11 класс
11 класс
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Определение вероятности Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместимых событий, которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения: Р = n m Пусть k – количество бросков монеты, тогда количество всевозможных исходов: n = 2 k . Пусть k – количество бросков кубика, тогда количество всевозможных исходов: n = 6 k .
Свойства вероятности Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице: Р(А) = 1 . Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю: Р(А) = 0 . Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: 0 ≤ Р(А) ≤ 1 .
Решение. Игральные кости – это кубики с 6 гранями. На первом кубике может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждому варианту выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков на втором кубике. Т.е. всего различных вариантов 6×6 = 36. Варианты (исходы эксперимента) будут такие: 1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 и т.д. .............................. 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6 Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма очков двух кубиков равна 8. 2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2. Всего 5 вариантов. Найдем вероятность: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,14. 282853
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение. Всего 4 варианта: о; о о ; р р ; р р ; о . Благоприятных 2: о; р и р ; о . Вероятность равна 2/4 = 1/2 = 0,5 . 282854 Ответ: 0,5.
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные − из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение. Всего участвует 20 спортсменок, из которых 20 – 8 – 7 = 5 спортсменок из Китая. Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна 5/20 = 1/4 = 0,25. Ответ: 0,25. 282855
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Решение: 1000 – 5 = 995 – насосов не подтекают. Вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна 995/1000 = 0,995. Ответ: 0,995. 282856
Решение: 100 + 8 = 108 – сумок всего (качественных и со скрытыми дефектами). Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 100/108 = 0,(925) ≈ 0,93. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,93. 282857
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 − из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Ответ: 0,36. 282858 Решение: Всего участвует 4 + 7 + 9 + 5 = 25 спортсменов. Вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов − первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Ответ: 0,16. 285922 Решение: В последний день конференции запланировано (75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов. Вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 12/75 = 4/25 = 0,16.
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений − по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? Ответ: 0,225. 285923 Решение: В третий день конкурса запланировано (80 – 8) : 4 = 18 выступлений. Вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса, равна 18/80 = 9/40 = 225/1000 = 0,225.
На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России. Ответ: 0,3. 285924 Решение: Всего участвует 3 + 3 + 4 = 10 ученых. Вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России, равна 3/10 = 0,3.
Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Ответ: 0,36. 285925 Решение: Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с каким-либо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов тоже из России. Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.
В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике. Ответ: 0,2. 285926 Решение: Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике, равна 11/55 =1/5 = 0,2.
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам. Ответ: 0,6. 285927 Решение: 25 – 10 = 15 – билетов не содержат вопрос по неравенствам. Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 15/25 = 3/5 = 0,6.
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая. Ответ: 0,36. 285928 Решение: Всего участвует 25 спортсменов. Вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.
Решение: Обозначим право владения первой мячом команды "Меркурий" в матче с одной из других трех команд как "Решка". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Орел». Итак, напишем все возможные исходы бросания монеты три раза. «О» – орел, «Р» – решка. Итак, всего исходов получилось 8, нужных нам – 1, следовательно, вероятность выпадения нужного исхода 1/8 = 0,125. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда "Меркурий" по очереди играет с командами "Марс", "Юпитер", "Уран". Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда "Меркурий"? Ответ: 0,125. «Марс» «Юпитер» «Уран» О О О О О Р О Р О О Р Р Р О О Р О Р Р Р О Р Р Р
Решение. В сумме на двух кубиках должно выпасть 8 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации: 2 и 6 6 и 2 3 и 5 5 и 3 4 и 4 Всего 5 вариантов. Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых при первом броске выпало 2 очка. Такой вариант 1. Найдем вероятность: 1/5 = 0,2. Даша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 2 очка. Ответ: 0,2.
Решение. При условии, что у Тоши выпало 3 очка, возможны следующие варианты: 3 и 1 3 и 2 3 и 3 3 и 4 3 и 5 3 и 6 Всего 6 вариантов. Подсчитаем количество исходов, в которых Гоша не выиграет, т.е. наберет 1, 2 или 3 очка. Таких вариантов 3. Найдем вероятность: 3/6 = 0,5. Тоша и Гоша играют в кости. Они бросают кубик по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Первым бросил Тоша , у него выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Гоша не выиграет. Ответ: 0,5.
Решение: Всего команд 20, групп – 5. В каждой группе – 4 команды. Итак, всего исходов получилось 20, нужных нам – 4, значит, вероятность выпадения нужного исхода 4/20 = 0,2. В чемпионате мира участвует 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе. Ответ: 0,2.
Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя. Ответ: 0,25. 320169 Решение: Вероятность того, что игру должен будет начинать любой из мальчиков равна 1/4 = 0,25. В том числе и для Пети.
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной? Ответ: 0,5. 320178 Решение: Количество четных цифр на клавиатуре равно 5: 0, 2, 4, 6, 8 всего же цифр на клавиатуре 10, тогда вероятность что случайно нажатая цифра будет чётной равна 5/10 = 0,5.
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Ответ: 0,019. 319353 Решение: Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: р 1 = 0,45 · 0,03 = 0,0135. Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: р 2 = 0,55 · 0,01 = 0,0055. Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна р = р 1 + р 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Ответ: 0,156. 319355 Решение: Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: р = 0,52 · 0,3 = 0,156.
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Ответ: 0,35. 320171 Решение: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: р = 0,2 + 0,15 = 0,35.
320172 Решение: Рассмотрим события А = кофе закончится в первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате. Тогда A·B = кофе закончится в обоих автоматах, A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате. По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12. События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение: Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы. Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2. 1 выстрел: 0,8 2 выстрел: 0,8 3 выстрел: 0,8 4 выстрел: 0,2 5 выстрел: 0,2 По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем, что искомая вероятность равна: 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Ответ : 0,02 . 320173
320174 Решение: Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975. Ответ: 0,9975. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
320175 Решение: Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: р 1 = 0,3 · 0,3 = 0,09. Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна р = 1 – р 1 = 1 − 0,09 = 0,91. Ответ: 0,91. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
320176 Решение: Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», тогда A + B = «чайник прослужит больше года». События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года – строго в тот же день, час и секунду – равна нулю. Тогда: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B), откуда, используя данные из условия, получаем 0,97 = P(A) + 0,89. Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08. Ответ: 0,08. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
320177 Решение: Пусть х – искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда 1 – х вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем: 0,4х + 0,2(1 – х ) = 0,35 0,2х = 0,15 х = 0,75 Ответ: 0,75. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
320179 Решение: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 Р = = 0,3 Ответ: 0,3. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три? 3 10
320183 Решение: Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер равна: 0,4 · (1 − 0,9) = 0,04 Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит непристрелянный револьвер равна: 0,6 · (1 − 0,2) = 0,48 Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
320181 Решение: Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих. Вероятность быть выбранным равна Р = 2/5 = 0,4. Ответ: 0,4. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?
320180 Решение: Обозначим право владения первой мячом команды «Физик" в матче с одной из трех команд как "Орел". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Решка». Итак, запишем все возможные исходы бросания монеты три раза в таблице: «О» – орел, «Р» – решка. Итак, всего исходов получилось 2 3 = 8, нужных нам – 3, следовательно, вероятность выпадения нужного исхода равна: 3/8 = 0,375. Ответ: 0,375. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза. Ф/1 ОР ОР ОР ОР РО РО РО РО Ф/2 ОР ОР РО РО ОР ОР РО РО Ф/3 ОР РО ОР РО ОР РО ОР РО
320184 Решение: В сумме должно выпасть 5 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации: 1 и 4 4 и 1 2 и 3 3 и 2 Всего 4 варианта. Ответ: 4. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй – решка). Решение. Всего 4 варианта: о; о о ; р р ; р р ; о . Благоприятных 1: о; р . Вероятность равна 1/4 = 0,25 . 320185 Ответ: 0,25.
320186 Решение: Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д – Дания, Ш –Швеция, Н – Норвегия): Д − Ш − Н Д − Н − Ш Ш − Н − Д Ш − Д − Н Н − Д − Ш Н − Ш − Д Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна Р = 2/6 = 1/3 ≈ 0,33 Ответ: 0,33. На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
Решение: Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов: Р(1) = 0,6; Р(2) = Р(1) · 0,4 = 0,24; Р(3) = Р(2) · 0,4 = 0,096; Р(4) = Р(3) · 0,4 = 0,0384; Р(5) = Р(4) · 0,4 = 0,01536. Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? Ответ: 5. 320187
Решение: Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3 + 1, 1 + 3, 3 + 3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий – результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем: P(N ≥ 4) = P(3 + 1) + P(1 + 3) + P(3 + 3) = = P(3) · P(1) + P(1) · P(3) + P(3) · P(3) = = 0,4 · 0,2 + 0,2 · 0,4 + 0,4 · 0,4 = = 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32 . Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4. Ответ: 0,32 . 320188
Решение: Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна: 2488/5000 = 0,4976 ≈ 0,498 В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных. Ответ: 0,498 . 32018 9
Решение: В самолете 12 + 18 = 30 мест удобны пассажиру В., а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна P = 30 : 300 = 0,1. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест. Ответ: 0,1 . 3201 90
Решение: Всего в запасную аудиторию направили 250 − 120 − 120 = 10 человек. Поэтому вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна P = 10 : 250 = 0,04. На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории. Ответ: 0,04 . 3201 91
Решение: Пусть один из близнецов находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй близнец окажется среди этих 12 человек, равна P = 12 : 25 = 0,48. В классе 26 человек, среди них два близнеца – Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе. Ответ: 0,48 . 3201 92
Решение: Машин желтого цвета с черными надписями 23, всего машин 50. Поэтому вероятность того, что на случайный вызов приедет машина желтого цвета с черными надписями, равна: P = 23 : 5 0 = 0,4 6 . В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные – жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями. Ответ: 0,46 . 3201 93
Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта, равна: P = 6 : 30 = 0, 2 . В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта. Ответ: 0,2 . 3201 94
Решение: Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна 51 : 1000 = 0,051. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,051 – 0,045 = 0,006. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе? Ответ: 0,006 . 3201 95
Решение: По условию, диаметр подшипника будет находиться в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм, или больше, чем 67,01 мм. Ответ: 0,0 35. 3201 96
Решение: Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма – событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач. Ответ: 0,0 7. 3201 9 8
Решение: Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть A, B, C и D – это события, в которых З. сдает соответственно математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов. Тогда поскольку Р(С + D ) = P(C) + P(D) – P(C · D), для вероятности поступления имеем: P ( AB(C + D) ) = P(A) · P(B) · P(C + D) = P(A) · P(B) · ( P(C) + P(D) – P(C) · P(D) ) = = 0,6 · 0,8 · (0,7 + 0,5 – 0,7 · 0,5) = 0,408. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку – 0,8, по иностранному языку – 0,7 и по обществознанию – 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. Ответ: 0,408 . 3201 9 9
Решение: Пусть завод произвел n тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% невыявленных дефектных тарелок: 0,9 n + 0,2 · 0,1 n = 0,92 n тарелок. Поскольку качественных из них 0,9 n , вероятность купить качественную тарелку равна: На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых. Ответ: 0, 978. 320200
Решение: Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна: В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). Ответ: 0, 027. 320201
Решение: Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна: Р 1 = 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна: Р 2 = 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: Р 1 · Р 2 = 0,1 · 0,2 = 0,02. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар. Ответ: 0, 02. 320202
Решение: Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = « в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма – событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19. Ответ: 0, 38. 320203
Решение: Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры. Ответ: 0, 125. 320205
Решение: Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х – хорошая, О – отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды: P(XXO) = 0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128; P ( XOO ) = 0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128; P ( OXO ) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008; P ( OOO ) = 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128. Указанные события несовместные, вероятность их сумы равна сумме вероятностей этих событий: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. Ответ: 0, 392. 320206
Решение: Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: а) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; б) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем: P(A) = 0,9 · 0,05 = 0,045, P(B) = 0,01 · 0,95 = 0,0095, P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,045 + 0,0095 = 0,0545. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным. Ответ: 0, 0545. 320207
Решение: В кармане было 4 конфеты, а выпала одна конфета. Поэтому вероятность этого события равна одной четвертой. В кармане у Миши было четыре конфеты – «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж». Ответ: 0, 25. 320208
Решение: На циферблате между десятью часами и одним часом три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна: Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час. Ответ: 0, 25. 320209
Решение: Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94 · 0,94 = 0,8836. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. Ответ: 0, 8836. 320210
Решение: Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = «батарейка действительно неисправна и забракована» или В = «батарейка исправна, но по ошибке забракована». Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем: P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) = 0,02 · 0,99 + 0,98 · 0 ,01 = = 0,0 198 + 0,0098 = 0,0296 . Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. Ответ: 0, 0296. 320210
Решение: На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5) 4 = 0,0625. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D . Ответ: 0, 15625. 320212
Используемые материалы ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко.− М.: МЦНМО, 2012. − 48 с. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – 3-е изд., перераб . и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 543 с. http://mathege.ru/or/ege/Main.html − Материалы открытого банка заданий по математике 2013 года http://reshuege.ru/ − Сайт Дмитрия Гущина
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Какой системе неравенств равносильно исходное неравенство? Верно Подумай Вспомни свойства
Какой системе неравенств равносильно исходное неравенство? Ты прав Вспомни свойства Обрати внимание на основание
Какой системе неравенств равносильно исходное неравенство? Вспомни свойства Подумай Ты прав
[4;+∞) (3,5;4] (3;4] 1. Решите неравенство:
2. Решите неравенство: (8;17) (17;+∞) (-∞;17)
2. Решите неравенство: (8;17) (17;+∞) (-∞;17)
3. Решите неравенство: [-12; 4,5] [-12;-2,5)∪(1; 4,5) (-∞; - 2,5)∪(1;+∞)
3. Решите неравенство: [-12; 4,5] [-12;-2,5)∪(1; 4,5) (-∞; - 2,5)∪(1;+∞)
3. Решите неравенство: [-12; 4,5] [-12;-2,5)∪(1; 4,5) (-∞; - 2,5)∪(1;+∞)
3. Решите неравенство: [-12; 4,5] [-12;-2,5)∪(1; 4,5) (-∞; - 2,5)∪(1;+∞)
4. Сколько целых решений имеет неравенство? 45 2 46
4. Сколько целых решений имеет неравенство? 45 2 46
4. Сколько целых решений имеет неравенство? 45 2 46
4. Сколько целых решений имеет неравенство? 45 2 46
4. Сколько целых решений имеет неравенство? 45 2 46
4. Сколько целых решений имеет неравенство? 45 2 46
4. Сколько целых решений имеет неравенство? 45 2 46
4. Сколько целых решений имеет неравенство? 45 2 46
5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)
5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)
5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)
5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)
5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)
5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)
5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)
5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)
5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)
5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)
5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)
5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)
5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)
5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)
5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)
5. Решите неравенство: (6,15; 6,65) (-∞; 6,15)∪(6,65;+∞) (6,65; +∞)
1 2 3 4 5 отметка + + + + + 5 Ваш результат Молодец!
1 2 3 4 5 отметка + + + + - 4 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка + + + - + 4 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка + + + - - 3 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка + + - + + 4 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка + + - + - 3 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка + + - - + 3 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка + + - - - 2 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка + - + + + 4 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка + - + + - 3 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка + - + - + 3 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка + - + - - 2 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка + - - + + 3 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка + - - + - 2 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка + - - - + 2 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка + - - - - 2 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка - + + + + 4 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка - + + + - 3 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка - + + - + 3 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка - + + - - 2 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка - + - + + 3 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка - + - + - 2 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка - + - - + 2 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка - + - - - 2 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка - - + + + 3 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка - - + + - 2 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка - - + - + 2 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка - - + - - 2 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка - - - + + 2 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка - - - + - 2 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка - - - - + 2 Ваш результат
1 2 3 4 5 отметка - - - - - 2 Ваш результат
1. Решите неравенство: 2. Решите неравенство: 3. Решите неравенство: 4. Сколько целых решений имеет неравенство: ? 5. Решите неравенство: Задания
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый уровень/ Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и др., 2010г Математика. 10-11 классы: тестовые задания к основным учебникам: рабочая тетрадь. Фирстова Н.И. Список источников основного содержания
Повторение - мать учения. http://epo2la.do100verno.com/blog/464/10279 http://20th.su/2010/01/28/logarifmicheskaya-linejka/ http://education.simcat.ru/school31/news/page21/ http://topkran.narod.ru/docs.htm «Учат в школе» Список источников иллюстраций и звуковых дорожек
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
2 . ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ. 1. Показательная функция . 3 . В биологии. 4 . В экономике.
Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям. Л.Эйлер . «Показательная функция».
Графики функции у=2 х и у=(½) х График функции у=2 х проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ох. а>1 Д(у): х є R Е(у): у > 0 Возрастает на всей области определения. График функции у= также проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ох. 0<а<1 Д(у): х є R Е(у): у>0 Убывает на всей области определения.
Блиц – опрос 1.Какая функция называется показательной? 2.Какова область определения функции y= 0,3 x ? 3.Каково множество значения функции y= 3 x ? 4. Дайте определение возрастающей, убывающей функции. 5.При каком условии показательная функция является возрастающей? 6.При каком условии показательная функция является убывающей? 7.Возрастает или убывает показательная функция 8.Определить при каком значении a функция проходит через точку А(1; 2); 9
Какие из перечисленных функций являются возрастающими, а какие убывающими?
Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими?
Показательные уравнения. Уравнения,у которых неизвестное находится в показателе степени, называются показательными. Способы решения: По свойству степени; Вынесение общего множителя за скобки; Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, принимающее значение отличное от нуля при всех действительных значениях х; Способ группировки; Сведение уравнения к квадратному; Графический. . Например:
Решите уравнения ( устно): 5 х =25 х=2 7 х-2 =49 х=4 4 х =1 х = 0 5,7 х-3 = 1 х = 3 2 2 х =64 х = 5 3 9 х =81 х = 1,5 5 х =7 х х = 0 3,4 х+2 =4,3 х+2 х = -2
Указать способы решения показательных уравнений.
Диагностика уровня формирования практических навыков Приведение к одному основанию Вынесение общего множителя за скобки Замена переменного (приведение к квадратному) 2, 5, 10, 12 1, 7, 9, 11 3, 4, 6, 8
Чтобы решить графически уравнение f (x) = g (x) , надо: построить графики функций у = f (x) и у = g (x) найти абсциссу точки пересечения графиков функций рассмотреть возможность существования других точек пересечения
у= у=3 x +10
Определение Показательные неравенства – это неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Примеры:
Показательные неравенства решаются по следующим свойствам показательной функции: •если а > 1 , то неравенство a х 1 < а х 2 справедливо х 1 < х 2 •если 0 < а < 1 , то неравенство a х 1 > а х 2 справедливо х 1 < х 2
Решите неравенства (устно): 2 х > 0 x- любое 2 x >1 x > 0 х 1 х 0 х < 0 x = Ø 5 x >25 x > 2 0,7 x < 0,49 x > 2 0,2 x+1 < 0,2 4 x > 3 9,7 x-2 < 9,7 10 x < 12
Решения показательных неравенств: Способ Уравнивание оснований правой и левой части
Решите неравенство:
Решите неравенство:
Решение показательных неравенств Способ 2: Вынесение за скобки степени с меньшим показателем Ответ: х > 3 3 > 1 , то : 10
Решение показательных неравенств Способ 3: введение новой переменной Ответ: х < 2 . х >0 3 >1 , то
И её применение в природе и технике. Показательная функция
Подумайте! Где может использоваться показательная функция? Тема «Показательная функция» является основополагающей при изучении таких тем, как «Производная показательной функции», «Термодинамика», «Электромагнетизм», «Ядерная физика», «Колебания», используется для решения некоторых задач судовождения.
Наглядный бытовой пример! Все, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника равнялась То, а температура воздуха T1, то через t секунд температура Т чайника выразится формулой: T=(T1-T0)e-kt+T1, где k - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количества воды, которое в нем находится.
При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определенной величины.
Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F= kv , то через t секунд скорость падения будет равна: v= mg /k(1-e-kt/m), где m - масса парашютиста. Через некоторый промежуток времени е- kt /m станет очень маленьким числом, и падение станет почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от размеров парашюта. Данная формула пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды, пушинки и т.д.
Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v0, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя.
Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой: M=m( ev /v0-1) (формула К.Э.Циалковского ). Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива.
Если при колебаниях маятника, гири, качающейся на пружине, не пренебрегать сопротивлением воздуха, то амплитуда колебаний становится все меньше, колебания затухают. Отклонения точки, совершающей затухающие колебания, выражается формулой: s= Ae-ktsin (?t+?). Так как множитель е- kt уменьшается с течением времени, то размах колебаний становится все меньше и меньше.
Когда радиоактивное вещество распадется, его количество уменьшается. Через некоторое время остается половина первоначального количества вещества. Этот промежуток времени to называется периодом полураспада. Вообще через t лет масса m вещества будет равна: m=m0(1/2)t/t0, где m0 - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Явление радиоактивного распада используется для определения возраста археологических находок, например, определен примерный возраст Земли, около 5,5 млрд. лет, для поддержания эталона времени.
Задача: Период полураспада плутония равен 140 суткам. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса равна 8г ? m = ? Ответ: 1,13 •10 -7 (г).
Как видите, во всех приведенных выше исследованиях использовалась показательная функция.
Вот некоторые из Нобелевских лауреатов, получивших премию за исследования в области физики с использованием показательной функции: Пьер Кюри - 1903 г. Ричардсон Оуэн - 1928 г. Игорь Тамм - 1958 г. Альварес Луис - 1968 г. Альфвен Ханнес - 1970 г. Вильсон Роберт Вудро - 1978 г.
Она не перестаёт нас удивлять! Показательная функция также используется при решении некоторых задач судовождения, например, функцию е-x используют в задачах, требующих применения биноминального закона (повторение опытов), закона Пуассона (редких событий), закона Релея (длина случайного вектора).
Применение показательной функции в биологии .
Применение логарифмической функции в биологии. В питательной среде бактерия кишечной палочки делится каждую минуту. Понятно, что общее число бактерий за каждую минуту удваивается. Если в начале процесса была одна бактерия, то через х минут их число ( N ) станет равной 2 х , т.е. N ( х ) = 2 х .
Применение показательной функции в экономике
Задача: Ежемесячно на банковский вклад, равный S 0 рублей начисляется р%. На сколько процентов возрастет банковский вклад за х месяцев? Решение. Пусть р = 2%, х = 12 месяцев. Тогда за год банковский вклад возрастет на Ответ: на 27%.
А теперь, в конце урока хочется, чтобы вы выразили свое отношение к нашей сегодняшней работе и всему уроку в целом. Ответьте на вопросы в листах рефлексии и сдайте их мне. 2) Поставь оценку учителю за работу по 10 бальной системе. 3) Поставь оценку себе за работу по 10 бальной системе. Понравилось на уроке? (отметь галочкой мордашку)
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Страница 57 учебника – «ПРОВЕРЬ СЕБЯ»
СПАСИБО ЗА УРОК!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Вычислить производную устно письменно
Дана функция . Найти угловой коэффициент касательной, проведенной в точке с абсциссой . Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .
Задание B8 (№ 8319) На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.
Задание B8 (№ 9031) На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите точку экстремума функции на отрезке .
Задание B8 (№ 8795) На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
Прототип задания B14 Найдите точку минимума функции . Найдите наибольшее значение функции . Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
Мини-тест (В8, В14) Ключ к тесту: № 1 5 6 № 2 5 3 № 3 -1 -0,5 № 4 -6 51 В-1 В-2
Домашнее задание ФИПИ (открытый банк заданий) № 26727, 26724, 77489, 245179, 245183 (В-14) uztest.ru ( производные показательной и логарифмической функции ) С3
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Число e. а > 1. 1 1 0
e = 2,7182818284590……
Свойства функции : 1. не является четной , ни нечетной; 3. возрастает; не ограничена сверху, ограничена снизу; не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6. непрерывна; 7. 8. выпукла вниз; 9. дифференцируема.
Производная функции y = f ( x ), где y = g ( x ), где g ( x ) = f ( x - a ) 2.
Пример 1 . Провести касательную к графику функции в точке x=1. Решение : 1) a=1 2) f(a)=f(1)=e 3) 4) y=e+e(x-1); y = ex Ответ : y=ex
Пример 2 . Вычислить значение производной функции в точке x=3. Решение : Ответ : 4
Пример 4 . Исследовать на экстремум и схематически изобразить график функции Решение : 1) 2)
3) -2 x 0 + + - 4) x=-2 – точка максимума x=0 – точка минимума
Ось абсцисс – горизонтальная асимптота графика. 0 1 1
Натуральные логарифмы :
1. не является четной , ни нечетной; 3. возрастает; не ограничена сверху, не ограничена снизу; не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6. непрерывна; 7. 8. выпукла вверх; 9. дифференцируема. Функция y=ln x, ее свойства, график. 0 1 1
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Работа устно: № 1 2 3 4 a b c d Н Е П Р Е 2
Дата рождения: 1550 год Место рождения: замок Мерчистон , в те годы предместье Эдинбурга Дата смерти: 4 апреля 1617 Место смерти: Эдинбург Научная сфера: математика Альма-матер: Сент-Эндрюсский университет Известен как: изобретатель логарифмов Джон Непер John Napier 3
Прочитайте и назовите график функции, изображённый на рисунке. x y 0 1 1 План Какими свойствами обладает эта функция при 0 < a < 1 ? 4
1) D(f) – область определения функции . 2) Чётность или нечётность функции . 4) Ограниченность функции . 5) Наибольшие, наименьшие значения функции . 6) Непрерывность функции. 7) E(f) – область значений функции. 3) Промежутки возрастания, убывания функции . 8 ) Выпуклость функции. План прочтения графика: 5
Леонард Эйлер нем. Leonhard Euler Дата рождения: 4 (15) апреля 1707 Место рождения: Базель, Швейцария Дата смерти: 7 (18) сентября 1783 (76 лет) Место смерти: Санкт-Петербург, Российская империя Научная сфера: Математика, механика, физика, астрономия Современное определение показательной, логарифмической и тригонометрических функций — заслуга Леонарда Эйлера, так же как и их символика. 6
x y 0 c b c b y = x Показательная функция Логарифмическая функция ( c ; b) Если точка (с; b ) принадлежит показательной функции, то Или, на «языке логарифмов» Что можно сказать о точке ( b ; c )? ( b ; c) Вывод: 7
x y 0 a a y = x 1 1 График функции симметричен графику функции относительно прямой y = x. 8
x y y = x 1 1 0 График функции симметричен графику функции относительно прямой y = x. 9
x ¼ ½ 1 2 4 8 y = log 2 x -2 -1 0 1 2 3 Постройте графики функций: 1 вариант 2 вариант x ¼ ½ 1 2 4 8 y = log 1/2 x 2 1 0 - 1 - 2 - 3 10
x y 0 1 2 3 1 2 4 8 - 1 - 2 - 3 Проверка: График логарифмической функции называют логарифмической кривой. 11
x y 0 1 2 3 1 2 4 8 - 1 - 2 График функции y = log a x. Опишите свойства логарифмической функции . 1 вариант: при a > 1 2 вариант: при 0 < a < 1 12
Свойства функции у = log a x, a > 1 . х у 0 1) D(f) = (0, + ∞) ; 2 ) не является ни чётной, ни нечётной; 3) возрастает на (0, + ∞) ; 4)не ограничена сверху, не ограничена снизу; 5 )не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6) непрерывна; 7 ) E(f) = (- ∞ , + ∞) ; 8 ) в ыпукла вверх. 13
Свойства функции у = log a x, 0 < a < 1 . х у 0 1) D(f) = (0, + ∞) ; 2 ) не является ни чётной, ни нечётной; 3) убывает на (0, + ∞) ; 4)не ограничена сверху, не ограничена снизу; 5 )не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6) непрерывна; 7 ) E(f) = (- ∞ , + ∞) ; 8 ) в ыпукла вниз. 14
Основные свойства логарифмической функции № a > 1 0 < a < 1 1 D(f) = (0, + ∞) 2 не является ни чётной, ни нечётной; 3 возрастает на (0, + ∞) убывает на (0, + ∞) 4 не ограничена сверху, не ограничена снизу 5 не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений 6 непрерывна 7 E(f) = (- ∞ , + ∞) 8 выпукла вверх выпукла вниз 15
Задание №1 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: х у Функция возрастает, значит: y наим . = lg1 = 0 y наиб. = lg1000 = lg10 ³ = 3 х у Функция убывает, значит: y наим . = -3 y наиб. = 2 16
Задание №2 Решите уравнение и неравенства: x y 0 1 1 - 1 Ответ: х = 1 Ответ: х > 1 Ответ: 0 < х < 1 17
Самостоятельно: Решите уравнение и неравенства: Ответ: х = 1 Ответ: х > 1 Ответ: 0 < х < 1 х у х у х у 18
Задание №3 Постройте графики функций: x y 0 1 1 y = - 3 x = - 2 Проверить! Проверить! Самостоятельно. 19
x y 0 1 1 Проверка: 20
Проверка: x y 0 1 1 2 4 -3 3 21
Установите для предложенных графиков значение параметра a ( a >1, 0 < a < 1) х у х у х у х у Не является графиком логарифмической функции 22
Блиц - опрос. Отвечать только «да» или «нет» Ось у является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции. Графики показательной и логарифмической функций симметричны относительно прямой у = х. Область определения логарифмической функции – вся числовая прямая, а область значений этой функции – промежуток (0, + ∞) . Монотонность логарифмической функции зависит от основания логарифма. Не каждый график логарифмической функции проходит через точку с координатами (1;0). 23
Блиц - опрос. Отвечать только «да» или «нет» Логарифмическая кривая это та же экспонента, только по - другому расположенная в координатной плоскости. Выпуклость логарифмической функции не зависит от основания логарифма. Логарифмическая функция не является ни чётной, ни нечётной. Логарифмическая функция имеет наибольшее значение и не имеет наименьшего значения при a >1 и наоборот при 0 < a < 1. Проверка: Да, да, нет, да, нет, да, нет, да, нет 24
Домашнее задание § 49 №1463, 1467,1480,1460 1 вариант – а,б ; 2 вариант – в,г . Удачи!!!!! 25
http://ru.wikipedia.org Используемые ресурсы и литература Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл .: Учебн . для общеобразоват . учреждений. – 3-е изд. – М.:Мнемозина , 200 7 . Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл .: Задачник для общеобразоват . учреждений/А.Г.Мордкович, Л.О. Денищева , Т.А. Корешкова , Т.Н. Мишустина , Е.Е. Тульчинская . – 3-е изд., испр . – М.:Мнемозина , 200 7 . Л.А. Александрова Алгебра и начала анализа. 11 класс. Самостоятельные работы:Учеб . пособие для общеобразоват . учреждений/ Под ред. А.Г. Мордковича. – 2-е изд. – М.: Мнемозина, 2006. – 96 с. http://nayrok.ru 26
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
ПОНЯТИЕ ЛОГАРИФМА Определение: Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести число a , чтобы получить число b . Например,
Определение логарифма можно переписать так: Например, Операцию нахождения логарифма числа обычно называют логарифмированием
Десятичный логарифм Натуральный логарифм
Функция , ее свойства и график Свойства функции , а >1 1. D(y)= (0,+∞) 2. E(y)=(-∞,+∞) 3 .Не является ни четной, ни нечетной. 4.Не ограничена сверху, не ограничена снизу. 5.Непрерывна на D(y) 6.Возрастает на D(y) 7. у( х )>0 на (1,+ ∞ ), у( х )<0 на (0,1)
Функция , ее свойства и график Свойства функции ,0 < а <1 1. D(y)= (0,+∞) 2. E(y)=(-∞,+∞) 3 .Не является ни четной, ни нечетной. 4.Не ограничена сверху, не ограничена снизу. 5.Непрерывна на D(y) 6.Возрастает на D(y) 7. у( х )>0 на (1,+ ∞ ), у( х )<0 на (0,1)
Задание 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке : а) ; ; б) .
Решение: а) Функция - непрерывная и возрастающая, поскольку основание этой логарифмической функции больше 1. Следовательно, своих наименьшего и наибольшего значений функция достигает на концах заданного отрезка :
б) Функция - непрерывная и убывающая, поскольку основание этой логарифмической функции больше 0, но меньше 1. Следовательно, своих наибольшего и наименьшего значений функция достигает на концах заданного отрезка :
Задание 2. Постройте и прочитайте график функции :
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель урока: обобщить материал по свойствам логарифмов, логарифмической функции; рассмотреть основные методы решения логарифмических уравнений; развивать навыки устной работы.
Вспомни и продолжи свойство!
Вычислите значения выражения
Вычислить значение выражения
Определение: Уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма или в основании логарифма называются логарифмическими .
Методы решения ЛУ: Вид уравнения 1.Применение определения логарифма 2. Введение новой переменной 3. Приведение к одному и тому же основанию 4. Метод потенцирования 5 Метод логарифмирования обеих частей уравнения 6. Функционально-графический метод
Решение простейшего логарифмического уравнения основано на применении определения логарифма и решении равносильного уравнения Пример
Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их: если loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), решив полученное равенство, следует сделать проверку корней. Метод потенцирования
Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то прежде всего следует свести все логарифмы к одному основанию, используя формулы перехода
Если в показатели степени содержится логарифм, то обе части уравнения логарифмируют по тому основанию, которое содержится в основании логарифма, находящегося в показателе степени.
Для решения ЛУ графическим методом надо построить в одной и той же системе координат графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения и найти абсциссу их точки пересечения Пример log 3 х = 4-х. Так как функция у= log 3 х возрастающая, а функция у =4-х убывающая на (0; + ∞ ),то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень.
Домашнее задание П.19,№337,338(четн.)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Разминка 1. Дайте определение логарифма числа по заданному основанию. 2. Основное логарифмическое тождество. 3. Чему равен логарифм единицы? 4. Чему равен логарифм числа по тому же основанию? 5. Чему равен логарифм произведения? 6. Чему равен логарифм частного? 7. Чему равен логарифм степени? МОЛОДЕЦ!
Разминка 8. Формула логарифмического перехода от одного основания к другому основанию. 9. Какова область определения функции y= log а x ? 10. Какова область значения функции y= l og а x ? 11. В каком случае функция является возрастающей y=log а x ? 12. В каком случае функция является убывающей y=log а x ? МОЛОДЕЦ!
Таблица ответов. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Д Ж О Н Н Е П Е Р 1/3 2 3 -1 -1 100 1 100 0 « Проверь себя»
Историческая справка Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как «искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки. Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».
Решите логарифмические уравнения : 1) log 2 (2+ log 3 (3+x) )= 0 2) lg (3x-2)-1/2lg(x+2)=2-lg50 3) lg 2 x-5lgx+6=0 4) log х 4+log Х 2 64=5 5) log 3 x +log x 9 = 3
Решение логарифмических уравнений : 1 ) log2 (2+log3 (3+x) )= 0 Решение: 2+ log 3 ( 3+x) =1 ОДЗ: 3+x>0, log 3 ( 3+x)= -1 2+log 3 (3+x)> 0 3+x= 1\3 x= -2 2\3 Ответ: -2 2\3
Решение логарифмических уравнений : 2 ) lg ( 3 x -2)- lg √(x+2)=lg100 – lg50 lg (3x-2)\ √(x+2) = lg 2 (3x-2)\ √(x+2) = 2 (3x-2)= 2 √(x+2) 9х 2 - 16х --4= 0 D = 400, х 1 = 2, х 2 = -2\9 - посторонний корень ОДЗ : 3 x-2>0, x+2>0 Ответ: 2
Решение логарифмических уравнений : 3 ) lg 2 x-5lgx+6=0 Lg x = t t 2 - 5t + 6 = 0 t 1 = 2 t 2 = 3 Lg x = 2 lg x = 3 X = 100 x = 1000 ОДЗ : x>0, Ответ: 100, 1000.
Решение логарифмических уравнений : 4 ) Log x 4 +1\2 log X 64 =5 ОДЗ x > 0, X ≠1 log x 32 = 5 x =2 Ответ: 2.
Решение логарифмических уравнений : 5) log 3 x + log х 9 = 3 ОДЗ x > 0 log 3 x + 1\ log 9 x = 3 log 3 x + 2\ log 3 x = 3 log 3 x = t t+ 2\t – 3 = 0 t 2 + 2 -3t = 0, t 1 = 1, t 2 = 2 log 3 x =2 log 3 x = 1 X = 9 x = 3 Ответ: 3 и 9
Математический поединок. Решите логарифмические неравенства : 1) log1\2 ( 3x-1)< log1\2 ( 3-x) 2) Log 3 (4x-9) <1 3) Log 1\ π ( 2+x) \ ( 2-x) > log 1\ π 2
«Доказательство» неравенства 2>3 Рассмотрим неравенство 1/4>1/8 Затем сделаем следующее преобразование (1/2) 2 >(1/2) 3 Большему числу соответствует больший логарифм, значит, 2 lg >3 lg После сокращения на lg имеем: 2>3 В чем ошибка этого доказательства? Логарифмическая комедия.
Задайте формулой любую логарифмическую функцию и запишите на листочке одним из следующих цветов, которые на ваш взгляд соответствуют вашему настроению от проделанной вами работы . Красный - отличное Зеленый - хорошее Синий – удовлетворительное Рефлексия
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Повторение изученного материала. Дайте определение показательной функции. Перечислите основные свойства показательной функции. Изобразите схематически графики функций: Как используются свойства показательной функции при решении показательных уравнений и неравенств.
Решите уравнение Х = 4
Решите уравнение Алгоритм решения: Получим степени с основаниям 2. Используя свойства степени, упростим выражение. Перейдем к равенству показателей степени. Решим уравнение с модулем. Запишем ответ.
Алгоритм решения: Найти ОДЗ. Ввести замену Решить полученное уравнение, найти у. Вернуться к замене, решить уравнения относительно х. Записать ответ.
Решение:
Самостоятельно решите:
Проверь решение
Проверь решение
Проверь решение
Решите уравнение
Решение: Заметим, что Введем замену Получим уравнение Решим данное уравнение и получим
Решение:
Решаем второе уравнение
Решите неравенство:
Ответы к неравенствам
Переходим к переменной х
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Эпиграф: « Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели». Готфрид Лейбниц.
Номер задания А1 А2 А3 А4 А5 А6 Вариант 1 1 2 1 2 1 1 Вариант 2 4 4 2 3 2 1
I метод Замена уравнения h ( f ( x )) = h ( g ( x )) уравнением f ( x ) = g ( x ) ПРИМЕР. Решить уравнение Решение: Ответ: 2; 4. X 1 =2, X 2 =4.
II метод Метод разложения на множители f(x) g(x) h(x) = 0 f(x)=0; g(x)=0; h(x) = 0. ПРИМЕР. Решить уравнение Решение: ОДЗ: x+2 ≥ 0 x-8 > 0 X 1 =7 X 2 = - 1; X 3 = - 5 X 4 = 9 ; ; Проверка найденных корней. Ответ: 9.
III метод Метод введения новой переменной f(x) = 0 p(g(x)) = 0 p(u) = 0, ( где u=g(x)) g(x) = u 1 ; g(x) = u 2 ; … g(x) = u n ПРИМЕР. Решить уравнение Решение. Пусть , тогда u 1 =2 ; u 2 = - 11 . Проверить корни подстановкой . u 1 = 2 – корень , u 2 = -11 – посторонний корень. x 2 – x = 2; x 1 = 2 ; x 2 = -1. Ответ: 2; -1 .
IV метод Функционально-графический метод ПРИМЕР 1. Решить уравнение Решение. 2) А(1;1), В(4;2) 1 ) 3) х 1 = 1 ; х 2 = 4 . Ответ: 1; 4. ПРИМЕР 2. Решить уравнение Решение. 1) Подбором находим корень х = 2 . 2) 3) - возрастающая функция - убывающая функция Значит, х = 2 – единственный корень. Ответ: 2.
Решите уравнения )
Номер уравнения 1 2 3 4 5 6 Вариант 1 1 3 2 2 4 1 Вариант 2 1 2 4 1 3 4 Вариант 3 4 1 4 3 1 2 Вариант 4 4 1 1 2 3 2
Номер задания 1а (3 балла) 1б (3 балла) 2 (4 балла) Вариант 1 4 Вариант 2 -1 Вариант 3 2;-5 1 Вариант 4 1
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
«Показательные уравнения и неравенства» Цель урока: обобщение знаний о способах решения показательных уравнений и неравенств, подготовка к ЕГЭ.
2. 1. если , то если , то решений нет Показательные уравнения
Показательные неравенства Решение показательных неравенств часто сводиться к решению неравенств или Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции
Укажите промежуток, на котором лежит корень уравнения 3 x+2 + 3 x+1 + 3 x =39 . Задание № 1
Решение: x = . Из данных промежутков только промежуток содержит найденный корень. Ответ: 1 (1) [-2;0]; (2) [2;4]; (3) (4;9]; (4) (0;2). Номера правильных ответов: 9 1 13 1, 3 , 1 1 1 1 (0 ;2) 4
Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения Задание № 2
Решение: Сделаем замену переменных. Пусть Уравнение принимает вид Полученное уравнение имеет корни Сделаем обратную замену: Из данных промежутков только промежуток содержит найденный корень. Ответ: 1 1 1 1 1 2 у 2 1 -3; 1 0 [ 0 ; 1 ) (1) [log 2 6; 3) ; (2) [0;1) ; (3) [3;4) ; (4) [5;5). Номера правильных ответов: 1 2
Найдите область определения функции Задание № 3
Решение: Составим неравенство . Решив его, получим: . Подробнее. (1) ( - ∞; - 1/3 ]; (2) [ 1/3 ; + ∞ ); (3) [- 1/3 ;+ ∞ ); (4) ( - ∞; - 1/3 ). Номера правильных ответов: 0 [ -1/3 ; + ∞ ) 1 0 0 - 1/3 Ответ: 3
Найдите область определения функции Задание № 4
Решение: Составим неравенство . Решив его, получим: Подробнее. (1) [7/3; ∞ ); (2) (- ∞ ;-7/3]; (3) (- ∞ ;7/3]; (4) ( - ∞; 7/3). Номера правильных ответов: Ответ: 1 0 (- ∞ ;7/3] 1 0 0 7/3 3
Уравнивание оснований Вынесение общего множителя за скобку Введение вспомогательной переменной (замена переменной) Способы решения показательных уравнений и неравенств
Составить и решить уравнение и неравенство Найти ошибку в решении (Бланк №2) Работа в группах
Укажите промежуток, содержащий корень уравнения Решение. 1) (9;11) 2) (9;10) 3) ( 3 ;5 ] 4) [ 0;3 ]
Укажите множество решений неравенства Решение. 1) (-1;+∞) 2) (- ∞;-1) 3) ( 3 ;+ ∞) 4) (- ∞;3)
Выберите уровень задания на Бланке №3 и приступайте к его выполнению. Время на выполнения задания 6 минут . Тест
I уровень: II уровень: 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) Ответы теста 2 -2,5 -2;2 (5;+∞) (-∞;-2 ] 1 0 -2;2 [5; +∞ ) ( -2;2 )
I уровень 5 заданий - «4» 4 задания - «3» 3 задания - «2» II уровень 5 заданий - « 5 » 4 задания - « 4 » 3 задания - « 3 » 2 задания - «2» Критерии:
Возможная запись решения ученика . С 1. Решите уравнение , тогда или или или т.к. , то
Задание с использованием показательных функций, показательных уравнений и неравенств являются весьма популярными заданиями во всех вариантах ЕГЭ. Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям. Л. Эйлер
Учебно-методический комплект: Математика. Алгебра и математический анализ. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Мордкович А.Г. 11 класс. Учебное пособие. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. Контрольные и самостоятельные работы под редакцией М.Л.Галицкого и др.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
(Античный афоризм) «Незнающий пусть научится, а знающий вспомнит еще раз» Тема: «Решение логарифмических уравнений» Цель: закрепить и углубить знания учащихся по теме, учить применять полученные знания при решении различных уравнений. Девиз:
Рефлексия – отметить на листе свое настроение на начало урока. I .Организационный этап
III . Повторение. Актуализация знаний (5 мин) Задания на повторение № 1 Игра «ДОМИНО». Составить цепочку из карточек. Взаимопроверка (соседи по парте проверяют друг у друга). № 2 Разбить уравнения на группы по способу решения. (На магнитной доске карточки с названиями методов решения и примерами уравнений. Необходимо распределить уравнения к соответствующему методу). Выйти к доске и передвинуть уравнения к соответствующему методу.
Методы решения Уравнения Графический log 2 (x+1)=-2x+3 Использование определения логарифма и его свойств log 5 ( x-2 )= 1 log 3 ( x ² - 3 х +1)= log 3 (2x-3) log 3 (x + 6) + log 3 (x - 2) = 2 Введение новой переменной log 2 2 x - log 2 x - 2 = 0 Разложения на множители lg(x + 3)lg(3x - 5) = 0; 2lg(2x - 1) - lg 2 (2x - 1) = 0 П Р О В Е Р Ь С Е Б Я!
IV . Повторение методов решения логарифмических уравнений. Графический метод log 2 (x+1)=-2x+3 Решение: Рассмотрим две функции f (х)= log 2 (x+1) у = -2x+3 построим графики этих функций f (х)= log 2 (x+1) - логарифмическая функция D (х) =(-1;+∞), Е (у)=(- ∞ ; +∞) т.к основание 2 >1, то функция на всей области определения возрастает Функция у= -2x+3 – линейная, графиком функции является прямая, т.к. k =-2 < 0, то функция убывает на всей области определения. Графики пересекаются в точке с координатами (1; 1) Ответ х=1
Метод и спользования определения логарифма и его свойств log 3 (x ² - 3 х + 1)= log 3 ( 2 x - 3) Решение : log 3 (x ² - 3 х +1)= log 3 ( 2 x - 3) x ² - 3 х +1= 2 x – 3 ; x 2 – 5 x + 4 = 0, D = 9, x 1 =4, x 2 =1 Проверка: х = 4 – корень уравнения, х = 1 – не является корнем уравнения. Ответ: х=4
Метод введения новой переменной log 2 2 x - log 2 x - 2 = 0 Решение : Пусть log 2 х=а, тогда а ² -а-2=0 D =9, а 1 = 2 и а 2 = -1 При а 1 =2, log 2 x =2 , x= 4 При а 2 =-1, log 2 x=-1 , x= 0,5 так как х должен быть положительным, то оба значения являются корнями уравнения. Ответ: х=4, х=0,5
Будьте внимательны! Метод разложения на множители . 2lg(2x - 1) - lg 2 (2x - 1) = 0 Решение: 2 lg( 2 x-1)- lg² (2х-1)=0 lg( 2 x-1) (2 - lg (2х-1))=0 lg( 2 x-1) =0 2 -lg (2х-1)=0 2 x-1 =1 lg (2х-1)=2 х=1 2х-1=100; х=50,5 так как х должен быть положительным, то оба значения являются корнями уравнения . Ответ: х = 1; х = 50,5
V . Проверка ЗУН в ходе самостоятельной работы. Самостоятельная работа в виде теста. Самопроверка при выполнении по карточке с ответами. Решить уравнения I вариант II вариант А 1 log 4 (2 x – 1 ) = 0,5 А 1 log 3 (4 - 2 x ) = 1 1) 2 2) 1,5 3) 0,5 4) 2,5 1) 0,5 2) 2,5 3) 2 4) - 0,5 A 2 lg(x + 8) = lg(3x + 20) A 2 log 5 (2x - 3) = log 5 (3x - 7) 1) 1 2) 6 3) - 6 4) 7 1) - 4 2) 4 3) 2 4) 5 В 1 log 2 2 x + 2log 2 x = 3 В 1 log 2 2 x + 2log 2 x = - 1 Ответ: _____ Ответ: _________
1 вариант: 2 вариант: А 1 – 2; А 2 - 3; В 1 - 2; 1/8 А 1 – 1; А 2 - 1; В 1 - 1/2 Ответы:
VI. Постановка домашнего задания п.19 № 376(а), 378, № 379 (4), 380(3)
VII . Итог урока Чем мы сегодня занимались на уроке? Что повторили?
VIII .Рефлексия Что вам сегодня понравилось на уроке? С каким настроением вы покидаете класс? (отметить на листке настроения)
Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др. Алгебра и начала анализа 10-11 класс, Москва «Просвещение», 2003 г. В. Я Солодухин, Сборник упражнений по алгебре- Показательная и логарифмическая функция, Москва «Школьная пресса», 2002 г. Ковалева Г. И., Математика, учебно-тренировочные тематические тестовые задания с ответами, ( I-III части), Изд. «Учитель»,2003 г. 4. Интернет-ресурсы: http://school- collection.edu.ru/catalog/search/?text=&interface=pupil&class=54&subject=17&rub_guid[]=a87d6303-ae07-46dd-a18a-855c725fb448&context=current&onpage=20&onpage=20&page=4 Используемая литература
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели: развитие логического мышления формируя умения и навыки решения систем и совокупностей неравенств, выполняя равносильные переходы; развитие умения кратко отвечать на вопрос и ставить его; развитие учебно-коммуникативных умений при работе в группе (слушать, аргументировать, доходчиво объяснять); развитие умений работать во времени; развитие навыков самостоятельной деятельности и самоконтроля.
Определение Таким образом, два неравенства являются равносильными на множестве Х, если множества решений этих неравенств совпадают. Два неравенства f₁ ( х )> g₁ ( х ) и f₂ ( х )< g₂ ( х ) называются равносильными на множестве Х, если а) выполнены два условия: каждое решение первого неравенства, принадлежащее множеству Х, является решением второго, и наоборот, каждое решение второго неравенства, принадлежащее множеству Х, является решением первого; б) или оба неравенства не имеют решений.
Поэтому вместо того чтобы решать данное неравенство, можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства другим, равносильным данному на Х, называют равносильным переходом на Х. Равносильный переход обозначат двойной стрелкой Например: х ²<1 |х| <1.
Важно понимать, что для доказательства неравносильности двух неравенств нет необходимости решать каждое из неравенств, а затем убеждаться в том, что множества их решений не совпадают – достаточно указать одно решение одного из неравенств, которое не является решением другого неравенства.
Пусть функции f(x), g(x), h(x) определены на множестве Х. Тогда справедливы следующие равносильные переходы:
Системы и совокупности неравенств Определение. Несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является частным решением заданных неравенств. Частное решение системы неравенств – значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство. Множество всех частных решений системы неравенств представляют собой общее решение системы неравенств.
Решить систему неравенств – значит найти все её частные решения. Решение системы неравенств представляет собой пересечение решений неравенств, образующих систему. Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой.
Например: Решим систему неравенств: Ответ:
Определение. Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является хотя бы одного из заданных неравенств. Каждое такое значение переменной называют частным решением совокупности неравенств. Множество всех частных решений совокупности неравенств представляет собой решение совокупности неравенств.
Решение совокупности неравенств представляет собой объединение решений неравенств, образующих совокупность. Неравенства, образующие совокупность, объединяются квадратной скобкой.
Например Решим совокупность неравенств Ответ:
Задание группам № 57.4а; № 57.5а; № 57.8а.
Домашнее задание №№ 57.4б, 57.5б, 57.8б.
Самостоятельная работа 1 вариант №№ 57.6а, 57.7а, 57.9а. 2 вариант №№ 57.6б, 57.7б, 57.9б.
Литература: 1. А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа», часть 1, « Мемозина », Москва, 2012. 2. А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа», часть 2, « Мемозина », Москва, 2012.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Определение показательного уравнения ОПР Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным. Примеры показательных уравнений: 1. 4. 2. 5. 3. 6.
Выберите показательные уравнения Решите их дома
Способы решения показательных уравнений Графический Построить графики двух функций (левая и правая части уравнения) Найти абсциссы точек пересечения графиков Записать ответ Аналитические Приравнивание показателей Вынесение общего множителя за скобки Введение новой переменной Использование однородности
Графический способ решения Пример: Решить графически уравнение дальше Ответ: х=2 2 4 1
Аналитические способы Приравнивание показателей Вынесение общего множителя за скобки Введение новой переменной Использование однородности
1. Приравнивание показателей Суть метода: 1. Уединить слагаемое, содержащее переменную 2. Привести степени к одному основания 3. Приравнять показатели 4. Решить полученное уравнение 5. Записать ответ
Пример Ответ:
2. Вынесение общего множителя за скобки Примечание: выносим за скобки множитель с меньшим показателем.
Пример Ответ:
3. Введение новой переменной Пусть Тогда уравнение примет вид: Ответ:
4. Однородные уравнения ОПР Показательные уравнения вида называются однородными. Суть метода: Так как показательная функция не может принимать значение, равное нулю, и обе части уравнения можно делить на одно и то же неравное нулю число, разделим обе части уравнения, например, на .
Пример Ответ:
Определите способ решения уравнений (однородное уравнение) (приравнивание показателей) (замена переменной) (приравнивание показателей) (вынесение за скобки)
Решите уравнение
Домашнее задание Выписанные 5 уравнений.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели урока: Ввести понятие степенной функции Построить графики степенной функции ? Сдвиг графика вдоль осей координат. -Рассмотреть свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.
Как алгебраисты вместо АА, ААА, … пишут А 2 , А 3 , … так я вместо пишу а -1 , а -2 , а -3 , … Ньютон И.
Нам знакомы функции у = х х у у = х 2 х у у = х 3 х у х у Прямая Парабола Кубическая парабола Гипербола
Все эти функции являются частными случаями степенной функции у = х r , где r – заданное действительное число Свойства и график степенной функции зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях х и r имеет смысл степень х r . у = х, у = х 2 , у = х 3 ,
Показатель р = 2r – четное натуральное число 1 0 х у у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 , у = х 8 , … у = х 2 Функция у=х 2 n четная, т.к. ( – х) 2 n = х 2 n Функция убывает на промежутке Область определения функции – значения, которые может принимать переменная х Область значений функции – множество значений, которые может принимать переменная у График четной функции симметричен относительно оси Оу. График нечетой функции симметричен относительно начала координат – точки О. Функция возрастает на промежутке
y x - 1 0 1 2 у = х 2 у = х 6 у = х 4
Показатель r = 2n -1 – нечетное натуральное число 1 х у у = х 3 , у = х 5 , у = х 7 , у = х 9 , … у = х 2 Функция у=х 2 n -1 нечетная, т.к. ( – х) 2 n -1 = – х 2 n -1 0 Функция возрастает на промежутке
y x - 1 0 1 2 у = х 3 у = х 7 у = х 5
Показатель r = – 2n , где n – натуральное число 1 0 х у у = х -2 , у = х -4 , у = х -6 , у = х -8 , … Функция у=х 2 n четная, т.к. ( – х) -2 n = х -2 n Функция возрастает на промежутке Функция убывает на промежутке
y x - 1 0 1 2 у = х -4 у = х -2 у = х -6
Функция убывает на промежутке Показатель r = – ( 2n -1), где n – натуральное число 1 0 х у у = х -3 , у = х -5 , у = х -7 , у = х -9 , … Функция у=х -(2 n -1) нечетная, т.к. ( – х) –(2 n -1) = – х –(2 n -1) Функция убывает на промежутке
y x - 1 0 1 2 у = х -1 у = х -3 у = х -5
0 Показатель r – положительное действительное нецелое число 1 х у у = х 1,3 , у = х 0,7 , у = х 2,12 , … Функция возрастает на промежутке
y x - 1 0 1 2 у = х 0,5 у = х 0,84 у = х 0,7
y x - 1 0 1 2 у = х 1,5 у = х 2,5 у = х 3,1
0 Показатель r – отрицательное действительное нецелое число 1 х у у = х -1,3 , у = х -0,7 , у = х -2,12 , … Функция убывает на промежутке
y x - 1 0 1 2 у = х -1,3 у = х -0,3 у = х -2,3 у = х -3,8
Пользуясь рисунком, найти промежутки, на которых график функции лежит выше (ниже) графика функции у = х. у 0 1 х у=х 0 1 х у у=х
Пользуясь рисунком, найти промежутки, на которых график функции лежит выше (ниже) графика функции у = х. у 0 1 х у=х 0 1 х у у=х
Пользуясь рисунком, найти промежутки, на которых график функции лежит выше (ниже) графика функции у = х. 0 1 х у у=х 0 1 х у у=х у 0 1 х у=х
y x - 1 0 1 2 у = х -4 у = (х – 2) -4
y x - 1 0 1 2 у = х -4 у = х – 4 – 3
y x - 1 0 1 2 у = х -4 у = (х+1) – 4 – 3
y x - 1 0 1 2 у = х -3 у = (х-2) – 3 – 1
y x - 1 0 1 2 у = (х+2) –1,3 +1 у = х -1,3
Домашнее задание 9.11 9.14(а,б) 9.16(аб) § 9. Определения и свойства степенной функции( стр.56-59)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Решить неравенства
Решить неравенство log b a + log b c = log b ( ac ) Область допустимых значений неравенства 3x-3 > 0 , 3x-3≠0 , ≠0
Решить неравенство log b a + log b c = log b ( ac ) ОДЗ: x > 0, x ≠ 1
Решить неравенство Найдём область допустимых значений неравенства:
Решить неравенство При переходе от логарифмов к подлогарифмическим выражениям НЕОБХОДИМО учитывать значение величины основания
ОДЗ Решить неравенство
Решить неравенство
Решить неравенство ОДЗ
Решить неравенство Разложим на множители Решим неравенство методом интервалов. Найдём нули левой части
Решить неравенство ОДЗ:
Решить неравенство
Решить неравенство
Математику уже за то любить следует, что она ум в порядок приводит М.В. Ломоносов Источники Соболь Б. В., Виноградова И. Ю., Рашидова Е. В. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию по математике. Изд. 3-е. – Р н /Д: «Феникс», 2003. – 352 с . Лысенко Ф.Ф.(ред.) Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011 http:// edu.nstu.ru/courses/dovuz/urner/demo/Log/Teor/Fru_m.htm http://reshuege.ru/test?theme=169
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Правило нахождения процента от числа
Задача К 150г 10-процентного раствора соли добавили 5-процентный раствор этой же соли и получили 8-процентный раствор. Какое количество 5-процентного раствора добавили? При решении этой задачи: 1) рассмотрим химический процесс 2) составим математическую модель
Приготовление растворов Соль Соль Вода Вода
После перемешивания 1 раствор = вода + соль 2 раствор = вода + соль
1 раствор 2 раствор соль соль 3 Полученный раствор соль
Задача К 150 г 10-процентного раствора соли добавили 5-процентный раствор этой же соли и получили 8-процентный раствор. Какое количество 5-процентного раствора добавили? Масса раствора,г Процентная концентрация Масса соли в растворе,г 1 раствор 150 10% 2 раствор х 5% 0,05х Приготовленный раствор 150+х 8% (150+х) 0,08
Задача К 150 г 10-процентного раствора соли добавили 5-процентный раствор соли и получили 8-процентный раствор. Какое количество 5-процентного раствора добавили? Масса раствора,г Процентная концентрация Масса соли,г 1 раствор 150 10% 2 раствор Х 5% 0,05х Приготовленный раствор 150+х 8% Массу соли выразили двумя способами. На основании этого составим уравнение: Ответ: 100 г
Задача Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Масса сплава, кг Процентная концентрация Масса меди в сплаве, кг 1 сплав х 10% 0,1х 2 сплав х+3 40% 0,4(х+3) Полученный сплав х+(х+3) 30% 0,1х+0,4(х+3) 0,1х+0,4(х+3)=0,3(х+(х+3)) х=3 3+(3+3)=9(кг) - масса третьего сплава Ответ: 9кг .
Универсальная таблица при решении задач на растворы и сплавы Количество раствора (сплава) Процентная концентрация Количество вещества в растворе (сплаве) 1 раствор (сплав) 2 раствор (сплав) Полученный раствор (сплав)
Задача В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Количество раствора, л Процентная концентрация Количество вещества в растворе Исходный раствор 5 12% Вода 7 0% 0 Полученный раствор 5+7 Х%
Задача Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Задача Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Масса сплава, кг Процентное содержание Количество никеля в сплаве,кг 1 сплав х 10% 0,1х 2 сплав у 30% 0,3у 3 полученный сплав 200 25% 0,1х+0,3у
Задача Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси? Масса раствора,кг Процентная концентрация Количество кислоты в растворе,кг 1 раствор х 30% 0,3х 2 раствор у 60% 0,6у Вода 10 0% 0 Полученный раствор х+у+10 36% 0,3х+0,6у 0,36(х+у+10) 2 ситуация 1 раствор х 30% 0,3х 2 раствор у 60% 0,6у 3 раствор 10 50% Полученный раствор х+у+10 41 0,3х+0,6у+
Задача Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором – 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота. Масса сплава, ед. массы Процентное содержание Количество золота в сплаве, ед. массы 1 сплав х 35% 0,35х 2 сплав у 60% 0,6у Новый Сплав х+у 40% 0,35х+0,6у 0,4(х+у) 0,4(х+у)=0,35х+0,6у 0,05х=0.2у
Задачи Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 20% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 15% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? В сосуд, содержащий 7 литров 26-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 13% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Смешали некоторое количество 20-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 16-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Смешали 4 литра 20-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 35-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Смешав 62-процентный и 93-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 67-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 62-процентного раствора использовали для получения смеси?
Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 60 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 19% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 22% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде? Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Смешав 40-процентный и 90-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 40-процентного раствора использовали для получения смеси? Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 85 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 44% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Смешали некоторое количество 14-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 18-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? В сосуд, содержащий 9 литров 13-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Смешали 3 литра 35-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 15-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?