ученикам 5 класс

Вычитание дробей

При вычитании дробей, как и при сложении, могут встретиться несколько случаев.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями от числителя уменьшаемого (первой дроби) отнимают числитель вычитаемого (второй дроби), а знаменатель оставляют прежним.

Пример.

Запомните!

Прежде чем записать конечный ответ, проверьте, нельзя ли сократить полученную дробь.

В буквенном виде правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями записывают так:

Вычитание правильной дроби из единицы

Когда нужно вычесть из единицы правильную дробь, единицу представляют в виде неправильной дроби, знаменатель которой, равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример.

Знаменатель вычитаемой дроби равен 7, значит, единицу представляют как неправильную дробь 7/7 и вычитают по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа

Чтобы из целого числа вычесть правильную дробь нужно представить это натуральное число в виде смешанного числа.

Для этого занимаем единицу в натуральном числе и представляем её в виде неправильной дроби, знаменатель которой равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример.

В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

Вычитание смешанных чисел

При вычитании смешанных чисел отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

При подобных расчётах могут встретиться разные случаи.

Первый случай вычитания смешанных чисел

У дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из чего вычитаем) больше или равен числителю дробной части вычитаемого (что вычитаем).

Пример.

Второй случай вычитания смешанных чисел

У дробных частей разные знаменатели.

В этом случае вначале нужно привести к общему знаменателю дробные части, а затем выполнить вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Пример.

Третий случай вычитания смешанных чисел

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример.

Так как у дробных частей разные знаменатели, то как и во втором случае, вначале приведём обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого.

3 < 14

Поэтому, вспомнив вычитание правильной дроби из целого числа, займём единицу из целой части и представим эту единицу в виде неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем равным 18.

Сложим полученную неправильную дробь 18/18 и дробную часть уменьшаемого и получим:

Все рассмотренные случаи можно описать с помощью правил вычитания смешанных чисел.

• Привести дробные части уменьшаемого и вычитаемого к наименьшему общему знаменателю.
• Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то занимаем у целой части уменьшаемого единицу. Эту единицу превращаем в неправильную дробь с одинаковым числителем и знаменателем равными наименьшему общему знаменателю.
• Прибавляем полученную неправильную дробь к дробной части уменьшаемого.
• Вычитаем из целой части целую, а из дробной — дробную.
• Проверяем, нельзя ли сократить и выделить целую часть в конечной дроби.

Деление дроби на дробь

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, отличную от нуля, нужно:

• числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и записать произведение в числитель новой дроби;
• знаменатель первой дроби умножить на числитель второй дроби и записать произведение в знаменатель новой дроби.

Другими словами, деление дробей сводится к умножению. Поэтому правила деления дробей можно записать следующим образом.

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое (первую дробь) умножить на обратную дробь делителю.

Пример.

Как дробь разделить на число

Чтобы разделить дробь на натуральное число, можно использовать следующий способ.

Мы представляем натуральное число в виде неправильной дроби с числителем, равным самому числу, а знаменатель равным единице.

Затем производим деление по правилу деления дроби на дробь.

Деление смешанных чисел

При делении смешанных чисел надо представить числа в виде неправильных дробей, а потом разделить их друг на друга по правилу деления дроби на дроби.

Пример.

Деление с остатком

Не всегда можно полностью разделить одно число на другое. В примерах на деление может оставаться остаток. Такое деление называется деление с остатком.

Запомните!

Деление с остатком — это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю.

Если при делении натуральных чисел остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, или, иначе говоря, делится нацело.

Деление с остатком записывают так:

Читается пример следующим образом:

17 разделить на 3 получится 5 и остаток 2.

Порядок решения примеров на деление с остатком.

1. Находим наибольшее число до 17, которое делится на 3 без остатка. Это 15.
   
   15 : 3 = 5
2. Вычитаем из делимого найденное число из пункта 1.
   
   17 − 15 = 2
3. Сравниваем остаток с делителем.

Запомните!

При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя.

Если получилось, что остаток больше делителя, значит, вы неверно нашли наибольшее число, которое делится на делитель без остатка.

4. Записываем ответ.
   
   17 : 3 = 5 ост (2)

При решении более сложных примеров не всегда можно легко найти наибольшее число из пункта 1. Иногда для этого необходимо произвести дополнительные расчёты в столбик. Покажем это на примере.

Методом подбора найдём на сколько надо умножить 27, чтобы получить ближайшее число к 190.

Попробуем умножить на 6.

Рассчитаем остаток и сравним его с делителем.

Остаток больше делителя. Это означает, что 6 как множитель нам не подходит. Попробуем умножить делитель на 7.

Снова рассчитаем и сравним остаток с делителем.

Остаток меньше делителя. Значит пример решён верно. Запишем ответ.

190 : 27 = 7 ост (1)

Все вычисления выше можно представить в виде деления в столбик. Правила деления в столбик вы можете освежить в уроке «Деление в столбик» на нашем сайте.

Как проверить деление с остатком

1. Умножить неполное частное на делитель
2. Прибавить к полученному результату остаток
3. Сравнить полученный результат с делимым

Проверим ответ нашего примера.

190 : 27 = 7 ост (1)

1. 27 · 7 = 189
2. 189 + 1 = 190
3. 190 = 190

Деление с остатком выполнено верно.

Запомните!

Если при делении с остатком делимое меньше делителя, то их неполное частное равно нулю, остаток равен делимому.

Например:

• 6 : 10 = 0 ост (6)
• 14 : 112 = 0 ост (14)
• 31 : 45 = 0 ост (31)

Другими словами, если вы делите меньшее число на большее, неполное частное всегда будет равно нулю.

Обратные  числа

Возьмём дробь 5/8 и «перевернём» её, поменяв местами числитель и знаменатель.

Получим дробь 8/5.

Дробь 8/5 называют обратной дроби 5/8.

Если теперь дробь 8/5 опять «перевернуть», мы получим исходную дробь 5/8. Поэтому такие дроби как 5/8 и 8/5 называют взаимно обратными.

Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:

• записать его в виде неправильной дроби;
• полученную дробь «перевернуть».

Пример. Найти число обратное смешанному числу:

• Запишем смешанное число в виде неправильной дроби.
• Переворачиваем полученную дробь. Обратным числом для смешанного числа будет

обыкновенная дробь:

Взаимно обратные числа обладают важным свойством.

Запомните!    Произведение взаимно обратных чисел равно единице.

Пример произведения обратных дробей.

Опираясь на свойство обратных дробей, можно дать определение взаимно обратных чисел.

Запомните! Взаимно обратными числами называют два числа, произведение которых равно единице.

Дроби

В жизни нам нередко приходится пользоваться не только целыми числами, но и их частями (долями).

Доли — это равные части целого.

Устройство обыкновенной дроби

Рассмотрим круг, разделённый на четыре равных части.

Сколько частей круга закрашено? Одна.

На сколько частей разделён целый круг? На четыре части.

Какая часть целого круга закрашена? Ответ: 1/4.

Число, стоящее над дробной чертой, называется числителем. Числитель показывает, сколько долей взяли (закрасили) у целого.

Число, стоящее под дробной чертой, называется знаменателем. Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое.

Запомните!

Чтобы запомнить, что знаменатель — это нижняя часть дроби, выучите стихотворение:

Знамёна упали, знаменатель — внизу,
А числа сражались, числитель — вверху.

Рассмотрим круг.

Этот круг разделён на 8 равных долей. Значит, знаменатель дроби будет равен 8.

В круге закрашено три части — значит числитель будет равен 3.

Иными словами, в круге закрашено 3/8 круга.

Некоторые обыкновенные дроби имеют особые названия. Знать, как называются такие дроби, надо наизусть.

Обыкновенные дроби тесно связаны с единицами измерения. 1 метр содержит в себе 100 см. Что означает, что 1 м разделён на 100 равных долей. Таким образом 1 см = м (один сантиметр равен одной сотой метра).

Сложение дробей

При сложении дробей могут встретиться разные случаи.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают числители, а знаменатель оставляют тот же.

Пример.

C помощью букв это правило сложения можно записать так:

Запомните!  Записывая ответ, проверьте нельзя ли полученную дробь сократить.

Сложение дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться следующими правилами.

1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого найти наименьшее общее кратное знаменателей.

Пример. Сложить дроби.

Как найти общий знаменатель

Находим НОК (15, 18).

НОК (15, 18) = 3 · 2 · 3 · 5 = 90

2. Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий знаменатель (НОК из пункта 1) делим по очереди на знаменатель каждой дроби.
   
   Полученные числа и будут дополнительными множителями для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху.
   
   90 : 15 = 6 — дополнительный множитель для дроби 3/15.
   
   90 : 18 = 5 — дополнительный множитель для дроби 4/18.
   
   
3. Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель, пользуясь основным свойством дроби.
   
   После умножения в знаменателях обеих дробей должен получиться наименьший общий знаменатель. Затем складываем дроби как дроби с одинаковыми знаменателями.
4. Проверяем полученную дробь.

• Eсли в результате получилась неправильная дробь, результат записываем в виде смешанного числа. Проверим нашу дробь. 38 < 90 У нас дробь правильная.
• Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.

5. Ещё раз весь пример целиком.

Сложение смешанных чисел

Сочетательное и переместительное свойства сложения позволяют привести сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробных частей.

Чтобы сложить смешанные числа нужно.

1. Отдельно сложить их целые части.

Пример.

Складываем целые части.

2. Отдельно сложить дробные части.

Если у дробных частей знаменатели разные, то сначала приводим их к общему знаменателю, а затем складываем.

3. Сложить полученные результаты из пунктов 1 и 2.

4. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то нужно выделить целую часть из этой дроби и прибавить к полученной в пункте 1 целой части.

Ещё один пример на сложение смешанных чисел.

Сокращение дробей

С помощью дробей одну и ту же часть целого предмета можно записать разными способами.

На рисунке закрашена половина круга (1/2).

Если этот же круг разделить на 4 части, то эту же половину круга можно представить как 2/4.

Если этот же круг разделить на 8 частей, то эту же половину круга можно представить как 4/8.

Таким образом, все эти дроби равны.

Дробь 2/4 мы получили из дроби 1/2, умножив её числитель и знаменатель на 2.

А чтобы получить 4/8, мы числитель и знаменатель 1/2 умножили на 4.

Для удобства дополнительный множитель записывают на наклонной черте справа над дробью .

Вернёмся ещё раз к нашим дробям и запишем их в другом порядке.

Запомните!

Дробь, равную данной, можно получить, если числитель и знаменатель дроби одновременно разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Такое преобразование дроби называют сокращением дроби.

Сокращение дроби обычно записывают следующим образом.

Числитель и знаменатель зачёркиваются чёрточками, и рядом с ними записываются результаты деления (частные) числителя и знаменателя на одно и то же число.

Число, на которое делили числитель и знаменатель, держим в уме.

В нашем примере мы сокращали (то есть делили и числитель, и знаменатель) дробь на двойку, которую держали в уме.

Сокращение дроби можно проводить последовательно.

Основное свойство дроби

Сформулируем основное свойство дроби. Запомните!

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.

Запишем это свойство в виде буквенных выражений.

,где a, b и k — натуральные числа.

Смешанные дроби

Среди обыкновенных дробей различают два разных вида.

Правильные и неправильные дроби

Рассмотрим дроби.

Обратите внимание, что в двух первых дробях (3/7 и 5/7) числители меньше знаменателей. Такие дроби называют правильными.

Запомните!  У правильной дроби числитель меньше знаменателя. Поэтому правильная дробь всегда меньше единицы.

Рассмотрим две оставшиеся дроби.

Дробь 7/7 имеет числитель равный знаменателю (такие дроби равны единицы), а дробь 11/7 имеет числитель больший знаменателя. Такие дроби называют неправильными.

Запомните!

У неправильной дроби числитель равен или больше знаменателя. Поэтому неправильная дробь или равна единице или больше единицы.

Любая неправильная дробь всегда больше правильной.

Как выделить целую часть

У неправильной дроби можно выделить целую часть. Рассмотрим, как это можно сделать.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо:

1. разделить с остатком числитель на знаменатель;
2. полученное неполное частное записываем в целую часть дроби;
3. остаток записываем в числитель дроби;
4. делитель записываем в знаменатель дроби.

Пример. Выделим целую часть из неправильной дроби 11/2.

• Разделим в столбик числитель на знаменатель.

• Теперь запишем ответ.

Запомните!

Полученное число выше, содержащее целую и дробную часть, называют смешанным числом.

Мы получили смешанное число из неправильной дроби, но можно выполнить и обратное действие, то есть представить смешанное число в виде неправильной дроби.

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби надо:

1. умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2. к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3. записать полученную сумму из пункта 2 в числитель дроби, а знаменатель дробной части оставить прежним.

Пример. Представим смешанное число в виде неправильной дроби.

• Умножаем целую часть на знаменатель.
  
  3 · 5 = 15
• Прибавляем числитель.
  
  15 + 2 = 17
• Записываем полученную сумму в числитель новой дроби, а знаменатель оставляем прежним.

Любое смешанное число можно представить как сумму целой и дробной части.

Запомните!

Любое натуральное число можно записать дробью с любым натуральным знаменателем.

Частное от деления числителя на знаменатель такой дроби будет равно данному натуральному числу.

Примеры.

Сравнение дробей

Также как и натуральные числа обыкновенные дроби можно сравнивать.

Рассмотрим две неравные дроби на числовой оси. Меньшая дробь будет располагаться левее, а большая — правее.

Равные дроби соответствует одной и той же точке на числовой оси.

На рисунке хорошо видно, что 1/5 < 6/10. Но необязательно пользоваться числовой осью, чтобы сравнивать дроби.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Запомните!

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Пример. Сравним 1/5 и 4/5.

В обеих дробях одинаковый знаменатель равный 5.

В первой дроби числитель равен 1 и он меньше числителя второй дроби, который равен 4.

Поэтому первая дробь (1/5) меньше второй (4/5).

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Запомните!

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Пример. Сравним 1/2 и 1/8. Ответ:

Правило выше легче понять, если представить, что у вас в руках куски торта. В первом случае торт разделили на 2 части (знаменатель дроби равен 2), и у вас в руках половина торта, а во втором — торт поделили на 8 частей, и у вас в руках маленькая часть торта.

Сравнение дробей с разными знаменателями

Запомните!

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю.

После приведения дробей к общему знаменателю, дроби сравниваются по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример. Сравним  и

• Приводим дроби к общему знаменателю.

• Сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями.

Запомните!   Любая неправильная дробь больше любой правильной.

Это объясняется тем, что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.