Ученикам

Поэтические минутки на уроках математики

ВЫСОТА, МЕДИАНА И БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА

Три девицы, три сестрицы
В треугольнике живут.
Речь такую там ведут:
— Всех главнее высота!
Говорю вам неспроста.
Видят все, как сторонам
Нужен перпендикуляр.
Тогда они, сменив названья,
Зовутся гордо — основанья!
— Нет, — сказала медиана, —
Спорить я не перестану.
И на это есть причина:
Я треугольника вершину

Соединяю с серединой
Стороны. К тому же я
Делю всю площадь пополам!
В спор вступила биссектриса:
— Спорить не имеет смысла!
Если трое соберемся,
В точке мы пересечемся.
Эта точка непростая.
Серединка золотая;
Если циркулем владеешь,
Окружность ты списать сумеешь!
Значит, всех я вас главнее!
В спор вмешался треугольник:
— Что вы, знает каждый школьник,
Что для меня вы все равны.
Будьте же всегда дружны!
Но вас предупреждаю я:
У каждой миссия своя!
Знает каждый школьник,
Как меня построить.
К чему не проведут меня,
Всем перпендикулярна я.
Отгадай, вопрос простой,
Как зовусь я? (Высотой).
Вначале вы найти должны
Середину стороны.
Ее соединишь с вершиной,
И меня уж получил ты.
Просто все и без обмана.
Как зовусь я? (Медиана).

 
ПИФАГОРОВА ТЕОРЕМА

Не знаю, чем кончу поэму,
И как мне печаль избыть;
Древнейшую теорему
Никак я не в силах забыть.
Стоит треугольник, как ментор,
И угол прямой в нем есть.
И всем его элементам
Повсюду покой и честь.
Прелестная гипотенуза
Вознеслась так смело ввысь!
И с нею в вечном союзе
Два катета тоже взнеслись.
Она царит на квадратах
И песню поет она.
Та песня влечет куда-то
Геометров древних волна.
И все на торжищах света,
Как в огненном кольце,
И все повторяют это:
Ах, а, в, с!
И даже в холодной медузе
Огонь эта песня зажгла,
И все это гипотенузы
И катетов двух дела!

ЧИСЛО «ПИ»

Гордый Рим трубил победу
Над твердыней Сиракуз,
Но трудами Архимеда
Много больше я горжусь.
Надо нынче нам заняться,
Оказать старинке честь.
Чтобы нам не ошибаться,
Чтоб окружность верно счесть.
Надо только постараться
И запомнить все, как есть:
Три-14-15-92 и шесть.
(п= 3,1415926)

ПРОСТРАНСТВО
Пространству мера троякая:
В долготу бесконечно простирается,
В ширину беспредельно разливается,
В глубину она бездонно опускается!
Подражай сей мере в делах своих.


БЕСКОНЕЧНОСТЬ
В мире, где все граница,
Все только предел и преграда,
Бездонная бесконечность —
Ты мне лишь одна награда.

ГЕОМЕТРИЯ
О, Петр, ведь ты построил город
Не для умерших — для живых?
Тяжелый дождь бежит за ворот
Окаменевших часовых.
Недвижимы аллеи парков,
Прямы проспекты, как стрела,
Сильней божественных монархов
Здесь геометрия была.
Был нежен в башнях цитадели
И кроток лепет голубиц,
И страшные на мир глядели
В окно глаза цареубийц!
Гуляют каменные финны,
Курятся трубки из бород,
Вот и построили Афины
Средь топей северных болот!
Налево львы и львы направо,
А у заставы инвалид
Штык держит вертикально прямо,
Как геометрия велит!

ТРЕУГОЛЬНИК И КВАДРАТ
Жили-были два брата:
Треугольник с квадратом
Старший — квадратный
Добродушный, приятный
Младший — треугольный,
Вечно недовольный.
Стал расспрашивать квадрат:
— Почему ты злишься, брат?
Тот кричит ему: — Смотри,
Ты полней меня и шире,
У меня углов лишь три,
У тебя же их четыре!
Но квадрат ответил: — Брат!
Я же старше, я — квадрат:
Я сказал еще нежней:
— Неизвестно, кто нужней!
Но настала ночь, и к брату,
Натыкаясь на столы,
Младший лезет воровато
Срезать старшему углы.
Уходя сказал:
— Приятных я тебе, желаю снов!
Знать, ложился — был квадратным,
А проснешься без углов!
Но наутро младший брат
Страшной мести был не рад.
Поглядел он — нет квадрата,
Онемел, стоял без слов...
Вот так месть! Теперь у брата
Восемь новеньких углов.

Подготовка к ОГЭ

Полезные сайты для подготовки

• Сайт ФИПИ, с которого можно скачать ДЕМОВЕРЦИИ  ОГЭ -2015 по всем предметам, в том числе и по математике     http://www.fipi.ru/view/sections/227/docs/628.html 
• Открытый банк заданий ОГЭ по математике   http://mathgia.ru/or/gia12/Main 
•   Сайт Ларина А.А. «Математика. Репетитор»  http://alexlarin.net/ 
•  ЕГЭ I ОГЭ. Информационный образовательный портал. Подготовка к экзаменам.    http://egeigia.ru/ 
• Учебные (справочные) пособия для подготовки к ОГЭ (книги, сборники тестов в форматах djvu / zip и pdf / zip)   http://www.alleng.ru/edu/math3.htm 

Перечень учебных пособий, разработанных с участием ФИПИ

• ОГЭ -2015. Математика: типовые экзаменационные варианты: 10 вариантов.  / Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: Издательство «Национальное образование», 2014г./
•  ОГЭ -2015. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов.  / Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: Издательство «Национальное образование», 2014г./
•  ОГЭ -2015. Экзамен в новой форме. Математика. 9 класс. / Под. Ред. И.В. Ященко - М.: Астрель, 2014г.

Успехов вам!

Подготовка к ЕГЭ

Полезные сайты для подготовки

• Сайт Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Можно скачать демоверсии ЕГЭ-2015 по всем предметам, в том числе и по математике. Есть Открытый банк заданий ЕГЭ по предметам. 
• Официальный информационный портал ЕГЭ. Общие сведения о ЕГЭ (расписание, бланки, советы, демоверсии, консультации и т.д.), материалы для выпускников 11-х классов и поступающих в ВУЗы и ССУЗы.
• Официальный сайт Рособрнадзора
  "ЕГЭ-портал. Мы знаем о ЕГЭ все"    http://4ege.ru/novosti-ege/1532-shkala-perevoda-ballov-ege.html  
• Открытый банк заданий по математике ЕГЭ-2015
• Сайт Ларина А.А. «Математика. Репетитор». Есть генератор вариантов ЕГЭ.
• Д. Гущин "Решу ЕГЭ".  Базы заданий для портала «РЕШУ ЕГЭ» составлены на основе следующих источников: задания открытых банков и официальных сборников для подготовки к ЕГЭ; демонстрационные версии ЕГЭ и экзаменационные задания, разработанные ФИПИ; диагностические работы, подготовленные МИОО; тренировочные работы, проводимые органами управления образованием в различных регионах Российской Федерации. Все используемые в системе задания снабжены ответами и подробными решениями.
•   ЕГЭ /ОГЭ. Информационный образовательный портал. Документы, материалы, пособия, пробники к ЕГЭ и ОГЭ. http://egeigia.ru/   
•   Учебные (справочные) пособия для подготовки к ЕГЭ (книги, сборники тестов в форматах djvu/zip и pdf/zip)  http://www.alleng.ru/edu/math3.htm

Из истории математики

           Математика - универсальный язык Вселенной, фундамент, на котором основаны все другие науки. Как человечество смогло открыть тайны этого универсального языка? Начиная с древнейших времен, прослеживается история математики до наших дней и завершается рассказом о наиболее важных проблемах современности. За решение каждой из этих "проблем тысячелетия" полагается крупное денежное вознаграждение. Но главное, их решение позволит лучше понять устройство нашего мира. Ну и последнее. Если вы считаете, что математика не интересна - не торопитесь сбрасывать со счетов этот фильм. Рассказ ведется настолько захватывающе, что вам скучать не придется. У вас есть шанс познакомиться с математикой с другой, интересной стороны.
         Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам.

Греческая математика

      Понятие древнегреческая математика охватывает достижения грекоязычных математиков, живших в период между VI веком до н. э. и V веком н. э. Вплоть до VI века до н. э. греческая математика ничем выдающимся не прославилась. Были, как обычно, освоены счёт и измерение. О достижениях ранних греческих математиков мы знаем в основном по комментариям позднейших авторов, преимущественно Евклида, Платона и Аристотеля.
   В VI веке до н. э. «греческое чудо» начинается: появляются сразу две научные школы: ионийцы (Фалес Милетский) и пифагорейцы (Пифагор).
       Фалес, богатый купец, во время торговых поездок, видимо, хорошо изучил вавилонскую математику и астрономию. Ионийцы дали первые доказательства геометрических теорем. Однако главная роль в деле создания античной математики принадлежит пифагорейцам.
        Пифагор, основатель школы, как и Фалес, много путешествовал и тоже учился у египетских и вавилонских мудрецов. Именно он выдвинул тезис «Числа правят миром», и занимался его обоснованием.  Пифагорейцы немало продвинулись в теории делимости, но чрезмерно увлеклись играми с «треугольными», «квадратными», «совершенными» и т. п. числами, которым, судя по всему, придавали мистическое значение. Теория наибольших общих делителей и наименьших общих кратных тоже, видимо, пифагорейского происхождения. Вероятно, они же построили общую теорию дробей (понимаемых как отношения (пропорции), так как единица считалась неделимой), научились выполнять с дробями сравнение (приведением к общему знаменателю) и все 4 арифметические операции.
Именно пифагорейцам мы во многом обязаны той математикой, которая затем была систематизированно изложена и доказана в Началах Евклида. Есть основания полагать, что именно они открыли то, что ныне известно как теоремы о треугольниках, параллельных прямых, многоугольниках, окружностях, сферах и правильных многогранниках.
       Одним из самых выдающихся пифагорейцев был Платон (ок. 427-347 до н.э.). Платон был убежден, что физический мир постижим лишь посредством математики. Считается, что именно ему принадлежит заслуга изобретения аналитического метода доказательства. Заметное место в истории математики занимает Аристотель, ученик Платона. Аристотель заложил основы науки логики и высказал ряд идей относительно определений, аксиом, бесконечности и возможности геометрических построений.
      Около 300 до н.э. результаты многих греческих математиков были сведены в единое целое Евклидом, написавшим математический шедевр Начала. Из немногих проницательно отобранных аксиом Евклид вывел около 500 теорем, охвативших все наиболее важные результаты классического периода. Свое сочинение Евклид начал с определения таких терминов, как прямая, угол и окружность. Затем он сформулировал десять самоочевидных истин, таких, как «целое больше любой из частей». И из этих десяти аксиом Евклид смог вывести все теоремы. Для математиков текст Начал Евклида долгое время служил образцом строгости, пока в 19 в. не обнаружилось, что в нем имеются серьезные недостатки, такие как неосознанное использование несформулированных в явном виде допущений.

Математика на Востоке

  Ал-Хорезми или Мухаммад ибн Муса Хорезми (около 783 – около 850) - великий персидский математик, астроном и географ, основатель классической алгебры. Ал-Хорезми известен, прежде всего, своей «Книгой о восполнении и противопоставлении» от названия которой произошло слово «алгебра».
       В теоретической части своего трактата ал-Хорезми даёт классификацию уравнений 1-й и 2-й степени. Охарактеризовав каждый вид уравнений и показав на примерах правила их решения, ал-Хорезми даёт геометрическое доказательство этих правил для трёх последних видов, когда решение не сводится к простому извлечению корня. Для приведения квадратного уравнения общего вида к одному из шести канонических видов ал-Хорезми вводит два действия. Первое из них, ал-джабр, состоит в перенесении отрицательного члена из одной части в другую для получения в обеих частях положительных членов. Второе действие - ал-мукабала - состоит в приведении подобных членов в обеих частях уравнения. Кроме того, ал-Хорезми вводит правило умножения многочленов.

Математика в древней Руси

   Предки русского народа – славяне – с незапамятных времен жили на землях Средней и Восточной Европы. Первые письменные упоминания о славянах встречаются в книгах древних римлян, написанных в самом начале нашей эры. Арабские книги говорят о том, что в середине первого тысячелетия славяне вели большую торговлю с греками, арабами и другими народами и храбро воевали с иноземцами, которые пытались их покорить. В Х веке нашей эры у славян появилась письменность. С этого времени начинается "писаная” история Древней Руси.
  

Средние века и Возрождение

  Цивилизация, сложившаяся в Европе раннего Средневековья (ок. 400-1100), не была продуктивной, т.к. интеллектуальная жизнь сосредоточилась почти исключительно на теологии и загробной жизни. Уровень математического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из Начал Евклида. Наиболее важным разделом математики в Средние века считалась астрология; астрологов называли математиками. А поскольку медицинская практика основывалась преимущественно на астрологических показаниях или противопоказаниях, медикам не оставалось ничего другого, как стать математиками.
  Около 1100 г. в западноевропейской математике начался почти трехвековой период освоения сохраненного арабами и византийскими греками наследия Древнего мира и Востока. Поскольку арабы владели почти всеми трудами древних греков, Европа получила обширную математическую литературу. Перевод этих трудов на латынь способствовал подъему математических исследований. Все великие ученые того времени признавали, что черпали вдохновение в трудах греков. Первым заслуживающим упоминания европейским математиком стал Леонардо Пизанский (Фибоначчи). В своем сочинении "Книга абака" (1202) он познакомил европейцев с индо-арабскими цифрами и методами вычислений, а также с арабской алгеброй. В течение следующих нескольких веков математическая активность в Европе ослабла.
  Среди лучших геометров эпохи Возрождения были художники, развившие идею перспективы, которая требовала геометрии со сходящимися параллельными прямыми. Художник Леон Баттиста Альберти (1404-1472) ввел понятия проекции и сечения. Понятия проекции и сечения порождали чисто математические вопросы. Например, какими общими геометрическими свойствами обладают сечение и исходная сцена, каковы свойства двух различных сечений одной и той же проекции, образованных двумя различными плоскостями, пересекающими проекцию под различными углами? Из таких вопросов и возникла проективная геометрия. Ее основатель - Ж.Дезарг (1593-1662) с помощью доказательств, основанных на проекции и сечении, унифицировал подход к различным типам конических сечений, которые великий греческий геометр Аполлоний рассматривал отдельно.

Начало современной математики

  Наступление 16 в. в Западной Европе ознаменовалось важными достижениями в алгебре и арифметике. Были введены в обращение десятичные дроби и правила арифметических действий с ними. Настоящим триумфом стало изобретение в 1614 г. логарифмов Дж. Непером. К концу 17 в. окончательно сложилось понимание логарифмов как показателей степени с любым положительным числом, отличным от единицы, в качестве основания. С начала 16 в. более широко стали употребляться иррациональные числа. В 16 в. продолжались споры по поводу законности введения отрицательных чисел. Самым существенным новшеством стало систематическое использование французским математиком Ф.Виетом (1540-1603) букв для обозначения неизвестных и постоянных величин. Это нововведение позволило ему найти единый метод решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Затем математики обратились к уравнениям, степени которых выше четвертой. 

Современная математика

  Создание дифференциального и интегрального исчислений ознаменовало начало «высшей математики». Методы математического анализа, в отличие от понятия предела, лежащего в его основе, выглядели ясными и понятными. Многие годы математики, в том числе Ньютон и Лейбниц, тщетно пытались дать точное определение понятию предела. И все же, несмотря на многочисленные сомнения в обоснованности математического анализа, он находил все более широкое применение. Дифференциальное и интегральное исчисления стали краеугольными камнями математического анализа, который со временем включил в себя и такие предметы, как теория дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, бесконечные ряды, вариационное исчисление, дифференциальная геометрия и многое другое. Строгое определение предела удалось получить лишь в 19 в.