ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Слайд 1

Слайд 2

Содержание Введение Пример 1. Учительница подготовила к контрольной работе … Решения: 1.а) 1.б) 1.в) 1.г) Пример 2. Известно , что х = 2 а З b 5 с и а, Ь, с — числа из множества {0,1,2, 3}. Решения: 2.а) 2.б) 2.в) 2.г) Актуализация опорных знаний: Определение 1 . n! Теорема 1 о числе перестановок P n =n! Пример 3 . К хозяину дома пришли гости А, Б, С, D. За круглым столом — пять разных стульев. Решения: 3.а) 3.б) 3.в) 3. г) Пример 4. В чемпионате по футболу участвовало 7 команд. Решения: 1 способ ; 2 способ ; 3 способ Анализ примера 4 Определение 2 . Число сочетаний из n элементов по 2 Пример 5. Встретились 11 футболистов и 6 хоккеистов и каждый стал по одному разу играть с каждым в шашки Теорема 3 и определение 3 . Число размещений из n элементов по 2 Пример 6. В классе 27 учеников. К доске нужно вызвать двоих. Итоги выборов двух элементов из n данных Источники Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 2

Слайд 3

Введение Правило умножения, которое мы использовали в предыдущем параграфе, применимо не только к двум, но и к трём, четырём и т.д. испытаниям. Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 3

Слайд 4

Пример 1 Учительница подготовила к контрольной работе 4 примера на решение линейных неравенств, 5 текстовых задач (две на движение и три на работу) и 6 примеров на решение квадратных уравнений (в двух из них D<0 ). В контрольной должно быть по одному на каждую из трех тем. Найти общее число: а) всех возможных вариантов контрольной; б)тех возможных вариантов, в которых встретится задача на движение; в)тех возможных вариантов, в которых у квадратного уравнения будут корни; г)тех возможных вариантов, в которых не встретятся одновременно задача на работу и квадратное уравнение, не имеющее корней. Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 4

Слайд 5

Пример 1.а) Подготовлены к к.р. 4 неравенств, 5 задач (2на движение и 3 на работу) и 6 квадратных уравнений (в 2 из них D<0 , а в 4 D  0 ). В к.р. по одному на каждую из трех тем. Найти общее число: а) всех возможных вариантов контрольной; РЕШЕНИЕ : а)При выборе неравенства есть 4 исхода, при выборе задачи есть 5 исходов, при выборе квадратного уравнения есть 6 исходов. По правилу умножения получаем, что число всех вариантов контрольной работы равно 4 • 5 • 6 = 120. ОТВЕТ : 120 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 5

Слайд 6

Пример 1.б) Подготовлены к к.р. 4 неравенств, 5 задач (2на движение и 3 на работу) и 6 квадратных уравнений (в 2 из них D<0 , а в 4 D  0 ). В к.р. по одному на каждую из трех тем. Найти общее число: б)тех возможных вариантов, в которых встретится задача на движение; РЕШЕНИЕ : б) В предыдущем рассуждении меняется число исходов при выборе текстовой задачи: их всего два. Значит, можно составить 4•2•6=48 вариантов такой контрольной работы. ОТВЕТ: 48 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 6

Слайд 7

Пример 1.в) Подготовлены к к.р. 4 неравенств, 5 задач (2на движение и 3 на работу) и 6 квадратных уравнений (в 2 из них D<0 , а в 4 D  0 ). В к.р. по одному на каждую из трех тем. Найти общее число: в) тех возможных вариантов, в которых у квадратного уравнения будут корни; РЕШЕНИЕ : в) По сравнению с пунктом а) меняется число исходов при выборе уравнения: только в четырех случаях корни есть. Значит, можно составить 4•5•4=80 вариантов такой контрольной работы. ОТВЕТ: 80 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 7

Слайд 8

Пример 1.г) Подготовлены к к.р. 4 неравенств, 5 задач (2на движение и 3 на работу) и 6 квадратных уравнений (в 2 из них D<0 , а в 4 D  0 ). В к.р. по одному на каждую из трех тем. Найти общее число: г)тех возможных вариантов, в которых не встретятся одновременно задача на работу и квадратное уравнение, не имеющее корней. РЕШЕНИЕ : г) Из общего числа вариантов (120) мы вычтем те варианты, в которых встретятся одновременно и задача на работу, и квадратное уравнение, не имеющее корней. По сравнению с пунктом а) для них меняется число исходов при выборе текстовой задачи (3 варианта) и число исходов при выборе уравнения (только в 2 случаях корней нет). Значит, можно составить 4•3•2=24 варианта такой контрольной, работы, а условию задачи удовлетворяют остальные 120-24=96 вариантов. Ответ: а) 120; б) 48; в) 80; г) 96. Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 8

Слайд 9

Пример 1.г) Подготовлены к к.р. 4 неравенств, 5 задач (2на движение и 3 на работу) и 6 квадратных уравнений (в 2 из них D<0 , а в 4 D  0 ). В к.р. по одному на каждую из трех тем. Найти общее число: г)тех возможных вариантов, в которых не встретятся одновременно задача на работу и квадратное уравнение, не имеющее корней. РЕШЕНИЕ : г) Из общего числа вариантов (120) мы вычтем те варианты, в которых встретятся одновременно и задача на работу, и квадратное уравнение, не имеющее корней. По сравнению с пунктом а) для них меняется число исходов при выборе текстовой задачи (3 варианта) и число исходов при выборе уравнения (только в 2 случаях корней нет). Значит, можно составить 4•3•2=24 варианта такой контрольной, работы, а условию задачи удовлетворяют остальные 120-24=96 вариантов. Ответ: а) 120; б) 48; в) 80; г) 96. Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 9

Слайд 10

Пример 2 Известно , что х = 2 а З b 5 с и а, Ь, с — числа из множества {0,1,2, 3}. а)Найти наименьшее и наибольшее значения числа х. б)Сколько всего таких чисел можно составить? в)Сколько среди них будет четных чисел? г)Сколько среди них будет чисел, оканчивающихся нулем? Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 10

Слайд 11

Пример 2.а) Известно , что х = 2 а З b 5 с и а, Ь, с — числа из множества {0,1,2, 3}. а) Найти наименьшее и наибольшее значения числа х. б) Сколько всего таких чисел можно составить? в) Сколько среди них будет четных чисел? г) Сколько среди них будет чисел, оканчивающихся нулем? РЕШЕНИЕ : а) х наим = 2 0 3 0 5 0 = 1 , когда а=Ь=с=0 . х наиб = 2 3 3 3 5 3 =8 •27•125=27000 , когда а=Ь=с=3. Ответ : а) 1 и 27 000. Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 11

Слайд 12

Пример 2.б) Известно , что х = 2 а З b 5 с и а, Ь, с — числа из множества {0,1,2, 3}. а) Найти наименьшее и наибольшее значения числа х. б) Сколько всего таких чисел можно составить? в) Сколько среди них будет четных чисел? г) Сколько среди них будет чисел, оканчивающихся нулем? РЕШЕНИЕ : б) Рассмотрим три испытания: выбор числа а , выбор числа Ь и выбор числа с . Они независимы друг от друга, и в каждом имеется по четыре исхода. По правилу умножения получаем, что всего возможны 4•4•4=64 варианта. Ответ : б) 64. Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 12

Слайд 13

Пример 2.в) Известно , что х = 2 а З b 5 с и а, Ь, с — числа из множества {0,1,2, 3}. а) Найти наименьшее и наибольшее значения числа х. б) Сколько всего таких чисел можно составить? в) Сколько среди них будет четных чисел? г) Сколько среди них будет чисел, оканчивающихся нулем? РЕШЕНИЕ : в) Число х = 2 а З b 5 с будет четным только в тех случаях, когда а > 0, т. е. когда аЄ {1,2,3} . Значит, для выбора числа а есть три исхода. Снова применим правило умножения. Получим 4 • 3 • 4 = 48 вариантов. Ответ : в) 48 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 13

Слайд 14

Пример 2.г) Известно , что х = 2 а З b 5 с и а, Ь, с — числа из множества {0,1,2, 3}. а) Найти наименьшее и наибольшее значения числа х. б) Сколько всего таких чисел можно составить? в) Сколько среди них будет четных чисел? г) Сколько среди них будет чисел, оканчивающихся 0? РЕШЕНИЕ : г) Число х = 2 а З b 5 с будет оканчиваться нулем только в тех случаях, когда среди множителей есть хотя бы одна двойка и есть хотя бы одна пятерка, т. е. когда аЄ {1,2,3} и c Є{1,2,3} . Значит, для выбора чисел а и с есть по три исхода. Снова применим правило умножения. Получим 3•4•3=36 вариантов. Ответ : а) 1 и 27 000; б) 64; в) 48; г) 36. Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 14

Слайд 15

Актуализация опорных знаний В курсе алгебры 9 класса вы познакомились с понятием факториала и теоремой о перестановках. Напомним их. Определение 1. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел n! и называют « эн факториал»: n! =1 23…( n-2 )( n-1 ) n 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 15 n 1 2 3 4 5 6 7 n! 1 1  2=2 2!  3=6 3!  4=24 4!  5=120 5!  6=720 6!  7=5040

Слайд 16

Актуализация опорных знаний Теорема 1. n различных элементов можно расставить по одному на n различных место ровно n! способами. Как правило, эту теорему записывают в виде краткой формулы: P n =n! P n -это число перестановок из n различных из n различных элементов, оно равно n! . 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 16

Слайд 17

Пример 3 К хозяину дома пришли гости А, Б, С, D. За круглым столом — пять разных стульев. а) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом? б) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если место хозяина дома уже известно? в) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если известно, что гостя С следует посадить рядом с гостем А? г) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если известно, что гостя А не следует сажать рядом с гостем D? Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 17

Слайд 18

Пример 3 .а) К хозяину дома пришли гости А, Б, С, D. За круглым столом — пять разных стульев. а) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом? РЕШЕНИЕ : а) На 5 стульев должны сесть 5 человек (включая хозяина дома). Значит, всего имеется Р5 способов их рассаживания: Р 5 = 5! = 120. Ответ : 120 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 18

Слайд 19

Пример 3 .б) К хозяину дома пришли гости А, Б, С, D. За круглым столом — пять разных стульев. б) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если место хозяина дома уже известно? РЕШЕНИЕ : б) Так как место хозяина фиксировано, то следует рассадить четырех гостей на четыре места. Это можно сделать Р 4 =4!=24 способами. Ответ : 24 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 19

Слайд 20

Пример 3 .в) К хозяину дома пришли гости А, Б, С, D. За круглым столом — пять разных стульев. в) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если известно, что гостя С следует посадить рядом с гостем А? РЕШЕНИЕ : в) Сначала выберем место для гостя А. Возможны 5 вариантов. Если место гостя А уже известно, то гостя С следует посадить или справа, или слева от А, всего 2 варианта. После того как места для А и С уже выбраны, нужно трех человек произвольно рассадить на 3 оставшихся места: Р 3 = 3! = 6 вариантов. Остается применить правило умножения: 5 • 2 • 6 = 60. Ответ : 60 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 20

Слайд 21

Пример 3 .г) К хозяину дома пришли гости А, Б, С, D. За круглым столом — пять разных стульев. г) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если известно, что гостя А не следует сажать рядом с гостем D? РЕШЕНИЕ г) Решение такое же, как и в пункте в). Место для гостя D после выбора места для А можно также выбрать двумя способами: на два отдаленных от А стула. Ответ : а) 120; б) 24; в) 60; г) 60. Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 21

Слайд 22

Пример 4. В чемпионате по футболу участвовало 7 команд. Каждая команда сыграла по одной игре с каждой командой. Сколько всего было игр? Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 22

Слайд 23

РЕШЕНИЕ: I способ Рассмотрим таблицу 7  7, в которую вписаны результаты игр. В ней 49 клеток. По диагонали клетки закрашены, так как никакая команда не играет сама с собой. Если убрать диагональные клетки, то останется 7 2 -7=42 клетки. В нижней части результатов нет, потому что все они получаются отражением уже имеющихся результатов из верхней части таблицы. Поэтому количество всех проведенных игр равно половине от 42, т.е. 21. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 23 1 2 3 4 5 6 7 1 3:1 0:5 2:2 0:0 1:0 1:3 2 4:3 1:0 1:0 0:0 1:1 3 1:3 1:0 1:2 0:0 4 1:1 1:1 1:4 5 1:0 0:0 6 2:2 7

Слайд 24

РЕШЕНИЕ: II способ Произвольно пронумеруем команды №1, №2, …, №7 и посчитаем число игр поочередно. Команда №1 встречается с командами №2-7 – это 6 игр, №2 – с №3-7 – это 5 игр и т.д. Всего 6+5+4+3+2+1=21 игр. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 24 № команды № команд кол-во игр 1 2-7 6 2 3-7 5 3 4-7 4 4 5-7 3 5 6-7 2 6 7 1 ВСЕГО ИГР 21

Слайд 25

РЕШЕНИЕ: III способ Используем геометрическую модель: 7 команд – это вершины выпуклого 7-угольника, а отрезок между двумя вершинами – это встреча двух соответствующих команд: сколько отрезков – столько игр. Из каждой вершины выходит 6 отрезков – столько игр. Получается 7 6=42 отрезков, каждый из которых посчитан дважды: и как АВ, и как ВА. Значит, 42 /2=21 отрезок. ОТВЕТ : 21 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 25

Слайд 26

Анализ примера 4 Состав игры определен, как только мы выбираем две команды. Значит, количество всех игр в турнире для n команд – это в точности количество всех выборов двух элементов из n данных элементов. Важно при этом то, что порядок выбора не имеет значения, т.е. если выбрано две команды, то какая из них первая, а какая вторая – не существенно. Первую команду можно выбрать n способами, а вторую – ( n-1) способами. По правилу умножения получаем n(n-1) . Но при этом состав каждой игры посчитан дважды. Значит, число игр равно n(n-1)/2 . Тем самым фактически доказана следующая теорема. Теорема 2 ( о выборе двух элементов ). Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать два элемента без учета их порядка, то такой выбор можно произвести n(n-1)/2 способами. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 26

Слайд 27

Определение 2 Достаточно длинный словесный оборот «число всех выборов двух элементов без учета их порядка из n данных» неудобен при постоянном использовании в решении задач. Математики поступили просто: ввели новый термин и специальное обозначение. Определение 2. число всех выборов двух элементов без учета их порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из n элементов по 2 и обозначают ( цэ из эн по два). 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 27

Слайд 28

Пример 5. Встретились 11 футболистов и 6 хоккеистов и каждый стал по одному разу играть с каждым в шашки, которые они «давненько не брали в руки». Сколько встреч было: а)между футболистами; б)между хоккеистами; в)между футболистами и хоккеистами; г)всего? Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 28

Слайд 29

РЕШЕНИЕ: а) б) в) Будем действовать по правилу умножения. Одно испытание – выбор футболиста, а другое испытание – выбор хоккеиста. Испытания предполагаются независимыми, и у них соответственно 11 и 6 исходов. Значит получится 11 6=66 игр. г) Можно сложить все предыдущие ответы: 55+15+66=136; но можно использовать и формулу для числа сочетаний: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 29

Слайд 30

Теорема 3 и определение 3 А что получится, если мы будем учитывать порядок двух выбираемых элементов? По правилу умножения получаем следующую теорему. Теорема 3. Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать из них два элемента, учитывая их порядок, то такой выбор можно произвести n(n-1) способами. Доказательство : Первый по порядку элемент можно выбрать n способами. Из оставшихся (n-1) элементов второй по порядку элемент можно выбрать (n-1) способом. Так как два этих испытания (выбора) независимы друг от друга, то по правилу умножения получаем n(n-1) . Определение 3. Число всех выборов двух элементов с учетом их порядка из n данных называют числом размещений из n элементов по 2 и обозначают 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 30

Слайд 31

Пример 6 В классе 27 учеников. К доске нужно вызвать двоих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу по алгебре, а второй — по геометрии; б) они должны быстро стереть с доски? Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 31

Слайд 32

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 32

Слайд 33

Итоги выборов двух элементов А как будут выглядеть формулы, если в них верхний индекс 2 заменить на 3, 4, … и вообще на произвольное число k , 1≤ k ≤ n ? Здесь мы переходим к основному вопросу параграфа – к выборам, состоящим из произвольного числа элементов. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 33

Слайд 34

Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel . Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 34

Слайд 1

Слайд 2

Содержание Актуализация опорных знаний: определение 1; теорема 1; определение 2 и теорема 2; теорема 3 и определение 3; Итоги выборов двух элементов Введение Определение 4 . Число сочетаний и число размещений из n элементов по k Теорема 4 . Формулы числа размещений и числа сочетаний. Доказательство Пример 7. В классе 27 учеников, из них нужно выбрать троих. Пример 8. «Проказница Мартышка, Осел , Козел и Косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Следствия из теоремы 4. Формулы Треугольник Паскаля Для учителя математики Источники 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 2

Слайд 3

Повторение Определение 1. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел n! и называют « эн факториал»: n! =1 23…( n-2 )( n-1 ) n 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 3 n 1 2 3 4 5 6 7 n! 1 1  2=2 2!  3=6 3!  4=24 4!  5=120 5!  6=720 6!  7=5040

Слайд 4

Повторение Теорема 1. n различных элементов можно расставить по одному на n различных место ровно n! способами. Как правило, эту теорему записывают в виде краткой формулы: P n =n! P n -это число перестановок из n различных из n различных элементов, оно равно n! . 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 4

Слайд 5

Повторение Определение 2. число всех выборов двух элементов без учета их порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из n элементов по 2 и обозначают ( цэ из эн по два ). Теорема 2 ( о выборе двух элементов ). Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать два элемента без учета их порядка, то такой выбор можно произвести n(n-1)/2 способами. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 5

Слайд 6

Повторение Теорема 3. Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать из них два элемента, учитывая их порядок, то такой выбор можно произвести n(n-1) способами. Доказательство : Первый по порядку элемент можно выбрать n способами. Из оставшихся (n-1) элементов второй по порядку элемент можно выбрать (n-1) способом. Так как два этих испытания (выбора) независимы друг от друга, то по правилу умножения получаем n(n-1) . Определение 3. Число всех выборов двух элементов с учетом их порядка из n данных называют числом размещений из n элементов по 2 и обозначают 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 6

Слайд 7

Итоги выборов двух элементов А как будут выглядеть формулы, если в них верхний индекс 2 заменить на 3, 4, … и вообще на произвольное число k , 1≤ k ≤ n ? 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 7

Слайд 8

Введение Здесь мы переходим к основному вопросу параграфа – к выборам, состоящим из произвольного числа элементов. Вот типичные вопросы: Сколькими способами можно выбрать 5 учеников из 30 для дежурства в столовой; Актив класса (староста, культорг, редактор стенгазеты, организатор спортивных мероприятий) – 4 человека из 30; 7 монет из 10 данных монет; 10 карт из колоды в 32 карты и т.п. Удобно, как и ранее, ввести специальные термины и специальные обозначения. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 8

Слайд 9

Определение 4 Число всех выборов k элементов из n данных без учета порядка называют числом сочетаний ,из n элементов по k и обозначают Число всех выборов k элементов из n данных с учётом их порядка называют числом размещений из n элементов по k и обозначают Используя эти обозначения, нетрудно записать ответы на поставленные выше вопросы: Сколькими способами можно выбрать 5 учеников из 30 для дежурства в столовой; Актив класса (староста, культорг, редактор стенгазеты, организатор спортивных мероприятий) – 4 человека из 30; 7 монет из 10 данных монет; 10 карт из колоды в 32 карты и т.п. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 9

Слайд 10

Теорема 4 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 10

Слайд 11

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 11

Слайд 12

Пример 7 В классе 27 учеников, из них нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу, второй — сходить за мелом, третий — пойти дежурить в столовую; б) им следует спеть хором? Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 12

Слайд 13

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 13

Слайд 14

Пример 8 «Проказница Мартышка, Осёл , Козел и Косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили выбрать 4 любых инструмента из имеющихся 11. а) Найти число всевозможных выборов инструментов. б) Найти число всевозможных рассаживаний участников квартета с выбранными четырьмя инструментами (инструменты, как в басне Крылова, занимают четко отведенные позиции). в) Сколько всего различных инструментальных составов квартета может получиться? Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 14

Слайд 15

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 15

Слайд 16

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 16

Слайд 17

Следствия из теоремы 4 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 17

Слайд 18

Треугольник Паскаля Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 18

Слайд 19

Например, Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 19

Слайд 20

Для учителя математики Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 20

Слайд 21

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 21

Слайд 22

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 22

Слайд 23

Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel . Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 23

Слайд 1

Слайд 2

Содержание Введение Проанализируем полученные формулы Предположение Доказательство формулы Биномиальные коэффициенты Пример Свойство биномиальных коэффициентов Для учителя Источники 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна , учитель математики 2

Слайд 3

Введение Известно, что (а + b ) 2 = а 2 + 2а b + b 2 . Умножив обе части этого тождества на (а + b ), получим: (а + b ) 3 = (а 2 + 2а b + b 2 )(а + b ) = = а 3 + За 2 b + За b 2 + b 3 . Аналогично умножив обе части тождества ( а + b ) 3 = а 3 + За 2 b + За b 2 + b 3 на (а + b ), получим: ( а + b ) 4 = (а 3 + За 2 b + 3 а b 2 + b 3 )(а + b ) = а 4 + 4а 3 b + 6а 2 b 2 + 4а b 3 + b 4 . Итак, ( а + b ) 1 = а + b ; ( а + b ) 2 = а 2 + 2а b + b 2 ; ( а + b ) 3 = а 3 + За 2 b + 3а b 2 + b 3 ; ( а + b ) 4 = а 4 + 4а 3 b + 6а 2 b 2 + 4а b 3 + b 4 . 08.02.2014 3 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Слайд 4

Проанализируем полученные формулы Замечаем , во-первых, что в правой части любой из формул сумма показателей при переменных в каждом одночлене равна показателю двучлена в левой части. Например , в последней формуле двучлен возводится в четвертую степень и сумма показателей при а и b в каждом слагаемом в правой части равна 4. Впрочем, это понятно, ведь (а + b ) 4 — это (а + b )( а + b )( а + b )( а + b ) и после раскрытия скобок получится многочлен, состоящий из одночленов а 4 , а 3 b , а 2 b 2 , а b 3 , b 4 с некоторыми коэффициентами. Замечаем, во-вторых, что коэффициенты при одночленах в правых частях формул ассоциируются с треугольником Паскаля, о котором мы говорили в § 52. Сравните числа, имеющиеся в первых четырех строках треугольника, с соответствующими коэффициентами при одночленах в каждой из четырех формул. Полное совпадение. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна , учитель математики 4

Слайд 5

Предположение Естественно предположить, что подмеченная закономерность сохранится и в общем случае, т. е. для любого натурального значения n верна следующая формула: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна , учитель математики 5

Слайд 6

Доказательство формулы Рассмотрим произведение n двучленов ( а + b )( а + b )( а + b )•...• (а + b ) и докажем, что коэффициент при одночлене a n - k b k равен . В самом деле, чтобы, раскрыв скобки, получить одночлен вида a n - k b k , нужно из n множителей вида (а + b ) выбрать k множителей (порядок не важен), откуда берется переменная b ; тогда автоматически из оставшихся n -k множителей будет взята переменная а . Но выбрать k множителей из n имеющихся без учета порядка можно способами, что и требовалось доказать. • 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 6

Слайд 7

Биномиальные коэффициенты Формулу (1) обычно называют формулой бинома Ньютона (бином — двучлен), а коэффициенты биномиальными коэффициентами. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 7

Слайд 8

Пример Раскрыть скобки в выражении: а) ( x + 1 ) 6 ; б) (а 2 - 2 b ) 5 . Решение : а ) Применим формулу (1), считая, что а = x , b = 1, n = 6 . Получим: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 8

Слайд 9

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 9

Слайд 10

Свойство биномиальных коэффициентов В заключение получим одно любопытное свойство биномиальных коэффициентов. Составим формулу бинома Ньютона для выражения ( х + 1) n (подобно тому, как в рассмотренном примере мы применили формулу бинома Ньютона к выражению ( х + I) 6 ). Получим : 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 10

Слайд 11

Для учителя 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна , учитель математики 11

Слайд 12

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна , учитель математики 12

Слайд 13

Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel . Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 13

Слайд 1

Слайд 2

Содержание Введение 1 . ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМБИНАТОРИКИ ДЛЯ ПОДСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРИМЕР 1. Из колоды карт … Решение примера 1а) Решение примера 1б) ПРИМЕР 2. В урне лежат шары … Решение примера 2а) Решение примера 2б) Вероятность суммы несовместных событий Решение примера 2в) ЗАМЕЧАНИЕ Для учителя Источники 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 2

Слайд 3

Введение В теории вероятностей и математической статистике строятся и исследуются модели различных ситуаций, связанных с понятием случайности. Один из основателей математической статистики шведский ученый Гаральд Крамер писал так: «По-видимому, невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом “случайный”. Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах». В § 51 мы последовали этому совету и разобрали простейшие вероятностные задачи. После знакомства с основными формулами комбинаторики можно переходить к более сложным задачам. 08.02.2014 3 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Слайд 4

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМБИНАТОРИКИ ДЛЯ ПОДСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТЕЙ Часть 1. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 4

Слайд 5

Пример 1. Из колоды в 36 карт случайным образом вытаскивают три карты. Какова вероятность того, что среди них: а) нет пиковой дамы; б) есть пиковая дама? Решение . У нас имеется множество из 36 элементов — игральных карт. Мы производим выбор трех элементов, порядок выбора не важен. Значит, имеется N = С 36 3 исходов. Будем действовать по классической вероятностной схеме, т. е. предполагать, что все эти исходы равновероятны между собой. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 5

Слайд 6

Пример 1. а) нет пиковой дамы а) Среди всех N исходов нам следует сосчитать те, в которых нет пиковой дамы (событие А). Поэтому отложим даму пик в сторону и будем выбирать три карты из оставшихся 35 карт. Получатся все интересующие нас варианты: N(A)=С 35 3 . Осталось вычислить нужную вероятность: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 6

Слайд 7

Пример 1. б) есть пиковая дама б) Вычислим вероятность противоположного события А (есть дама пик) по формуле из § 51: Р(А) = 1 - Р(А) = 1 /12. Ответ : а) 5/12; б) 1/12. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 7

Слайд 8

Пример 2. В урне лежит 10 белых и 11 черных шаров. Случайным образом достают пять шаров. Какова вероятность того, что: а) среди этих пяти шаров ровно три белых; б) среди них не менее четырех белых шаров; в) большинство шаров — белые? Решение . Считаем шары в урне неразличимыми на ощупь. Из 21 шара случайным образом производят выбор пяти шаров. Порядок выбора не важен. Значит, существует N(A) = C 21 5 способов такого выбора. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 8

Слайд 9

Пример 2. а) среди этих пяти шаров ровно три белых; а) Интересующее нас событие А наступает, когда три из пяти шаров — белые, а два оставшихся — черные, т. е. когда из 10 белых шаров оказались выбранными 3 шара, а из 11 черных шаров — 2 шара. Из 10 белых шаров 3 шара можно выбрать C 10 3 способами, а из 11 черных шаров 2 шара можно выбрать С 11 2 способами. По правилу умножения получаем, что нужный нам состав шаров можно выбрать N(A)= C 10 3 • С 11 2 способами. Значит, 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 9

Слайд 10

Пример 2. б) среди них не менее четырех белых шаров; б) Проведем перебор случаев. Пусть В — событие, состоящее в том, что белых шаров ровно 4 , а С — событие, означающее, что все 5 шаров — белые . Вероятности Р(В) и Р(С) вычисляются по той же схеме, что и Р(А) в пункте а): 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 10

Слайд 11

Пример 2. б) среди них не менее четырех белых шаров; События В и С не могут наступить одновременно, т. е. они несовместны . Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (об этом мы уже говорили в курсе алгебры 9-го класса). Значит, Р(В + С) = Р(В) + Р(С) ≈ 0,1135 + 0,0124 = 0,1259. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 11

Слайд 12

Вероятность суммы двух несовместных Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 12

Слайд 13

Пример 2. в) большинство шаров — белые? в) Интересующее нас событие произойдет в следующих случаях: из пяти вытащенных шаров — 3 белых и 2 черных, из пяти шаров — 4 белых и 1 черный, все 5 шаров — белые. Эти три случая соответствуют событиям А, Б, С, разобранным в пунктах а) и б). Никакие два из событий А, В, С не могут наступить одновременно, т. е. эти события попарно несовместны. Поэтому Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + + Р(С) = 0,3243 + 0,1135 + 0,0124 = 0,4502. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 13 Ответ : а)0,3243; б)0,1259; в)0,4502.

Слайд 14

ЗАМЕЧАНИЕ Задачи на отыскание вероятностей случайных событий «в два с половиной раза» сложнее задач по комбинаторике. Сначала мы используем комбинаторику при нахождении N — количества всех исходов опыта. Во второй раз комбинаторика нужна при нахождении N(A), причем это уже, как правило, более сложная комбинаторика. Наконец, надо еще уметь вычислить значение дроби. Вот и получается «две с половиной комбинаторики». 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 14

Слайд 15

Для учителя 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 15

Слайд 16

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 16

Слайд 17

Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel . Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 17

Слайд 1

Слайд 2

Содержание ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведение событий А и В . ПРИМЕР 3. Дать описание произведения событий А и В . Решение 3а); Решение 3б); Решение 3в); Решение 3г). Связь между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств (таблица) . ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий P(A)+P(B)=P(AB)+P(A+B) . Доказательство теоремы 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. События А и В называются независимыми, если P(AB)=P(A) P(B) ТЕОРЕМА 2. Вероятность суммы двух независимых событий равна P(A+B) = P(A)+P(B) - P(AB) . ПРИМЕР 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Решение 4а); Решение 4б); Решение 4в); Решение 4г). Для учителя ИСТОЧНИКИ 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 2

Слайд 3

ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ СОБЫТИЙ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ Часть 2. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 3

Слайд 4

Независимость событий В примере 2 мы говорили о сумме несовместных событий. А как найти вероятность Р(А + В) для событий, которые могут наступать одновременно? Для ответа на такой вопрос необходима не только сама сумма А + В событий А и В, но и их произведение. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 4

Слайд 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведение событий А и В Определение 1. Произведением событий А и В называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает и событие А, и событие В. Оно обозначается А  В или АВ. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 5

Слайд 6

ПРИМЕР 3. Дать описание произведения событий А и В Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: а) А — цена товара больше 100 р., В — цена товара не больше 110 р.; б) А — завтра пятница, В — завтра 13-е число; в) А — координаты случайно выбранной точки на плоскости удовлетворяют неравенству х 2 + у 2 < 1; В — координаты случайно выбранной точки положительны; г) А — случайно выбранное двузначное число четно; В — случайно выбранное двузначное число делится на 11. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 6

Слайд 7

Решение примера 3а) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: а) А — цена товара больше 100 р., В — цена товара не больше 110 р.; Решение : а) Одновременное наступление событий А и В означает, что для цены S товара верно двойное неравенство 100 < S < 110. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 7

Слайд 8

Решение примера 3б) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: б) А — завтра пятница, В — завтра 13-е число; Решение: б) Одновременное наступление событий А и В означает, что завтра — пятница, 13-е число. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 8

Слайд 9

Решение примера 3в) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: в) А — координаты случайно выбранной точки на плоскости удовлетворяют неравенству х 2 + у 2 ≤ 1; В — координаты случайно выбранной точки положительны; Решение: в) Геометрически событие А означает, что точка выбрана в единичном круге { ( x ; у) | х 2 + у 2 ≤ 1}, а событие В означает, что она выбрана в первой координатной четверти. Значит, одновременное наступление А и В означает, что точка выбрана в той четверти единичного круга, которая расположена выше оси абсцисс и правее оси ординат (рис. 242). 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 9

Слайд 10

Решение примера 3г) Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если: г) А — случайно выбранное двузначное число четно; В — случайно выбранное двузначное число делится на 11. Решение: г) Четные двузначные числа составляют множество {10, 12, 14, ..., 94, 96, 98}. Двузначные числа, которые делятся на 11, составляют множество {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. Одновременное наступление событий А и В означает, что выбранное число принадлежит и множеству {10, 12, 14, ..., 94, 96, 98} и множеству {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. Значит, событие АВ состоит в том, что выбранное число принадлежит пересечению указанных множеств, т. е. множеству {22, 44, 66, 88}. Всего 4 случая. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 10

Слайд 11

Произведение АВ событий А и В связано с пересечением множеств Мы видим, что произведение АВ событий А и В связано с пересечением множеств, соответствующих событиям А и В. В курсе алгебры 9-го класса мы говорили о связи между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств и составили соответствующую таблицу. Дополним ее новыми связями. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 11

Слайд 12

Связь между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств (таблица) Теория вероятностей Теория множеств Испытание с N исходами Множество из N элементов Отдельный исход испытания Элемент множества Случайное событие Подмножество Невозможное событие Пустое подмножество Достоверное событие Подмножество, совпадающее со всем множеством Вероятность события Доля элементов подмножества среди всех элементов множества Сумма событий Объединение подмножеств Несовместные события Непересекающиеся подмножества Противоположное событие Дополнение подмножества до всего множества Произведение событий Пересечение подмножеств 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 12

Слайд 13

ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий P(A)+P(B)=P(AB)+P(A+B) . ТЕОРЕМА 1 . Сумма вероятностей двух событий равна сумме вероятности произведения этих событий и вероятности суммы этих событий. Р(А) + Р(В) = Р(АВ) + Р(А + В). 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 13

Слайд 14

Доказательство теоремы 1 Пусть А 1 — событие, состоящее в том, что наступает А, но не наступает В. Согласно опр.1 АВ — событие, состоящее в том, что наступают А и В. Значит, события А 1 и АВ несовместны, а их сумма равна А. Поэтому Р(А)=Р(А 1 )+Р(АВ). Аналогично обозначим через В 1 событие, состоящее в том, что наступает В, но не наступает А. Тогда события В 1 и АВ несовместны, а их сумма равна В. Значит, Р(А) = Р(А 1 ) + Р(АВ). Сложим эти равенства: Р(А)+Р(В) = (Р(А 1 )+Р(АВ))+Р(В 1 )+Р(АВ)) = Р(АВ)+(Р(А 1 )+Р(АВ)+Р(В 1 )). События А, АВ, В 1 попарно несовместны, а их сумма равна А+В. Значит, Р(А 1 )+Р(АВ)+Р(В 1 )=Р(А+В), и поэтому Р(А)+Р(В) = Р(АВ)+Р(А+В). • 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 14

Слайд 15

Для несовместных событий А и В Для несовместных событий А и В доказанная теорема приводит к уже известным формулам. Действительно , несовместность событий А и В означает, что событие АВ невозможно, т. е. Р(АВ)=0. Тогда Р(А)+Р(В)=Р(АВ)+Р(А+В)= Р(А+В). В частности , так как событие А + Ᾱ всегда достоверно, то Р(А) +Р( Ᾱ )= Р(А + Ᾱ ) = 1; Р( Ᾱ ) = 1 - Р(А). 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 15

Слайд 16

Формулу Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) применяют к независимым событиям А и В При решении практических задач формулу Р(А)+Р(В)=Р(АВ)+Р(А+В) чаще всего записывают в виде Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) и применяют ее к независимым событиям А и В. Это понятие является одним из важнейших в теории вероятностей. Определение независимости двух событий напоминает правило умножения. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 16

Слайд 17

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. События А и В называются независимыми… Определение 2. События А и В называют независимыми, если вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А)Р(В). Не следует путать несовместность событий А и В и их независимость. Напомним, что несовместность событий А и В означает, что соответствующие множества исходов испытания не пересекаются. К сожалению, понятие независимости не имеет никакого наглядного смысла. В практических задачах независимость событий, как правило, подразумевается в условиях задачи и обосновывается независимостью проводимых испытаний. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 17

Слайд 18

ТЕОРЕМА 2. Вероятность суммы двух независимых событий равна P(A+B) = P(A)+P(B) - P(AB) . Теорема 2 . Вероятность суммы двух независимых событий равна разности суммы вероятностей этих событий и произведения вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В). Доказательство . По теореме 1 Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). Независимость А и Б означает, что Р(АВ) = Р(А)Р(В). Значит, Р(А + Б) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В). • 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 18

Слайд 19

ПРИМЕР 4. Два стрелка независимо друг от друга стреляют Пример 4 . Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена дважды; б) не будет поражена ни разу; в) будет поражена хотя бы один раз; г) будет поражена ровно один раз. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 19

Слайд 20

Решение примера 4а) Пример 4 . Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена дважды; Решение . Пусть А — событие, состоящее в том, что первый стрелок попал в мишень, В — событие, состоящее в том, что второй стрелок попал в мишень. По условию Р(А) = 0,9, Р(В) = 0,3, а А и В независимы. а) Мишень будет поражена дважды, если одновременно произошли оба события А и В, т. е. произошло событие АВ. Поэтому Р(АВ) = Р(А)Р(В) = = 0,9  0,3 = 0,27. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 20

Слайд 21

Решение примера 4б) Пример 4 . Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: б) не будет поражена ни разу; Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 21

Слайд 22

Решение примера 4в) Пример 4 . Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: в) будет поражена хотя бы один раз ; Решение: в) Мишень будет поражена, если произошло или А, или В, т. е. произошло событие А + В. Поэтому Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В) = 0,9 + 0,3 - 0,27 = 0,93. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 22

Слайд 23

Решение примера 4г) Пример 4 . Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень: г) будет поражена ровно один раз. Решение : г) Мишень будет поражена ровно один раз, если произошло событие А + В, но не произошло событие АВ. Поэтому искомая вероятность равна Р(А+В)-Р(АВ)= 0,93-0,27 = 0,66. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 23

Слайд 24

Для учителя 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 24

Слайд 25

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 25

Слайд 26

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 26

Слайд 27

Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel . Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 27

Слайд 1
Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей
§54. Случайные события и их вероятности3.НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ.

Слайд 2
Содержание
ПРИМЕР 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле …Решение 5а);Решение 5б);Решение 5в);Решение 5г).Заметим, что…Во всей серии повторений важно знать …Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы…ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернулли).
ПРИМЕР 6. В каждом из пунктов а) — г) определить значения n, k, p, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).Решение 6а);Решение 6б);Решение 6в);Решение 6г). Теорема Бернулли позволяет…ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений…Для учителя.Источники .
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 3
3.НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ.
Часть 3.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 4
ПРИМЕР 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
Несколько изменим предыдущий пример: вместо двух разных стрелков по мишени будет стрелять один и тот же стрелок.Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень:а)   будет поражена трижды;б)   не будет поражена;в)   будет поражена хотя бы раз;г)    будет поражена ровно один раз.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 5
Решение примера 5а)
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: а)   будет поражена трижды;
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 6
Решение примера 5б)
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень:б)   не будет поражена;Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 7
Решение примера 5в)
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень:в)   будет поражена хотя бы раз;Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 8
Решение примера 5г)
Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень:г)    будет поражена ровно один раз.Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 9
Заметим
Решение, приведенное в пункте г) примера 5, в конкретном случае повторяет доказательство знаменитой теоремы Бернулли, которая относится к одной из наиболее распространенных вероятностных моделей: независимым повторениям одного и того же испытания с двумя возможными исходами. Отличительная особенность многих вероятностных задач состоит в том, что испытание, в результате которого может наступить интересующее нас событие, можно многократно повторять.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 10
Во всей серии повторений важно знать
В каждом из таких повторений нас интересует вопрос о том, произойдет или не произойдет это событие. А во всей серии повторений нам важно знать, сколько именно раз может произойти или не произойти это событие. Например, игральный кубик бросили десять раз подряд. Какова вероятность того, что «четверка» выпадет ровно 3 раза? Произведено 10 выстрелов; какова вероятность того, что будет ровно 8 попаданий в мишень? Или же какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза?
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 11
Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы
Швейцарский математик начала XVIII века Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы такого типа в единую вероятностную схему.Пусть вероятность случайного события А при проведении некоторого испытания равна Р(А). Будем рассматривать это испытание как испытание только с двумя возможными исходами: один исход состоит в том, что событие А произойдет, а другой исход состоит в том, что событие А не произойдет, т. е. произойдет событие Ᾱ . Для краткости назовем первый исход (наступление события А) «успехом», а второй исход (наступление события Ᾱ) «неудачей». Вероятность Р(А) «успеха» обозначим p, а вероятность Р(Ᾱ) «неудачи» обозначим q. Значит, q = Р(Ᾱ) = 1 - Р(А) = 1 - р.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 12
ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернулли)
Теорема 3 (теорема Бернулли). Пусть Pn(k) — вероятность наступления ровно k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания. Тогда Pn(k)= Сnk pk qn-k, где р — вероятность «успеха», a q=1-р — вероятность «неудачи» в отдельном испытании.Эта теорема (мы приводим ее без доказательства) имеет огромное значение и для теории, и для практики.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 13
ПРИМЕР 6.
Пример 6. В каждом из пунктов а) — г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).а) Чему равна вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты?б) Каждый из 20 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина?в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 5 бросаний из 25 будут «удачными»?г) Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» среди 7 бросаний?
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 14
Решение 6а)
Пример 6. В каждом из пунктов а) — г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).а) Чему равна вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты?Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 15
Решение 6б)
Пример 6. В каждом из пунктов а) — г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).б) Каждый из 20 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина?Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 16
Решение 6в)
Пример 6. В каждом из пунктов а) — г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 5 бросаний из 25 будут «удачными»?Решение:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 17
Решение 6г)
Пример 6. В каждом из пунктов а) — г) определить значения n, k, р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn(k).г) Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» среди 7 бросаний?Решение: г)    n = 7, k = 3. «Удача» при одном бросании состоит в том, что «решек» выпало меньше, чем «орлов». Всего возможны 8 результатов: РРР, РРО, POP, ОРР, POO, ОРО, OOP, ООО (Р — «решка», О — «орел»). Ровно в половине из них «решек» меньше «орлов»: РОО, ОРО, OOP, ООО. Значит,p = q = 0,5; Р7(3) = С73∙ 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.    
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 18
Теорема Бернулли позволяет…
Теорема Бернулли позволяет установить связь между статистическим подходом к определению вероятности и классическим определением вероятности случайного события. Чтобы описать эту связь, вернемся к терминам § 50 о статистической обработке информации. Рассмотрим последовательность из n независимых повторений одного и того же испытания с двумя исходами — «удачей» и «неудачей». Результаты этих испытаний составляют ряд данных, состоящий из некоторой последовательности двух вариант: «удачи» и «неудачи». Проще говоря, имеется последовательность длины n, составленная из двух букв У («удача») и Н («неудача»). Например, У, У, Н, Н, У, Н, Н, Н, ..., У или Н, У, У, Н, У, У, Н, Н, У, ..., Н и т. п. Подсчитаем кратность и частоту варианты У, т. е. найдем дробь k/n, где k - количество «удач», встретившихся среди всех n повторений. Оказывается, что при неограниченном возрастании n частота k/n появления «успехов» будет практически неотличимой от вероятности p «успеха» в одном испытании. Этот довольно сложный математический факт выводится именно из теоремы Бернулли.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 19
ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений
ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений одного и того же испытания частота появления случайного события А со все большей точностью приближенно равна вероятности события А: k/n≈ Р(А).Например, при n > 2000 с вероятностью, большей чем 99%, можно утверждать, что абсолютная погрешность |k/n— Р(А)| приближенногоравенства k/n≈ Р(А) будет меньше 0,03. Поэтому при социологическихопросах достаточно бывает опросить около 2000 случайно выбранных людей (респондентов). Если, допустим, 520 из них положительно ответили на заданный вопрос, то k/n=520/2000=0,26 и практически достоверно, что для любого большего числа опрошенных такая частота будет находиться в пределах от 0,23 до 0,29. Это явление называют явлением статистической устойчивости.Итак, теорема Бернулли и следствия из нее позволяют (приближенно) находить вероятность случайного события в тех случаях, когда ее явное вычисление невозможно.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 20
Для учителя
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 21
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 22
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*

Слайд 23
Источники
Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010Таблицы составлены в MS Word и MS Excel.Интернет-ресурсы
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
08.02.2014
*

Слайд 1

Слайд 2

Содержание ПРИМЕР 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле … Решение 5а); Решение 5б); Решение 5в); Решение 5г). Заметим, что… Во всей серии повторений важно знать … Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы … ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернулли). ПРИМЕР 6. В каждом из пунктов а) — г) определить значения n , k , p , q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности Pn ( k ). Решение 6 а); Решение 6 б); Решение 6 в); Решение 6 г). Теорема Бернулли позволяет … ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений … Для учителя . Источники . 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 2

Слайд 3

3.НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ. Часть 3. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 3

Слайд 4

ПРИМЕР 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле Несколько изменим предыдущий пример: вместо двух разных стрелков по мишени будет стрелять один и тот же стрелок. Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена трижды; б) не будет поражена; в) будет поражена хотя бы раз; г) будет поражена ровно один раз. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 4

Слайд 5

Решение примера 5а) Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена трижды; 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 5

Слайд 6

Решение примера 5б) Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: б) не будет поражена; Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 6

Слайд 7

Решение примера 5в) Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: в) будет поражена хотя бы раз; Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 7

Слайд 8

Решение примера 5г) Пример 5 . Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрелов. Найти вероятность того, что мишень: г) будет поражена ровно один раз. Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 8

Слайд 9

Заметим Решение, приведенное в пункте г) примера 5, в конкретном случае повторяет доказательство знаменитой теоремы Бернулли, которая относится к одной из наиболее распространенных вероятностных моделей : независимым повторениям одного и того же испытания с двумя возможными исходами. Отличительная особенность многих вероятностных задач состоит в том, что испытание, в результате которого может наступить интересующее нас событие, можно многократно повторять. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 9

Слайд 10

Во всей серии повторений важно знать В каждом из таких повторений нас интересует вопрос о том, произойдет или не произойдет это событие. А во всей серии повторений нам важно знать , сколько именно раз может произойти или не произойти это событие . Например , игральный кубик бросили десять раз подряд. Какова вероятность того, что «четверка» выпадет ровно 3 раза? Произведено 10 выстрелов; какова вероятность того, что будет ровно 8 попаданий в мишень? Или же какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза? 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 10

Слайд 11

Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы Швейцарский математик начала XVIII века Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы такого типа в единую вероятностную схему. Пусть вероятность случайного события А при проведении некоторого испытания равна Р(А). Будем рассматривать это испытание как испытание только с двумя возможными исходами: один исход состоит в том, что событие А произойдет, а другой исход состоит в том, что событие А не произойдет, т. е. произойдет событие Ᾱ . Для краткости назовем первый исход (наступление события А) «успехом», а второй исход (наступление события Ᾱ ) «неудачей». Вероятность Р(А) «успеха» обозначим p, а вероятность Р( Ᾱ ) «неудачи» обозначим q. Значит, q = Р( Ᾱ ) = 1 - Р(А) = 1 - р. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 11

Слайд 12

ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернулли) Теорема 3 (теорема Бернулли). Пусть P n (k) — вероятность наступления ровно k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания. Тогда P n (k)= С n k  p k  q n- k , где р — вероятность «успеха», a q=1 - р — вероятность «неудачи» в отдельном испытании. Эта теорема (мы приводим ее без доказательства) имеет огромное значение и для теории, и для практики. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 12

Слайд 13

ПРИМЕР 6. Пример 6 . В каждом из пунктов а) — г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). а) Чему равна вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты? б) Каждый из 20 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина? в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 5 бросаний из 25 будут «удачными»? г) Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» среди 7 бросаний? 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 13

Слайд 14

Решение 6а) Пример 6 . В каждом из пунктов а) — г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). а) Чему равна вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты? Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 14

Слайд 15

Решение 6б) Пример 6 . В каждом из пунктов а) — г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). б) Каждый из 20 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачными» днями считаются понедельник и пятница. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина? Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 15

Слайд 16

Решение 6в) Пример 6 . В каждом из пунктов а) — г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 5 бросаний из 25 будут «удачными»? Решение: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 16

Слайд 17

Решение 6г) Пример 6 . В каждом из пунктов а) — г) определить значения n , k , р, q и выписать (без вычислений) выражение для искомой вероятности P n (k). г) Испытание состоит в одновременном бросании трех различных монет. «Неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» среди 7 бросаний? Решение: г) n = 7, k = 3. «Удача» при одном бросании состоит в том, что «решек» выпало меньше, чем «орлов». Всего возможны 8 результатов: РРР, РРО, POP, ОРР, POO, ОРО, OOP, ООО (Р — «решка», О — «орел»). Ровно в половине из них «решек» меньше «орлов»: РОО, ОРО, OOP, ООО. Значит, p = q = 0,5; Р 7 (3) = С 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 = С 7 3 ∙ 0,5 7 . 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 17

Слайд 18

Теорема Бернулли позволяет … Теорема Бернулли позволяет установить связь между статистическим подходом к определению вероятности и классическим определением вероятности случайного события. Чтобы описать эту связь, вернемся к терминам § 50 о статистической обработке информации. Рассмотрим последовательность из n независимых повторений одного и того же испытания с двумя исходами — «удачей» и «неудачей». Результаты этих испытаний составляют ряд данных, состоящий из некоторой последовательности двух вариант: «удачи» и «неудачи». Проще говоря, имеется последовательность длины n , составленная из двух букв У («удача») и Н («неудача»). Например, У, У, Н, Н, У, Н, Н, Н, ..., У или Н, У, У, Н, У, У, Н, Н, У, ..., Н и т. п. Подсчитаем кратность и частоту варианты У, т. е. найдем дробь k/n , где k - количество «удач», встретившихся среди всех n повторений. Оказывается, что при неограниченном возрастании n частота k/n появления «успехов» будет практически неотличимой от вероятности p «успеха» в одном испытании. Этот довольно сложный математический факт выводится именно из теоремы Бернулли. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 18

Слайд 19

ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений ТЕОРЕМА 4. При большом числе независимых повторений одного и того же испытания частота появления случайного события А со все большей точностью приближенно равна вероятности события А: k/n≈ Р(А). Например , при n > 2000 с вероятностью, большей чем 99%, можно утверждать, что абсолютная погрешность | k/n — Р(А)| приближенного равенства k/n≈ Р(А) будет меньше 0,03. Поэтому при социологических опросах достаточно бывает опросить около 2000 случайно выбранных людей (респондентов). Если, допустим, 520 из них положительно ответили на заданный вопрос, то k/n=520/2000=0,26 и практически достоверно, что для любого большего числа опрошенных такая частота будет находиться в пределах от 0,23 до 0,29. Это явление называют явлением статистической устойчивости . Итак, теорема Бернулли и следствия из нее позволяют (приближенно) находить вероятность случайного события в тех случаях, когда ее явное вычисление невозможно. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 19

Слайд 20

Для учителя 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 20

Слайд 21

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 21

Слайд 22

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 22

Слайд 23

Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel . Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 23

Слайд 1

Слайд 2

Содержание Введение ПРИМЕР 7 . Случайным образом выбирают одно из решений неравенства | x - 5| ≤ 10. Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства | x – 1 |≤ 1? Общее правило для нахождения геометрической вероятности Множества на числовой плоскости Пример 8 . В прямоугольнике ABCD, у которого ВС = 2АВ (рис. 244) случайно выбирают точку. Найти вероятность того, что она расположена ближе к прямой АВ, чем к прямой AD . Для учителя методические замечания Источники 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 2

Слайд 3

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. Часть 4. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 3

Слайд 4

Введение Мы познакомились с классическим определением вероятности. Оно применимо к испытаниям с конечным числом равновозможных между собой исходов. Однако весьма часто встречаются испытания и с бесконечным числом исходов . Тут классическая вероятностная схема не применима. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 4

Слайд 5

ПРИМЕР 7 Случайным образом выбирают одно из решений неравенства | x -5|≤ 10. Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства | x -1|≤ 1? Решение . Сначала решим каждое из неравенств. Вспомним геометрический смысл модуля разности | a - b | — это расстояние между точками a и b на числовой прямой. Поэтому неравенство | x - 1| ≤ 1 означает , что расстояние между точками x и 1 не больше 1. Значит, решение неравенства — отрезок [0; 2] (верхняя штриховка на рис. 243), его длина равна 2. В свою очередь неравенство | x - 5| ≤ 10 означает , что расстояние между точками x и 5 не больше 10. Значит, решение неравенства — отрезок [-5; 15] (нижняя штриховка на рис. 243), его длина равна 20 . Мы видим, что из всех решений неравенства | x - 5| ≤ 10 только одну десятую часть составляют решения неравенства | x - 1| ≤ 1. Значит, искомая вероятность равна 1/10. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 5

Слайд 6

Общее правило для нахождения геометрической вероятности Если длину l (A ) промежутка А разделить на длину l (Х ) промежутка X , который целиком содержит промежуток А , то получится вероятность того, что точка, случайно выбранная из промежутка X, окажется в промежутке А : Р = l (A ) / l (Х ) . 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 6

Слайд 7

Множества на числовой плоскости Аналогично поступают и с множествами на числовой плоскости, и с пространственными телами. Но в этом случае длину следует заменить или на площади фигур, или соответственно на объемы пространственных тел. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 7

Слайд 8

Пример 8 В прямоугольнике ABCD, у которого ВС = 2АВ (рис. 244) случайно выбирают точку. Найти вероятность того, что она расположена ближе к прямой АВ, чем к прямой AD . Решение . Пусть АЕ — биссектриса угла А и Е  ВС (рис. 244). Тогда АВ = BE, точки отрезка АЕ равноудалены от прямых АВ и AD, а точки треугольника АВЕ (за исключением точек стороны АЕ) расположены к АВ ближе, чем к AD. Это и есть интересующее нас множество . От включения ( исключения ) стороны площадь треугольника не меняется. Площадь ∆АВЕ составляет четверть площади всего прямоугольника. В самом деле, S ABE = 1/2 АВ · BE = 1/2 АВ · 1/2 ВС =1/4AB · ВС =1/4 S ABCD . Значит, искомая вероятность равна 0,25. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 8 A B E C D

Слайд 9

Для учителя 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 9

Слайд 10

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 10

Слайд 11

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 11

Слайд 12

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 12

Слайд 13

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 13

Слайд 14

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 14

Слайд 15

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 15

Слайд 16

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 16

Слайд 17

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 17

Слайд 18

Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel . Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 18

Слайд 1

Слайд 2

Содержание Классическое определение вероятности Алгоритм нахождения вероятности случайного события Обозначение вероятности: P(A) Пример 1. Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет… Правило умножения Пример 2. Найти вероятность того, что при двукратном бросании игрального кубика сумма очков … Невозможное, достоверное и противоположное события Пример 3. Ученику предложили написать на доске любое двузначное число. Найти вероятность того, что это число … Пример 4. Два ученика независимо друг от друга написали на доске по одному двузначному числу. Найдите вероятность того, что … О комбинаторике Пример 5. Игральную кость бросают 4 раза. Что более вероятно: то, что шестерка появится хотя бы 1 раз, или же, что шестерка не появится ни разу? Примечание. При трех бросаниях … Пьер Ферма Блез Паскаль Для учителей математики Источники 08.02.2014 2 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Слайд 3

Классическое определение вероятности Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которого наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания. 08.02.2014 3 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Слайд 4

Алгоритм нахождения вероятности случайного события Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого испытания следует найти: ч исло N всех возможных исходов данного испытания; количество N(A) тех исходов, в которых наступает событие A ; Частное N(A)/N ; оно и будет равно вероятности события А. 08.02.2014 4

Слайд 5

Обозначение вероятности: P(A) Probabilite ( франц.)- вероятность, probably ( англ.) – вероятно. 08.02.2014 5

Слайд 6

Пример 1 Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет: 5 очков; четное число очков; число очков больше 4; число очков, не кратное 3. 08.02.2014 6

Слайд 7

Решение примера 1 a) Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет: 5 очков; четное число очков; число очков больше 4; число очков, не кратное 3. РЕШЕНИЕ: Всего имеется N=6 (равновозможных) исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6. a) Ровно при одном из исходов произойдет интересующее нас событие A = { выпадение 5 очков } . Значит , N(A ) = 1 и P(A ) = N(A)/N = 1/6 . ОТВЕТ : 1 /6 08.02.2014 7

Слайд 8

Решение примера 1 b) Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет: 5 очков; четное число очков; число очков больше 4; число очков, не кратное 3. РЕШЕНИЕ: Всего имеется N=6 (равновозможных) исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6. b) Интересующее нас событие B = { выпадение четного числа очков } произойдет в 3 случаях : когда выпадет 2, 4 или 6. Значит, N(B ) = 3 и P( B ) = N(B )/ N = 3/6 = 1/2 = 0,5 . ОТВЕТ : 0,5. 08.02.2014 8

Слайд 9

Решение примера 1 c) Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет: 5 очков; четное число очков; число очков больше 4 ; число очков, не кратное 3. РЕШЕНИЕ: Всего имеется N=6 (равновозможных) исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6. c) Интересующее нас событие C = { выпадение числа очков больше 4 } произойдет в 2 случаях : когда выпадет 5 или 6. Значит, N(C) = 2 и P(C) = N( С )/N = 2 /6 = 1/ 3 . ОТВЕТ : 1/3. 08.02.2014 9

Слайд 10

Решение примера 1 d) Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет: 5 очков; четное число очков; число очков больше 4; число очков, не кратное 3. РЕШЕНИЕ : Всего имеется N=6 (равновозможных) исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6. d) Интересующее нас событие D = { выпадение числа очков , не кратного 3 } произойдет только в 4 случаях: когда выпадет 1, 2, 4 или 5. Значит, N( D ) = 4 и P(D) = N(D)/N = 4/6 = 2/3. ОТВЕТ : 2/3. 08.02.2014 10

Слайд 11

Правило умножения Для того чтобы найти число всех равновозможных исходов независимого проведения двух испытаний A и B , следует перемножить число всех исходов испытания A и число всех исходов испытания B . 08.02.2014 11

Слайд 12

Ключевые слова Невозможное событие Достоверное событие Противоположное событие 08.02.2014 12

Слайд 13

Пример 2 Найти вероятность того, что при двукратном бросании игрального кубика сумма очков: равна 1; меньше 13; меньше 5; меньше 10. сумма очков 2 кубик 1 2 3 4 5 6 1 кубик 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 08.02.2014 13

Слайд 14

сумма очков 2 кубик 1 2 3 4 5 6 1 кубик 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 08.02.2014 14

Слайд 15

Решение примера 2 a) Найти вероятность того, что при двукратном бросании игрального кубика сумма очков: равна 1; меньше 13; меньше 5; меньше 10. РЕШЕНИЕ: a) Минимальная возможная сумма равна 2, так что сумма никак не может быть равной 1. Значит, N(A)=0 и P(A)=0. ОТВЕТ : P(A)=0. Здесь мы имели дело с невозможным событием. Так называют событие, которое никогда не наступает при проведении данного испытания, его вероятность равна 0. сумма очков 2 кубик 1 2 3 4 5 6 1 кубик 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 08.02.2014 15

Слайд 16

Решение примера 2 b) Найти вероятность того, что при двукратном бросании игрального кубика сумма очков: равна 1; меньше 13; меньше 5; меньше 10. РЕШЕНИЕ: b) Максимально возможное значение суммы равно 12. Значит, интересующее нас событие произойдет при любом исходе нашего опыта. Поэтому N(A)=N и P(A)=1. ОТВЕТ : P(A)=1 Здесь мы имеем дело с достоверным событием, т.е. событие обязательно наступит в данном испытании. Вероятность достоверного события равна 1. сумма очков 2 кубик 1 2 3 4 5 6 1 кубик 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 08.02.2014 16

Слайд 17

Решение примера 2 c) Найти вероятность того, что при двукратном бросании игрального кубика сумма очков: равна 1; меньше 13; меньше 5; меньше 10. РЕШЕНИЕ: c) При каждом бросании кубика возможны 6 исходов. Предполагается, что результаты бросаний независимы друг от друга. По правилу умножения N=6*6=36 (равновозможных) исходов. Значит, интересующее нас событие произойдет при следующих 6 исходах: (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1). Поэтому N(A)= 6 и P(A) = N(A)/N = 6/36 = 1/6. ОТВЕТ : 1 /6 Здесь мы имеем дело с независимым проведением двух испытаний. сумма очков 2 кубик 1 2 3 4 5 6 1 кубик 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 08.02.2014 17

Слайд 18

Решение примера 2 d) Найти вероятность того, что при двукратном бросании игрального кубика сумма очков: равна 1; меньше 13; меньше 5; меньше 10. РЕШЕНИЕ: d) Вместо подсчета тех исходов, в которых наступает интересующее нас событие A , перечислим те исходы, в которых оно не наступает , т.е. сумма равна 10, 11 или 12: (4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6). Поэтому N(A) = 36 ̶ 6 = 30 и P(A) = N(A)/N = 30 /36 = 5 /6. ОТВЕТ : 5 /6 Здесь мы имеем дело с противоположным событием. Так называют событие, которое наступает в том и только в том случае, когда не наступает интересующее нас событие. сумма очков 2 кубик 1 2 3 4 5 6 1 кубик 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 08.02.2014 18

Слайд 19

События Событием называют невозможным , если оно никогда не наступает при проведении данного испытания. В ероятность невозможного события равна 0. Событием называют достоверным , если оно обязательно наступит в данном испытании. Вероятность достоверного события равна 1. Событием называют противоположным , если оно наступает в том и только в том случае, когда не наступает интересующее нас событие. Вероятность P(A) события A и вероятность P( Ᾱ ) противоположного ему события Ᾱ связаны соотношением: P(A )+ P( Ᾱ ) =1. 08.02.2014 19

Слайд 20

Пример 3 Ученику предложили написать на доске любое двузначное число. Найти вероятность того, что это число: не оканчивается нулем; состоит из различных цифр; не является квадратом целого числа; не делится на 17. 08.02.2014 20

Слайд 21

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 08.02.2014 21

Слайд 22

Решение примера 3 a) Ученику предложили написать на доске любое двузначное число. Найти вероятность того, что это число: не оканчивается нулем; состоит из различных цифр; не является квадратом целого числа; не делится на 17. РЕШЕНИЕ: Всего имеется 90 двузначных чисел. N=90 . a) Пусть А – интересующее нас событие, т.е. А = { число не оканчивается нулем } , а Ᾱ - противоположное ему событие , т.е. Ᾱ = { число оканчивается нулем } = {10 ,20, …, 90 } . Следовательно, N( Ᾱ ) = 9 и P( Ᾱ ) = N( Ᾱ )/N = 9 /90 = 0, 9 . Значит, P( А ) = 1 ̶ P( Ᾱ ) = 1 ̶ 0, 9 = 0,1. ОТВЕТ : 0,1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 08.02.2014 22

Слайд 23

Решение примера 3 b) Ученику предложили написать на доске любое двузначное число. Найти вероятность того, что это число: не оканчивается нулем; состоит из различных цифр; не является квадратом целого числа; не делится на 17. РЕШЕНИЕ: Всего имеется 90 двузначных чисел. N=90 . b) Пусть А – интересующее нас событие, т.е. А = { число состоит из различных цифр } , а Ᾱ - противоположное ему событие , т.е. Ᾱ = { число состоит из одинаковых цифр } = {11, 22, …, 99}. N( Ᾱ ) = 9. P( Ᾱ ) = N( Ᾱ )/N = 9 /90 = 0, 9 . Значит, P( А ) = 1 ̶ P( Ᾱ ) = 1 ̶ 0, 9 = 0,1. ОТВЕТ : 0,1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 08.02.2014 23

Слайд 24

Решение примера 3 c) Ученику предложили написать на доске любое двузначное число. Найти вероятность того, что это число: не оканчивается нулем; состоит из различных цифр; не является квадратом целого числа; не делится на 17. РЕШЕНИЕ: Всего имеется 90 двузначных чисел. N=90 . c) Пусть А – интересующее нас событие, т.е. А = { число не является квадратом целого числа } , а Ᾱ - противоположное ему событие , т.е. Ᾱ = { число является квадратом целого числа } = { 16,25, 36, 49, 64, 81 } . Следовательно, N( Ᾱ ) = 6 и P( Ᾱ ) = N( Ᾱ )/N = 6 /90 = 1 /15. Значит, P( А ) = 1 ̶ P( Ᾱ ) = 1 ̶ 1/15 = 14/15 . ОТВЕТ : 14/15 . 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 08.02.2014 24

Слайд 25

Решение примера 3 d) Ученику предложили написать на доске любое двузначное число. Найти вероятность того, что это число: не оканчивается нулем; состоит из различных цифр; не является квадратом целого числа; не делится на 17. РЕШЕНИЕ: Всего имеется 90 двузначных чисел. N=90 . c) Пусть А – интересующее нас событие, т.е. А = { число не делится на 17 } , а Ᾱ - противоположное ему событие , т.е. Ᾱ = { число делится на 17 } = { 17, 34, 51, 68, 85 } . Следовательно, N( Ᾱ ) = 5 и P( Ᾱ ) = N( Ᾱ )/N = 5 /90 = 1 /1 8 . Значит, P( А ) = 1 ̶ P( Ᾱ ) = 1 ̶ 1/1 8 = 1 7 /1 8. ОТВЕТ : 17/18 . 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 08.02.2014 25

Слайд 26

Пример 4 Два ученика независимо друг от друга написали на доске по одному двузначному числу. Найдите вероятность того, что: эти два числа различны; сумма чисел равна 100; сумма чисел не больше 25 ; сумма чисел больше 190. 08.02.2014 26

Слайд 27

Решение примера 4 a) Два ученика независимо друг от друга написали на доске по одному двузначному числу. Найдите вероятность того, что: эти два числа различны; сумма чисел равна 100; сумма чисел не больше 25 ; сумма чисел больше 190. РЕШЕНИЕ : N=90*90=8100 ( по правилу умножения) A = { два числа различны } , Ᾱ = { два числа одинаковы } = { (10,10), (11,11),…, (99,99) } , 1 способ: N( Ᾱ ) = 90 , следовательно, N(A) = N ̶ N( Ᾱ ) = 90*90 ̶ 90. Значит, P(A) = N(A)/N = (90*90 ̶ 90)/(90*90) = (89*90)/(90*90) = 89/90. 2 способ : N( Ᾱ ) = 90 , P( Ᾱ ) = N( Ᾱ )/N = 90 / ( 90 *90) = 1 /90 . Значит, P(A) = 1 ̶ P( Ᾱ ) = 1 ̶ 1/90 = 89/90 ≈ 0,989 . ОТВЕТ : 89 /90 08.02.2014 27

Слайд 28

Решение примера 4 b) Два ученика независимо друг от друга написали на доске по одному двузначному числу. Найдите вероятность того, что: эти два числа различны; сумма чисел равна 100; сумма чисел не больше 25 ; сумма чисел больше 190. РЕШЕНИЕ : N=90*90=8100 ( по правилу умножения) b) Если первый ученик выбрал число от 10 до 90 , то интересующее нас событие произойдет , как только второй выберет недостающее до 100 слагаемое. Если первый ученик выбрал число, большее 90 (таких чисел 9), то при любом выборе второго сумма окажется больше 100, т.е. интересующее нас событие не произойдет . В остальных случаях, у второго ученика имеется по одной возможности составить сумму 100. Значит, N(A) = 90 ̶ 9 = 81, P ( A ) = 81/8100 = 0,01. ОТВЕТ : 89 /90 08.02.2014 28

Слайд 29

Решение примера 4 c) Два ученика независимо друг от друга написали на доске по одному двузначному числу. Найдите вероятность того, что: эти два числа различны; сумма чисел равна 100; сумма чисел не больше 25 ; сумма чисел больше 190. РЕШЕНИЕ : N=90*90=8100 ( по правилу умножения). c) Если 1-й ученик выбрал 10, то 2-й ученик может выбрать число от 10 до 15 (6 случаев). Если 1-й ученик выбрал 11, то 2-й ученик может выбрать число от 10 до 14 (5 случаев). Для 12 будет 4 случая, для 13 – 3, для 14 – 2, для 15 – 1 случай. ВСЕГО: N(A)=6+5+4+3+2+1=21. P(A)=21/(90*90)=7/2700 ≈ 0,0026 . ОТВЕТ : 7/2700 Перебор случаев (см. в таблице на следующем слайде ) 08.02.2014 29

Слайд 30

1 ученик 2 ученик 10 10 11 12 13 14 1 5 6 случаев 11 10 11 12 13 14 5 случаев 12 10 11 12 13 4 случая 13 10 11 12 3 случая 14 10 11 2 случая 15 10 1 случай ВСЕГО СЛУЧАЕВ: 21 08.02.2014 30

Слайд 31

Решение примера 4 d) Два ученика независимо друг от друга написали на доске по одному двузначному числу. Найдите вероятность того, что: эти два числа различны; сумма чисел равна 100; сумма чисел не больше 25 ; сумма чисел больше 190. РЕШЕНИЕ : N=90*90=8100 ( по правилу умножения). Если 1-й ученик выбрал от 10 до 91, то при любом выборе 2-го ученика сумма не может больше 190, поскольку даже 91+99=190. Если 1-й ученик выбрал 92, то 2-й ученик может выбрать только одно число 99 (1 вариант). Если 1-й ученик выбрал 93, то 2-й ученик может выбрать только 2 числа: 98 или 99 (2 варианта). И т.д. Если 1-й ученик выбрал 99, то 2-й ученик может выбрать любое число от 92 до 99 (8 вариантов). ВСЕГО: N(A)= 1+2+3+4+5+6+7+8 = 36 . P(A)= 36 /(90*90)= 1 / 225 ≈ 0,0044 . ОТВЕТ : 1 /2 25 Перебор случаев (см. в таблице на следующем слайде ) 08.02.2014 31

Слайд 32

1 ученик 2 ученик 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 91+99=190 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 Если 1-й ученик выбрал от 10 до 91, то при любом выборе 2-го ученика сумма не может больше 190, поскольку даже 91+99=190. А нас интересует событие А = { сумма двузначных чисел больше 190 } 08.02.2014 32

Слайд 33

1 ученик 2 ученик Кол-во случаев 92 92 93 94 95 96 97 98 99 1 93 92 93 94 95 96 97 98 99 2 94 92 93 94 95 96 97 98 99 3 95 92 93 94 95 96 97 98 99 4 96 92 93 94 95 96 97 98 99 5 97 92 93 94 95 96 97 98 99 6 98 92 93 94 95 96 97 98 99 7 99 92 93 94 95 96 97 98 99 8 ВСЕГО СЛУЧАЕВ: 36 Если 1-й ученик выбрал 92, то 2-й ученик может выбрать только одно число 99 (1 вариант). Если 1-й ученик выбрал 93, то 2-й ученик может выбрать только 2 числа: 98 или 99 (2 варианта). . . . Если 1-й ученик выбрал 99, то 2-й ученик может выбрать любое число от 92 до 99 (8 вариантов). ВСЕГО: N(A)= 1+2+3+4+5+6+7+8 = 36 . P(A)= 36 /(90*90)= 1 / 225 . 08.02.2014 33

Слайд 34

О комбинаторике Как мы видим, вычисление значений N и N(A ) представляет определенные сложности. Прямое перечисление (выписывание, перебор) всех возможностей можно провести лишь в сравнительно небольшом количестве задач. Для подсчета количества различных комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, используются методы и факты комбинаторики . Довольно часто говорят, основы комбинаторики и теории вероятностей создали и разработали французские математики XVII века Пьер Ферма и Блез Паскаль . 08.02.2014 34

Слайд 35

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 35

Слайд 36

Рассмотрим задачу Ферма и Паскаль решали интересные задачи и в переписке между собой и с другими математиками обсуждали подходы к их решению, полученные результаты, связь с другими задачами, возможности применения в новых ситуациях и т.п. Рассмотрим задачу, которую можно отнести к задачам, с которых началось развитие теории вероятностей или, как еще тогда говорили, комбинаторного анализа. Её предложил Паскалю кавалер де Мере – весьма влиятельный деятель при дворе короля Людовика XIV . 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 36

Слайд 37

Пример 5 Игральную кость бросают 4 раза. Что более вероятно: шестерка появится хотя бы 1 раз, или же, шестерка не появится ни разу? 08.02.2014 37

Слайд 38

Решение примера 5 По правилу умножения при четырехкратном бросании игральной кости N=6*6*6*6=6 4 =1296 исходов. Сама формулировка задачи “ шестерка появится хотя бы 1 раз или же шестерка не появится ни разу ” ясно указывает на то, что мы имеем дело с парой противоположных друг другу событий. Что же обозначить за A , а что за Ᾱ ? То событие, вероятность которого проще сосчитать, удобно обозначить А . 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 38

Слайд 39

Решение примера 5 Что означает “ появление шестерки хотя бы один раз “ ? Для появления шестерки много различных ситуаций: шестерка при третьем бросании, шестерка при первом и третьем бросании и т.п. Не очень пока ясно, как их все пересчитать. Мы не будем этого делать. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 39

Слайд 40

Решение примера 5 Пусть событие А = { шестерка не появится ни разу } . Это означает, что при каждом из 4 бросков имеется ровно 5 исходов : выпадение 1, 2, 3, 4, 5. По правилу умножения: N(A) = 5*5*5*5 = 5 4 =625 . Значит, P(A) = 5 4 /6 4 = 625/1296 ≈ 0 ,4823 ; Ᾱ = { появление шестерки хотя бы один раз } . P( Ᾱ ) = 1 ̶ P(A) = 1 ̶ 0 ,4823 ≈ 0,5177. Таким образом, P( Ᾱ ) > P(A) . ОТВЕТ : появление хотя бы одной шестерки более вероятно, чем полное отсутствие шестерок при четырех бросаниях игральной кости. 08.02.2014 40

Слайд 41

Можно и так решить задачу: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 41

Слайд 42

Для 3 бросаний ответ другой P(A) = 5 3 /6 3 = 1 25/ 216; P( Ᾱ ) = 1 ̶ P(A) = 1 ̶ 1 25/ 216 = 91 / 216 . Таким образом, P( Ᾱ ) < P(A) . ОТВЕТ : полное отсутствие шестерок более вероятно, чем появление хотя бы одной шестерки при трех бросаниях игральной кости. 08.02.2014 42

Слайд 43

Пьер Ферма (1601-1665) 08.02.2014 43

Слайд 44

Блез Паскаль (1623-1662) 08.02.2014 44

Слайд 45

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 45

Слайд 46

Для учителей математики 08.02.2014 Название §51 «Простейшие вероятностные задачи» в учебнике для 10—11 классов совпадает с названием §20 в учебнике для 9 класса. Эти параграфы совпадают между собой и по содержанию: вероятность как модель реальных случайных событий, классическое определение вероятности, алгоритм вычисления вероятности по этому определению, связь между вероятностью события и противоположного ему события — вот основные акценты в §51. В то же время прямых цитирований из учебника для 9 класса нет. Тем самым уже известный из основной школы учебный материал повторяется и закрепляется на новом массиве примеров и задач. 46

Слайд 47

Для учителей математики Термин «простейшие» в применении к вероятностным задачам означает отсутствие формульной комбинаторики (числа размещений и сочетаний). Во всех примерах и задачах этого параграфа вполне хватает правила умножения, формулировка которого мы, разумеется, повторяется и в данном учебнике для старшей школы. Поэтому, несмотря на присутствие термина «вероятностные» в названии параграфа, с учебной точки зрения в §51 закрепляется умение работать с простейшими комбинаторными ситуациями: проводить непосредственный перебор всех случаев, разумно организовывать перебор и использовать правило умножения. Пожалуй, единственным отличием является отсутствие дерева всевозможных вариантов. Этот материал остается в основной школе. 08.02.2014 47

Слайд 48

Для учителей математики Рассмотрение цепочки последовательно усложняющихся комбинаторных примеров подводит к необходимости расширить имеющийся технический аппарат комбинаторики. Грубо говоря, становится уже тесновато действовать в рамках лишь перебора и правила умножения. Тем самым структурно §51 образует мостик между материалом в той или иной мере известным из курса основной школы и новыми для учеников понятиями размещения и сочетания. Хотелось бы обратить специальное внимание на пример 5 : «Игральную кость бросают четыре раза. Что более вероятно: то, что шестерка появится хотя бы один раз, или же, что шестерка не появится ни разу?» Он интересен с исторической точки зрения, так как послужил одной из отправных точек к созданию в XVII веке теории вероятностей. 08.02.2014 48

Слайд 49

Для учителей математики Важен он и содержательно, так как по существу является одной из простейших схем Бернулли независимого повторения испытания с двумя исходами, т. е. является своего рода пропедевтикой материала §54, заключительного в этой главе. Кроме того, в анализе этого примера ясно указано, что основой решения является (в очередной раз!) правило умножения . Если действовать предполагая, что теорема Бернулли заранее известна, то ответ для вероятности того, что шестерка не появится ни разу, следовало бы получить как Р(А)= ( 5 /6) 4 . Мы получаем тот же ответ, но как Р(А)=5 4 /6 4 , где для вычисления и числителя, и знаменателя применяется уже хорошо известное правило умножения. 08.02.2014 49

Слайд 50

Для учителей математики В §52, формально, приведены сведения об использовании двух, пожалуй наиболее знакомых большинству учителей, комбинаторных формул (см.вверху). Во многих УМК для школы при изложении этого учебного материала авторы выбирают стиль, близкий к справочной литературе. А именно, кратко формулируют определения того, что именно обозначается символами С* и А*, сообщают две приведенные выше формулы и дают несколько примеров их использования. Нет сомнений, что это самый короткий путь к использованию указанных формул при решении задач. Зачастую такой комбинаторный «ликбез» проводится и в 9 классе, а в некоторых УМК даже и в 7 классе. 08.02.2014 50

Слайд 51

08.02.2014 51

Слайд 52

08.02.2014 52

Слайд 53

Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel . Интернет-ресурсы ЕГЭ 2013. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь. Изд. второе, дополненное. Под ред. А.Л.Семенова и И.В. Ященко, М., Изд. МЦНМО, 2013 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 53