Подготовка к ЕГЭ. Теория

Тема: «Текстовые задачи»

Основной теоретический справочник

Текстовые задачи условно можно разбить на следующие основные группы:

• задачи на части и проценты;
• задачи с целочисленными данными;
• задачи на движение;
• задачи на сплавы, растворы и смеси;
• задачи на работу.

Методы решения этих задач имеют много общего и одновременно некоторые специфические особенности

Алгоритм решения текстовых задач

• Ввод переменных, т.е. обозначение буквами x, y, z… величины, которые требуется найти по условию задачи.
• Перевод условий задачи на язык математических соотношений, т.е. составление уравнений, неравенств, введение ограничения.
• Решение уравнений или неравенств.
• Проверка полученных решений на выполнение условий задачи.

Указания к решению текстовых задач        

• Набор неизвестных должен быть достаточным для перевода условий задачи на язык математических соотношений. Как правило, за неизвестные следует принимать искомые величины.
• Выбрав неизвестные, в процессе перевода условий задачи в уравнения или неравенства необходимо использовать все данные и условия задачи.
• При составлении уравнений или неравенств необходимо исходить из требования о решении задачи в общем виде.
• В составленных уравнениях надо проверить размерность членов уравнений
• В процессе решения задачи, надо избегать результатов, противоречащих физическому смыслу.

1. «Задачи на части и проценты»

Теоретический справочник

Основные задачи на части и проценты:

• нахождение данной части числа;
• нахождение числа по заданной его части;
• нахождение процентного отношения двух чисел;
• нахождение наращенного капитала (сложные проценты) при заданной процентной ставке (т. е. процент прироста капитала);
• нахождение времени, в течение которого капитал возрастает

Задачи на части - основным понятием является часть числа. Если задана величина, а, то ее k-я. часть равна kа, где k> 0.

Задачи на проценты. При решении задач принимают такие допущения:  

• процент величины — одна сотая часть этой величины;  
• если число a составляет p% от числа b, то эти числа связаны равенством  или  ;
• если число a увеличено на p%, то оно увеличено в  раз, то получится число ;
• если уменьшено на q%, , то оно уменьшено в  раз, то получаются число  .

• При многократном начислении простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме и представляет собой каждый раз одну и ту же величину: , где  - исходная сумма,  - наращенная сумма,  - процентная ставка, выраженная в долях, n — число периодов начисления

• При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами:  при тех же обозначениях

Основные типы задач на проценты:

1. Сколько процентов составляет число A от числа B?

Решение: B           -        100%         Ответ: 

                 A                    -           x%

2.  Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на 25%. Как, в итоге, изменилось исходное число?

Решение:

1) A1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A        

2) A2 = (100% - 25%)A1=75%A1 = 0,75A1 = 0,75⋅1,2A = 0,9A = 90%A

3) A1 – A = 90%A – 100%A = -10%A                Ответ:        уменьшилось на 10%.

3. Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?

Решение:         Ответ:        уменьшится на 20%

4. Пусть даны два вещества A и B, с массами mA  и  mB. Их перемешали и получили смесь (сплав, раствор и т.п.). Найти процентное содержание вещества  xA  в данной смеси.

Решение:   mA  +  mB          -        100%     Ответ:         

                     mA                -        xA%

2. «Задачи на выполнение определенного объема работы»

Теоретический справочник

        При решении задач, связанных с выполнением определенного объема работ, используют следующие соотношения:

•  , где  - количество всей работы,  - время выполнения всего количества работы,  - производительность труда, т.е. количество работы, выполняемой в единицу времени.  
• Если весь объем работы, принятый за единицу, выполняется одним работником за , а вторым за   времени, то производительность труда при их совместной работы равна  и
• Задачи, связанные с выполнением определенной работы удобно решать, если занести исходные данные в таблицу:

После внесения данных, нужно составить уравнения, содержащие искомую величину, исходя из условий задачи.

3. «Задачи на движение»

Теоретический справочник

При решении задач на движение принимают такие допущения:

• движение считается равномерным, если нет специальных оговорок;
• изменение направления движения и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;
• скорость перемещения лодки по воде, при скорости течения реки  и собственной скорости движения  ,  выражается:

•  - при движении лодки по течению реки.
•  - при движении лодки против течения реки.

Основные соотношения

•   - скорость движущегося объекта прямо пропорциональна пути  и обратно пропорциональна времени .
•  - время, за которое два объекта движущиеся навстречу друг другу со скоростью соответственно  и  преодолевают начальное расстояние .
• - время, за которое два объекта движущиеся в одном направлении со скоростью соответственно  и  () преодолевают начальное расстояние между ними, равное  и первый объект догонит второго.

• Задачи, связанные с движением двух тел удобно решать, если занести исходные данные в таблицу:

        После внесения данных, нужно составить уравнения, содержащие искомую величину, исходя из условий задачи.

4.  «Задачи на сплавы, растворы и смеси»

Теоретический справочник

      При решении задач этого типа используются следующие допущения:

• все полученные сплавы, растворы, смеси считаются однородными;
• при соединении растворов и сплавов не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонентов;
• считают, что литр как мера вместимости сосуда равен литру как меры количества жидкости;
• если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то выполняются равенства:

• V = V1 + V2 — сохраняется объем;
• т = т1 + т2 — сохраняется масса.

• если первый сплав состоит из нескольких компонентов, например, из А, В, С, а второй - из компонентов В, С, D, то «новый» сплав, полученный при соединении этих двух сплавов, будет содержать компоненты А, В, С, D, причем массы этих компонентов в «новом» сплаве равны сумме масс каждого из компонентов, входящих в первый и второй сплавы

        Очень часто в задачах на смеси и сплавы используются понятия объемной концентрации и массовой концентрации компонентов, составляющих раствор или сплав. Объемная (массовая) концентрация есть число, показывающее, какую долю всего объема (массы) составляет данный компонент.

        Если сплав (раствор, смесь) имеет массу  и состоит из веществ , массы которых соответственно , то величины  называют концентрацией веществ , а величины  – процентным содержанием веществ. При этом справедливо равенство .

        Например, если имеется 40%-ный раствор соли, то в этом растворе 0,4 объема занимает «чистая» соль. Значит, объемная концентрация соли в растворе равна 0,4. Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4: 7, то  массы всего этого сплава составляет свинец, а  - медь, т. е., массовые концентрации свинца и меди в сплаве соответственно равны  и .

Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси:

• Изучить условия задачи. Выбрать неизвестные величины (их обозначают буквами х, у и т.д.), относительно которых составить пропорции, этим, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.
• Используя условия задачи, определить все взаимосвязи между данными величинами.
• Составить математическую модель задачи и решить ее.
• Изучить полученное решение, провести критический анализ результата.

        При решении задач на смеси часто путают проценты и доли, раствор и растворенное вещество. Необходимо помнить, что массовая доля находится делением значения процентной концентрации на 100%, а масса растворенного вещества :  равна произведению массы раствора :   на массовую долю:

        В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы, иллюстративные рисунки или вспомогательные таблицы.

Например, в каких пропорциях нужно смешать, а%-й и b%-й растворы кислоты (a с%-й раствор?

Решение. Возьмем х г а%-го раствора и у г b%-го раствора кислоты. Составим таблицу:

Составим и решим уравнение: 0,01ах + 0,01by = 0,01c (x + y)  (b – с) у = (с – а) х 

  x: у = (b – с): (с – а).

Воспользуемся диагональной схемой:

5.Тема: «Прогрессии»

«Арифметическая прогрессия»

Теоретический справочник

Определение: Последовательность , у которой задан первый член a1, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией: an+1 = an + d, где d - разность прогрессии.

• Если d> 0, то прогрессия является возрастающей. Если d <0, то прогрессия является убывающей.
• Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов.

Формулы арифметической прогрессии:

• an = a1 + d (n - 1) - формула n-го члена арифметической прогрессии;
• 2an = an - 1 + an + 1 - характеристическое свойство арифметической прогрессии для трех последовательных чисел;
• 2an = an - k + an + k,  - характеристическое свойство арифметической прогрессии двух равноотстоящих от третьего члена прогрессии;
• an = ak + d (n - k) - формула нахождения n-го члена арифметической прогрессии через k -ый член прогрессии;
• an + am = ak + al, - характеристическое свойство арифметической прогрессии для четырех произвольных чисел, если n + m = k + l.

Сумма n членов арифметической прогрессии:

6.«Геометрическая прогрессия»

Теоретический справочник

Определение. Последовательность , у которой задан первый член , а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число , называется геометрической прогрессией: , где q - знаменатель прогрессии

• Если |q|> 1, то прогрессия называется возрастающей. Если |q| <1, то прогрессия называется убывающей.
• Геометрическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов.
• Пусть (хп) — геометрическая прогрессия со знаменателем q, где | q | <1 и q≠0.   Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию | q| <1, называется предел суммы n первых ее членов при n→∞.

Формулы геометрической прогрессии

• bn = b1  qn−1 - формула n-го члена геометрической прогрессии. 
•  - произведения равноотстоящих членов от серединного равны.
• bn = bk  qn−k - формула n-го члена геометрической прогрессии через k-й член прогрессии.
• b2n = bn−1 bn+1 - характеристическое свойство геометрической прогрессии для трех последовательных чисел.
• bn  bm = bk  bl - характеристическое свойство геометрической прогрессии для четырех чисел, если n + m = k + l 

Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии 

Тема: «Неравенства»

Содержание:                                                                                                          стр.

1. Общий теоретический справочник  …………………………………..  1
2. «Алгебраические неравенства» ………………………………………..  2
3. «Неравенства с модулем» ………………………………………………  5
4. «Иррациональные неравенства» ……………………………………… 7
5. «Показательные и логарифмические неравенства» ………………… 9
6. «Уравнения и неравенства смешанного типа»  ……………………… 12

Общий теоретический справочник

Определение: Неравенством с переменной называется выражение вида:        

                             f(x) < g(x),   f(x) ≤ g(x),    f(x) > g(x) ,  f(x) ≥ g(x)     

Замечания. 

• Допустимые значения неизвестных (ОДЗ) неравенства не обязательно удовлетворяют неравенству, но решения неравенства обязательно входят в ОДЗ.
• Преобразование входящих в неравенства выражений, не должно сужать ОДЗ, так как могут быть потеряны решения неравенств.
• Преобразование входящих в неравенства выражений, не должно расширять ОДЗ, так как могут быть приобретены лишние решения неравенств. В случае расширения ОДЗ надо сразу вводить необходимые ограничения на неизвестную величину.

Решение неравенств

Решение неравенств основано на теоремах равносильности неравенств:

1. Если выражение h(x) имеет смысл в ОДЗ неизвестных, входящих в неравенство

      f(x) > g(x), то при всех ОДЗ:

• при прибавлении или вычитании выражения h(x) к обеим частям неравенства знак неравенства не изменится, т.е. ;
• при умножении частей неравенства на выражение h(x)>0 знак неравенства не изменится, т.е.  ;
• при умножении частей неравенства на выражение h(x) <0 знак неравенства меняется на противоположный, т.е.  .

2. В ОДЗ неизвестных, входящих в неравенство , обе части неравенства можно

      возводить:

• в нечетную степень во всей ОДЗ неизвестных, т.е.                                                                ;
• в четную степень на той части ОДЗ неизвестных, где обе части неравенства положительные, т.е.

     , ОДЗ =.

3. Дробно-рациональное неравенство  равносильно рациональному неравенству

      при условии, что , т.е.

      , ОДЗ =.

Занятие: «Алгебраические неравенства»

Теоретический справочник

Определение.  Неравенство вида , , ,  называют алгебраическим неравенством с переменной, где - многочлен.

        Решение алгебраического неравенства состоит в исследовании знака многочлена на ОДЗ неизвестных, разложив многочлен на множители канонического вида, т.е.

, где  - корни одночленов, - трехчлены с отрицательным дискриминантами, s, t – соответственно кратность корней одночленов и трехчленов. Так как дискриминант трехчлена   D <0, то   во всей ОДЗ неизвестных и поэтому исследовать надо только произведение одночленов вида , используя метод интервалов.

Метод интервалов:        

                                                ⇒ 

                                                        ⇒ 

Линейные неравенства:        

Квадратные неравенства:        

1.                Дискриминант:  .  

• Если D <0 ⇒  x ∈ ∅,         
• Если D = 0 ⇒  ,         
• если D> 0 ⇒  ,  где  

2.                 Дискриминант:  

• Если D <0 ⇒  x ∈ ,         
• Если D = 0 ⇒  ,                 
• Если D> 0 ⇒   ,  где  

Рациональные неравенства:        

Образцы решения заданий по теме «Алгебраические неравенства».

Задание №1. Решить неравенство  

Образец решения:  . Квадратичная функция пересекает ось OX в точках с координатами -6 и 1, при этом ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства  будет часть оси OX под которой расположена часть параболы, т.е.

Ответ: .

Для решения используем следующие знания:

• Теорема равносильности неравенств: , если h(x)<0.
• Решение квадратного уравнения.
• Свойство квадратичной функции.
• Свойства решения квадратичного неравенства: .

Задание №2. Решить неравенство

Образец решения: Решим методом интервалов:  

Разложим на множители .

Решим уравнение    и найдем его корни:.

Отметим на числовой оси корни уравнения в порядке возрастания и расставим знаки на интервалах, начиная от крайнего правого.

Ответ: .

Для решения используем следующие знания:

• Формулы сокращенного умножения.
• Равносильность уравнений:  

• Решение неравенств методом интервалов.

Задание №3. Решить неравенство

Образец решения:

.

Решим методом интервалов.

Пусть

Корни выражения . Точки разрыва выражения: , .

Отметим на числовой оси корни уравнения в порядке возрастания и расставим знаки на интервалах, начиная от крайнего правого.

Ответ: .

Для решения используем следующие знания:

• Стандартный вид одночлена.
• Равносильность неравенства:   
• Равносильность уравнения:  

• Алгоритм метода интервалов.

Замечание

Занятие: «Неравенства с модулем»

Теоретический справочник

        Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Только, решая неравенства с модулем (как, впрочем, и неравенства вообще), нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся.

        Стандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки, границами этих промежутков являются нули подмодульных выражений, а затем неравенство решается на каждом из промежутков.

        Этот метод работает всегда. Нужно понимать, что раскрытие модуля по определению неизменно приводит к цели. Конечно же, этот метод не является оптимальным: в условиях ЕГЭ, где важен не только результат, но и то время, которое потрачено на его получение.

Рассмотрим методы, не связанные с поиском нулей функций, стоящих под знаком модуля.

Решение неравенств с модулем:

• , где .
• , где .
• 
• 
• .
• 
• 

Неравенства вида , содержащие алгебраическую сумму двух и более модулей, решают методом промежутков, который был рассмотрен при решении уравнений с модулем:

• разобьем числовую ось точками, в которых обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля.
• Выбирая на этих промежутках контрольные точки, проверяем, удовлетворяется ли на них заданное неравенство или нет.
• Ответом к задаче служит объединение промежутков, где выполняется данное неравенство.

Примеры заданий неравенств с модулем и достаточные знания, необходимые для решения этих заданий.

Примерное задание. Решить неравенство  

Решение:  . Квадратичная функция  пересекает ось OX в точках с координатами -2 и 0, при этом ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства  будет часть оси OX над которой расположена часть параболы, т.е.

Ответ:

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

• Свойство равносильности неравенств:

 .

• Решение неполного квадратного уравнения.
• Свойство квадратичной функции.
• Свойства решения квадратичного неравенства: .

Занятие: «Иррациональные неравенства»

Теоретический справочник

        Решение иррациональных неравенств сводится к решению равносильных неравенств, при этом:

• иррациональное неравенство с корнями четной степени вида равносильно неравенству , если , т.е.
• иррациональное неравенство с корнями четной степени вида равносильно совокупности систем неравенств:  и  
• иррациональное неравенство с корнями нечетной степени вида равносильно неравенству .
• иррациональное неравенство с корнями нечетной степени вида равносильно неравенству .

Основные свойства:

•  
• 
• 
• 
• 
•  в ОДЗ 
• 
• 

Примеры заданий иррациональных неравенств и достаточные знания, необходимые для решения этих заданий.

Примерное задание. Решить неравенство

Решение: Пусть , тогда  и    . Решая последнее неравенство, получим решение . Вернемся к замене

Ответ:

Для решения используем последовательно следующие знания:

• Методы решения неравенств: замена переменной.
• Свойство степени арифметического  корня: .
• Свойство равносильности иррациональных уравнений: .

• Решение полного квадратного уравнения.
• Свойство квадратичной функции.
• Свойства решения квадратичного неравенства: .
• Равносильность неравенства :
• Равносильность неравенства :

Занятие: «Показательные и логарифмические неравенства»

Теоретический справочник

1. При решении неравенства вида af(x) > ag(x)  следует помнить, что показательная функция

y = ax возрастает при a> 1 и убывает при 0 af(x) − ag(x). 

        Итак, выясним, что следует из того, что af(x) − ag(x)> 0.

• Если a> 1, то f (x)> g (x), а это значит, что (a – 1) (f (x) – g (x))> 0.
• Если 0 f (x) x), и опять (a – 1) (f (x) – g (x))> 0.

        Верно и обратное. Если (a – 1) (f (x) – g (x))> 0, то при a> 1 имеем f (x)> g (x), то есть af(x)> ag(x), а при 0 f (x)  (x), то есть af(x)> ag(x).

Таким образом, знак разности af(x) − ag(x) совпадает со знаком выражения (a – 1) (f (x) – g (x)). А это как раз обозначает, что получено условие равносильности:

                        af(x) > ag(x)  (a – 1) (f (x) – g (x)) > 0.

2. Рассмотрим теперь неравенство logaf(x)> 0 (<0)  a > 0   и найдем соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства: f (x)> 0.

• Если a> 1, то logaf(x)> 0(<0) тогда и только тогда, когда f (x)> 1 в ОДЗ (f (x) <1), то есть (a – 1) (f (x) – 1)> 0 (<0).
• Если 0 x)> 0(<0) тогда и только тогда, когда f (x) <1 в ОДЗ (f (x)> 1), то есть опять (a – 1) (f (x) – 1)> 0 (<0).

Верно и обратное, если (a – 1) (f (x) – 1)> 0 (<0), то при a> 1 имеем f (x)> 1 в ОДЗ (f (x) <1), а при 0 f (x) <1 в ОДЗ (f (x)> 1).

        Таким образом, получаем следующие условия равносильности:

Знак   logaf(x) совпадает со знаком выражения (a - 1) (f(x) - 1) в ОДЗ (f (x)> 0).

3. При решении неравенства вида logaf(x)> logag(x) следует помнить, что логарифмическая функция y = logax возрастает при   a> 1 и убывает при 0 logaf(x)> logag(x), где a> 0 a 1, ОДЗ этого неравенства:  

Свойства неравенств:

• Если a> 1 и n> 1 или   0an > 1.         
• Если a> 1 и 0n> 1, то   an <1.
• Если a> 1 и  af(x) < ag(x)      f(x) < g(x).         
• Если 0 <1 и  af(x) < ag(x)     f(x) > g(x). 

Примеры заданий показательных неравенств и достаточные знания, необходимые для решения этих заданий.

Примерное задание. Решить неравенство  

Решение:  т.к. , то можно разделить на  обе части неравенства , получим  . Пусть , тогда получим систему . Решая уравнение  получим корни  . Решением системы будет . Вернемся к замене  и решим систему

Ответ:

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

• Свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: .
• Свойство степени, основанием которой является степень: .
• Свойство степени произведения положительных чисел: .
• Свойство равносильности неравенств  и :
• Свойство частного степеней с одинаковыми показателями степени:
• Основное свойство дроби: .
• Свойство степени с нулевым показателем: .
• Свойство степени с отрицательным показателем: .
• Свойство равносильности показательных неравенств :
• Свойство равносильности показательных неравенств :

Примеры заданий логарифмических неравенств и достаточные знания, необходимые для решения этих заданий.

Примерное задание. Решите неравенство

Решение: .

Ответ:  .

Для решения используем последовательно следующие знания:

• Свойство логарифма числа : .

• Свойство степени с нулевым показателем: .

• Свойство равносильности логарифмических неравенств :

• Свойство равносильности логарифмических неравенств :

• Свойство равносильности логарифмических неравенств :        .

Занятие: «Уравнения и неравенства смешанного типа»

Теоретический справочник

        Определение. Уравнение или неравенство, в которых, наряду с элементарными функциями, содержатся радикалы, модули и другие функции от неизвестного называются комбинированными или смешанного типа.

        Рассмотрим уравнения и неравенства смешанного типа. При решении этих уравнений и неравенств приходится применять комбинации различных приёмов. Решение уравнений или неравенств требует, как правило, некоторых преобразований, после которых оно сведется к простейшему уравнению или неравенству. При проведении преобразований мы изменяем внешний вид уравнения или неравенства (упрощаем уравнение), но при этом можем изменить множество его решений, так как проводим, как правило, неравносильные преобразования.

        Изменение множества решений исходного уравнения или неравенства может происходить по двум причинам:

• проводимые с уравнением действия (умножение на функцию, деление, прибавление – вычитание функции, возведение в степень и другие преобразования);
• изменение ОДЗ исходного уравнения за счёт использования в преобразовании новой функции с другой ОДЗ. Здесь возможно, как приобретение корней за счёт расширения ОДЗ, так и потеря корней за счёт сужения ОДЗ исходного уравнения.

        Уравнение или неравенство после преобразований, конечно, может оказаться равносильным. Дать общие рекомендации здесь трудно, нужно в каждом конкретном случае следить за тем, чтобы не потерять корни и не приобрести посторонние решения.

        Уравнения и неравенства смешанного типа иногда проще решать, рассматривая правую и левую части, как функции.

        Пусть задано уравнение f(x) = g(x), где f и g – некоторые функции. Его решениями называются все числа xi , подстановка которых в уравнение превращает его в верное равенство. Построим на координатной плоскости графики функций y = f(x) и y = g(x). Тогда можно сказать, что решением уравнения f(x) = g(x) будет совокупность абсцисс {xi} всех точек пересечения графиков этих функций. В частности, решением уравнения
f (x) = 0 будут все нули функции f (точки пересечения графика функции с осью абсцисс). Если графики функций не пересекаются, то это означает, что задающее эти графики уравнение решений не имеет.

        Пусть задано неравенство f(x)> g(x). Его решением является совокупность всех точек числовой оси, удовлетворяющих данному неравенству. Построим графики функций y = f(x) и y = g(x) в одной координатной плоскости. Геометрически решениями неравенства будут абсциссы всех точек графика y = f(x), лежащих выше соответствующих точек графика y = g(x) на пересечении областей определения функций f и g. Если весь график y = f(x) находится под графиком y = g(x), то неравенство решений не имеет.

        Решением нестрогого неравенства f(x)  g(x) будут все точки графика y = f(x), лежащие на самом графике y = g(x) или ниже его. Геометрической интерпретацией решения неравенства f(x)  g(x) будут абсциссы всех точек графика y = f(x), лежащих ниже соответствующих точек графика y = g(x) на пересечении областей определения функций f и g, а также абсциссы всех точек пересечения графиков y = f(x) и y = g(x).

Образцы решения заданий по теме «Уравнения и неравенства смешанного типа».

Задание №1. Решить неравенство

Образец решения: Так как , то .  Используя схему , получим    . Используя замену , О.Д.З.: для множителя  ,   получим  .

Решим неравенство  методом интервалов.

Пусть

Корни выражения .    Нанесем все на числовую ось:  

Ответ: .

Для решения используем следующие знания:

• Определение модуля: .
• Равносильность модульного неравенства: .
• Метод замены функции: , О.Д.З.:.
• Обобщенный метод интервалов.
• Равносильность уравнения:   

Задание №2. Решить неравенство  

Образец решения: О.Д.З.:.

.

Ответ: 

Для решения используем следующие знания:

• Метод замены функции: схема замен функций , О.Д.З.:
• Метод замены функции: функции: схема замен функций: .
• Формулы сокращенного умножения.
• Решение неравенств методом интервалов.

Задание №3. Решить неравенство

Образец решения: Рассмотрим функцию . , так как .

В области допустимых значений функции   применим метод замены функции и решим неравенство методом интервалов.

 .

. Решим последнее неравенство методом интервалов и с учетом , получим ответ .

Ответ:

Для решения используем следующие знания:

• ОДЗ(f) алгебраических выражений: .

• Свойства логарифма числа 1: .

• Решение неравенств методом интервалов.
• Решение полного квадратного уравнения.
• Решение квадратичного неравенства: .
• Равносильность неравенства:  .
• Метод замены функции: функции: схема замен функций , О.Д.З.:

Задание №4. Решить неравенство

Образец решения: Пусть , где  ,

 . Применим обобщенный метод интервалов:

1. .      

    .

2.=    

    .

3.

4. Определим знак  на промежутке :

 и   

Ответ: .

Для решения используем следующие знания:

• ОДЗ(f) алгебраических выражений:
• ОДЗ(f) алгебраических выражений: .
• Свойство корня четной степени :  
• Свойство степени an c натуральным показателем: .

Задание №5. Решить неравенство

Образец решения: Рассмотрим функцию .

Воспользуемся методом замены функции (схема замены из главы 3. нашего исследования). Применим схему , О.Д.З.:

В области допустимых значений функции   применим метод замены функции и решим неравенство методом интервалов.

Найдем нули функции  

Решим последнее неравенство методом интервалов и с учетом  и ,

получим ответ .

Ответ: .

Для решения используем следующие знания:

• Метод замены функции: функции: схема замен функций: , О.Д.З.:
• ОДЗ(f) алгебраических выражений: .
• ОДЗ(f) алгебраических выражений: , О.Д.З.:.
• 
• Равносильность неравенства:  

                         Тема №4: «Выражения и преобразования» . Теория

Практика: http://uztest.ru/ - ЕГЭ по математике, подготовка к тестированию по математике

Содержание                                                                                                             стр.

1.  «Преобразование степеней и дробно-иррациональных

 выражений» ………………………………………………………………..  1

2. «Преобразование тригонометрических выражений»  ………………..  5
3. «Преобразование логарифмических выражений» …………………….  8

Теоретический справочник

        Алгебраическое выражение F(x,y) – формула, содержащая числа, буквенные переменные, скобки а также знаки математических действий: сложения, вычитания, деления, извлечения корня, возведения в степень, логарифмирования.

        Если в выражении имеются только числа, оно называется числовым, если же и буквенные переменные, то выражение с переменными. Значения аргументов, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями. Множество всех допустимых значений аргументов выражения называют его областью допустимых значений и обозначают ОДЗ(F).

        При определении области допустимых значений ОДЗ(F) исключают те значения аргументов, при которых:

• хотя бы один из имеющихся в выражении знаменателей обращается в нуль;
• выражение под корнем четной степени отрицательно;
• выражение под знаком логарифма отрицательно или основание логарифма равно 0 или 1;
• модуль аргумента выражения с обратными тригонометрическими функциями arcsinx, arccosx больше 1;
• тангенс и котангенс не определены;
• выражение в отрицательной нецелой степени не больше 0;
• не удовлетворяются условия задачи.

Можно области допустимых значений алгебраических выражений ОДЗ(F) описать так:

        Корнем  выражения F(x) называют такое значение аргумента , при котором числовое значение этого выражения F () будет равняться 0. Нахождение корней выражения   F (x) сводится к решению уравнения   F (x) = 0 относительно неизвестной x.

        Модуль числа  равен самому числу, если оно неотрицательно, либо противоположному числу, если оно отрицательно, т. е.

        Выражение ar называется рациональной степенью числа a, если .

        Арифметический корень целочисленной четной степени n из числа a определяется как некоторое неотрицательное число b, ,  n-ая степень которого равна a. Причем:

• при целом и четном значении n:
• при целом нечетном значении n:

        Иррациональное число представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь. Сравнить иррациональные числа можно:

• сравнивая их после освобождения от иррациональности;
• выстраивая цепочку неравенств с заменых иррациональных чисел их оценками;
• сведя к очевидному неравенству, при сравнении разнородных чисел.

        Тождественно равными называют два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных.

        Тождественные преобразования многочленов и дробно-рациональных выражений:

• приведение подобных слагаемых;
• сокращение дробей;
• разложение разности степеней на произведение суммы и разности меньшей степени;
• разложение суммы и разности на сумму (разность) первых степеней;
• возведение в степень суммы и разности;
• разложение многочлена на множители с использованием его корней;
• выделение полного квадрата из трехчлена;
• понижение порядка многочлена путем замены аргумента.

Нестандартные преобразования.

• Использование формулы:  

      Пример:

• Использование формулы сокращенного умножения:

Пример:

(1 + b) (1 + b2) (1 + b4) (1 + b8) (1 + b16) = (1 – b) (1 + b) (1 + b2) (1 + b4) (1 + b8) (1 + b16): (1 – b) = (1 – b32): (1 – b)

• Метод неопределенных коэффициентов:

Пример: найти коэффициенты a и b из тождества: 

      Решение:

Основные формулы

Примеры заданий на преобразование степеней и достаточные знания свойств, необходимые для решения этих заданий.

 Примерное задание. Найдите значение выражения  

Решение: 

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

• Свойство степени  с дробным показателем: ;
• Свойство степени a n c натуральным показателем:
• Свойство арифметического корня  с четным показателем степени: ;
• Свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: ;
• Свойство модуля числа:

Примеры заданий на преобразование дробно-иррациональных выражений и достаточные знания, необходимые для решения этих заданий.

Примерное задание. Упростите выражение  

Решение: 

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

• Свойство степени   с основанием степени : .
• Формулы разложения на множители кубического двучлена : .
• Основное свойство дроби  : .

Занятие: «Преобразование тригонометрических выражений»

Теоретический справочник

Углы на тригонометрической окружности:

Обратные тригонометрические функции:

Тригонометрические формулы

Схема-конспект по теме «Формулы приведения».

Примеры заданий на преобразование тригонометрических выражений и достаточные знания, необходимые для решения этих заданий.

Примерное задание. Упростите выражение  

Решение

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

• Формулы косинуса суммы двух углов  и : .
• Одна из формул приведения : .

Занятие: «Преобразование логарифмических выражений»

Теоретический справочник

Преобразование и сравнения логарифмических выражений:

• Выразить  через :        

• Сравнения:                                 

Примеры заданий на преобразование логарифмических выражений и достаточные знания свойств, необходимые для решения этих заданий.

Примерное задание. Вычислите  

Решение. 

Для решения используем последовательно знания следующих свойств:

• Свойства произведения  числа  и логарифма : .
• Свойства суммы  логарифмов с одинаковыми основаниями: .
• Свойства логарифма числа 1: .

Правила комбинаторики

Перестановки без повторений  

Перестановки с повторениями  

Размещения

1. Размещения без повторений

2. Размещения с повторениями  

Сочетания

1. Сочетания без повторений  

2. Сочетания с повторениями

Бином Ньютона

Вероятность

Статистика

Паспорт данных состоит из набора числовых характеристик:

размах (размах – это разность между максимальной и минимальной вариантами);

мода (мода – это та варианта, которая встречалась чаще других, та, у которой больше кратность);

медиана (после упорядочения по возрастанию медиана – это варианта, стоящая в середине, если вариант нечётное количество, и среднее арифметическое двух средних вариант, если вариант чётное количество);

среднее значение (среднее арифметическое значений вариант).

Например:

В 2009-2010 учебном году девятиклассники нашей школы сдали по 4 выпускных экзамена, набрав в сумме такие количества баллов: 20, 19, 12, 13, 16, 17, 17, 14, 16, 14, 13, 19, 18, 16, 14.   Обработайте эти данные.

С помощью упорядоченного ряда данных: 12, 13, 13, 14, 14, 14, 16, 16, 16,17, 17, 18, 19, 19, 20.

Размах: R = 20 – 12 = 8. Мода: Мо1 = 14, Мо2 = 16.  Медиана: Ме = 16.

Среднее: (12+13+13+14+14+14+16+16+16+17+17+18+19+19+20) /15 ≈ 15,9.

Прогрессии

Конспект для решения экономических задач

Критерии проверки задачи №17