Конкурсы

1. Введение

Конкурс “Волшебный сундучок” – это заочный конкурс по математике для школьников, который проводится совместно с Московским физико-техническим институтом.

Ученикам 4-9 классов предлагаются нестандартные интересные задачи по математике, которые они могут решить дома, оформить свои решения и отправить через интернет.

Задания конкурса состоят из двух частей. Решение заданий первой части сводится к выбору правильного ответа из числа предложенных. Решение задачи второй части нужно оформить со всеми необходимыми пояснениями и обоснованиями. Подводя итоги, жюри будет учитывать обоснованность рассуждений, полноту решения и его оригинальность.

Адрес конкурса в России: http://eftsh.ru/maths/magicbox

О школе

Наша электронная дистанционная школа объединяет в себе:

0. многолетний педагогический опыт, прекрасный состав методистов и рецензентов;
1. высокотехнологичную систему гибридного документооборота;
2. модульную систему, постоянно развивающуюся по требованию наших пользователей;
3. уникальные методы видеообразования, интегрированные в обучающий процесс;
4. работу с широкой аудиторией, повышение школьных оценок и уровня знаний, доступность информации на слабом уровне подготовки и интересный материал для мотивированных подготовленных школьников;
5. Опыт с большой буквы. Мы не первый год готовим абитуриентов для поступления. Опыт методистов и авторов исчисляется десятками лет. Наши технологии регулярно представляются на мировых выставках. Мы собираем лучшее из имеющегося на рынке.

Сайт: eftsh.ru

e-mail: info@eftsh.ru

Решебник для 5 класса

2. Первая часть заданий

Задача №1

Книжный магазин предлагает своим клиентам годовой абонемент за 300 руб. на покупку книг, позволяющий его обладателю платить 100 руб. за каждую купленную в течение года книгу независимо от её стоимости. Один из обладателей этого абонемента за все книги, купленные за год, заплатил 1000 руб. Сколько книг он купил?

Решение

Сумма 1000 руб. составлена из стоимости абонемента (300 руб.) и стоимости нескольких книг по 100 руб. каждая. За все эти книги уплачено 1000 – 300 = 700 (руб.). Куплено 700:100 = 7 (книг).

Ответ. Б. 7.

Задача №2

Из чёрных и белых одинаковых кубиков сложили фигуру, изображённую на рисунке. Площадь какой части её поверхности больше: состоящей из белых квадратиков или состоящей из чёрных квадратиков?

Решение

Количества белых и чёрных квадратиков на передней и верхней гранях равны по 6. на противоположных им гранях белые и чёрные квадратики расположены точно также. Поэтому их количества также равны по 6. На одной боковой грани чёрных квадратиков 5, а белых – четыре. На грани, ей противоположной, наоборот: 4 белых и 5 чёрных. На этих двух гранях чёрных и белых квадратиков одинаковое количество. Итак, площадь части поверхности, состоящей из белых квадратиков, равна площади части поверхности, состоящей из чёрных квадратиков.

Ответ. В. Площади равны.

Задача №3

В ящике находится 12 красных, 13 синих и 8 жёлтых шаров, которые отличаются только цветом. Какое наименьшее число шаров достаточно вынуть из ящика, чтобы среди них было 5 шаров одного цвета?

Решение

12 шаров недостаточно вынуть из ящика, чтобы среди них было 5 шаров одного цвета, так как может оказаться, что среди них по4 шара каждого цвета. При 13 вынутых шарах обязательно будет по крайней мере 5 шаров одного цвета.

Ответ. В. 13.

Задача №4

Малыш съедает банку варенья за 24 дня, а вместе с Карлсоном – за 8 дней. За сколько дней Карлсон один может съесть такую же банку варенья?

Решение

Для решения задачи найдём такое число банок с вареньем, которое Малыш вместе с Карлсоном съедают за 24 дня. Так как за 8 дней они съедают вместе одну банку варенья, а 24 = 83, то за 24 дня вместе они съедят три банки. Малыш за это время съедает одну банку, следовательно, Карлсон за 24 дня съест 3 – 1 = 2 банки с вареньем, а одну банку он съедает за 24:2 = 12 дней.

Ответ. Г. За 12 дней.

Задача №5

Из четырех пловцов А, Б, В, Г третье место занял самый младший. При этом А проплыл дистанцию медленнее, чем В, а Г – медленнее, чем Б и В. Известно также, что Б младше А, а В младше Г. Какое из приведенных ниже размещений пловцов в порядке занятых ими мест от 1-го до 4-го не противоречит условию?

Решение

Проверим, какой из приведенных ответов удовлетворяет всем условиям задания. На третьем месте не А и не Г, так как они не самые младшие. Ответы А и В исключаются. Так как А проплыл дистанцию медленнее, чем В, то исключается и ответ Г. Остаётся ответ Б. Проверим, удовлетворяет ли он условию. Г проплыл медленнее, чем Б и В, так как Г стоит после Б и В, А проплыл медленнее В. Расположение Б не противоречит условию.

Ответ. Б. В, А, Б, Г.

Задача №6

Имеется 4 чемодана и 4 ключа от этих чемоданов, но неизвестно, какой ключ от какого чемодана. Сколько проб придётся сделать в самом худшем случае, чтобы подобрать ключ к каждому чемодану?

Решение

Пробуем подобрать ключ к первому чемодану. Понадобится не больше трёх проб. Если три ключа не подошли к этому чемодану, то он открывается неиспользованным ключом. Осталось три чемодана и три ключа к ним. Для подбора ключа ко второму чемодану понадобится не больше двух проб. Если два ключа не подошли к нему, то он открывается третьим, неиспробованным ключом. Остаётся два чемодана и два ключа. Ключ к третьему чемодану подбирается одной пробой. Оставшийся ключ открывает четвёртый чемодан. Всего понадобится не более 3 + 2 + 1 = 6 проб.

Ответ. А. 6.

Задача №7

Когда на Камчатке 5 часов утра, в Москве – 9 часов вечера предыдущего дня. Когда в Москве полночь, в Нью-Йорке – 4 часа дня предыдущего дня. На сколько часов раньше встречают Новый год на Камчатке, чем в Нью-Йорке?

Решение

Найдём разницу во времени в Нью-Йорке и Москве. Она составляет 24 – 16 = 8 (часов). Такая же разница во времени в Москве и на Камчатке: 24 + 5 – 21 = 8. Поэтому разница во времени в Нью-Йорке и на Камчатке составляет 8 + 8 = 16 (часов), то есть в Нью-Йорке часы показывают то же время на 16 часов позже, чем на Камчатке. Новый год на Камчатке встречают на 16 часов раньше, чем в Нью-Йорке.

Ответ. Б. На 16 ч.

Задача №8

Костины родители работают водителями троллейбусов: мама на 4-м маршруте, папа – на 7-м. Один кольцевой рейс 4-го маршрута длится 48 мин., а 7-го – 72 мин. У этих маршрутов есть общая станция отправления. Вскоре после начала работы папин и мамин троллейбусы отъехали от неё одновременно. Через какое время они в следующий раз снова встретятся на этой станции?

Решение

Троллейбус 4-го маршрута подойдёт к общей станции отправления после встречи Костиных родителей через 48 мин, 482 = 96 мин, 483 = 144 мин, 484 = 192 мин, 485 = 240 мин и т. д., а троллейбус 7-го маршрута – через 72 мин, 722 = 144 мин. Есть совпадение. Следовательно, в следующий раз после первой встречи родители Кости встретятся на конечной станции через 144 мин = 2 ч 24 мин.

Ответ. А. 2 ч 24 мин.

Задача №9

Толя и Коля едут в соседних вагонах поезда. Вагон. В котором едет Толя, - пятый от «головы» поезда, а вагон, в котором едет Коля, – седьмой от «хвоста» поезда. Сколько вагонов в поезде?

Решение

В условии задачи не сказано, какой вагон расположен впереди другого: тот, в котором едет Толя, или тот, в котором едет Коля. Поэтому нужно рассмотреть два случая.

Если Толин вагон расположен перед Колиным, то общее число вагонов равно 12 (см. рис.): 5-и вагонам, расположенным от головы поезда + семь вагонов от его хвоста: ведь Толя и Коля едут в соседних вагонах.

Если Толин вагон расположен позади Колиного, то перед Толиным вагоном находится Колин вагон и ещё три вагона (его вагон – пятый от головы), а за Колиным вагоном – Толин и ещё 5 вагонов (Колин вагон – седьмой от хвоста (см. рис.). Общее число вагонов равно: 3 + 1 + 1 + 5 = 10. Итак, в поезде 10 или 12 вагонов.

Ответ. Г. 10 или 12.

Задача №10

Мальчик строит равносторонние треугольники из спичек. Ежедневно он достраивает треугольник, полученный накануне, до большего, сторона которого вдвое больше стороны предыдущего. Сколько новых спичек придется ему израсходовать на 4-й день?

Решение

Конечно, можно нарисовать 4-ю фигуру и подсчитать количество добавленных спичек. Но можно попытаться найти закономерность в количестве добавляемых спичек. На 4-й день достраивается треугольник, стороны которого вдвое больше предыдущего, то есть добавляется ещё 4 ряда маленьких треугольников. Фигура будет состоять из 8 рядов. По треугольнику, достроенному на 2-й день, видим, что пришлось добавить 6 спичек. По треугольнику, достроенному на 3-й день, видно, что на 3-й ряд понадобилось 9 спичек, на 4-й – 12. Как видим, на каждый следующий ряд добавляется число спичек, равное следующему числу в натуральном ряду, делящемуся на 3, или число спичек, равное произведению номера ряда на 3. Поэтому на 5-й ряд понадобится 53 = 15, на 6-й – 63 = 18, на 7-й – 7 3 = 21, на 8-й – 83 = 24. Всего придётся на 4-й день израсходовать 15 + 18 + 21 + 24 = 78 новых спичек.

Ответ. Г.  78.

3. Вторая часть заданий

Задача №1

Электронные часы показывают время: часы и минуты. Как долго на протяжении суток высвечивается хотя бы в одном месте цифра 1?

Решение

В первую очередь выясним, когда на электронных часах высвечивается цифра 1. Во-первых, когда число, показывающее часы, содержит цифру 1. Во-вторых, когда число, показывающее минуты, содержит цифру 1. По условию требуется подсчитать время, в течение которого высвечивается хотя бы в одном месте цифра 1. Если число, показывающее часы, содержит цифру 1, то уже несущественно, содержит ли эту цифру число, показывающее минуты, и наоборот. Укажем часы, содержащие цифру 1. Это 01 час, 10 часов, 11 часов, 12 часов, 13 часов, 14 часов, 15 часов, 16 часов, 17 часов, 18 часов, 19 часов, 21 час. Всего на протяжении 12 часов. Количество часов, не содержащих цифры 1, равно 24 – 12 = 12.

В каждом из этих 12 часов число, показывающее минуты, содержит цифру 1 от 10-й минуты до 19-й, то есть 10 раз, а также в 01-ю, 21-ю, 31-ю, 41-ю, 51-ю минуты, то есть ещё 5 раз. Всего в каждом из указанных 12 часов 10 + 5 = 15 раз, а за все эти 12 часов: 1512 = 180 (минут) = 3 ч. Итак, за сутки цифра 1 высвечивается хотя бы в одном месте 12 ч + 3 ч = 15 ч.

Ответ: 15 ч.

Задача №2

1. Разделите фигуру, изображённую на рисунке, на пять равных частей.

Решение

См. решение на рисунке.

Задача №3

Имеются упаковки, содержащие по 5 и 8 одинаковых книг. Можно ли на класс получить книги целым числом упаковок, если каждому ученику выдают по одной книге?

Решение

Понятно, что ответ зависит от числа учеников в классе. Для нахождения числа тех и других упаковок нужно от числа учеников в классе вычитать числа 8, 82 = 16, 83 = 24, 84 = 32, 85 = 40, делящиеся на 8 с тем, чтобы получить в разности число, делящееся на 5. Число книг в упаковке по 8 книг делится на 8, а в упаковке по 5 книг – делится на 5. Будем считать, что в классе может быть от 20 до 40 учеников. Если число учеников равно 20, то 20 = 54. Проверяем далее. 21 – 8 = 13, 21 – 16 = 5. Если в классе 21 человек, то можно выдать 2 упаковки по 8 книг и 1 упаковку из 5 книг. Проверяем далее: 22 – 8 = 14, 22 – 16 = 6. Если в классе 22 человека, то нельзя выдать книги целым числом упаковок. Так 23 – 8 = 15 = 53, то 23 книги можно выдать целым числом упаковок. Тот же вывод можно сделать для 24 = 83, 25 = 55. Проверяем далее 26 – 8 = 18, 26 – 16 = 10. Вывод ясен. 27 – 8 = 19, 27 – 16 = 11, 27 – 24 = 3. 27 книг нельзя выдать целым числом упаковок. Легко проверить, что любое число книг, большее 27, можно выдать целым числом упаковок. Итак, при сделанных предположениях о числе учеников в классе, целым числом упаковок нельзя выдать на класс книги, только если в классе 22, 27 учеников. Точно также задача решается при любом числе учеников в классе.

Задача №4

Перед Вами таблица. А после неё несколько вопросов. Изучите таблицу и ответьте на эти вопросы только на основании информации, содержащейся в ней.

Таблица годичных оценок Джона (по 100-балльной шкале в 2009 – 2012 г.г.)

1. По каким двум предметам за указанные 4 года у Джона более всего улучшились оценки?
2. По какому предмету у Джона сумма баллов за 4 года выше: по английскому языку или по истории?
3. Верно ли, что по литературе Джон учится лучше всех в классе?

Решение

4. По предметам, перечисленным в таблице, за 4 года оценки Джона увеличились соответственно на 78 – 70 = 8 баллов, 86 – 80 = 6 баллов, 75 – 71 = 4 балла, 70 – 63 = 7 баллов, 78 – 76 = 2 балла. Более всего оценка улучшилась по английскому языку.
5. Суммы баллов по английскому языку и истории соответственно равны: 70 + 72 + 73 + 78 = 293, 71 + 71 + 74 + 75 = 291. Итак, у Джона несколько выше сумма баллов по английскому языку.
6. Таблица не даёт возможности сравнить оценки Джона с оценками его одноклассников.