2020-2021 уч год Организация образовательной деятельности Колледжа с использованием дистанционных образовательных технологий (ДОТ) и электронного обучения (ЭО)

Слайд 1

Слайд 2

Повторим Если каждому значению х из некоторого множества действительных чисел поставлено в соответствие по определенному правилу f число у , то, говорят, что на этом множестве задана функция . D(f) – область определения функции; х – независимая переменная или аргумент; у – зависимая переменная; множество всех значений y=f(x) , x ϵ Х называют областью значений функции и обозначают E(f) .

Слайд 3

Задача Пусть дана функция y=f(x) Найти значение функции в точке х=х 0 Например: Найти значение функции у=5х+7 в точке х=7. у(7)=5∙7+7 Ответ: у(7)=42 =35+7=42 Прямая Задача Пусть дана функция y=f(x) Найти значение аргумента в точке у=у 0 Например: Дана функция у=5х+7. Найти значе - ние аргумента при котором у=22. 22=5х+7 5х=22-7 5 x=15 х=15:5 x =3 Ответ: у(3)=22 Обратная

Слайд 4

Задача Пусть дан закон изменения скорости движения от времени Найти закон изменения времени от скорости. Решение: 0 – gt = gt = – 0 t= Обратимая функция Обратная функция к

Слайд 5

Если функция принимает каждое свое значение у только при одном значении x , то эту функцию называют обратимой . Пусть обратимая функция. Тогда каждому из множества значений функции соответствует одно определенное число из области определения, такое, что Это соответствие определяет функцию от , которую обозначим . Поменяем местами и : Функцию называют обратной к функции . Обозначают .

Слайд 6

Пример Найти функцию, обратную функции Решение: Ответ:

Слайд 7

y x 5 0 D(y)= ( ; 5) E(y )= ( ; 0) y 0 5 x D(y)= ( ; 0) E(y )= ( ; 5)

Слайд 8

Свойства обратных функций: Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции , а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции Монотонная функция является обратимой: а) если функция возрастает, то обратная к ней функция также возрастает; б) если функция убывает, то обратная к ней функция также убывает.

Слайд 9

Пример Показать, что для функции существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение. Решение: Функция возрастает на R . Значит, обратная функция существует на R . Решим уравнение относительно . Получим, Поменяв местами и получим: Это и есть искомая обратная функция.

Слайд 10

Пример Дана функция Доказать, что для нее существует обратная функция, записать аналитическое выражение обратной функции в виде и построить график обратной функции.

Слайд 11

Решение: Функция возрастает на промежутке значит, она имеет обратную функцию. Из уравнения находим: или . Промежутку принадлежат лишь значения функции .

Слайд 12

Поменяв местами и получим График этой функции получается из графика функции с помощью симметрии относительно прямой .

Слайд 1

Слайд 2

Предел функции Предел – одно из основных понятий математического анализа. Понятие предела использовалось еще Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году. Различают – предел функции в точке и предел функции на бесконечности .

Слайд 3

Рассмотрим функции, графики которых изображены на следующих рисунках: Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, но все же изображают они три разные функции, отличающиеся друг от друга своим поведением в точке . Рассмотрим каждый из этих графиков подробнее:

Слайд 4

Для функции график которой изображен на этом рисунке, значение , не существует, функция в указанной точке не определена.

Слайд 5

Для функции график которой изображен на этом рисунке, значение , существует, но оно отличное от, казалось бы, естественного значения точка как бы выколота.

Слайд 6

Для функции график которой изображен на этом рисунке, значение , существует и оно вполне естественное.

Слайд 7

Для всех трех случаев используется одна и та же запись: которую читают: «предел функции при стремлении к равен ». Содержательный смысл этой фразы следующий: если значения аргумента выбирать все ближе и ближе к значению , то значения функции все меньше и меньше отличаются от предельного значения Или можно сказать так: в достаточно малой окрестности точки справедливо приближенное равенство: При этом сама точка исключается из рассмотрения.

Слайд 8

Прежде чем перейти к разбору решений примеров заметим, что если предел функции при стремлении к равен значению функции в точке , то в таком случае функцию называют непрерывной . График такой функции представляет собой сплошную линию, без «проколов» и «скачков» .

Слайд 9

Функцию называют непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Примерами непрерывных функций на всей числовой прямой являются : Функция непрерывна на луче а функция непрерывна на промежутках

Слайд 10

Предел функции в точке Число В называется пределом функции в точке а , если для всех значений х , достаточно близких к а и отличных от а , значение функции f (x) сколь угодно мало отличается от В .

Слайд 11

Теорема. Если функция f ( x ) имеет предел в точке х 0 , то этот предел единственный .

Слайд 12

Бесконечно малая функция и бесконечно большая функция. Функция α ( x ) называется бесконечно малой при x → a (здесь a – конечное число или ∞), если Функция f ( x ) называется бесконечно большой функцией (или бесконечно большой величиной) при х→а , если

Слайд 13

Графическая иллюстрация х →0 Таким образом, величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая, и наоборот .

Слайд 14

Теорема 1. Предел суммы (разности) 2-х функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:

Слайд 15

Теорема 2. Предел константы равен самой этой константе.

Слайд 16

Теорема 3. Предел произведения 2-х функций равен произведению их пределов, если последние существуют:

Слайд 17

Теорема 4. Предел отношения 2-х функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел знаменателя отличен от 0 :

Слайд 18

Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела

Слайд 19

Теорема 6. Предел степени переменного равен той же степени предела основания:

Слайд 20

Вычисление пределов Вычисление предела : начинают с подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) . Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу. Если при подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения вида: то предел будет равен:

Слайд 21

Вычислить пределы:

Слайд 22

Примеры

Слайд 23

Вычисление пределов Часто при подстановке предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов: Эти выражения называются неопределенности , а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности .

Слайд 24

Методы вычисления пределов на неопределенность Раскрыть соответствующую неопределенность - это значит найти предел (если он существует) соответствующего выражения, что, однако не всегда просто

Слайд 25

В большинстве случаев, чтобы раскрыть неопределенность вида , достаточно числитель и знаменатель дроби разделить на множители, и затем сократить на множитель, приводящий к неопределенности. Правило № 1

Слайд 26

Пример №1: Разложим числитель и знаменатель на множители:

Слайд 27

Пример № 2:

Слайд 28

Чтобы раскрыть неопределенность данного вида, зависящую от иррациональности, достаточно перевести иррациональность ( или иррациональности) из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и сократить на множитель, приводящий к неопределенности. Правило № 2

Слайд 29

Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.

Слайд 30

Упражнения:

Слайд 31

Домашнее задание:

Слайд 1

Слайд 2

После изучения темы «Комплексные числа учащиеся должны: Знать: алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа . Уметь : производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую; пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел; в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами.

Слайд 3

Какие числовые множества Вам знакомы? N Z Q R I . Подготовка к изучению нового материала

Слайд 4

Числовая система Допустимые алгебраические операции Частично допустимые алгебраические операции Натуральные числа, N Целые числа, Z Рациональные числа, Q Действительные числа, R Сложение, умножение Вычитание, деление, извлечение корней Сложение, вычитание, умножение Деление, извлечение корней Сложение, вычитание, умножение, деление Извлечение корней из неотрицательных чисел Сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел Извлечение корней из произвольных чисел Комплексные числа, C Все операции

Слайд 5

Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: С 1 ) Существует квадратный корень из , т.е. существует комплексное число, квадрат которого равен . С 2 ) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С 3 ) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному). Выполнение этих минимальных условий позволяет определить все множество С комплексных чисел.

Слайд 6

Мнимые числа i = - 1, i – мнимая единица i , 2 i , -0,3 i — чисто мнимые числа Арифметические операции над чисто мнимыми числами выполняются в соответствии с условием С3. где a и b — действительные числа. В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы:

Слайд 7

Комплексные числа Определение 1 . Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. Определение 2. Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части:

Слайд 8

Классификация комплексных чисел Комплексные числа a + bi Действительные числа b = o Мнимые числа b ≠ o Рациональные числа Иррациональные числа Мнимые числа с ненулевой действительной частью a ≠ 0, b ≠ 0. Чисто мнимые числа a = 0, b ≠ 0.

Слайд 9

Арифметические операции над комплексными числами (а + bi ) + ( c + di ) = (а + с) + ( b + d ) i (а + bi ) - ( c + di ) = (а - с) + ( b - d ) i ( а + bi)·( с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Слайд 10

Сопряженные комплексные числа Определение: Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному. Если данное комплексное число обозначается буквой z , то сопряженное число обозначается : : . Из всех комплексных чисел действительные числа (и только они) равны своим сопряженным числам. Числа a + bi и a - bi называются взаимно сопряженными комплексными числами.

Слайд 11

Свойства сопряженных чисел Сумма и произведение двух сопряженных чисел есть число действительное. Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным числам. Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным числам. Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно произведению сопряженных данным числам.

Слайд 12

Свойства сопряженных чисел Число, сопряженное п -ой степени комплексного числа z , равно п- ой степени числа, сопряженного к числу z , т.е. Число, сопряженное частному двух комплексных чисел, из которых делитель отличен от нуля, равно частному сопряженных чисел, т.е.

Слайд 13

Степени мнимой единицы По определению первой степенью числа i является само число i , а второй степенью – число -1: . Более высокие степени числа i находятся следующим образом: i 4 = i 3 ∙ i = -∙ i 2 = 1; i 5 = i 4 ∙ i = i ; i 6 = i 5 ∙ i = i 2 = - 1 и т.д. i 1 = i , i 2 = -1 Очевидно, что при любом натуральном n i 4n = 1; i 4n+1 = i ; i 4n +2 = - 1 i 4n+3 = - i .

Слайд 14

Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраической форме. Определение . Число w называют квадратным корнем из комплексного числа z , если его квадрат равен z : Теорема . Пусть z=a+bi – отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны z . Если b ≠0 , то э ти два числа выражаются формулой:

Слайд 15

Геометрическое изображение комплексных чисел. Комплексному числу z на координатной плоскости соответствует точка М( a, b). Часто вместо точек на плоскости берут их радиусы-векторы Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi называют неотрицательное число , равное расстоянию от точки М до начала координат b a М (a, b) y x O φ

Слайд 16

Тригонометрическая форма комплексного числа где φ – аргумент комплексного числа, r = - модуль комплексного числа,

Слайд 17

Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме Теорема 1 . Если и то: б) а) Теорема 2 (формула Муавра). Пусть z — любое отличное от нуля комплексное число, п — любое целое число. Тогда

Слайд 18

Извлечение корня из комплексного числа. Теорема . Для любого натурального числа n и отличного от нуля комплексного числа z существуют n различных значений корня n -степени. Если