СБОРНИК СТОХАСТИЧЕСКИХ УПРАЖНЕНИЙ ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Министерство образования и науки Челябинской области

ГБПОУ «Саткинский горно-керамический колледж имени А.К. Савина»

СБОРНИК СТОХАСТИЧЕСКИХ УПРАЖНЕНИЙ

ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Выполнила студентка 41 группы:

Богданова К. Е.

Руководитель: Кедровских Т. С.

Сатка, 2026 г

Пояснительная записка

Современный федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования (ФГОС НОО) требует формирования у младших школьников не только предметных, но и метапредметных результатов, среди которых особое место занимает логическая грамотность — способность анализировать, сравнивать, классифицировать, устанавливать причинно-следственные связи и рассуждать в ситуациях с неопределённостью.

Одним из эффективных, но недостаточно используемых в начальной школе средств развития логической грамотности являются элементы стохастики (комбинаторика, вероятность, статистика). Данный сборник призван восполнить этот пробел и предложить учителю системный набор упражнений, встроенных непосредственно в программное содержание 2 класса.

Связь стохастики и логической грамотности

Логическая грамотность младшего школьника проявляется в умении:

1. Выстраивать последовательные рассуждения.
2. Перебирать варианты в системе.
3. Отличать достоверное от невозможного.
4. Анализировать данные и делать выводы.

Каждый тип стохастических упражнений целенаправленно развивает конкретные логические умения:

Стохастическая линия

Комбинаторика системный перебор, алгоритмичность, понимание принципа умножения, построение логического дерева

Вероятность различение случайного и закономерного, оценка «более/менее вероятно», работа с понятиями «всегда», «никогда», «иногда»

Статистика сравнение, упорядочивание, поиск типичного значения (мода), интерпретация таблиц и диаграмм

Что развивает данный сборник (в терминах логической грамотности)

В процессе выполнения стохастических упражнений второклассник учится:

1. Логически перебирать варианты (не пропуская и не повторяя — например, при составлении двузначных чисел из цифр).

2. Обосновывать выводы фразами «потому что…», «всегда», «иногда», «невозможно»
(например: «число 50 вытянуть нельзя, потому что таких карточек нет»).

3. Сравнивать шансы без формул, на интуитивном уровне
(что вероятнее — вытащить красный или синий кубик?).

4. Анализировать простые данные
(какой рост встречается чаще? на сколько один результат больше другого?).

5. Строить простейшие логические конструкции
(если… то…, все… кроме…, среди… есть…).

Структура сборника

Каждая тема содержит 3 типа упражнений (комбинаторика, вероятность, статистика), что позволяет регулярно, без выделения дополнительных уроков, развивать стохастическое и логическое мышление детей.

Регулярное использование сборника способствует:

1. Повышению уровня логической грамотности обучающихся.
2. Формированию умения действовать в ситуации неопределённого выбора.
3. Развитию интереса к математике через жизненные, игровые и исследовательские задания.
4. Подготовке к изучению вероятностно-статистической линии в основной школе.

СОДЕРЖАНИЕ

I часть

Устные приёмы сложения и вычитания в пределах 100

Комбинаторика

У Маши две монеты: 10 рублей и 20 рублей. У Вовы – 30 и 40 рублей. Сколько разных пар (монета Маши + монета Вовы) можно сложить, чтобы получить сумму? (2×2=4 пары). Перечисли.

Вероятность

В мешочке карточки: 10, 20, 30, 40. Все карточки заканчиваются на 0. Если вытянуть одну, какое число обязательно получится? (Чётное, круглое). Событие «вытяну число 50» – возможно? (Нет, невозможное).

Статистика

Ученики сказали свой рост: 30, 32, 30, 31, 30. Сколько раз встретился рост 30? (3 раза). Это самое частое число? (Да).

Вычитание вида 36 – 2, 36 – 20

Комбинаторика

Из цифр 3, 6 и 2 составь двузначные числа. Какие из них можно вычесть из 36? (Напиши числа меньше 36: 32, 26, 23. Их 3).

Вероятность

Учитель задумал число от 30 до 35. Какие числа он мог задумать? (30,31,32,33,34,35). Каких чисел больше – чётных или нечётных? (Чётных 3, нечётных 3 – поровну). Значит, шансы равны.

Статистика

Спроси у трёх друзей, сколько им лет. Запиши числа в таблицу. Какое число встречается чаще?

Единицы длины. Миллиметр

Статистика

Измерь длину ластика в миллиметрах. У пяти учеников получилось: 40, 42, 40, 41, 40. Какая длина самая частая? (40 мм).

Вероятность

В мешочке карточки: 10 мм, 20 мм, 30 мм, 40 мм. Ты вытягиваешь одну. Какое событие точнее: «число больше 25» или «число меньше 25»? (Больше 25 – это 30 и 40 (2 карточки), меньше 25 – 10 и 20 (2 карточки). Одинаково).

Комбинаторика

У тебя есть две линейки: длиной 20 мм и 30 мм. И два карандаша: 40 мм и 50 мм. Сколько разных пар (линейка + карандаш) можно составить? (4 пары). Нарисуй их.

Единицы длины. Метр

Комбинаторика

У Маши есть верёвка длиной 1 метр. Она хочет отрезать от неё два куска: первый длиной 30 см или 40 см, второй — 20 см или 50 см. Сколько разных пар кусков (первый + второй) можно получить? Перечисли все варианты и посчитай общую длину отрезанной части в каждом случае. (Ответ: 2×2=4 пары: 30+20=50 см, 30+50=80 см, 40+20=60 см, 40+50=90 см)

Вероятность

В мешочке лежат карточки с длинами: 1 м, 50 см, 80 см, 100 см. Если вытянуть одну карточку, какое событие более вероятно: «длина больше 60 см» или «длина меньше 60 см»? (Посчитай: больше 60 см — 1 м, 80 см, 100 см (3 карточки), меньше 60 см — только 50 см (1 карточка). Значит, вероятнее, что длина больше 60 см.)

Статистика

В классе провели измерение роста учеников в метрах и сантиметрах. Получились такие результаты: 1 м 20 см, 1 м 25 см, 1 м 20 см, 1 м 22 см, 1 м 20 см. Запиши все значения в сантиметрах (120 см, 125 см, 120 см, 122 см, 120 см). Какое значение встречается чаще всего? (120 см — 3 раза). Построй столбчатую диаграмму: по горизонтали — рост (120, 122, 125), по вертикали — количество учеников.

Выражения и уравнения

Буквенные выражения

Комбинаторика

В выражении a + b буква a может быть 1 или 2, а буква b может быть 3 или 4. Запиши все возможные суммы. (1+3=4, 1+4=5, 2+3=5, 2+4=6). Сколько их? (4).

Вероятность

Учитель задумал выражение x – y. Если x = 5, y может быть 2 или 3. Какая разность более вероятна – 3 или 2? (5–2=3, 5–3=2 – один раз каждая, шансы равны).

Статистика

Дана таблица: a = 2,4,6. Вычисли a+3. Запиши результаты. Построй простую диаграмму (нарисуй столбики).

Уравнения

Вероятность

В коробке карточки с уравнениями: x+2=5, x–1=3, x+3=7. Выбери одну наугад. В каком уравнении x больше 3? (x=3, x=4, x=4 – в двух). Какой шанс – больше половины или меньше? (Больше).

Комбинаторика

Составь все возможные уравнения x + a = 6, если a может быть 1,2,3. (x=5, x=4, x=3 – три уравнения).

Длина, ломаная, периметр

Ломаная линия. Длина ломаной

Комбинаторика.

Ломаная из трёх звеньев. Длины: 2 см, 3 см, 4 см. Поменяй звенья местами. Сколько разных ломаных получится? (6 вариантов – можно нарисовать).

Статистика

Измерь длину своей ломаной (из трёх звеньев). Ученики получили: 9,8,9,10,9. Какая длина самая частая? (9). Нарисуй столбик для 9 выше всех.

Вероятность

В мешочке карточки с числами 2,3,4. Вытягиваем три карточки (каждую по одному разу). Какая сумма может получиться? (2+3+4=9 – только одна сумма). Это достоверное событие? (Да).

Периметр многоугольника

Комбинаторика

У прямоугольника 12 см (целые стороны). Найди все пары (длина, ширина). (1 и 5, 2 и 4, 3 и 3). Сколько их? (3).

Вероятность

В мешочке карточки с периметрами: 10, 12, 14, 16. Вытащи одну. Можно ли вытащить нечётное число? (Нет – все чётные). Это невозможное событие.

Статистика

Измерь периметр своей тетради, учебника, пенала. Запиши. Какое число самое маленькое? (Ответы детей).

Свойства сложения

Переместительное свойство сложения

Комбинаторика.

У тебя есть числа 3 и 5. Сколько разных сумм можно получить, меняя их местами? (3+5=8 и 5+3=8 – сумма одна и та же). Значит, вариантов всего 1.

Вероятность.

Бросаем два кубика (красный и синий). Сумма 7 получается при (1,6), (2,5), (3,4) и наоборот. Сколько всего способов получить 7? (6 способов). Это много или мало? (Много, но во 2 классе просто сказать: «Сумма 7 встречается часто»).

Сочетательное свойство сложения

Статистика

Посчитай (2+3)+4 и 2+(3+4). Результат одинаковый? (Да). Проверь на трёх других примерах. Всегда ли так? (Да). Запиши вывод.

Комбинаторика

В выражении 1+2+3 можно по-разному поставить скобки: (1+2)+3 и 1+(2+3). Сколько способов? (2). Результат меняется? (Нет).

Повторение и проектные задания

Странички для любознательных

Вероятность (игра). Загадай число от 1 до 10. Твой друг угадывает с одной попытки. Что вероятнее – угадать или не угадать? (Не угадать – 9 шансов из 10).

Комбинаторика

У тебя есть фломастеры трёх цветов: красный, синий, жёлтый. Сколько разных двухцветных полосок (цвет сверху и снизу) можно сделать, если цвета не повторяются? (3×2=6). Нарисуй.

Статистика (проект)

«Любимое число класса». Каждый назови число от 1 до 5. Учитель запишет на доске. Какое число чаще всего? Нарисуй столбчатую диаграмму (клеточки).

Проверим себя (итоговое повторение)

Комбинаторика

Из цифр 1,2,3 составь все двузначные числа без повторения цифр. (12,13,21,23,31,32 – 6 чисел). Какое самое большое? (32).

Вероятность

В коробке 4 красных кубика и 2 синих. Какой кубик вероятнее вытащить, не глядя? (Красный – их больше).

Статистика

На диаграмме показано, сколько задач решили: Петя – 5, Вася – 3, Оля – 7. У кого больше всех? (У Оли). На сколько больше, чем у Васи? (7–3=4).

II часть

Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание (письменные вычисления)

Вычисления вида 52 – 24

Статистика

В опросе 5 учеников назвали свой рост: 52 см, 48 см, 55 см, 47 см, 50 см. На сколько см самый высокий выше самого низкого? (Вычисли 55 – 47 = 8 см)

Вероятность

У тебя есть карточки с числами 52, 48, 44, 40. Если случайно вытянуть одну, какое число более вероятно: чётное или нечётное? (Все чётные – достоверно чётное)

Комбинаторика

Сколько разных пар (первое число, второе число) можно составить из чисел 52 и 24 для вычитания? (Всего 2 варианта: 52–24 и 24–52, но во 2 классе только положительная разность – 1 вариант)

Противоположные стороны прямоугольника

Комбинаторика

Длина прямоугольника 5 см, ширина 3 см. Найди периметр. Сколько существует разных прямоугольников с таким же периметром (целые стороны)? (Периметр = 16 см, полусумма = 8 см. Варианты: (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) и т.д. – всего 4)

Вероятность

Учитель задумал прямоугольник, у которого противоположные стороны равны 4 см и 4 см. Какой это прямоугольник? (Квадрат). Событие «это квадрат» – достоверное или возможное? (Достоверное)

Статистика

Измерь стороны своей тетради. Запиши в таблицу: длина __ см, ширина __ см. Найди сумму длин всех сторон.

Симметричные фигуры

Вероятность

На столе лежат вырезанные из бумаги круг, квадрат, прямоугольник и треугольник (разносторонний). Если закрыть одну фигуру рукой, какое событие более вероятно: «закрытая фигура имеет ось симметрии» или «не имеет»? (У круга, квадрата, прямоугольника – есть, у разностороннего треугольника – нет. 3 из 4 имеют – вероятнее, что имеет)

Комбинаторика

Сколько разных симметричных фигур можно сложить из двух одинаковых квадратов? (2 варианта: прямоугольник или «уголок» – но уголок не симметричен? Уточнить: из двух квадратов – только прямоугольник) – лучше: из трёх квадратов – 2 симметричные фигуры (полоска и уголок)

Проектные задания

Статистика (мини-проект)

Посчитай, сколько в классе девочек и мальчиков. Заполни таблицу. Нарисуй столбчатую диаграмму в тетради.

Вероятность

Придумай событие, которое достоверно для твоего класса (например, «сегодня есть урок математики»).

Комбинаторика

Составь все возможные варианты расписания на завтра из трёх предметов: математика, чтение, рисование (порядок важен). Сколько вариантов? (6)

Что узнали. Чему научились

Вероятность

Из мешка с буквами А, Б, В, Г, Д вынимают одну букву. Какая буква может выпасть? (Любая). Назови невозможное событие (например вынуть букву Е)

Статистика

Построй таблицу: сколько учеников в классе родились в каждом месяце. Какой месяц самый «популярный»?

Комбинаторика

У Кати 4 разные юбки и 3 разные кофты. Сколько разных комплектов (юбка + кофта) можно составить посчитай или нарисуй? (4×3=12)

Числа от 1 до 100. Умножение и деление

Умножение

Комбинаторика

В столовой есть 2 вида супа и 3 вида второго. Сколько разных обедов (суп + второе) можно заказать посчитай или нарисуй? (2×3=6)

Вероятность

Бросают два кубика (на каждом цифры 1–6). Сколько всего возможных пар? (6×6=36) Какая сумма выпадает чаще? (7)

Статистика

В классе 6 рядов по 4 парты. Сколько всего парт? Вычисли умножением. (6×4=24)

Деление

Статистика

12 конфет разделили поровну между 3 детьми. Сколько конфет у каждого посчитай или нарисуй? (12:3=4)

Комбинаторика

Сколькими способами можно разложить 6 яблок на 2 тарелки (тарелки разные)? (7 способов: 0+6,1+5,2+4,3+3,4+2,5+1,6+0)

Вероятность

В коробке 15 шаров: 5 красных, 10 синих. Если разделить все шары поровну на 5 коробок, сколько красных будет в каждой? (5:5=1 – достоверно)

Название чисел при умножении

Комбинаторика

Первый множитель – 2 или 3, второй множитель – 4 или 5. Сколько разных произведений можно получить? Перечисли. (4 варианта: 2×4=8, 2×5=10, 3×4=12, 3×5=15)

Вероятность

Учитель задумал два множителя от 1 до 5. Какое произведение более вероятно: чётное или нечётное? (Чётных больше 2×2=4, 2×3=6 и т.д.)

Статистика

Заполни таблицу: умножь число 3 на числа от 1 до 5. Запиши результаты. Сколько раз получилось чётное число? (3×2=6, 3×4=12 – два раза)

Свойство умножения

Комбинаторика

Используя свойство перестановки множителей, найди, сколько разных выражений можно записать для произведения 12. (2×6=6×2, 3×4=4×3 – всего 2 пары)

Вероятность

Бросают два кубика. Вероятность выпадения суммы 6 больше, чем суммы 2? Почему? (Вариантов суммы 6 больше)

Статистика

Вычисли разными способами: 5×4. Запиши два выражения. (5×4 и 4×5. Сравни результаты – одинаковые)

Деление (повтор)

Статистика

18 учеников разделились на 3 команды поровну. Сколько в каждой команде?

Комбинаторика

Раздели 8 цветных карандашей на 2 коробки (коробки одинаковые? Порядок не важен). Сколько вариантов? (5: 0+8,1+7,2+6,3+5,4+4)

Название чисел при делении

Комбинаторика

Делимое – 12, делитель – 2, 3, 4 или 6. Сколько разных частных можно получить? (4: 12:2=6, 12:3=4, 12:4=3, 12:6=2)

Статистика

Запиши все случаи деления числа 20 на числа от 1 до 20. Составь таблицу «Делимое – 20, делитель, частное».

Что узнали. Чему научились

Статистика

По таблице умножения на 3 найди, сколько раз встречается чётное произведение. (3×2=6, 3×4=12, 3×6=18, 3×8=24, 3×10=30 – 5 раз)

Вероятность

Из мешка с числами от 1 до 10 вынимают одно число. Какова вероятность, что оно делится на 2? (5/10=1/2)

Комбинаторика

Сколько разных двузначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6 (цифры не повторяются)? (3×2=6)

Странички для любознательных

Комбинаторика

Нарисуй дерево возможностей для бросания монетки три раза. Сколько исходов? (8)

Вероятность

В лотерее 10 билетов, 3 выигрышных. Ты покупаешь 1 билет. Что вероятнее: выиграть или проиграть? (Проиграть – 7 из 10)

Статистика

Измерь шагами длину класса (5 шагов). Запиши данные 5 учеников. Найди среднее арифметическое.

Страничка «Помогаем друг другу сделать шаг к успеху»

Статистика

Проверь, часто ли выпадает «орёл» при 10 бросаниях монетки. Запиши результаты.

Комбинаторика

Сколькими способами можно выбрать двух помощников из трёх учеников? (3 пары: АБ, АВ, БВ)

Связь множителей с произведением

Комбинаторика

Если первый множитель увеличить в 2 раза, а второй оставить тем же, как изменится произведение? Приведи 2 примера. (Увеличится в 2 раза)

Умножение и деление с числом 10

Статистика

В классе 20 учеников. 10 из них любят математику, остальные – чтение. Сколько любят чтение? Построй круговую диаграмму (половина круга).

Вероятность

В мешке 10 красных, 10 синих и 10 зелёных шаров. Какова вероятность вытащить красный? (10/30)

Комбинаторика

Из цифр 1, 0, 5 составь все возможные двузначные числа (цифры могут повторяться? Нет, только разные). (10, 15, 50, 51 – 4 числа)

Умножение и деление с числом 6

Комбинаторика

Сколько разных способов заплатить 6 рублей, используя монеты 1 р., 2 р., 5 р.? (6=5+1, 2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1,– всего 4 способа)

Статистика

Умножь 6 на числа от 1 до 5. Запиши произведения. Найди сумму этих произведений. (6+12+18+24+30=90)

Умножение и деление с числом 7

Комбинаторика

Сколькими способами можно разложить 7 одинаковых монет в 2 кармана? (8 способов: 0+7, 1+6, …, 7+0)

Вероятность

В коробке 7 синих и 3 красных карандаша. Какова вероятность вытащить синий? (7/10)

Статистика

За неделю ученик получил 7 пятёрок, 4 четвёрки, 2 тройки. Построй столбчатую диаграмму.

Странички для любознательных

Комбинаторика

Сколько разных маршрутов из дома в школу, если нужно пройти 3 перекрёстка, на каждом выбирая «направо» или «налево»? (2×2×2=8)

Вероятность

Из мешка с буквами М, А, М, А вынимают одну букву. Что вероятнее: вынуть М или А? (Одинаково – по 2 буквы)

Статистика

Найди моду среди чисел: 8, 6, 7, 8, 6, 8, 7. (8)

Умножение и деление с числом 8

Комбинаторика

В магазине 8 видов мороженого и 3 вида сиропа. Сколько разных порций (мороженое + сироп)? (8×3=24)

Вероятность

На столе 8 карточек с числами от 1 до 8. Переворачивают одну. Какова какое число скорее всего выпадет > 5 или < 5? (>)

Статистика

Умножь 8 на 2, 4, 6, 8, 10. Запиши все произведения. Сколько из них делятся на 4? (Все 5 – достоверно)

Умножение и деление с числом 9

Комбинаторика

Сколько разных результатов можно получить, умножая 9 на числа от 1 до 5? (5 результатов)

Вероятность

В лотерее 9 билетов, 1 выигрышный. Купили 1 билет. Какова вероятность выигрыша? (1/9)

Статистика

Запиши все однозначные числа, которые делятся на 9. (9). Сколько их? (1)

Таблица умножения

Вероятность

Из таблицы умножения на 3 случайно выбирают один пример. Какова вероятность, что произведение больше 15? (Примеры: 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 – больше 15 это 18,21,24,27,30 – 5 из 10)

Статистика

Построй таблицу частот для произведений из таблицы умножения на 4 (от 4 до 40) – сколько раз встречается каждое число? (каждое 1 раз)

Что узнали. Чему научились

Статистика

В классе 25 учеников. 10 – отличники по математике, 15 – хорошисты. На сколько отличников меньше? (на 5)

Вероятность

Из коробки с 8 красными, 9 синими и 3 зелёными ручками наугад берут одну. Какого цвета ручку взять вероятнее всего? (Синюю – 9 из 20)

Комбинаторика

Сколько разных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3 (без повторений)? (3×2×1=6)

Что узнали, чему научились во 2 классе

Комбинаторика

У Оли 4 блузки и 3 юбки. Сколько разных нарядов? (12)

Вероятность

В пенале 5 ручек, из них 2 пишут синим, 3 – красным. Какова вероятность вытащить красную ручку? (3/5)

Проверим себя и оценим свои достижения

Вероятность

Приведи пример достоверного события для своего дня рождения.

Статистика

Заполни таблицу: сколько раз ты правильно решил примеры на умножение за неделю. Построй график.

Комбинаторика

Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из 5 человек? (10 способов – можно перебором)