В помощь ученику

К зачету по геометрии за курс 8 класса

Определения:

1. Параллелограмм, его свойства и признаки
2. Трапеция, равнобедренная трапеция, прямоугольная трапеция
3. Прямоугольник, его свойства
4. Ромб и квадрат, их свойства
5. Определение подобных треугольников
6. Признаки подобия треугольников
7. Средняя линия треугольника
8. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике (2 свойства)
9. Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника
10. Касательная к окружности
11. Центральный и вписанный углы
12. Четыре замечательные точки треугольника
13. Вписанная окружность
14. Описанная окружность
15. Теорема Пифагора

Знать формулы:

1. Площади параллелограмма
2. Площади трапеции
3. Площадь прямоугольника
4. Площадь ромба
5. Площадь квадрата
6. Площадь треугольника
7. Площадь трапеции
8. Теорема Пифагора
9. Теорема об отношении площадей двух подобных треугольников
10. Формула для вычисления средней линии треугольника
11. Синус, косинус, тангенс углов 30,45,60 градусов
12. Основные формулы, выражающие соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Выучить теоремы с доказательством:

1. Площадь прямоугольника
2. Площадь параллелограмма
3. Площадь треугольника
4. Площадь трапеции
5. Теорема Пифагора
6. Один из признаков подобия треугольников
7. Теорема о средней линии треугольников
8. Теорема о пересечении хорд окружности
9. Свойства  биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку

Решить задачи:

1. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите

2. Площадь прямоугольного треугольника равна 16. Один из его катетов равен 4. Найдите другой катет.

3. Площадь треугольника ABC равна 4. DE  — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE

4. В треугольнике угол равен , внешний угол при вершине равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

5. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9.

6. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, а отношение соседних сторон равно 1:2.

7. Две стороны параллелограмма относятся как , а периметр его равен 70. Найдите большую сторону параллелограмма.

8. Основания трапеции равны 1 и 3, высота — 1. Найдите площадь трапеции

9.  Основание трапеции равно 13, высота равна 5, а площадь равна 50. Найдите второе основание трапеции.

10. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

11.

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.

12.

В окружности с центром и  – диаметры. Центральный угол равен . Найдите вписанный угол . Ответ дайте в градусах.

13. Угол равен , где – центр окружности. Его сторона касается окружности. Найдите величину меньшей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

14. В треугольнике , , . Найдите .

15. В треугольнике . Найдите высоту .

16. В треугольнике угол равен , угол равен . На продолжении стороны отложен отрезок . Найдите угол треугольника . Ответ дайте в градусах.

17. Меньшая сторона прямоугольника равна 6, диагонали пересекаются под углом . Найдите диагонали прямоугольника.

Билеты к зачету по геометрии

8 класс, 2013-2014 уч. год

Билет 1

1. Параллелограмм, его свойства и признаки
2. Доказать теорему Пифагора

            3.   Площадь треугольника ABC равна 4. DE  — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE

Билет 2

1. Трапеция, равнобедренная трапеция, прямоугольная трапеция
2. Один из признаков подобия треугольников
3. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите

Билет 3

1. Прямоугольник, его свойства
2. Свойства  биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку

            3.  Основания трапеции равны 1 и 3, высота — 1. Найдите площадь трапеции.

Билет 4

1. Ромб и квадрат, их свойства
2. Теорема о пересечении хорд окружности
3. В треугольнике угол равен , внешний угол при вершине равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Билет 5

1. Определение подобных треугольников
2. Теорема о площади параллелограмма

            3.   Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, а отношение соседних сторон равно 1:2.

Билет 6

1. Признаки подобия треугольников
2. Доказать теорему о площади прямоугольника

            3.  Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Билет 7

1. Средняя линия треугольника
2. Доказать теорему о площади трапеции

            3. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.

Билет 8

1. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике (2 свойства)
2. Доказать теорему о площади треугольника

          В окружности с центром      АС и  – диаметры. Центральный угол равен . Найдите вписанный угол . Ответ дайте в градусах.

Билет 9

1. Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника
2. Теорема о средней линии треугольников

            3.    Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9.

Билет 10

1. Касательная к окружности
2. Один из признаков подобия треугольников
3. Две стороны параллелограмма относятся как , а периметр его равен 70. Найдите большую сторону параллелограмма.

Билет 11

1. Центральный и вписанный углы
2. Доказать теорему о площади параллелограмма
3. Угол равен , где – центр окружности. Его сторона касается окружности. Найдите величину меньшей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах

Билет 12

1. Четыре замечательные точки треугольника
2. Доказать теорему о площади треугольника
3. Меньшая сторона прямоугольника равна 6, диагонали пересекаются под углом . Найдите диагонали прямоугольника.

Билет 13

1. Вписанная окружность
2. Свойства  биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку
3. Площадь прямоугольного треугольника равна 16. Один из его катетов равен 4. Найдите другой катет.

Билет 14

1. Описанная окружность
2. Теорема Пифагора

.           3. В треугольнике , , . Найдите .

Билет 15

1. Теорема Пифагора
2. Теорема о пересечении хорд окружности
3. Основание трапеции равно 13, высота равна 5, а площадь равна 50. Найдите второе основание трапеции

Билет 16

1. Определение подобных треугольников
2. Площадь прямоугольника
3. В треугольнике угол равен , угол равен . На продолжении стороны отложен отрезок . Найдите угол треугольника . Ответ дайте в градусах.

Билет 17

1. Трапеция, равнобедренная трапеция, прямоугольная трапеция
2. Один из признаков подобия треугольников
3. В треугольнике . Найдите высоту .

Составьте  числовое выражение для решения задачи и найдите значение числового выражения.

Карточка №1

1. Чтобы вывезти урожай овощей, одному хозяйству требуется 87 грузовиков, а другому 63. Сколько килограммов овощей выращено в обоих хозяйствах, если грузоподъемность одного грузовика 2500 кг?
2. В построенном доме 36 одинаковых трехкомнатных и 24 одинаковые двухкомнатные квартиры. Общая площадь этих квартир 3720 . Площадь одной трехкомнатной квартиры 70 . Чему равна  площадь одной двухкомнатной квартиры?

Карточка №2

1. Чтобы вывезти урожай овощей, одному хозяйству требуется 87 грузовиков, а другому 63. Сколько килограммов овощей выращено в обоих хозяйствах, если грузоподъемность одного грузовика 2500 кг?
2. В построенном доме 36 одинаковых трехкомнатных и 24 одинаковые двухкомнатные квартиры. Общая площадь этих квартир 3720 . Площадь одной трехкомнатной квартиры 70 . Чему равна  площадь одной двухкомнатной квартиры?

Карточка №3

1. Чтобы вывезти урожай овощей, одному хозяйству требуется 87 грузовиков, а другому 63. Сколько килограммов овощей выращено в обоих хозяйствах, если грузоподъемность одного грузовика 2500 кг?
2. В построенном доме 36 одинаковых трехкомнатных и 24 одинаковые двухкомнатные квартиры. Общая площадь этих квартир 3720 . Площадь одной трехкомнатной квартиры 70 . Чему равна  площадь одной двухкомнатной квартиры?

ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ 5 КЛАСС

Олимпиадные задания по математике 5 класс

Задача 1.

В корзине лежат яблоки, груши и персики – всего 37 плодов.
Яблок в корзине в два раза больше, чем персиков, и на 3 штуки больше, чем груш.
Сколько в корзине яблок, груш, персиков? 


Задача 2. 

Запишите все делители числа 24.
Запишите все числа, меньшие двухсот, которые кратны этому числу. 


Задача 3. 

Из двух городов, расстояние между которыми 100 км, одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста,
скорости которых 12 км/ч и 14 км/ч.
Каким будет расстояние между велосипедистами через 3 часа после начала их движения? 


Задача 4. 

Начертите угол, который на 15о меньше прямого угла.
Начертите угол, который на 65о меньше развёрнутого угла.
На сколько градусов первый угол меньше второго? 


Задача 5. 

На стол положили ложки, вилки и ножи – всего 37 приборов.
При этом вилок положили в два раза больше, чем ножей и на 2 меньше, чем ложек.
Сколько положили на стол ложек, вилок, ножей? 


Ответы к задачам:

Задача 1.

Яблок – 16, груш – 13, персиков – 8. 

Задача 2.

Делители: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Кратные: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192. 

Задача 3.

Искомое расстояние равно: 100-(12+14)•3=22 (км). 

Задача 4.

Нужно начертить углы величиной в 75о и 115о. На 40о. 

Задача 5.

Вилок – 14, ножей – 7, ложек – 16. 

Самостоятельная работа по теме «Объем шара и его частей. Площадь сферы».

I вариант.

1. Площадь поверхности полушара равна . Найдите его объем.
2. В конус, осевое сечение которого правильный треугольник, описан шар. Найдите отношение их объемов.
3. Шар, радиус которого равен 5, касается плоскости. Через точку касания проведена плоскость, пересекающая шар под углом  к касательной плоскости. Найдите объем меньшей части шара, осеченный этой плоскостью.
4. Образующая конуса равна 10, а площадь его боковой поверхности равна . Найдите объем вписанного в конус шара.
5. Объем конуса в 2,25 раза больше объема вписанного в него шара. Найдите величину угла между образующей конуса и плоскостью основания.

Самостоятельная работа по теме «Объем шара и его частей. Площадь сферы».

II вариант.

1. Объем шара равен . Найдите площадь поверхности полушара.
2. Вокруг конуса, у которого осевым сечением служит правильный треугольник, описан шар. Найдите отношение их объемов.
3. Шаровой сегмент и конус вместе составляют шаровой сектор. Высота сегмента равна 1, а объем конуса - . Найдите объем шарового сектора.
4. Объем конуса равен , а его высота равна 6. Найдите объем описанного около конуса шара.
5. Отношение объема конуса к объему вписанного в конус шара равно 8:3. Найдите величину угла при вершине осевого сечения конуса.

Самостоятельная работа по теме «Объем шара и его частей. Площадь сферы».

I вариант.

1. Площадь поверхности полушара равна . Найдите его объем.
2. В конус, осевое сечение которого правильный треугольник, описан шар. Найдите отношение их объемов.
3. Шар, радиус которого равен 5, касается плоскости. Через точку касания проведена плоскость, пересекающая шар под углом  к касательной плоскости. Найдите объем меньшей части шара, осеченный этой плоскостью.
4. Образующая конуса равна 10, а площадь его боковой поверхности равна . Найдите объем вписанного в конус шара.
5. Объем конуса в 2,25 раза больше объема вписанного в него шара. Найдите величину угла между образующей конуса и плоскостью основания.

Самостоятельная работа по теме «Объем шара и его частей. Площадь сферы».

II вариант.

1. Объем шара равен . Найдите площадь поверхности полушара.
2. Вокруг конуса, у которого осевым сечением служит правильный треугольник, описан шар. Найдите отношение их объемов.
3. Шаровой сегмент и конус вместе составляют шаровой сектор. Высота сегмента равна 1, а объем конуса - . Найдите объем шарового сектора.
4. Объем конуса равен , а его высота равна 6. Найдите объем описанного около конуса шара.
5. Отношение объема конуса к объему вписанного в конус шара равно 8:3. Найдите величину угла при вершине осевого сечения конуса.