Школьные олимпиады

Олимпиадные задачи для 5 класса с решениями

В шести кружках, расположенных в форме равностороннего треугольника расставьте числа 31, 32, 33, 34, 35, 36 так, чтобы сумма чисел на всех трех сторонах треугольника была одинаковой и равнялась 100.

Ответ.

31

                                34                  36

                      35                        32                   33

Есть 6 карточек с цифрами 1,2,3,4,5 и 6. Используя их, можно составить два трёхзначных числа, например, 645 и 321. Вася составил эти числа так, что их разность оказалась самой маленькой из всех возможных. Чему равна эта разность?

Ответ.  47 (412-365 = 47)

Разделите фигуру на четыре равные фигуры.

Ответ.

В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера, Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на 3?

Ответ. Вере 5 лет, Боре 8 лет, Ане 13 лет, Гале 15 лет.

Приехало 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого, ни французского языка, 75 знали немецкий язык и 83 знали французский. Сколько туристов знали французский и немецкий языки?

Ответ. 68 туристов знали и французский и немецкий языки.

(  100 - 10 = 90 (чел.) – знали немецкий или французский языки;

    90 – 75 = 15 (чел.) – не знали немецкого языка;

    90 – 83 = 7 (чел.) – не знали французского языка;

    90 – (15 + 7) = 68 (чел.) – знали и французский и немецкий языки.)

Задания школьного тура олимпиады по математике для учащихся 6 класса

2011-2012 учебный год

1.     В записи 52*2* замените звездочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 36.Укажите всевозможные решения.

2. Прямоугольник разделен двумя отрезками на четыре прямоугольника, площади трех из которых 2 см2, 4см2 и 6 см2.Найдите площадь прямоугольника.

Разрежьте изображённую на левом рисунке фигуру на две одинаковые части.

4.   Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее:

Если первую и последнюю цифру зачеркнуть, то получится двузначное число, которое при сумме цифр,   равной 13,  является наибольшим;

Первая цифра больше последней в 4 раза.

Сколько лет Хоттабычу?

ОТВЕТЫ  И  РЕШЕНИЯ  6 класс

Число делитсяна36,если оно делится и на 4и на9.Так как сумма цифр 5,2,2 равна 9,то сумма двух недостающих цифр должна равняться 0,9 или18. Учитывая, что число должно делиться на 4, а предпоследняя цифра равна 2, то последняя цифра может быть лишь 0 или 4 или 8. Тогда ответ будет:52524,52128,52020, 52920.

Так как верхние прямоугольники имеют общую сторону и площадь правого в 2 раза больше, то и его вторая сторона  в 2 раза больше. Аналогично и вторая сторона правого нижнего прямоугольника будет больше стороны верхнего левого прямоугольника в3 раза. А это означает, что площадь нижнего правого четырехугольника будет в 6 раз больше площади левого верхнего прямоугольника, то есть будет равна 12 см2. Поэтому площадь всего прямоугольника будет равна 24см2.

4.    Так как после зачеркивания получается наибольшее число с суммой цифр 13, то вторая и третья цифры равны 9 и 4. Так как  первая цифра больше последней в 4 раза и все цифры различны, то первая цифра будет 8, а последняя 2. В результате получаем число 8942. Старику Хоттабычу 8942 года.

Задания школьного тура олимпиады по математике для учащихся 7 класса

2011-2012 учебный год

1. В таблице 4х4 расставить 16 чисел так, чтобы сумма чисел по любой вертикали. Горизонтали и диагонали равнялась нулю. (Квадрат имеет 14 диагоналей, включая малые. Состоящие из трех, двух и одной клеток)

2. Не выполняя деления, докажите, что значение выражения 35125+28125+63554 делится на 679.

3. К некоторому трёхзначному числу приписали цифру 7 сначала слева, а потом справа – получили два четырёхзначных числа, разность которых равна 882. Найдите трёхзначное число.

4. Решите уравнение: х - 674-1=4

5. Мама посчитала, что если дать детям по 4 конфеты, то 3 конфеты останутся лишними. А чтобы дать по 5 конфет, двух конфет не хватает. Сколько всего детей?

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 7 класс

1.  

0   -к    к    0

к    0     0   -к

-к   0    0     к

0    к   -к     0

2.  35125+28125+63554=

=(35+28) 125+63554=63125+63554=63(125+554)=63679 – делится на 679

3. Пусть х – данное трехзначное число. Если припишем к нему цифру 7 слева, то получим число 7000 + х. Если припишем к нему цифру 7 справа, то получим число 10х+7. По условию задачи разность полученных четырехзначных чисел равна 882. Рассмотрим два случая:

7000+х-(10х+7)=882 и 10х+7-(7000+х)=882

Решив первое уравнение, получим х=679, решив второе уравнение, получим х=875. Следовательно, искомое трехзначное число 679 или 875.

4. Модуль числа равен 4 только в двух случаях: когда это число равно 4

или – 4. Поэтому корни данного уравнения являются корнями уравнения 

х - 674-1=4 (1) или уравнения х - 674-1= - 4 (2)

Уравнение (1) равносильно уравнению х - 674=5, корни которого являются корнями уравнения х - 674=5 (1а) или уравнения х - 674= - 5 (1б). уравнение (1а) имеет корень х1 = 679, а уравнение (1б) имеет корень х2 = 669. Числа х1 и х2 являются корнями данного уравнения.

Уравнение (2) равносильно уравнению х - 674= - 3, которое не имеет корней, т.к. не существует числа, модуль которого равен отрицательному числу – 3.

5. Пусть было х детей, тогда конфет было 4х+3 или 5х-2. Решите уравнение

4х + 3 = 5х - 2,

получим его единственный корень 5. Следовательно, детей было 5.

Ответ: 5 детей

Задания школьного тура олимпиады по математике для учащихся 8 класса

2011-2012 учебный год

Вычислите:

, если a=7,4 и b =

 Постройте график функции у = .

3. Решите уравнение

4. Дан треугольник ABC. Точка  M лежит на стороне BC. Известно, что AB = BM и AM = MC, угол B равен 100. Найдите остальные углы треугольника ABC.

5.  Имеется три кучки камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – 20. За ход разрешается разбить любую кучку на две меньшие; проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 8 класс

 =  = ab= 7,4 ∙  = 1.

2.     D(y) = (-∞;2)

Учитывая, что |х-2| = x – 2 при х>2 и |х-2| = -(x – 2) при х<2, перепишем функцию в виде

У =

     4.  угол А=60, угол В= 20.  Указание.  Треугольники ABM и AMC – равнобедренные, поэтому углы при их основаниях равны. Обозначим эти углы x и y соответственно. Тогда по свойству внешнего угла AMB для треугольника AMC,   имеем x=2y. Отсюда сумма углов A и C равна 4y=180–100, значит у=20.

5. После каждого хода количество кучек увеличивается на 1. Сначала их было 3, в конце – 45. Таким образом, всего будет сделано 42 хода. Последний выигрывающий 42-й ход сделает второй игрок.

Задания школьного тура олимпиады по математике для учащихся 9 класса

2011-2012 учебный год

Пусть х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19.

Решая задачу: «Какое значение принимает выражение  x2000 + x1999 + x1998 + 1000x1000  +1000x999 + 1000x998 + 2000x3 + 2000x2 + 2000x + 3000 (x – действительное число), если x2 + x + 1 = 0?», Вася получил ответ 3000. Прав ли Вася? Ответ обосновать.

Возможна ли такая компания, в которой у каждого ровно 10 друзей, а у любых двух – ровно 4 общих друга?

     4.    Упростите выражение:

  , где .

 В треугольнике АВС 0, BD – биссектриса, BE – высота (точки D и Е лежат на АС). Найдите DE, если ВD = 10 см.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНЯ 9 класс

Доказательство. Попробуем представить  Отсюда:

 Отсюда, .

 Ответ: нет, не прав. Трехчлен x2 + x + 1 не имеет действительных корней. Следовательно, при заданном условии вычислить значение выражения невозможно.

Ответ: нет, невозможна. Пусть такая компания возможна и состоит из n человек. Тогда в ней имеется  пар, у каждой из которых список общих друзей состоит из 4 человек. Если записать эти списки подряд, то получим список, в котором 2n(n – 1) позиций. При этом каждый участник компании является общим другом для каждой пары своих друзей (всего таких пар –  = 45) и ни для какой другой пары. Поэтому он упомянут в списке 45 раз, и всего в списке 45n  позиций. Таким образом, должно выполняться равенство 2n(n – 1) = 45n, что невозможно ни при каких натуральных значениях n.

Решение: т.к.  , то , тогда .

5. 1)Проведём СН так, чтобы <ВАС = <НСА = β

2)Из 0 следует, что <НСВ = 600.

3) Рассмотрим треугольник АВС. α  + α + β + β + 600 = 1800. Следовательно, α +β = 600

4)0.

5) Треугольник DBE прямоугольный, следовательно, 0.

6) DE – катет, лежащий против угла в 300. Следовательно, DE = 5.

Ответ. 5 см