Материалы для подготовки к ОГЭ 9 класс

Обыкновенные дроби

Обыкновенная дробь – это запись числа в виде:

где число a называют числителем, а число b – знаменателем дроби.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.

Сокращение дробей

Сократить дробь – значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями

При сложении (вычитании) обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями нужно знаменатель оставить тем же, а числители сложить (вычесть). Если дроби смешанные, то отдельно складывают (вычитают) целые части.

Вычитание обыкновенной дроби из единицы

Чтобы вычесть дробь из единицы, нужно единицу представить в виде неправильной дроби, числитель и знаменатель которой равны знаменателю вычитаемой дроби.

Вычитание обыкновенной дроби из бóльшего числа

Чтобы вычесть обыкновенную дробь из числа, большего 1, необходимо представить эту дробь в виде смешанного числа, числитель и знаменатель которой равны также знаменателю вычитаемой дроби.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями требует предварительного приведения дробей к общему знаменателю. Существуют несколько приемов, которыми можно воспользоваться для нахождения общего знаменателя.

Нахождение общего знаменателя

Наименьшее общее кратное (НОК) – это наименьшее число, которое делится без остатка на данные знаменатели одновременно. Обычно его находят устно при выполнении действий с дробями.

Алгоритм сложения (вычитания)

1. Находим общий знаменатель данных дробей.
2. Находим дополнительный множитель к числителю каждой дроби, разделив общий знаменатель на числитель каждой дроби.
3. Умножаем каждый числитель на дополнительный множитель.
4. Выполняем сложение (вычитание) дробей с одинаковыми знаменателями.

Умножение обыкновенных дробей

При умножении обыкновенных дробей получают дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей.

При умножении обыкновенной дроби и целого числа необходимо целое число представить в виде дроби, числитель которой равен этому числу, а знаменатель равен 1 (что по сути означает перемножение числителя единственной первой дроби и целого числа, знаменатель же остается от первой дроби, так не меняется при умножении на единицу).

Если даны смешанные дроби, то необходимо сначала смешанную дробь перевести в неправильную, а затем выполнить умножение.

Деление обыкновенных дробей

При делении обыкновенных дробей необходимо делимое (то есть первую дробь) умножить на перевернутую вторую дробь, то есть дробь, обратную второй.

Если даны смешанные числа, то перед выполнением деления их необходимо перевести в обыкновенные неправильные дроби.

Если дробь нужно разделить на целое число, то его сначала нужно представить в виде дроби, а затем выполнить деление по правилу.

Вычитание и умножение дробей. Несколько действий.

Способ №1. Находим общий знаменатель при вычитании. Чтобы найти общий знаменатель, нужно найти такое число, которое будет делиться на первое и второе число. В нашем случае это числа 10 и 20. Общий знаменатель 20.

Способ №2. Распределительный закон умножения. Чтобы умножить число на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое, и результат сложить. Также это действует и при вычитании.

Также встречаются выражения, в которых не стоит находить общий знаменатель, поскольку это будет сложно. Приведу два примера:

Пример №1

Пример №2

Пример №3

Вариант 1.

Вариант 2

Десятичные дроби

Десятичная дробь — дробь, которая представляет собой способ представление числа в виде записи числа с запятой, где цифры перед запятой называются целой частью, а цифры после запятой – дробной частью (десятичной частью).

Десятичные дроби получают из записи обыкновенных дробей со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Например, десятичные дроби:

4,56 – четыре целых пятьдесят шесть сотых 18,234 – восемнадцать целых двести тридцать четыре тысячных 78,6 – семьдесят восемь целых шесть десятых

Чтение десятичных дробей

Чтение десятичной части (десятых, сотых и так далее) зависит от количества цифр после запятой. Если цифра одна, то читают – десятых (в числе десять — один нуль, это соответствует одной цифре). Если две цифры после запятой, то читают – сотых (в сотне два нуля).

Десятичные дроби получаются из обыкновенных дробей:

Сложение (вычитание) десятичных дробей

Чтобы сложить (вычесть) в столбик две десятичные дроби нужно:

1. Записать их друг под другом так, чтобы при записи запятая оказалась под запятой и соответствующий разряд под соответствующим.
2. Уравнять количество знаков после запятой, добавляя недостающие нулями.
3. Выполнить сложение (вычитание) в столбик, не обращая внимания на запятую.
4. Поставить запятую под запятыми.

Если складывают (вычитают) целое число и десятичную дробь, то нужно поставить запятую после целого числа и приписать необходимое количество нулей после запятой.

Пример №1. Запись, где запятая под запятой и соответствующий разряд под соответствующим.

34,145 + 5,678 = 39,823

Пример №2. Запись, где также запятая под запятой, а во втором числе дописан нуль, чтобы уравнять количество знаков после запятой.

9,235 – 2,34 = 6,895

Пример №3. В первом слагаемом нет десятичной части, поэтому, после числа 56 поставили запятую и добавили нужное количество нулей.

56 + 12,74 = 68,74

Умножение десятичных дробей

При умножении двух десятичных дробей в столбик необходимо:

1. Написать числа одно под другим, не обращая внимания на запятую
2. Выполнить умножение в столбик
3. В ответе отделить столько цифр справа запятой, сколько их в обоих множителях вместе. Если в одном из чисел нет запятой, то считать цифры только в одном числе.

Пример №4. Запись выполнена так, что цифры по правому краю записаны ровно одна под одной, то есть как при обычном умножении чисел в столбик. Умножение выполнено без учета запятой. В ответе справа отделены 4 цифры запятой, так как в первом множителе их 3 после запятой, а во втором – одна, в двух множителях вместе – четыре.       0,125 ×    2,3 = 0,2875

Пример №5. Здесь показано умножение десятичной дроби и целого числа. Умножение выполнено без учета запятой. В ответе отделена справа запятой только одна цифра, так как  только в первом множителе есть десятичная часть с одной цифрой после запятой.

  34,3 ×     8 =274,4

Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000…

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, нужно перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей у множителя. Умножение в данном случае выполняется в строчку.

Пример №6. 2,456 × 10 = 24,56

Пример №7. 0,45678 × 100 = 45,678

Пример №8.  9,46 × 1000 = 9460

Деление десятичных дробей

1. При делении десятичной дроби на целое число выполняют сначала деление целой части, а затем десятичной.
2. При делении десятичной дроби на другую десятичную дробь необходимо в делителе убрать запятую, а в делимом передвинуть ее вправо на столько цифр, сколько их в делителе после запятой. Затем выполнить деление на целое число.
3. Есть случаи, когда цифр после запятой при переносе запятой у дроби не хватает. Тогда необходимо дополнить число нулями.

Пример №12. Деление десятичной дроби на целое число. 46,8 : 2 = 23,4

Пример №13. Деление десятичной дроби на десятичную дробь.
12,096 : 2,24 = 5,4 Из данного примера видно, что деление десятичных дробей обязательно сводится к делению на целое число.

Пример №14. 276,3 : 0,003 = 276300 : 3 = 92100. Здесь видно, что не хватает двух цифр в числе 276,3 и поэтому при переносе запятой к нему приписали два нуля. Затем выполнили деление двух целых чисел.

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000…

При делении десятичной дроби на 10,100, 1000 и так далее нужно перенести запятую на столько цифр влево, сколько нулей в данном числе. Деление выполняется в строчку устно.        Пример №15. 45,982 : 10 = 4,5982

Пример №16. 134,987 : 1000 = 0,134987

Пример №17. 7,234 : 100 = 0,07234

Пример 18. –0,3·(–10)4+4·(–10)2–59=–0,3·(–10)4+4·(–10)2–59 = –0,3·10000+4·100–59 =

= –3000+400–59 = –2600–59 = –(2600+59) = –2659

Пример 19. –13•(–9,3)–7,8= 120,9–7,8 = 113,1

Пример 20. 

Степенью называется выражение вида 

Здесь a — основание степени, c — показатель степени.
По определению, 

Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя: 

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза:  

Возвести число в натуральную степень  n — значит умножить его само на себя  n  раз:

По определению,    

Это верно для  Выражение  не определено.

Определим, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для  поскольку на ноль делить нельзя.

Соберем свойства степеней и основные формулы в одной таблице.

Пример 1. Найдите значение выражения 

Ответ: 3328.

Пример 2. Найдите значение выражения 

Ответ: 0,5604.

Пример 3. Найдите значение выражения 

Решение.  

Ответ: 81.

Вариант 1   Вычислить:

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

8) 

Вариант 2   Вычислить:

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

8) 

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

8) 

9) 

10) 

11) 

12) 

13) 

14) 

15) 

16) 

Все свойства представим в виде таблицы.

Свойство №1. Квадратный корень из произведения

1) Что бы раскрыть скобку, нужно число, стоящее за скобкой, умножить на каждое число, стоящее в скобке.

2) Числа стоящие перед корнем, перемножаются отдельно, а числа стоящие под корнем, вносятся под единый корень.

3) Если числа из-под корня не извлекаются, то необходимо разложить числа. Старайтесь раскладывать так, чтобы какой-либо множитель можно было вынести из-под корня.

Свойство №2. Квадратный корень из дроби

Рассмотрим примеры.

Редко, когда в выражении применяется только одно свойство. Ниже приведу решение, где нужно применить свойство квадратного корня из произведения и из дроби.

В числителе применено свойство квадратного корня из произведения.

В следующем примере помимо свойств квадратного корня, применено свойство деления степеней с одинаковым основанием. Напомню его: при делении степеней с одинаковым основанием, основание остается прежним, показатели степени вычитаются.

Свойство №3

Рассмотрим решение следующего выражения:

Часто встречаются задания, в которых нужно применять формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения.

Зеленым цветом выделены противоположные числа, сумма которых равна нулю.

Свойство №4. Квадратный корень из степени

Приведу решение нескольких выражений:

Линейная функция

1. Постройте график функции, заданной формулой .

2. Постройте график функции, заданной формулой .

3. Постройте график прямой заданной формулой .

4. Постройте график функции, заданной формулой .

5. Постройте график функции, заданной формулой .

6. Постройте график прямой, заданной формулой .

8)

9)

Линейные уравнения

Линейные неравенства

Задача1

Задача2

Задача3

Проверочная работа №1

Вариант 1

1. Вычислить:

̶  28 + 28 =

̶  6 + ( ̶  48) =

17  ̶  96 =

53  ̶  (  ̶  8) =

37 · (  ̶  2) =

  ̶  39 : (  ̶  3) =

  ̶  65 · 0 =

  ̶  68 : 0 =

2. Найти значение выражения:

а)                 б)

в)                 г)

д)         е)

ж)                 з)

ответы

1)0                2)3,91

-54                -0,3

-79                0,9

61                0,32

-74                1,75

13                23,5

0                20

Нельзя        0,44

Проверочная работа №1

Вариант 2

1. Вычислить:

̶  39 + 25 =

̶  68 + ( ̶  18) =

15  ̶  76 =

49  ̶  (  ̶  12) =

24 · (  ̶  3) =

  ̶  99 : (  ̶  3) =

  ̶  76 · 0 =

  ̶  15 : 0 =

2. Найти значение выражения:

а)                 б)

в)                 г)

д)         е)

ж)         з)

ответы

1)-14                2)3,85

-86                0,39

-61                7,5

61                17,5

-72                7,6

33                -1,1

0                84

Нельзя        -1,3

Практическая работа №2 алгебра

Вариант 1

(7 · 102)2​ · (3 · 10− 5).

Практическая работа №2 алгебра

Вариант 2

(5 · 10− 2)3​ · (2 · 103).

Практическая работа №2 алгебра

Вариант 1

(7 · 102)2​ · (3 · 10− 5).

Практическая работа №2 алгебра

Вариант 2

(5 · 10− 2)3​ · (2 · 103).

Практическая работа №2 алгебра

Вариант 3

(5 · 102)2​ · (3 · 10− 5).

Практическая работа №2 алгебра

Вариант 3

(5 · 102)2​ · (3 · 10− 5).

Практическая работа №2 алгебра

Вариант 3

(5 · 102)2​ · (3 · 10− 5).

Практическая работа №2 алгебра

Вариант 3

(5 · 102)2​ · (3 · 10− 5).

Проверочная работа №4

Вариант 1

1)

2)                3)

4)         5)

6)         7)

Проверочная работа №4

Вариант 2

ГРАФИКИ

1)

2)        3)

4)                         5)

6)         7)

Проверочная работа №5

Вариант 1

1)

2)         3)

4)         5)

Проверочная работа №5

Вариант 2

1)

2)         3)

4)         5)