Презентации к уроку
В данном разделе Вы найдете презентации по математике для 1 и 2 курсов СПО, которые будут полезным дополнением к уроку
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Презентация "Метод интервалов" | 1018.09 КБ |
| Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла | 2.15 МБ |
| Методы интегрирования | 2.27 МБ |
| Неопределенный интеграл | 2.53 МБ |
| Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла | 1.34 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Алгоритм
Пример 1 ПАМЯТКА! Если у линейной функции перед п еременной х коэффициент положительный, то у гол наклона острый; е сли- отрицательный, то - тупой
Пример 2 Пример 3
Пример 4 Пример 5
Критические точки: , , Пример 6 Решение:
А вот теперь
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Вспомним геометрический смысл о пределенного интеграла Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу: = Вспомним, что собой представляет криволинейная трапеция Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [ а;b ] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [ а;b ]. Отрезок [ a;b ] называют основанием этой криволинейной трапеции
Умение вычислять определенные интегралы д ает возможность находить площади криволинейных фигур Что для этого нужно: Вид фигуры (является ли фигура криволинейной трапецией). Должен быть графический рисунок. 2. Знать формулу функции 3. Знать пределы интегрирования: это смотрим по оси ОХ, при каком Значении х фигура начинается и при каком заканчивается. 4.Составить определенный интеграл и вычислить площадь
Посмотрите, как составляется определенный интеграл для вычисления площади криволинейной трапеции
Приведенные выше примеры относятся к в ычислению площадей криволинейных трапеций. Но существуют и другие фигуры, которые так же имеют к риволинейные стороны, но к криволинейным трапециям н е относятся. Как будем находить их площади? Такие криволинейные фигуры можно разбить на виды. Для каждого вида будет своя формула. Рассмотрим их!
Тип 2. Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b :
Тип 3. Фигура ограничена двумя функциями ( сверху и снизу) и п рямыми x=a и x=b . Если не указаны прямые x=a и x=b , то необходимо н айти пределы интегрирования. Для этого надо приравнять функции и решить полученное уравнение.
Тип 4. Фигура, ограничена сверху двумя графиками функций и осью ОХ. Есть фигуры, которые необходимо разбить на части. Найти площадь каждой части и сложить их.
Оформим всё в таблицу и запишем её в тетрадь
Пример 1 Найти площадь фигуры, ограниченной график о м функции , Осью ОХ и прямыми х=0, х=1. Решение: Построим график функции - парабола, ветви вверх. Прямые х=0 и х=1 проходят параллельно оси ОУ. Х=0 Х=1 Данная фигура является криволинейной т рапецией (1 тип) Ответ:
Пример 2 Найти площадь фигуры, ограниченной график ом функции , Осью ОХ и прямыми х =-1, х=2. Решение: Данная фигура располагается ниже оси ОХ (2 тип) Построим график функции - парабола, ветви вниз.
Пример 3 Решение: Найдем пределы интегрирования. Для этого решим систему: Пределы интегрирования: а=0 и b=3 Данная фигура ограничена сверху и снизу функциями (3 тип). Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций , y = x
Пример 4 Найти площадь фигуры, ограниченной график ом функции , y = x . Решение: Найдем пределы интегрирования. Для этого решим систему: Пределы интегрирования: а=0 и b=3 Данная фигура ограничена сверху и снизу функциями (3 тип).
Пример 5 Найти площадь фигуры, ограниченной график ом функции , y = 3 x и осью ОХ. Решение: Найдем точки пересечения графиков: Г рафиком функции является п арабола. Точки пересечения с осью ОХ: Выполним построения. Из рисунка видно, что данная фигура относится к 4 типу. Площадь фигуры будет состоять из суммы двух площадей её частей: = .
Итак, мы с Вами сегодня познакомились с нахождением площадей плоских фигур. Рассмотрели основные типы задач. До новых встреч!!!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Свойства неопределенного интеграла
Пример 1 Выражения в виде дроби под знаком интеграла, если только это не формулы, Необходимо представить в виде суммы. Для этого используем свойство:
Пример 2 Используем свойства степени: = ; = = - +C = + +C = + +C
Пример 3 Пример 4 Иногда используются тригонометрические формулы: Из этих формул можно выразить или заменить нужную по условию величину
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ Из этих формул можно выразить… Пример 5 : Пример 6 : dx= + C
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ Пример 7 : Необходимо преобразовать произведение в сумму. Для этого нужны формулы При этом надо помнить свойства функций: sin(-x)= - sinx ; cos(-x) = cosx dx= Используем свойство: +C
Метод замены переменной Это новый метод и его надо изучить. Он применяется когда под интегралом стоит СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ Вспомним, что такое сложная функция: y=f(g(x)) Примеры сложной функции: - степенная функция. Внутренняя функция: - корень квадратный. Внутренняя функция: - степенная функция. Внутренняя функция : sinx
Метод замены переменной Метод замены переменной заключается в том, что Надо привести подынтегральное выражение к с тандартному виду ( к формуле интегрирования). Для этого надо: 1. Определить сложную функцию f(g(x)) 2. Обозначить внутреннюю функцию новой п еременной t=g(x) 3 . Найти дифференциал новой переменной t: dx 4. Заменить все выражения с переменной х, включая дифференциал dx , на выражения ч ерез переменную t 5. Найти интеграл непосредственным и нтегрированием и вернуться к подстановке, т.е. к переменной х
Метод замены переменной Пример 1 = = Фу н кция - степенная сложная. Внутренняя функция . Оббозначим её за t= Тогда сама функция примет вид Но! В подынтегральном выражении есть е щё дифференциал dx . Надо найти дифференциал dt . Для этого используем формулу дифференциала : df = dx Тогда: , dt =2xdx, Выразим xdx , так как это выражение есть в и нтеграле = Все подготовительные э тапы замены в ыполняют вот таком виде Возвращаемся к переменной х
Метод замены переменной Пример 4 Пример 5 =
Метод замены переменной Пример 2 Пример 3 +C
Продолжите решения самостоятельно Пример 6 Пример 7 Пример 8
Жду ваши работы!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Урок №97 ПЕРВООБРАЗНАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ПРОИЗВОДНУЮ Что мы с Вами до этого изучали? Вспомним как мы это делали! , Вспомнили?! А теперь посложнее!...
ОЙ! Что это?! Кто стёр запись?! И что теперь делать?
Давайте подумаем: от чего находили производную и получили 2х? Конечно же это ! Итак,
Производная ? Оказывается: функции от которых находили производные тоже имеют названия. Они называются ПЕРВООБРАЗНЫМИ
Итак, те функции , от которых находили производные, н азываются ПЕРВООБРАЗНЫМИ. Запишем определение.
Вернемся к примеру: - первообразная функции 2х Проверим, являются ли следующие функции первообразными для функции f (x) = 2x , , , , Все функции F(x) являются первообразными ф ункции f(x)=2x
Так сколько у функции может быть первообразных? Да очень-очень МНОГО! Обратите внимание , что все первообразные отличаются друг от друга ТОЛЬКО! Постоянной величиной, т.е. числом: 3, -5, , ln9 и т.д …. А постоянную величину мы обозначаем : С – const. Значит все-все первообразные функции f(x)=2x можно записать в виде F(x)= И так для любой функции! Это есть основное свойство Первообразных. Запишем его!
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПЕРВООБРАЗНЫХ Операция нахождения первообразной F(x) для данной функции f(x) называется ИНТЕГРИРОВАНИЕМ
Итак, что получили? Интегрирование - это процесс обратный нахождению производной, т . е . ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЮ Это как возведение в квадрат и извлечение корня квадратного- д ве взаимно обратные операции Интегрированием мы хотим найти все-все первообразные, т. е. СОБРАТЬ их всех вместе. Интегрирование в переводе на русский язык означает Соединение, совокупность . Эти слова на букву «С». Это и взяли за символ интеграла, только букву на латыни “S” . А чтобы не перепутать с суммой или площадью ( они тоже так обозначаются), взяли и вытянули её и п олучился символ: Пишем ВОТ ТАК!
Вспомним понятие дифференциала: Формула имеет вид В этом равенстве : Выполним замену, получим: А теперь надо избавиться от дифференциала d . Это можно сделать интегрированием. Подпишем символ интеграла справа и слева: Получили формулу и дадим определение
Запишем в тетрадь Из определения следует, что первообразные функции f (x) =2x можно записать:
Геометрический смысл неопределенного интеграла Почему интеграл назвали НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ? Это потому, что мы не знаем: какая конкретно нам нужна первообразная. Их находят ВСЕ! А их, первообразных, как видим, б есконечно МНОГО! Чтобы находить первообразные, необходимы формулы.
Свойства неопределенного интеграла Перепишем в тетрадь
ПРИМЕРЫ 1. Пояснение к решению: если находим интеграл от числа, то просто добавим к этому числу переменную х. Посмотрим на формулу №2 В данном примере вместо k стоит число 2, смотрим ответ: kx , значит ответ примера 2х. Первообразных много, поэтому каждый раз надо в конце ответа прибавлять С.
ПРИМЕР 2 В данном примере необходимо найти интеграл от х. Это степенная функция вида . Что такое х- это х в первой степени, но её не пишут. Значит воспользуемся формулой: Получим: Сделаем проверку:
ПРИМЕР 3 воспользуемся формулой: В последствие при нахождении интеграла степенной функции показатель степени можно считать устно, т.е. так подробно не расписывать.
ПРИМЕР 4 Примечание: При нахождении интегралов полезно вспомнить свойства степени ; ; ПРИМЕР 5
ПРИМЕР 6 ПРИМЕР 7
ПРИМЕР 8 Воспользуемся свойством интеграла: Интеграл суммы равен сумме интегралов Постоянные множители можно выносить за знак интеграла Формула №3 Формула №4
ПРИМЕР 9 Воспользуемся свойством интеграла: Интеграл суммы равен сумме интегралов Постоянные множители можно выносить за знак интеграла Формула
ПРИМЕР 10 =
Чтобы научиться находить интегралы, надо выучить формулы интегрирования и р ешить много примеров. Много решать не будем, а вот Самостоятельную работу выполним! Будьте внимательными при решении! Помните про свойства степени и Внимательно используйте формулы интегрирования! Не забывайте о свойствах: Если интеграл суммы или разности, то находим интеграл от каждого слагаемого; Постоянные множители выносим за знак интеграла ( в формулах нет никаких чисел, значит в примерах их надо выносить за знак.
Надеюсь, все было понятно! До новых встреч!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Задача Найти какой объем занимает обод автоколеса Как видно: боковая поверхность обода вогнута , Обод похож на цилиндр, но это другое тело Такие тела называют телами вращения . Давайте познакомимся с ними подробнее
Нам уже знакомо понятие – криволинейная трапеция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [ а;b ] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [ а;b ]. Давайте представим : что будет, если к риволинейную трапецию будем вращать в округ оси ОХ
Получим вот такое тело. Обратим внимание, что каждая точка плоской к риволинейной трапеции совершает круговую траекторию. Значит, в поперечном сечении этого тела- круг
Итак, Тело, полученное при вращении криволинейной т рапеции вокруг её основания, называют телом вращения
Такое тело можно «набрать» из плоских кругов, н а которые это тело можно р азрезать п оперек. Площадь круга вычисляется п о формуле: Надо заметить, что радиус к аждого сечения постоянно и зменяется и равен значению ф ункции в точке, через которую п роводится сечение Таким образом, площадь каждого сечения равна:
Соберем все сечения, мы получим объемное тело. А на сколько помним, с оединение, совокупность- это е сть интегрирование. Тогда объем тела вращения равен: Запишем формулу вычисления объема тела , полученного в ращением плоской фигуры вокруг оси ОХ:
Алгоритм вычисления объема тел вращения с помощью о пределенного интеграла: Построить графики всех заданных функций и определить плоскую фигуру. 2. Определить пределы интегрирования по оси ОХ. 3 . Вычислить объем с помощью формулы Примечание: изображать объемное тело в ходе решения н еобязательно . Главное построить плоскую фигуру.
Пример 1 Найти объем тела, полученного при вращении ф игуры, ограниченной графиками функций y=x, y=0, x=0, x=4, в округ оси ОХ. Решение: Построим график функции y=x - прямая х 0 4 у 0 4 Ответ: Если вращать заштрихованную фигуру, т о получим конус.
Пример 2 Найти объем тела, полученного при вращении ф игуры, ограниченной графиками функций y= , y=0, x=0, x=4, в округ оси ОХ. Построим графики y= , y=0, x=0, x=4 Решение: X=0 X=4 y =0 Ответ :
Пример 3 Найти объем тела, полученного при вращении ф игуры, ограниченной графиками функций y= , y=0, x=0, x=2, в округ оси ОХ. y=0 Решение: Построим графики y= , y=0, x=0, x=2 = Ответ: y= x=0 x=2 y =0
Пример 4 Найти объем тела, полученного при вращении ф игуры, ограниченной графиками функций y=2x+3, y=0, x=1, x=2, в округ оси ОХ. Решение: Построим графики y=2x+3, y=0, x=1, x=2 Ответ: y=2x+3 y=0 x=1 x=2
Пример 5 Решение: Ответ: Вернемся к ободу колеса Смоделируем боковую поверхность обода. Возьмем за кривую боковой поверхности параболу x= -2 x= 2 y =0 Фигура симметричная относительно оси ОУ, п оэтому можно интегрировать её половину, н о увеличив объем в 2 раза.
Подведем итоги! Сегодня изучили формулу вычисления объемов тел вращения р азличной поверхности с помощью о пределенного интеграла И конечно ни что так не закрепляет знания как САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА !
Так поспешим же выполнять её! Буду с нетерпением ждать Ваших работ!