Дистанционное обучение - ТОТиГ Т 21
Домашнее задание выполняется в электронном виде и отправляется на электронную почту: asya171186@mail.ru
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Гидростатика . презентация | 271 КБ |
 ГИДРОСТАТИКА | 286.98 КБ |
| Гидродинамика | 586.74 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы равновесия жидкости и их практические приложения . Жидкости практически не способны сопротивляться растяжению , а в неподвижных жидкостях не действуют касательные силы . Поэтому на неподвижную жидкость из поверхностных сил могут действовать только силы давления ; причем на внешней поверхности рассматриваемого объема жидкости силы давления всегда направлены по нормали внутрь объема жидкости и, следовательно, являются сжимающими .
Под внешней поверхностью жидкости понимают не только поверхность раздела жидкости с газообразной средой пли твердыми стенками, но и поверхность объема, мысленно выделяемого из общего объема жидкости . Таким образом, в неподвижной жидкости возможен лишь один вид напряжения — напряжение сжатия, т. е. гидростатическое давление .
Основное свойство гидростатического давления: в любой точке жидкости гидростатическое давление не зависит от ориентировки площадки, на которую оно действует , т. е. от углов ее наклона по отношению к координатным осям.
Рис. Схема для доказательства свойства гидростатического давления
Для доказательства выделим в неподвижной жидкости элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными dx , dy и dz (рис.). Пусть внутри выделенного объема на жидкость действует единичная массовая сила, составляющие которой равны X , Y и Z . Обозначим через р х гидростатическое давление, действующее на грань, нормальную к оси Ох , через р у — давление на грань, нормальную к оси О y , и т. д. Гидростатическое давление, действующее на наклонную грань, обозначим через р п , а площадь этой грани — через dS .
C оставим уравнение равновесия выделенного объема жидкости в направлении оси Ох , учитывая, что все силы направлены по нормалям к соответствующим площадкам внутрь объема жидкости. Проекция сил давления на ось Ох p x dydz/2 – p п dS cos ( п ,x). Масса жидкости в тетраэдре равна произведению ее объема на плотность, т. е. dxdydz ρ / 6 , следовательно, массовая сила, действующая на тетраэдр вдоль оси Ох , составляет dx dy dz ρ X /6 .
Уравнение равновесия тетраэдра: dy dz p x /2 - р п dS cos ( n , x )+ + dx dy dz ρ X /6= 0 . Разделив это уравнение на площадь dydz /2 , которая равна площади проекции наклонной грани dS на плоскость yOz , т. е. dydz / 2 = dS cos ( n , x ), получим p x - p п + dxX ρ /3 = 0 .
При стремлении размеров тетраэдра к нулю последний член уравнения ( dxX ρ /3) содержащий множитель dx , также стремится к нулю , а давления р х и р п остаются величинами конечными. Следовательно, в пределе получим p x - p п = 0 или p x = p п.
Аналогично из уравнений равновесия вдоль осей Оу и Oz , находится p y = p п , p z = p п или p x = p y = p z = p п . (1.21) Так как размеры тетраэдра dx , dy и dz взяты произвольно, то и наклон площадки dS произволен и, следовательно, в пределе при стягивании тетраэдра в точку давление в этой точке по всем направлениям будет одинаково.
Основное уравнение гидростатики– уравнение для нахождения гидростатического давления в любой точке рассматриваемого объема жидкости. Рассмотрим частный случай равновесия жидкости: на нее действует одна массовая сила — сила тяжести . Если объем жидкости весьма мал по сравнению с объемом Земли, то свободную поверхность жидкости можно считать горизонтальной плоскостью.
Рис. Схема для вывода основного уравнения гидростатики Пусть жидкость содержится в сосуде (рис.) и на ее свободную поверхность действует давление р 0 . Найдем гидростатическое давление р в произвольно взятой точке М , расположенной на глубине h .
Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой h . Условие равновесия этого объема жидкости. Сумма сил, действующих на рассматриваемый объем в проекции на вертикаль: pdS - p 0 dS - ρ gh dS = 0 . (Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т. е. вверх.) Последний член уравнения ( ρ gh dS ) представляет собой вес жидкости в указанном объеме. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, так как они нормальны к вертикали . Сократив выражение на dS и перегруппировав члены, получим р = р 0 + h ρ g = p 0 + h γ . (1.22)
Уравнение ( р=р 0 + h ρ g = p 0 + h γ ) - основное уравнение гидростатики - по нему можно подсчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление складывается из: давления р 0 на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости . Величина p 0 является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому, учитывая свойство гидростатического давления, можно сказать, что давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково. Это закон Паскаля. Давление жидкости по формуле (1.22), возрастает с увеличением глубины по закону прямой и на данной глубине есть величина постоянная.
Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня . В данном случае поверхностями уровня являются горизонтальные плоскости , а свободная поверхность является одной из поверхностей уровня.
Обозначив через z координату точки М , через z 0 — координату свободной поверхности жидкости и заменив в уравнении (1.20 - р = р 0 + h ρ g = p 0 + h γ ) h на z 0 - z , получим z + p / ( ρ g )= z 0 + p 0 / ( ρ g ). (1.23) Так как точка М взята произвольно, то и для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости z + p / ( ρ g ) = const .
Координата z - геометрическая высота (имеет линейную размерность). Величина p / ( ρ g ) - пьезометрическая высота (имеет линейную размерность). z + p / ( ρ g ) - гидростатический напор (имеет линейную размерность). Таким образец, гидростатический напор есть величина постоянная для всего объема неподвижной жидкости . Те же результаты можно получить путем интегрирования дифференциальных уравнений равновесия жидкости.
Предварительный просмотр:
ГИДРОСТАТИКА
Решение задач с использованием основного уравнения гидростатики
Гидростатическим давлением называется физическая величина Р, равная пределу отношения численного значения N , нормальной силы, действующей на участок поверхности тела площадью ω, к величине Δω при ω стремящейся к нулю.
P = lim | N | . | |
Δω→0 | Δω | ||
Гидростатическое давление обладает двумя свойствами. Первое свойство — сила гидростатического давления направлена по внутренней нормали
- площадке, которая воспринимает это давление. Второе свойство — величина гидростатического давления в точке не зависит от ориентации (от угла наклона) площадки.
Приступая к решению задачи, студент должен твердо усвоить, что давление может выражаться в трех системах измерения давления:
- Абсолютное давление ( Pабс ) отсчитывается от состояния отсутствия
всякого давления, от полного вакуума (рис. 2). Атмосферное давление
- обычных технических расчетах в системе абсолютного давления принимают равным одной технической атмосфере или 98,1 кПа ( Pатм = 98,1 кПа).
- Избыточное давление ( Pизб ) отсчитывается от условного нуля, равного атмосферному давлению. В системе избыточного давления Pатм = 0 .
- Вакуумметрическое давление ( Pвак ) показывает недостаток давления до атмосферного.
Связь между значениями давления, записанными в разных системах, выражается формулами:
Pабс = Pатм + Pизб ; | |||
Pизб = Pабс − Pатм ; | (1) | ||
Pвак = −Pизб. | |||
Рис. 2 | Как мы видим, в области вакуума | ||
Ризб может быть и отрицательным. | |||
Основное уравнение гидростатики имеет формулировку «давление в любой точке покоящейся жидкости (Р) равно сумме давления на поверхности жидкости (Р0) и давления столба жидкости над этой точкой (ρgh)» и записывается как
P = P0 + ρgh, | (2) |
где h — расстояние от свободной поверхности жидкости до точки по верти-кали (глубина расположения точки); ρ — плотность жидкости; g — ускорение свободного падения.
- помощью этого уравнения можно определить одну из трех величин —
- или Р0, или h, если известны две другие.
Для решения задач также следует вспомнить понятие поверхности уровня — это поверхность, принадлежащая одному и тому же объему жидкости, давление во всех точках которой одинаково. В поле сил тяжести поверхности уровня — это горизонтальные плоскости. Свободная поверхность — од-на из поверхностей уровня.
Задачи рекомендуется решать в международной системе единиц СИ. Атмосферное давление далее принимается равным 98 100 Па или 98,1 кПа. Плотность воды равна 1000 кг/м3 . Плотность ртути ρрт =13 600 кг/м3.
При практических расчетах одна техническая атмосфера равна
1 кгс/см2 = 10 м вод. ст. = 735 мм рт. ст. = 98 070 Н/м2.
Пример 1. Ртутный U-образный вакуумметр присоединен к сосуду с водой над поверхностью которой имеется вакуум P0 = 19,62 кПа
(рис. 3). Определить показания вакуумметра h2 , если h1 = 368 мм.
Решение. Для решения задач из этого раздела рекомендуется при-держиваться следующего примерного алгоритма:
Рис. 3
- Вначале необходимо выбрать для себя систему измерения давления в которой вы будете решать задачу — абсолютного или избыточного давления.
Если в условии задано давление в другой системе, его следует перевести ту систему, которую вы выбрали.
Для решения задачи выберем, например, систему избыточного давления, то есть все давления будем выражать в этой системе. Заданное в условии Р0 вакуумметрическое переведем в избыточное.
P0 = −19,62 кПа.
- Следует выбрать на схеме точку, давление в которой либо известно, либо легко определяемо, и провести через нее поверхность уровня.
- качестве такой точки выбираем точку А и проводим через нее поверхность уровня — горизонтальную плоскость АВ. Обе точки А и В принадлежат одному и тому же объему ртути.
Давление в точке А на открытом конце трубки атмосферное, т. е.
PA = Pатм = 0.
- На поверхности уровня нужно выбрать вторую точку и записать для нее основное уравнение гидростатики, в которое войдет искомая величина.
Второй точкой выберем точку В и запишем
PA = PB;
PB = P0 + ρ в gh1 + ρрт gh2 .
- Далее следует приравнять выражения давлений в обеих точках и ре-шить полученное уравнение относительно неизвестной величины.
PА = P0 + ρ в gh1 + ρрт gh2 ; | ||||||
h = | PA − P0 − ρв gh1 | . | ||||
2 | ρрт g | |||||
Подставив численные значения, получим | ||||||
h = | 0 − (−19,62 ⋅103 ) −1000 ⋅9,81⋅ 0,368 | = 0,12 м. | ||||
2 | 13600 | ⋅9,81 | ||||
Ответ: h2 = 0,12 м.
Пример 2. В закрытом подземном резервуаре (рис. 4) находится жид-кость плотностью ρ, уровень которой может изменяться от zmin до zmax . Для
измерения уровня жидкости использована U-образная трубка с гидравлическим ртутным затвором. Свободный участок трубки заполнен на высоту h0
жидкостью плотностью ρ, по мениску которой отсчитывается контролируемый уровень.
Изменение (повышение или по- | ||||||
нижение) уровня жидкости в резер | ||||||
вуаре | на | величину | H | приводит | ||
к соответствующему | изменению по | |||||
ложения мениска на шкале на вели- | ||||||
чину | h . | h0 = 10 м, превы- | ||||
Известно, что | ||||||
шение | Н | минимального | уровня | |||
жидкости над нулем гидравлическо- | ||||||
го затвора равно | H = 1 м. Опреде- | |||||
лить отклонение | h менисков ртути | |||||
от нуля гидрозатвора, если ρ = ρж = | ||||||
Рис. 4 | = 1000 кг/м3. | |
Решение. Проведем поверхность уровня по нижнему мениску ртути
- составим основное уравнение гидростатики в левом и правом колене гид-розатвора для точек А и В.
P0 + ρg (H − h ) + 2ρ рт g h = P0 + ρg (h0 + h).
P0 для обеих точек будет одинаковым. Выполнив алгебраические преоб-разования, получим
ρg (h − H )
h = 2g ( ρ0 − ρ).
рт
Подставим численные значения.
h = | 1000(10 | −1) | = 0,357 | м. | |
2(13600 − | 1000) |
Решение задач на определение силы гидростатического давления на произвольные плоские поверхности
Сила гидростатического давления на плоскую наклонную стенку опре-деляется как произведение гидростатического давления в центре тяжести этой стенки на ее площадь (рис. 5).
F = (P0 + ρghC )ω, | (3) |
где P0 — избыточное давление на свободной поверхности жидкости; hC — глубина расположения центра тяжести площади ω; ω — площадь стенки.
В частном случае, когда давление P0 является атмосферным и действует
также с другой стороны стенки, сила F избыточного давления жидкости на плоскую стенку равна лишь силе давления от веса жидкости Fж .
F = Fж = ρghCω. | (4) |
Если давление отличается от атмосферного, полная сила F рассматривается как сумма двух сил: F0 от внешнего давления P0 :
F0 = P0ω
и силы веса жидкости Fж :
F = F0 + Fж = P0 ω + ρghCω.
Точки приложения этих сил называются центрами давления.
Так как внешнее давление P0 по закону Паскаля передается всем точкам площадки одинаково, то его равнодействующая F0 будет приложена в цен-
тре тяжести площади в точке С (рис. 5). Точка приложения D в координатах, принятых на рис. 5, определяется по формуле:
y | D | = y + | J | , | (5) | |
C | yCω | |||||
где yD | — координата центра давления; yC | — координата центра тяжести | ||||
площадки ω; J — момент инерции площадки ω относительно горизонталь-ной оси, проходящей через ее центр тяжести.
Если P0 равно атмосферному, то точка D и будет центром давления, а ес-ли P0 отличается от Pатм , то равнодействующую F0 и Fж находят по прави-лам механики.
Рис. 5
Пример 3. В стенке резервуара с водой АВ (см. рис. 5), наклоненной
- горизонту под углом α = 60° имеется заслонка круглой формы диаметром d = 1 м. Центр тяжести заслонки находится на глубине hC = 1,73 м.
Заслонка шарнирно закреплена в точке O1 . Для открытия используется трос, прикрепленный к нижнему краю заслонки К, направленный вертикаль-но вверх. Определить силу Т, необходимую для открытия заслонки.
Решение. Как следует из условия, избыточное давление на поверхности отсутствует ( P0 = Pатм ), следовательно, на заслонку действует только сила ве-
сового давления жидкости Fж . Составим уравнение равновесия моментов:
∑MO1 = 0; Fж ⋅ O1 D − T ⋅ O1 E = 0.
Выразим отсюда искомую силу Т:
Т = Fж ⋅ О1D .
O1 E
Очевидно, что для ответа на вопрос задачи необходимо определить вели-чину Fж и координату точки приложения точки D. Определим силу давления по формуле (4):
Fж = ρghCω = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 1,73 π 4⋅12 = 13 322 Н = 13,3 кН.
Найдем расстояние ОD от уреза воды до точки D по формуле (5):
yC = sinhCα ; yC = 0,8661,73 = 2 м;
- = πd 4 ; J = 3,14 ⋅14 = 0,05 м4 ;
6464
yD = 2 + | 0,05 | = 2,03 | м. | ||
2,0 | ⋅ 0,785 | ||||
Плечи O1 D и O1 E из геометрических соображений будут равны
O1 D = y D − yC + d2 = 2,03 − 2 + 0,5 = 0,53 м;
O1 E = d cos α ; O1 E = 1⋅ 0,5 = 0,5 м.
Искомая сила Т равна
- = 13,3 ⋅ 0,53 = 14,1 кН. 0,5
Решение задач на определение силы гидростатического давления на криволинейные поверхности
Приступая к решению этого типа задач, следует вспомнить важное свойство давления — действие давления направлено по внутренней нормали
- поверхности. Если поверхность представляет, например, тело вращения, то сила давления направлена по радиусу со стороны жидкости.
Сила гидростатического давления на любую криволинейную поверхность в условиях плоской задачи раскладывается на горизонтальную Fx
- вертикальную Fz составляющие. Результирующая сила давления находится как векторная сумма горизонтальной и вертикальной составляющих.
F= F2 | + F2. | (6) |
x | z |
Направление силы определяет тангенс угла наклона силы к горизонталь-ной поверхности.
tgβ = | Fz | . | (7) | |
F | ||||
x | ||||
Горизонтальная составляющая силы давления на криволинейную поверхность равна силе давления на проекцию этой поверхности на вертикаль-ную плоскость, нормальную оси Ox.
Fx = (P0 + ρ ghC )ωx , | (8) |
где P0 — избыточное давление на свободной поверхности жидкости; hC — глубина расположения центра тяжести площади вертикальной проекции ωx ; ωx — площадь проекции поверхности на вертикальную плоскость.
Вертикальная составляющая силы давления на криволинейную поверхность равна весу жидкости в объеме, заключенном между криволинейной поверхностью и ее проекцией на свободную поверхность.
Под весом понимается сила тяжести этого объема которая проходит че-рез его центр тяжести.
Fz = ρgW. | (9) |
Объем W, определенный таким образом называется телом давления.
Различают действительные, фиктивные и смешанные тела давления.
Если тело давления АВС (рис. 6, а) заполнено жидкостью, то оно называется действительным, если не заполнено жидкостью (тело АВС рис. 6, б) — фиктивным, если есть те и другие участки (рис. 6, в) — смешанным.
a б в
Рис. 6
Если давление на свободной поверхности жидкости P0 ≠ Pатм , то тело
давления ограничивается пьезометрической плоскостью, удаленной от свободной поверхности на расстояние
h = ρPg0 .
Пример 4. Определить силу давления воды на 1 м ширины нижней криволинейной части сооружения (рис. 7), если H = 1,5 м, r = 0,5 м.
Рис. 7
Решение. Выберем систему координат Оxz и спроецируем криволинейную фигуру на плоскость, нормальную оси Оx. Горизонтальная составляющая силы давления воды на криволинейную часть сооружения равна силе давления на вертикальную проекцию этой поверхности ωx .
Fx = ρghC ωx = ρg (H − r2) rb ,
Fx = 1000 ⋅ 9,81(1,5 − 0,52)0,5 ⋅ 1 = 6130 , H = 6 ,13 кН.
Вертикальная составляющая Fz равна весу жидкости в объеме тела дав-
ления. Спроецируем криволинейную поверхность 1—4 на продолжение свободной поверхности и отметим, что тело давления будет фиктивным и ограничено сверху поверхностью 2—3. Его объем будет равен площади фигуры 1—2—3—4, умноженной на b = 1 м.
πr | 2 | ||||||||
Fz | = ρg Hr | − | b; | ||||||
4 | |||||||||
F | =1000 ⋅9,81 1,5 ⋅ 0,5 − | 3,14 ⋅ 0,52 | 1 = 5430 Н = 5,43 | кН. | |||||
z | 4 | ||||||||
Рис. 8
Суммарная сила давления на криволинейную часть сооружения рассчи-тывается по формуле:
F= F2 | + F 2 | = 6,132 + 5,432 | = 8,19 кН. |
x | z |
Направление силы определяется углом наклона ϕ к горизонту, причем линия действия силы проходит через центр круга.
Fz | 5,43 | ′ | ||||
ϕ = arctg | = arctg | = 41°31 . | ||||
F | 6,13 | |||||
x | ||||||
Предварительный просмотр:
ГИДРОДИНАМИКА
Основы кинематики жидкости
Линия тока при установившемся движении представляет собой неизменную во времени траекторию, вдоль которой одна за другой движутся частицы жидкости (рис. 8).
Поверхность АВ, нормальная к линиям тока
- лежащая внутри потока, называется живым сечением. Площадь АВ принято обозначать че-рез ω ( ω — площадь живого сечения).
Расходом жидкости называется объем ее,
проходящий в единицу времени через живое сечение . Расход обозначают буквой Q. Размерность Q — м3/с; дм3/с; л/с.
Если через dω обозначить элементарную часть площади живого сечения, то элементарный расход, проходящий через площадку dω , рассчитывается по формуле:
dQ = udω.
Поскольку скорости u в разных точках живого сечения в общем случае различны, то величину Q можно представить в виде
- = ∫ω udω,
где интеграл берется по всей площади живого сечения.
Средняя скорость. Было отмечено, что скорости течения u в разных точках живого сечения, как правило, различны: u1 ≠ u2 ≠ u3 ≠ ...un (рис. 9).
Для упрощения расчетов в случаях параллельноструйного и плавноизменяющегося движений, вводят понятие средней для данного живого сечения, скорости течения. Эту скорость (фиктивную, в действительности не существующую) принято обозначать через V. Скорость V определяется соотношением V = Q , или V = ∫ω udω , откуда и ясен ее смысл. Как видно, V есть
ω
гидравлическая характеристика данного живого сечения потока.
Расход Q для данного живого сечения выражается формулой:
- = V ω.
Для живого сечения круглой трубы диаметром d расход определяется по формуле:
Q = V πd 2 ,
Рис. 9 4
а средняя скорость определяется как
- = π4dQ2 .
Если жидкость движется без образования разрывов, то при установившемся движении расход Q для всех живых сечений потока (ограниченного боков линиями тока, т. е. при условии отсутствия бокового притока или от-тока жидкости) одинаков.
Q1 = Q2 = ... Qn .
Это уравнение называется уравнением неразрывности. Для плавноизменяющегося движения жидкости его уравнение можно представить в виде V ω = const (вдоль потока), откуда получаем для двух сечений V1ω1 = V2 ω2 или
V1 = ω2 .
V2 ω1
Как видно, средние скорости обратно пропорциональны площадям живых сечений потока. Для живых сечений круглой трубы (рис. 10) имеем
V | πd 2 | = V | πd 2 | , или V = V | d 2 | |||
1 | 2 | 2 | . | |||||
4 | 4 | |||||||
1 | 2 | 12 d 2 | ||||||
1 | ||||||||
То есть среднюю скорость в одном сече | ||||||||
нии трубопровода можно выразить через | ||||||||
Рис. 10 | ||||||||
скорость в любом другом сечении. | ||||||||
Уравнение Бернулли и правила его применения
Уравнение Бернулли, составленное для двух расчетных сечений потока вязкой жидкости, имеет вид
z + | P | + | αV 2 | = z | + | P | + | αV | 2 | + h | , | ||
1 | 1 | 2 | 2 | ||||||||||
ρg | 2g | ρg | 2g | ||||||||||
1 | 2 | w | |||||||||||
где z — геометрическая высота или расстояние от горизонтальной плоскости сравнения 0—0 до центра тяжести сечения по вертикали; P — давление;
P | — пьезометрическая высота; | z + | P | — пьезометрический напор; V — | |||
ρg | ρg | ||||||
средняя скорость в сечение; | αV 2 | — скоростной или динамический напор; | |||||
2g | |||||||
α — коэффициент Кориолиса, для течения в трубе можно принимать α = 1; hw = hl + ∑hм — общая потеря напора; hl — потеря напора по длине;
∑hм — потеря напора на местных сопротивлениях.
- энергетической точки зрения уравнение Бернулли выражает закон со-хранения энергии в потоке движущейся жидкости.
Геометрическая высота выражает удельную потенциальную энергию положения, пьезометрическая высота — удельную потенциальную энергию давления, пьезометрический напор — полную удельную потенциальную энергию, скоростной напор — удельную кинетическую энергию жид-кости. Сумма пьезометрического и скоростного напора дает полный на-
пор, выражающий полную удельную энергию движущейся жидкости
- данном сечении. Потеря напора — это потеря удельной энергии между сечениями 1—1 и 2—2.
Для того чтобы применить уравнение Бернулли для решения задачи, следует, во-первых, выбрать два сечения и, во-вторых, горизонтальную плоскость сравнения 0—0.
Расчетные сечения выбираются так, чтобы движение в них было плавно-изменяющимся, т. е. с незначительной кривизной линий тока.
Одно из расчетных сечений выбирается там, где неизвестны либо скорость V, либо давление P, либо координата z, а другое выбирается так, чтобы были известны и z, и P, и V.
Нумеровать сечения нужно так, чтобы жидкость двигалась от первого сечения ко второму, иначе теряется знак потери напора.
Плоскость сравнения выбирается так, чтобы размеры z1 и z2 находились
- положительной полуплоскости.
Если в уравнение Бернулли входит ряд неизвестных скоростей , применяют уравнение постоянства расхода. Для напорных труб круглого сечения оно примет вид
V | πd | 2 | = V | πd | 2 | , | |
1 | 2 | ||||||
4 | |||||||
1 | 4 | 2 | |||||
или
V1 = d22 .
V2 d12
Пример 5. Определить давление P1 в сечении 1—1 горизонтально расположенного сопла гидромонитора (рис. 11), необходимое для придания скорости воде в выходном сечении 2—2 V2 = 40 м/с, если скорость движения воды
в сечении 1—1 равна d2 , если d1 = 100 мм.
Рис. 11
ρPg1 + α2Vg12 = ρPg2 + α2Vg22 .
V1 = 3,6 м/с. Определить диаметр сопла монитора
Решение. Плоскость сравнения 0—0 следует провести через ось сопла. За расчетные сечения выбираем сечения 1—1 в подводящей трубе и 2—2 на выходе из сопла. Геометрические высоты сечений раны
z1 = z2 = 0 . Уравнение Бернулли принимает вид
Давление в сечении 2—2 атмосферное, т. е. избыточное (P2 = 0) . Коэффициент Кориолиса примем равным α = 1. Выразим искомое давление P1 как
- = P + ρg V22 − V12 ;
1 22g 2g
P = 0 +1000 ⋅9,81 | 402 | − | 3,62 | = 793 520 Па = 793,5 кПа. | |||||
1 | 2 ⋅9,81 | 2 ⋅9,81 | |||||||
Диаметр сопла монитора выразим из уравнения непрерывности по формуле:
d | = | d 2 | V1 | = | 0,12 | 3,6 | = 0,03 м. | ||
2 | 1 V | 40 | |||||||
2 | |||||||||
Определение потерь напора по длине
Суммарная потеря напора hw складывается из потерь напора по длине hl и потерь напора на местных сопротивлениях ∑hм .
hw = he + ∑hм. | (10) |
Потери напора по длине определяются по формуле Дарси — Вейсбаха:
h = λ | l V 2 | (11) | ||||
, | ||||||
l | d 2g | |||||
где hl — потеря напора в метрах столба той жидкости, движение которой
рассматривается; λ — коэффициент Дарси или коэффициент гидравлического трения.
Коэффициент λ зависит от многих факторов. В общем виде | ||||||
λ = f (Re, | ), | (12) | ||||
где Re — число Рейнольдса, которое определяется по формуле: | ||||||
Re = | Vd | , | (13) | |||
ν | ||||||
где = d — относительная шероховатость стенок трубы; ν — кинематическая вязкость жидкости; — эквивалентная шероховатость, то есть высота воображаемых выступов на внутренней поверхности трубы, при которой потери напора получаются такими же как в реальных условиях.
Величины Re и безразмерные.
Зависимость λ = f (Re, ) изображают в виде графика сопротивлений (рис. 12), на котором можно выделить четыре зоны:
- Зона ламинарного течения ( Re < 2320) .
В этой зоне λ зависит только от числа Re и определяется по формуле:
λ = | 64 | . | (14) | |
Re | ||||
Область турбулентного течения разбивается на три зоны:
2. Зона гидравлически гладких труб. Здесь также λ = f (Re) . Определить
λ можно по формуле Блазиуса:
λ = 0,3164
Re0,25 .
- Доквадратичная зона сопротивления. Здесь рекомендуется формула Альтшуля:
68 0,25 | ||||||
λ = 0,11 | + | ; | ||||
Re | ||||||
(15)
λ = f (Re, ), для этой зоны
(16)
- Квадратичная зона, называется также зоной вполне развитой турбулентности, или зоной совершенной шероховатости. Коэффициент λ зависит только от относительной шероховатости и не зависит от числа Рейнольдса
λ = f ( ) .
Для определения λ используется формула Шифринсона:
λ = 0,11( )0,25 . (17)
Определить, к какой зоне графика сопротивлений относится течение жидкости в рассматриваемой задаче, можно приближенно, сравнивая число Рейнольдса с его граничными значениями.
При Re < 2320 течение ламинарное, т. е. имеем первую зону.
При 4000 ≤ Re < Re′гр получаем зону гидравлически гладких труб. Здесь Re′ гр = 10 / .
При Re′ гр < Re < Re″гр имеем доквадратичную зону и пользуемся формулой Альтшуля. Здесь Re″гр = 500 .
При Re > Re″гр имеем квадратичную область сопротивления и пользуемся формулой Шифринсона.
Если в задаче заданы расход жидкости и диаметр трубопровода, легко найти скорость течения.
- = π4dQ2 .
Необходимо рассчитывать число Рейнольса для выбора формулы для оп-ределения λ .
Рис. 12
- тех случаях, когда расход (или скорость) еще только предстоит определить, делается предположение, что течение происходит в квадратичной зоне и коэффициент λ находится по формуле Шифринсона. После нахождения скорости следует определить число Re и проверить правильность сделанного предположения. Если расхождение велико, расчет повторяют вычисляя λ по формуле Альтшуля, используя полученное значение Re .
Определение потерь напора на местных сопротивлениях
Местным сопротивлением называется любое изменение формы стенок трубопровода, приводящее к изменению скорости течения по величине
- (или) направлению. К местным гидравлическим сопротивлениям относятся изменения диаметров труб, повороты (отводы), краны, вентили, задвижки, диафрагмы и т. д.
Потеря напора на местном сопротивлении вычисляется по формуле Вейсбаха:
h = ζ | V 2 | (18) | ||
, | ||||
м | 2g | |||
где ζ — коэффициент местного сопротивления.
Значение ζ не поддается теоретическому определению, поэтому его на-ходят по справочным данным, составленным по результатам экспериментов. Исключением является коэффициент местного сопротивления при внезап-ном расширении потока. Он определяется по формуле Борда:
ω | 2 | |||||||||||
ζ вн.р | = | 2 | −1 , | (19) | ||||||||
ω1 | ||||||||||||
или для труб | 2 | |||||||||||
2 | ||||||||||||
ζ вн.р | = | d2 | − | 1 | , | (20) | ||||||
d | ||||||||||||
1 | ||||||||||||
где ω1 , ω2 | — площади живых сечений соответственно до и после расширения. | |||||||||||
Если скорости до и после местного сопротивления неодинаковы, принято в формулу hм подставлять скорость за сопротивлением. Исключением является истечение струи под уровень жидкости в большой резервуар. При этом полностью теряется скоростной напор, имевшийся в трубе. Коэффициент сопротивления в этом случае принимается ζвых = 1, а также берется скорость
течения в трубе до выхода.
Построение напорной и пьезометрической линий
Напорной линией, или линией энергии называется график изменения полного напора вдоль потока. Из уравнения Бернулли следует, что полный на-пор изменяется только за счет потерь по длине и на местных сопротивлениях. Поэтому напорная линия вдоль потока всегда понижается.
Пьезометрической линией называется график изменения пьезометрического напора вдоль потока. Поскольку пьезометрический напор отличается от полного на величину скоростного напора, пьезометрическая линия всегда
V 2
располагается ниже напорной на расстоянии, равном
Решая задачи, по условию которых требуется построить напорную и пьезометрическую линии, целесообразно начинать построение с напорной линии и строить ее по течению. При этом начало напорной линии всегда будет
- точке, соответствующей полному напору перед входом в трубопровод. Пьезометрическую линию лучше строить против течения, начиная с точки, соответствующей пьезометрическому напору за концом трубопровода.
Пример 6. Из сосуда М в сосуд N вода, температура которой 18 °С, перетекает по трубопроводу, состоящему из двух участков, характеристика которых приведена в таблице (рис. 13):
Участки | d, мм | ∆, мм |
а | 75 | 0,4 |
б | 100 | 0,4 |
Рис. 13
Определить, при какой разнице уровней в сосудах h расход составит Q = 9 л/с. Построить напорную и пьезометрические линии. При решении за-
дачи отметки уровней в сосудах считать постоянными.
Решение . Применим уравнение Бернулли. Сечение 1—1 проведем по уровню воды в сосуде М, сечение 2—2 — по уровню воды в сосуде N. Плоскость сравнения совместим с сечением 2—2. Тогда z1 = h, z2 = 0,
P1 = P2 = Pат , V1 = 0, V2 = 0 и уравнение Бернулли примет вид
- = hw.
Потеря напора складывается из потерь на вход, на внезапное расширение трубопровода, на выход и потерь по длине.
h = hвх + hвн.р + hвых + hlа + hlб ,
где h = ζ | V | 2 | ; | h | = ζ | V 2 | ; h = ζ | V 2 | ; h | = λ | l V 2 | ; h | = λ | l V 2 | . | ||||||
a | б | б | a a | б б | |||||||||||||||||
вх | вх 2g | вн.р | вн.р 2g | вых | вых 2g | la | a d a 2g | lб | б d б 2g | ||||||||||||
Найдем скорости течения. Если расход задается в л/с, его необходимо перевести в единицы измерения системы СИ, т. е. в м3/с.
9 л/с = 9 ⋅10−3 м3/с.
Определим средние скорости течения на участках а и б по формуле расхода:
- = π4dQ2 ;
V = | 4 ⋅9 ⋅10−3 | = 2,04 м/с; | |||
3,14 ⋅ | 0,0752 | ||||
a | |||||
V = | 4 ⋅9 ⋅10−3 | = 1,15 м/с. | |||
3,14 ⋅ | 0,102 | ||||
б | |||||
Теперь вычислим числа Рейнольдса, пусть единицей измерения скорости будет м/с, диаметров — м, а кинематического коэффициента вязкости — м2/с. Он определяется по прил. 1 в зависимости от температуры.
Re | a | = | 2,04 ⋅ 0,075 | =144 340; | |||
1,06 ⋅10−6 | |||||||
Re | б | = | 1,15 ⋅ 0,1 | =108 490 . | |||
1,06 ⋅10−6 | |||||||
Полученные числа сравним с граничными значениями Re″гр .
Re″гр. а = 500 ⋅ 75 = 93 750;
0,4
Re″гр. б = 500 ⋅100 = 125 000.
0,4
Наличие зоны гидравлических гладких труб исключается, так как
- 0,001.
На участке а Re a > Re″гр. а , т. е. имеем квадратичную зону, определяем λ по (17):
λ = 0,11 0,4 0,25 = 0,030.
a На участке б | Reб < Re″гр. б | имеем переходную зону, т. е. определяем λ | |||||
по (16): | |||||||
0,4 | 68 | 0,25 | |||||
λ б = 0,11 | + | = 0,026. | |||||
108490 | |||||||
100 | |||||||
Коэффициенты местных сопротивлений определяем по прил. 2, только коэффициент внезапного расширения — по (20).
ζвх = 0,5; ζвн. р = 0,78; ζвых = 1,0.
Теперь вычислим потери напора:
h | = 0,5 | 2,042 | = 0,11 м; | ||||||||||||||||||
вх | 2 ⋅9,81 | ||||||||||||||||||||
h | = 0,78 | 1,152 | = 0,05 м; | ||||||||||||||||||
вн. р | 2 ⋅9,81 | ||||||||||||||||||||
h | =1,0 | 1,152 | = 0,07 м; | ||||||||||||||||||
вых | 2 | ⋅9,81 | |||||||||||||||||||
h | = 0,030 | 4,0 | 2,042 | = 0,34 м; | |||||||||||||||||
la | 0,075 2 ⋅9,81 | ||||||||||||||||||||
h | = 0,026 | 3,5 | 1,152 | = 0,06 м. | |||||||||||||||||
lб | 0,10 2 ⋅9,81 | ||||||||||||||||||||
Искомая потеря напора будет равна
- = 0,11 + 0, 05 + 0, 07 + 0,34 + 0, 06 = 0, 63 м.
Построение напорной и пьезометрической линий см. рис. 13. Вертикальные участки напорной линии соответствуют потерям на местных сопротивлениях, наклонные участки — потерям по длине. На участке а диаметр трубы меньше, потери больше и напорная линия наклонена круче, чем на участке б.
Над внезапным расширением пьезометрическая линия поднимается вверх, что легко объяснимо. При увеличении диаметра трубы скорость уменьшается, а значит, уменьшается удельная кинетическая энергия. В соответствии с уравнением Бернулли, при этом должна возрасти удельная потен-циальная энергия, что и объясняет увеличение пьезометрического напора.