Инновационная деятельность

«ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА»Автор работы:учитель математики ГАПОУ МОК им. В. ТалалихинаЧопурян Нарине Макичевна
Цель работы:
исследовать свойства некоторых замечательных точек и линий треугольника использование презентации для подготовки ОГЭ и ЕГЭиспользование презентации в програм-мах дополнительного образования
Основные вопросы:
В чем особенность каждой из этих точек?Как их построить?Где и как можно применить свойства замечательных точек треугольника?
Задачи:
проанализировать справочную литературу по данной теме определить алгоритм построения каждой точки и линииизучить программу «Живая математика»подобрать задачи по данной теме



ЗАДАЧАТри соседа мужика( Фёдор, Яков и Лука )Чтоб всегда с водою житьСтали свой колодец рыть.Но Лука вдруг говорит:«Ведь момент один забыт!Нужно длины всех дорогОт колодца на порогСделать равными друзьяДопускать обид нельзя».Можно ль это сделать им?И, смекни, путём каким.
Решение:
Замечательные линии и точки треугольника
Содержание:
Из истории треугольникаИз истории замечательных точек треугольникаОсновные элементы треугольникаБиссектриса Медиана ВысотаСерединный перпендикулярБарицентр (точка пересечения медиан)Ортоцентр (точка пересечения высот)Центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис)Центр описанной окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров)Прямая ЭйлераОкружность 9-ти точекПрямая Симсона
ИЗ ИСТОРИИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Крупнейший древнегреческий историк Геродот (V век до н. э.) оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. По Геродоту, с этого и началась геометрия – "землемерие" (от греческого "гео" – "земля" и "метрео" – "измеряю").        Древние землемеры выполняли геометрические построения, измеряли длины и площади; астрологи рассчитывали расположение небесных светил – все это требовало весьма обширных познаний о свойствах плоских и пространственных фигур, и в первую очередь о треугольнике.        
ИЗ ИСТОРИИ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ТОЧЕК ТРЕУГОЛЬНИКА
В четвертой книге "Начал" Евклид решает задачу: "Вписать круг в данный треугольник". Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга.Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника.        На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века они были названы "замечательными" или "особенными" точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – "геометрии треугольника" или "новой геометрии треугольника", одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер.        
Вершина
Сторона
1
2
3
4
Внутренний угол
Внешний угол
Основные элементы треугольника
Медиана
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для построения медианы необходимо : 1) найти середину стороны; 2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком
В
А
С
К
Биссектриса
Биссектриса угла - это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части. Для построения биссектрисы необходимо:1) построить биссектрису угла треугольника 2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной3) соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком
А
В
С
D
Высота
Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Для построения высоты необходимо: 1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника; 2)из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, опустить перпендикуляр к ней
А
В
С
К
Серединный перпендикуляр
Серединный перпендикуляр — прямая перпендикулярная к данному отрезку и проведённая через его середину
А
В
С
Барицентр (точка пересечения медиан)
А
В
С
М
К
D
S1=S2=S3=S4=S5=S6
S1
S2
S3
S6
S4
S5
O
AO:OM= 2:1ВО:ОК = 2:1СО:ОD = 2:1
Центроид
(барицентр)
Ортоцентр(точка пересечения высот)
A
A
A
B
B
B
C
C
C
Е
D
F
O
Ортоцентр
Ортоцентр
O
N
K
M
D
Центр вписанной окружности(точка пересечения биссектрис)
A
B
C
O
F
D
E
AB:AC=BE:EC
Центр описанной окружности(точка пересечения серединных перпендикуляров)
A
C
B
O
A
C
B
O
M
N
K
M
K
A
B
C
M
K
N
O
Остроугольный
Тупоугольный
Прямоугольный
Прямая Эйлера
В
H
O
A
C
OM:MH=1:2
M
Во всяком треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой – эта прямая называется прямой Эйлера.
Окружность 9-ти точек
1
2
4
5
6
В
7
8
9
H
F
O
A
C
OF=FH
3
Окружность девяти точек получила такого название из-за следующей теоремы:Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.
ПРЯМАЯ СИМСОНА
Основания перпендикуляров В, С и D, опущенных из точки А описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой – прямой Симсона.
D
В
С
A
Результат работы:
Справочно-информационное пособие «Замечательные точки и линии треугольника»Интерактивные модели замечательных точек и линий треугольника