Б:                                           М: 16

3) 

                                  О: 125                                          Н: 5

                                                             4) 60

                             И: 1                                                М: 0

     5) 

                                  Ц: 2                                                 И: 2

                                                 6) (3·2)2

                             Н: 3·22=3·4=12                             А: 32·22=9·4=36

Проверь себя!

Тема 2. Показательная функция, её свойства и график

Историческая справка

В письмах немецкого философа, физика – изобретателя и математика Г.Лейбница (1646-1716)  к голландскому учёному Х.Гюйгенсу (1629-1695), датированных 1679г., можно найти использование (без пояснений) переменной величины в показателе степени.

Начиная IIX века европейские математики, ещё не имея строгой теории действительных чисел, изучали отдельные свойства показательной функции. В IX веке после того как в математики упрочилось понятие предела и было введено понятие степени с действительным показателем, удалось строго обосновать и свойство показательной функции.

В биологии есть законы, которые можно описать с помощью показательной функции. Например:

1. Закон органического размножения: при благоприятных условиях (отсутствие врагов, большое количество пищи) живые организмы размножались бы по закону показательной функции.По такому же принципу распространились завезённые в Австралию кролики, которые стали экологической катастрофой для этого уникального региона. Рост различных видов микроорганизмов и бактерий, дрожжей, ферментов все эти процессы подчиняются одному закону: N = N0ekt 

Ещё по этому закону возрастает количество клеток гемоглобина в организме человека, который потерял много крови.

2. Закон органического затухания: подобен размножению, происходит с той же скоростью и по тем же условиям, но происходит в обратную сторону.
3. Закон выравнивания: он тоже описывается показательной функцией и присутствует при таких процессах, как разрушение адреналина в крови и уменьшение количества радиоактивных веществ, выводимых почками.

Эти законы доказывают нам, что показательная функция имеет большое практическое значение в биологии, а особенно в таких её разделах, как экология и медицина.

В физике тоже есть величины и законы подчиненые показательной функции:

1. Например процесс изменения температуры чайника при кипении выражается формулой: T = T0+ (100 - T0)e-kt - это пример процесса выравнивания, который в физике также можно наблюдать при включении и выключении электрических цепей, и при падении тела с парашютом.
2. Также широко применяется показательная функция при описании процессов ядерной физики:
   Когда радиоактивное вещество распадается, его количество уменьшается, через некоторое время остается половина от первоначального вещества. Этот промежуток времени t0 называется периодом полураспада. Общая формула для этого процесса: m = m0(1/2)-t/t0 , где m0 - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Это явление используют для определения возраста археологических находок. Радий, например распадается по закону: M = M0e-kt, используя данную формулу ученые рассчитали возраст Земли (радий распадается нормально за время равное возрасту Земли).
3. В ядерных реакциях: скорость разветвлённо-цепного процесса в
   газовой фазе в начальных стадиях (вплоть до выгорания 30-40% газа) выражается формулой:, где k - константа скорости реакции активного центра с исходным веществом, [А] - концентрация исходного вещества, w0 - скорость зарождения цепей, f и g - соответственно эффективные константы скорости разветвления и обрыва, e - основание натурального логарифма, t - время.
4. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды
   поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила
   света I определяется по формуле: I = I0e-ks , где s – толщина слоя,
   k – коэффициент характеризующий мутную среду.

Показательная функция, её свойства и график

Определение: Функцию у=ах, где а>0, а≠1, называют показательной функцией.

Свойство 1: Область определения показательной функции у=ах – множество R всех действительных чисел.

Свойство 2: Множество значений показательной функции у=ах – множество положительных чисел.

Свойство 3: Показательная функция у=ах является возрастающей, если а>1, и убывающей, если 0<а<1.

Пример: Построить графики функции у=2х, у=()х

Составим таблицы:

Схематично построим графики:

Задание 1: Построить графики функции у=3х, у=()х

Проверь себя!

Тема 3. Решение показательных уравнений

Определение: Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Задание 1: Выбрать показательное уравнение:

1) 4х=64              3) 644=х

2. 4х=64             4) х4=64

Теорема: Если ах=ав, где а>0, а≠1, то х = в

Задание 2: Пользуясь теоремой, заполнить таблицу:

Пример: Решить показательное уравнение:

1. 43х+15=1                            2) 52х-7=

             Решение:                               Решение:

            43х+15=40                                 52х-7=5-3

            3х+15=0                                2х-7=-3

            3х=0-15                                 2х=-3+7

            3х=-15                                   2х=4

            х=                                  х=

            х=-5                                      х=2

           Ответ: х=-5                         Ответ: х=2

Задание 3: Решить самостоятельно и выбрать правильный ответ:

1. 62х+5=216
2. 3х-4=
3. 74х=1

а) х=-1                    б) х=0                    в) х=1

Задание 4: «Иди по стрелке»

(Раздели полученный результат на 2 и получи оценку

Задание 5: Пользуясь свойствами, заполнить таблицу:

Пример: Решить показательное уравнение:

3х+2+3х=90

Решение:

3х·32+3х=90                      t=9

Пусть 3х=t,t>0                 3х=9

t·32+t=90                          3х=32

9t+t=90                             х=2

10t=90                              Ответ: х=2

t=

t=9

Задание 6: Найти ошибку в решении показательного уравнения:

3х+2-5·3х=36

Решение:

3х·32-5·3х=36                      t=9

Пусть 3х=t,t>0                 3х=9

t·32-5·t=36                          3х=33

9t-5·t=36                             х=3

4t=36                              Ответ: х=3

t=,  t=9

Задание 7: Заполнить таблицу:

Пример: Решить показательное уравнение:

2х-1+2х=6

Решение:

+2х=6

Пусть 2х=t,t>0                  t=

+t=6                              t=4

+t=6                               2х=4

                     2х=22

1t+2t=12                           х=2

3t=12                                         Ответ: х=2

Задание 8: Дорешать самостоятельно:

1. 3х-3+3х-1=10

Решение:

Пусть 3х=t,t>0

10t+9t=270, 10t=270, t=, t=27, 3х=27, 3х=33, х=….., Ответ: х=……

2. 53х+3·53х-2=140

Решение:

53х+3·=140

Пусть 53х=t,t>0

t+=140

Задание 9: Решить показательное уравнение:

1. 2х+2х-3=18

2)       8·2х-1-2х=48

Пример: Решить показательное уравнение:

3х+1-4·3х-2=69

Решение:

3х·31-4·=69

Пусть 3х=t,t>0                             t=

t·31-4·=69                                t=27

3t-=69                                      3х=27

                           3х=33

27t-4t=621                                   х=3

23t=621                                      Ответ: х=3

Задание 10: Проанализировать решение и найти ошибку:

2х+1 + 2х-1 +2х = 28

Решение:

Пусть 2х =t, t > 0

                         t=

                              t=8

                                  2х =8

                          2х =24                                             

6t+t=56                                     х = 4

7t=56                                        Ответ: х = 4

Задание 11: Решить показательное уравнение:

1) 10·5х-1 +5х+1 = 7                          

2)7х+2 +4·7х-1 = 347                      Ответ записать в виде таблицы:

3) 4·3х-1 +3х+1 = 117

Пример: Решить показательное уравнение:

                                                         9х +8·3х –9 = 0

Решение:

(32)х+8·3х –9 = 0

(3х)2+8·3х –9 = 0

Пусть 3х =t, t > 0

t2 +8· t –9 =0

а=1, b=8, с=-9

t1,2= =

t1=      t2=     

t1= 1             t2= -9, не уд., так как t>0

3х = 1          

                                       3х =30

                                       х=0

                                                           Ответ: х=0

Задание 12: Проверить решение, удалить посторонний корень и записать  ответ:                     4х –2х –12 = 0

Решение:

(22)х–2х –12 = 0

(2х)2–2х –12 = 0

Пусть 2х =t, t > 0

t2 – t –12 =0

а=1, b=-1, с=-12

t1,2= =

х1=      х2=     

t1= 4             t2= -3

                                                       2х = 4           ……..

                                                        2х = …..                         Ответ: х=……

Задание 13: Решить показательное уравнение  и стрелками сопоставить  правильный ответ:

Проверь себя!

Тема 4. Решение показательных неравенств

Теорема:

Задание1: Заполнить таблицу:

Пример: Решить показательное неравенство:

23х-5>16

Решение:

                                           23х-5>24, т.к. 2>1, то знак сохраняем

3х-5>4

3х>4+5

3х>9

х>

                   х>3, Ответ: х>3

Задание 2: Из предложенных ниже ответов, найти тот, который является решением неравенства:

а) 2х>32         в)  ()х >32

1) х>5                   2) x=5                   3) x<5

Задание 3: Найти пример, решение которого неверно:

1) 3х >81                                 2) 3х >                            3) ()х >

Решение:                                 Решение:                             Решение:

3х>34, т.к. 3>1, то знак сохраняем   3х>3-4, т.к. –4<0, то знак меняем   () х>()4, т.к. <1, то знак меняем

х>4                                          х<-4                                    х<4

Ответ: х>4                            Ответ: х<-4                        Ответ: х<4

Задание 4: Решить самостоятельно показательное неравенство:

1) >              3) 4х<

2) 62х-4<216             4) ()х+1 >

Пример: Решить показательное неравенство:

3х+2+3х-1<28

Решение:

3х·32+<28

Пусть 3х=t,t>0                             t<

t·32+<28                                   t<3

9t+<28                                      3х<3

                           3х<31, т.к.3>1, то знак сохраняем

27t+t<84                                    х<1

28t<84                                      Ответ: х<1

Задание 5: Решить показательное неравенство:

1)3х+1-2·3х-1-4·3х-2 <17                              3) 5х-7·5х-2<90

2) 5х+3·5х-1+2·5х-2>42                            4) 2х+4-2х>120

Проверь себя!

Контрольная работа

Уровень А:           1) Упростить

а)

б)

2) Решить показательное уравнение

а) 2х=8

                                б) 2х+1 + 3·2х-1 -5·2х = -6

в)4х-6·2х+8=0

г) 3·9х-10·3х+3=0

3) Решить показательное неравенство

а) 5х<625

б) >

в) 2х+2-2х>96

Уровень В:               1) Упростить

а)

б)

2) Решить показательное уравнение

 а) 2х+2х-3=18

 б) 2х+1 + 2х-1 +2х = 28

  в) 4х+1-5·2х +1=0

3) Решить показательное неравенство

а) >

б) 3х-2·3х-2>7

Уровень С:               1) Упростить

а)

2) Решить показательное уравнение

       а) 7х+2+3·7х-1=346

б)5х-2 + 5х-3 +5х-4 = 155

в) 9х+3х+4-810=0

г) 22х+1-5·2х+2=0

3) Решить показательное неравенство

а) 2х-2 + 2х-1 +2х <4

б) 4х-3·2х+2>0

Подготовка к Единому Государственному экзамену (ЕГЭ)

Тренировочная работа №1

Задание: Решить уравнение

Тренировочная работа №2

Задание: Найти значение выражения

Тренировочная работа №3

Задание: Найти значение выражения

Тренировочная работа №4

Задание В7: Найти значение выражения

Список литературы

1. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2003.

2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2012.

3. Алгебра и начала математического анализа. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных . учреждений (профильный уровень)/А.Г. Мордкович и др. ; под редакцией А.Г. Мордковича—7-е изд., стер.—М.: Мнемозина, 2014.

4. Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10–11 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. – М.: Просвещение, 2003.

КЯХТИНСКИЙ ФИЛИАЛ

ГАПОУ «БАЙКАЛЬСКИЙ БАЗОВЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ

МИНИСТЕРСТВА ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ БУРЯТИЯ»

Утверждаю:

___________________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Зав.  УЧ

«_____»_________2018г.                                                                                                                                                  

Тематический план  

УД, ПМ _____Математика__________

Специальность 34.02.01 Лечебное дело

Углубленный уровень подготовки

                                  Составила:

                                                                                     Преподаватель Дашеева Туяна Валерьевна

Рассмотрено на заседании ЦМК________

Протокол №___ от «__»______20___г

Председатель  ЦМК________

2018

Год

Самостоятельная работа студентов

КЯХТИНСКИЙ ФИЛИАЛ

ГАПОУ «БАЙКАЛЬСКИЙ БАЗОВЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ

МИНИСТЕРСТВА ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ БУРЯТИЯ»

Утверждаю:

___________________                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Зав.  УЧ

«_____»_________2018г.                                                                                                                                                  

Тематический план  

УД, ПМ _____Математика__________

Специальность 34.02.01 Сестринское дело

базовый  уровень подготовки

                                  Составила:

                                                                                     Преподаватель Дашеева Туяна Валерьевна

Рассмотрено на заседании ЦМК________

Протокол №___ от «__»______20___г

Председатель  ЦМК________

2018

Год