В помощь учителю

Задача 1. Найдите все , при которых неравенство  выполняется для всех , удовлетворяющих условию .

Решение. .

Рассмотрим это неравенство как линейное относительно  с коэффициентами, зависящими от .

Обозначим .

Поскольку функция - линейная, то условие её отрицательности при  равносильно тому, что:

.

Ответ: 

Задача 1. При каких значениях  уравнение  имеет ровно один корень.

Решение. Заметим, что если  - корень уравнения, то и  тоже корень уравнения. Тогда для того чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы . Получим:

.

Проверим, что при найденных  других решений, кроме  нет, т.е. проверим достаточность условия.

.

Рассмотрим первое уравнение системы .

 при всех ,  при всех , следовательно:

.

Очевидно, что  удовлетворяет неравенству .

Таким образом, при   уравнение имеет единственное решение .

Ответ: .

Задача 1. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами m и n. Найдите стороны треугольника.

Указание. Составьте систему уравнений относительно катетов треугольника, учитывая, что указанная медиана равна половине гипотенузы.