2019-2020 учебный год Дистанционное обучение

Памятка для обучающихся

по организации образовательной деятельности

в режиме дистанционного обучения

Предмет: Математика

29л группа

Преподаватель:  Гуслева Татьяна Владимировна

Ресурсы для дистанционного обучения:

1.  Система электронного обучения «Академия-Медиа» 3.5 https://spb.academia-moscow.ru/
2. Сайты педагогических работников http://www.my-ptk.ru/crew.html
3. Национальная электронная библиотека (НЭБ) https://rusneb.ru/
4. Discord сервер группы, Skype, WhatsApp, Viber, электронная почта
5. Платформа для преподавателей математики https://uztest.ru/
6. Сайт сдам ЕГЭ https://ege.sdamgia.ru/
7. Учебник Алгебра https://rabochaya-tetrad-uchebnik.com/algebra/uchebnik_algebra_10-11_klass_alimov_kolyagin/index.html
8. Учебник Геометрия https://rabochaya-tetrad-uchebnik.com/geometriya/geometriya_uchebnik_10-11klass_atanasyan/index.html

1. Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных уравнений                   К – 1

Решите уравнение: а) 34х – 7 = 1

(Указание:  а0 = 1, поэтому можно заменить единицу числом 30).

б) 72х -3 = 49.    в) = 1.   г) (2х – 3 = 7 2 – 3х (указание: а – м = (1/а)м применяя эту формулу, получаем 72-3х = 3х-2. Попытайтесь решить это уравнение, преобразовав его левую часть.

2. Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных уравнений                   К – 2

Решите уравнение: 32х – 1 – 32х + 32х + 3 = 237.

Это уравнение решается способом вынесения общего множителя за скобки. За скобки выносится член с наименьшим показателем степени: 32х – 1. Чтобы найти многочлен, заключенный в скобки, надо каждый член многочлена, стоящего в левой части уравнения, разделить на вынесенный множитель. Деление выполняется по правилу: am : an = a m – n. Производим деление: 1) 32х-1:32х-1=1; 2) 32х : 32х-1=32х – (2х-1)= 32х – 2х +1= 3;

3) 32х+3:32х-1=32х+3-2х+1=34=81.    Запишем результат: 32х-1(1 – 3 + 81) = 237. Произведем действия, заключенные в скобки 32х-179 = 237. Разделим обе части уравнения на 79, получим 32х-1=3, откуда 2х – 1 = 1; х = 1. Ответ: х = 1.

Решите самостоятельно уравнения:

5х + 1 + 5х + 5х – 1 = 155;     2х – 2 х – 2 = 3.  

3. Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных уравнений                       К – 3

Решите уравнение 22х  - 5. 2х – 24 = 0 по следующему образцу:

Рассмотрим решение уравнения 3 2х – 10 . 3х + 9 = 0 1) заменим 3х = у, тогда 32х = (3х)2 = у2; 2) уравнение приводится к виду у2 – 10у + 9 = 0, корни которого у1 = 1; у2 = 9; 3) получаем совокупность двух показательных уравнений простейшего вида: 3х = 1; 3х = 9; 4) решим показательное уравнение 3х = 1. Так как 1 = 30, то 3х = 30, откуда х = 0; 5) решим показательное уравнение 3х = 9. Так как 9 = 32, то 3х = 32, откуда х = 2. Ответ: х = 0 и х = 2. Сделайте проверку корней.

4. Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных уравнений                     К – 4

Рассмотрим решение уравнения 2 . 2х + 4х = 80:  1) 4х = 22х;     2) 2. 2х+ 22х = 80;    3) 2х = у, 22х =у2;   4) 2у + у2 = 80, у2 + 2у -80 = 0, у1 = -10;  у2 = 8;   5) 2х = -10 – не имеет решения, так как 2х > 0 при любом значении х; 6) 2х = 8; 2х = 23; х = 3.

По этому образцу решите самостоятельно уравнение 4х + 3. 2х – 4 = 0.

5. Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных уравнений                     К – 5

1. Решите уравнение: 4х + 1,5 – 2х = 1. Указание: 1) преобразуем член уравнения 4х + 1,3 = 22(х+1,5)=22х + 3= 22х . 23 = 8. 22х; 2) получаем уравнение 8. 22х – 2х – 1 = 0. Способ вынесения общего множителя не годится. Почему? Данное показательное уравнение сводится к квадратному путем введения вспомогательного переменного. Закончите решение примера.
2. Решите уравнение: 22х – 5. 2х+1 + 16 = 0.             Указание:         1) замените 2 х + 1=2х.2, тогда 5. 2 х+1= 10. 2х;   2) приведите данное уравнение к квадратному заменой переменной 2х =у.
3. Решите уравнение 3х + 2 + 3 2х + 2 – 810 = 0. Указание: уравнение заменой переменного приводится к квадратному.

6. Карточка – инструкция по теме:

Решение логарифмических уравнений                        К – 1

Рассмотрим решение уравнения loq 4(x – 1) = loq 4(5 – x) Область определения находится из системы неравенств:  х – 1 > 0 и 5 – x > 0, откуда  x > 1 и  x < 5, значит  1< x < 5. Из равенства loq 4(x – 1) = loq 4(5 – x) следует, что х – 1 = 5 – х; 2х = 6, х = 3 входит в область определения. Ответ: х = 3.

Решите самостоятельно уравнение:  loq 3 (2x – 1) = loq 3 (x + 3).

7. Карточка – инструкция по теме:

Решение логарифмических уравнений                        К – 2

Решите уравнение loq 3 (x 2 – 6x + 17) = 2. Указание: 1) Найдите область определения. Для этого надо решить неравенство x 2 – 6x + 17 > 0; 2) замените 2 на loq 3 9; 3) решите уравнение loq 3 (x 2 – 6x + 17) = loq 3 9; 4) проверьте, все ли получившиеся значения переменной входят в область определения; 5) запишите ответ.

Решить это уравнение можно иначе: сначала уравнение x 2 – 6x + 17 = 9 решить без нахождения области определения, а затем проверить полученные корни. Если при подстановке значения переменной х получается истинное равенство, то это значение х является корнем данного уравнения.

Решите самостоятельно уравнение  loq 1/3 (x2 + 8x ) = -2.

Самостоятельные работы по дисциплине «Математика»

1. Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных неравенств                    К – 1

Решите неравенство 5х  25. План и примерное оформление решения:

1. Представьте число 25 как значение показательной функции у = 5х, то есть как степень с основанием 5: 25 = 52; 5х  52.
2. Определите характер монотонности функции (возрастающая функция или убывающая) у = 5х, сравнив основание 5 с единицей:  у = 5х возрастающая, так как 5   1.
3. Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции (5х  52), определите соотношение между аргументами: у = 5х возрастает, и 5х  52 : следовательно х 2.
4. Запишите решение полученного простейшего неравенства х 2: Ответ: х ]2; ∞[.

2. Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных неравенств                     К – 2

Решите неравенство (2/3)х > 8/27. План и примерное оформление решения:

1. Представьте число 8/27 как значение показательной функции у = (2/3)х, то есть как степень с основанием 2/3: 8/27 = (2/3)3; (2/3) х > (2/3)3.
2. Определите характер монотонности функции  у = (2/3) х (возрастающая функция или убывающая),   сравнив основание 2/3 с единицей:  у = (2/3) х – убывающая, так как (2/3) < 1.
3. Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции, определите соотношение между аргументами: у = (2/3) х – убывающая:  следовательно, х < 3.
4. Запишите решение полученного простейшего неравенства х < 3: Ответ: х∈ ]-∞; 3[.

Решите неравенство (1/2)х < 1/16.

3. Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных неравенств                     К – 3

Решите неравенство (3/4)х  4/3. План и примерное оформление решения:

1)  Представьте число 3/4 как значение показательной функции у = (3/4)х, то есть как степень с основанием 3/4:  4/3 = (3/4)- 1;  (3/4) х  (3/4)- 1.

2) Определите характер монотонности функции  у = (3/4) х (возрастающая функция или убывающая),   сравнив основание 3/4 с единицей:  у = (3/4) х – убывающая, так как (3/4) < 1.

3) Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции, определите соотношение между аргументами: у = (3/4) х – убывающая:  следовательно, х  -1.

4) Запишите решение полученного простейшего неравенства х -1: Ответ: х∈ [-1; ∞[.

Решите неравенство (7/2)х   2/7.

4. Карточка – инструкция по теме:

Решение показательных неравенств                     К – 4

Решите неравенство 12х  1/12. План решения:

1)  Представьте число 1/12 как значение показательной функции у = 12х.

2) Определите характер монотонности функции  у = 12х.

3) Используя данные о характере монотонности и заданную зависимость между значениями функции, определите соотношение между аргументами.

4) Запишите решение полученного простейшего неравенства.

Решите неравенство 2,5х  < 2/5.

Уравнение, содержащее переменную под знаком корня (радикала), называется иррациональным.

Главное при решении  иррациональных уравнений состоит в освобождении их от радикалов и сведении к уже изученным нами типам  уравнений .

Методы решения иррациональных уравнений:

1. метод  возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень                  с последующей проверкой;
2. метод  равносильных переходов,  
3. метод  введения новых переменных; 
4. графический метод   
5.  метод использования  монотонности функции

Уравнения вида    1.     

К уравнениям такого вида  можно применить один из двух методов решения:

1. возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, т.е. ()2 2,       отсюда        2
2. метод равносильных переходов

Пример 1.     Решить уравнение:       

1 способ. Возведём  обе  части уравнения   в 6 степень:

Проверка: (она обязательна)

, т.е.  - верное равенство.

Ответ: 67.

2 способ. Применим  метод равносильных переходов.  Воспользовавшись    определением арифметического корня, получим равносильную ему систему:                  Первое условие этой системы выполняется при любых значениях  х,  а второе:  х – 3 = 64,  х = 67.

Ответ  х = 67.

Пример 2.  Решить уравнение:

Упражнение 1.  Решить уравнение: 1).  =  2 .

      2).   .

2.Уравнения вида   

  К этим уравнениям   также можно применить один из двух методов:

1. возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, т.е. ()2 = ()2,       отсюда        = g2(x)
2. метод равносильных переходов:

Пример 1.   Решить уравнение

Решение. Если применим метод равносильных переходов, то

Уравнение  х2 + 4х – 21 = 0 имеет корни  х=3 и х= -7. Условию х>=-1 соответствует только х = 3.

Ответ: 3.

2 способ. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

22 – 2х = (х + 1)2               22 – 2х = х2 + 2х + 1,

х2 +4х – 21 = 0                  х = 3    и     х = - 7  

Проверка:  если х = 3: ; если х=-7:  

        4 = 4 верно                                       6 = -6 неверно

Ответ: 3.

В некоторых случаях бывает затруднительно выполнить проверку значений  х, найденных на первом этапе решения, подстановкой в данное уравнение.

Пример 2. Решить уравнение:   х –                                      Сначала «уединим корень»  т.е. приведем к виду :                  х – 1 =       откуда  (х – 1)2 = 2х,       х2 – 2х + 1 = 2х,                                                                                                        х2 – 4х + 1 = 0,  откуда     х1 = 2 + ,     х2 = 2 – . Для этих значений   х  выполнить проверку гораздо сложнее. А выполнение проверки при решении иррациональных уравнений способом возведения  обеих частей  в одну и ту же степень является обязательным.

Решая это уравнение, используя определение арифметического корня легко проверить, удовлетворяют ли числа  2 +   и    2 –  неравенству системы   х – 1 ≥0,  т.е.   х ≥ 1. Очевидно  2 +   ≥ 1 верно,   2 –  ≥ 1 неверно.

Ответ: 2 +

Этот простой  пример показывает, что формальное овладение каким-нибудь одним способом решения иррациональных уравнений недостаточно.     Надо знать несколько способов решения одного и того же уравнения и уметь выбрать наиболее хороший способ в каждом конкретном случае. 

  Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида . 

Пример 3.                                                                                                                                                                                                                                                      

Ответ: 7.

Корнями уравнения х2 – 3х – 4 = 0 являются числа:  4  и -1. Условию х ≥ 3 соответствует только х = 4.

Ответ: 4.    

Пример 2. Решить уравнение:  

 .

Если встретившиеся Вам уравнение не относится ни к одному из рассмотренных видов, то путем различных преобразовании привести данное уравнение к одному из   видов 1, 2 и 3.

4.Уравнения вида   

Пример 1. Решить уравнение  += 4.

РЕШЕНИЕ:  += 4.

В данном уравнении переменная содержится под двумя радикалами и уединить корни не удается. В таком случае приходится возводить в степень дважды.                                                                                                        

 ( + )2  = 42

,

 получили уравнение вида

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат.

По теореме Виета:

Проверка:

1) Если х=42, то

Значит, число 42 не является корнем уравнения.

2) Если х=2, то

Значит, число 2 является корнем уравнения.

Ответ: 2

Способ II. Метод равносильных переходов.

Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, определив область допустимых значении неизвестного (ОДЗ) в самом начале.     ОДЗ неизвестного может привести к сужению поиска решения и самому решению уравнения.

Пример 1.    Решите уравнение:     +    =  4

т.е. из двух неравенств следует что     

А уравнение  после упрощения примет вид:

После упрощения уравнение примет вид:

Два неравенства из системы  можно записать в виде двойного неравенства: Из корней  х = 2 и х = 42 удовлетворяют этому двойному неравенству только х = 2.

Ответ: 2.

Эффективность решения иррациональных  уравнений,  путем нахождения   области допустимых значении неизвестного (ОДЗ) убедительно показывает следующие примеры:

Пример 2.  Решите уравнение:     . 

   В  данном примере сумма двух неотрицательных корней равна положительному числу. Далее проверяем, существуют ли значения x, при которых оба выражения, стоящие под корнем неотрицательны.                 ОДЗ:    ;     ;   .

Видим, что такие значения есть. Можно получить решения? Если внимательно посмотреть на слагаемые в левой части уравнения, то можно заметить, что первое слагаемое при допустимых значениях будет больше 4, да еще плюс второе слагаемое. Таким образом, сумма двух этих слагаемых при допустимых значениях будет больше 4. То есть, решений нет.

Ответ : решений нет.

Пример 3.  Решите уравнение:     . 

В данном уравнении сумма двух неотрицательных корней равна положительному числу. Казалось бы, решения должны быть. Но посмотрим на выражения, стоящие под знаком корня. Оба выражения должны быть неотрицательными, т. е. ; . Мы видим, что оба эти условия не могут выполняться одновременно.

Ответ : решений нет.

Пример 4. Решите уравнение:      . 

По определению квадратный корень – величина неотрицательная. В данном уравнении сумма двух корней равна 0. То есть сумма двух неотрицательных чисел равна 0. Когда это возможно? Когда оба слагаемых равны 0. То есть, равны 0 выражения, стоящие под знаком корня. Но при , а при . Нетрудно догадаться, что не существует такого значения неизвестного x, при котором оба слагаемых будут равны 0.

Ответ: решений нет.

 Пример 5.    Решить уравнение 

Решение.  Сначала найдем ОДЗ переменной, затем   корни, решив уравнение. После выясним, какие из найденных корней удовлетворяют ОДЗ    В конце выполним проверку для корней  входящим в ОДЗ.  

       ОДЗ:   [2; ∞). Возведём обе части уравнения в квадрат, уединим затем полученный радикал и возведём ещё раз в квадрат. Получим корни уравнения  

Второй корень х2  не входит в ОДЗ. Поэтому проверку выполним только для х1.  После проверки получим корень уравнения  

Ответ: 

 Пример 6. Решите уравнение:      

Анализ показывает, что применение любых способов затруднительно. Попробуем найти ОДЗ.

Таким образом х = 4 – единственно возможное значение.

Проверка.

   ,  0 = 0  равенство верно.

Ответ: х = 4.

Пример. Решить уравнение  (х2 + 3х) 0  

ОДЗ:  2 + х ≥ 0  => х ≥ - 2.

 х2 + 3х = 0,                 или   0

х(х + 3) = 0                  или     2 + х = 0

х=0     или   х+3=0       или   х = -2

            х = -3. Но -3 не удовлетворяет условию х ≥ - 2.

Ответ: -2; 0.

Метод  введения новых переменных

Мощным средством решения иррациональных уравнений является метод  введения новых переменных.(если в уравнений неоднократно встречается некоторое определенное выражение)

        Пример.     

Обозначим , тогда

а) = t2  и уравнение примет вид: 

Корень  не удовлетворяет условию  

Ответ: 76.

Графический способ решения уравнений

Метод использования  монотонности функции

Если f(x) = g(x), а  f(x) – возрастает (убывает) и  g(x) – убывает (возрастает) или одна из функции константа, то графики этих функции пересекаются в одной точке. Решением уравнения является абсцисса точки пересечения. Уравнение имеет одно решение, которое можно определить подбором.

При этом надо иметь в виду следующее: Сумма двух возрастающих (убывающих) функции есть функция возрастающая (убывающая).

Пример.

Пусть f(x) =.    f(x) -  возрастает на   D(f)= [6/7;∞).      g(x) = 2  -  константа. Графики функции пересекаются в одной точке. Значит уравнение  f(x) = 2  имеет не более одного корня на  D(f). Подбором определяем  х = 1.

ВАРИАНТ 1.

1. Вычислить    А) log 0,5 16  Б)  51 + log53  В) log 428   –  log 47 + 2log 42

2. Решить уравнение  log 4 (3x – 2) = 3

3. Решить неравенство   (2x – 3) ≥  – 3

4. Решить уравнение  А) log 2 (x – 2) + log 2 x = 3   Б) log 8 x +  x = 14

5. Решить неравенство   – 2log 3 x ≤ 3

ВАРИАНТ 2.

1. Вычислить    А) log 4  Б)  32 + log35  В) log 815   –  log 860 + log 832

2. Решить уравнение  log 5 (4x + 5) = 2

3. Решить неравенство   (3x + 6) ≤ 4

4. Решить уравнение  А) log 3 (x – 8) + log 3 x = 2   Б) log 9 x +  x = 10

5. Решить неравенство   – 3log 2 x ≥ 4

ВАРИАНТ 3.

1. Вычислить    А) log 0,2 25  Б)  41 + log45  В) log 515   –  log 527 + 2log 53

2. Решить уравнение  log 3 (5x – 4) = 4

3. Решить неравенство   (4x – 8) ≤  – 5

4. Решить уравнение  А) log 4 (3x – 4) + log 4 x =  1    Б) log 25 x  –   x = 6

5. Решить неравенство   – 5log 2 x <  – 4

ВАРИАНТ 4.

1. Вычислить    А) log 3  Б)  24 + log23  В) log 612   –  2log 6 2 + log 6 72

2. Решить уравнение  log 2 (7x + 4) = 5

3. Решить неравенство   (3x + 9) ≥ 3

4. Решить уравнение  А) log 5 (x – 4) + log 5 x = 1   Б)  x  – log 16 x = 3

5. Решить неравенство 2  – 6log 3 x > 8

ВАРИАНТ 1.

1. Вычислить    А) log 0,5 16  Б)  51 + log53  В) log 428   –  log 47 + 2log 42

2. Решить уравнение  log 4 (3x – 2) = 3

3. Решить неравенство   (2x – 3) ≥  – 3

4. Решить уравнение  А) log 2 (x – 2) + log 2 x = 3   Б) log 8 x +  x = 14

5. Решить неравенство   – 2log 3 x ≤ 3

ВАРИАНТ 2.

1. Вычислить    А) log 4  Б)  32 + log35  В) log 815   –  log 860 + log 832

2. Решить уравнение  log 5 (4x + 5) = 2

3. Решить неравенство   (3x + 6) ≤ 4

4. Решить уравнение  А) log 3 (x – 8) + log 3 x = 2   Б) log 9 x +  x = 10

5. Решить неравенство   – 3log 2 x ≥ 4

ВАРИАНТ 1.

1. Вычислить    А) log 0,5 16  Б)  51 + log53  В) log 428   –  log 47 + 2log 42

2. Решить уравнение  log 4 (3x – 2) = 3

3. Решить неравенство   (2x – 3) ≥  – 3

4. Решить уравнение  А) log 2 (x – 2) + log 2 x = 3   Б) log 8 x +  x = 14

5. Решить неравенство   – 2log 3 x ≤ 3

ВАРИАНТ 2.

1. Вычислить    А) log 4  Б)  32 + log35  В) log 815   –  log 860 + log 832

2. Решить уравнение  log 5 (4x + 5) = 2

3. Решить неравенство   (3x + 6) ≤ 4

4. Решить уравнение  А) log 3 (x – 8) + log 3 x = 2   Б) log 9 x +  x = 10

5. Решить неравенство   – 3log 2 x ≥ 4

ВАРИАНТ 3.

1. Вычислить    А) log 0,2 25  Б)  41 + log45  В) log 515   –  log 527 + 2log 53

2. Решить уравнение  log 3 (5x – 4) = 4

3. Решить неравенство   (4x – 8) ≤  – 5

4. Решить уравнение  А) log 4 (3x – 4) + log 4 x =  1    Б) log 25 x  –   x = 6

5. Решить неравенство   – 5log 2 x <  – 4

ВАРИАНТ 4.

1. Вычислить    А) log 3  Б)  24 + log23  В) log 612   –  2log 6 2 + log 6 72

2. Решить уравнение  log 2 (7x + 4) = 5

3. Решить неравенство   (3x + 9) ≥ 3

4. Решить уравнение  А) log 5 (x – 4) + log 5 x = 1   Б)  x  – log 16 x = 3

5. Решить неравенство 2  – 6log 3 x > 8

ВАРИАНТ 3.

1. Вычислить    А) log 0,2 25  Б)  41 + log45  В) log 515   –  log 527 + 2log 53

2. Решить уравнение  log 3 (5x – 4) = 4

3. Решить неравенство   (4x – 8) ≤  – 5

4. Решить уравнение  А) log 4 (3x – 4) + log 4 x =  1    Б) log 25 x  –   x = 6

5. Решить неравенство   – 5log 2 x <  – 4

ВАРИАНТ 4.

1. Вычислить    А) log 3  Б)  24 + log23  В) log 612   –  2log 6 2 + log 6 72

2. Решить уравнение  log 2 (7x + 4) = 5

3. Решить неравенство   (3x + 9) ≥ 3

4. Решить уравнение  А) log 5 (x – 4) + log 5 x = 1   Б)  x  – log 16 x = 3

5. Решить неравенство 2  – 6log 3 x > 8

1. Основные типы задач по теме «Проценты».

1. Задачи на проценты в вариантах ОГЭ по математике

1. Городской бюджет составляет 45 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 12,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
   1)5625000 р.            2)562,5 р.            3)50625000 р.            4) 562500 р.

1. Перед представлением в цирк для продажи было заготовлено некоторое количество шариков. Перед началом представления было продано 2/5 всех воздушных шариков, а в антракте – еще 12 штук. После этого осталась половина всех шариков. Сколько шариков было первоначально?
   1) 40           2) 80           3) 120           4) 160

2. Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых. Вкладчик положил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?
   1) 960 р.             2) 820 р.               3) 160 р.               4) 1600 р.

3. Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 680 р. Сколько стоил товар до распродажи?
   1) 136 р.                2) 816 р.                 3) 700 р.                4) 850 р.

4. Государству принадлежит 60% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 40 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
   1) 400000 р.               2) 16000000 р.                 3) 24000000 р.                  4) 100000000 р.

5. Акции предприятия распределены между государством и частными лицами в отношении 3:5. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 32 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
   1) 4000000 р.                 2) 12000000 р.                 3) 20000000 р.                  4) 6400000 р.

6. На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 120 человек. Голоса между кандидатами распределились в отношении 3:5. Сколько голосов получил победитель?
   1) 15              2) 24                  3) 45                 4) 75
7. Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 1:4. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?
   1) 20%                 2) 25%                   3) 40%                 4) 80%

8. Средний вес мальчиков того же возраста, что и Сергей, равен 48 кг. Вес Сергея составляет 120% среднего веса. Сколько весит Сергей?
   1) 60 кг                    2) 57,6 кг                  3) 40 кг                    4) 9,6 кг

9.  В начале года число абонентов телефонной компании «Север» составляло 200 тыс. чел., а в конце года их стало 210 тыс. чел. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?
   1) На 5%                 2) На 10%                    3) На 0,05%                     4) На 105%

10. Тест по математике содержит 30 заданий, из которых 18 заданий по алгебре, остальные  – по геометрии. В каком отношении содержатся в тесте алгебраические и геометрические задания?
    1) 3:2                   2) 2:3                  3) 3:5                  4) 5:3

11. На счет в банке, доход по которому составляет 15% годовых, внесли 24 тыс. р. Сколько тысяч рублей будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?

12. Какая сумма (в рублях) будет проставлена в кассовом чеке, если стоимость товара 520 р., и покупатель оплачивает его по дисконтной карте с 5%-ной скидкой?

13. В понедельник некоторый товар поступил в продажу по цене 1000 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 20% от предыдущей цены. Сколько рублей будет стоить товар на девятый день после поступления в продажу? 

14. В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 30%, во второй – на 50%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 700 р.? 

15. При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Николай хочет положить на счёт своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму он должен положить в приемное устройство данного терминала?

16. Мобильный телефон стоил 5000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 3000 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

17. На покупку планшета взяли кредит 20000 р на 1 год под 16 % годовых. Вычислите, сколько денег необходимо вернуть банку, какова ежемесячная сумма выплат?

18. Число увеличили на 10%, потом ещё на 10%. На сколько процентов увеличили число за два раза?

19. Пачка чая стоила 100 рублей. Сначала цену повысили на 10%, а затем снизили на 10% (от новой цены). Сколько теперь стоит пачка чая?

20. Пачка сливочного масла стоит 60 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 5%. Сколько рублей стоит пачка масла для пенсионера?

21. Только 94% из 27500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу В1?

22. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

23. В школе 800 учеников, из них 30%  — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

2. Формула сложного процента

1. В книжном магазине энциклопедию по физике стоимостью 380 рублей уценили дважды на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что что после двойного снижения цен энциклопедия стоит 307 рублей 80 копеек.

2. Цену на автомобиль «Волга» снизили сначала на 20%, а затем ещё на 15%. При этом он стал стоить 238000 рублей. Какова была первоначальная цена автомобиля?

3. Цену товара уменьшили на 50%, потом на 30%, потом на 20%. На сколько % уменьшилась цена товара?

4. До снижения цен книга в киоске стоила 120 рублей. Вычислите цену книги после двух последовательных снижений, если первое снижение было на 10%, а второе на 5%.

5. После снижения цен в магазине на 30% свитер стал стоить 2100 рублей. Сколько стоил свитер до снижения цен?

6. Вкладчик положил некоторую сумму на вклад «Доверительный» в Сбербанк России. Через два года вклад достиг 16854 рубля. Каков был первоначальный вклад при 6% годовых?

7. На сколько % 5 больше 4?

8. На сколько % 4 меньше 5?

3. Задачи на процентное содержание, концентрацию  и процентный раствор

1. Килограмм соли растворили в 9 л воды. Чему равна концентрация полученного раствора?

2. Сколько соли получится при выпаривании 375 граммов 12%-го раствора?

3. Смешали 8 литров 15 %-го водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 25 %-го водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
4. Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 30%, а во втором – 55% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота.
5. Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?

6. Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе?

7. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%?

4. Старинный способ решения задач на смеси, сплавы и растворы

(правило креста)

1. Для приготовления 30 г 80%-го раствора H3PO4 требуется взять 20 г 90%-го и 10 г 60%-го растворов кислоты. В каких пропорциях нужно смешать раствор?

2. От двух кусков сплава с массами 3 кг и 2 кг и с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных кусков?

3. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально?

4. В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?

1 вариант

1. Одиннадцать рубашек дешевле куртки на 1%. На сколько процентов тринадцать рубашек дороже куртки?

2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за три дня?

3. В 2012году в городском квартале проживало 40 000 человек. В 2013 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 3%, а в 2014 году  — на 9% по сравнению с 2013 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2014году?

2 вариант

1. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 6 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

2. Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

3. Заказ на 380 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше?

Вариант 3

1. Имеются два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 67% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 77% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

2. Одиннадцать рубашек дешевле куртки на 1%. На сколько процентов тринадцать рубашек дороже куртки?

3. Заказ на 380 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше?

Повторение производной функции                        В – 1

1. Точка движется по закону S = t3 + 10, где S – расстояние в м; t – время в с. Найдите скорость движения точки в момент времени t = 2 с.
2. Найдите производную функции:

а) f (x) = a x2 + b x + c;

б) f (x) = 5 x3 – 3 x + 6;

в) f (x) = x -2 – 4x;

г) f (x) =  

д) f (x) =  , x > 0;

е) f (x) =

ж) f (x) = cos 5t;

з) f (x) = sin kx;

и) f (x) = tq x – x;

к) f (x) = ctq (3ax).

Повторение производной функции                          В – 2

1.  Пусть S(в м), пройденный точкой за t с, определяется уравнением S = 2t2 – 3. Определите скорость движения через 2 с с момента начала движения.
2. Найдите производную функции:

а) f (x) = 3 x2 – 6x + 10;

б) f (x) = 5 t4  + t2 + 1/3;

в) f (x) =  + 1/3;

г) f (x) = 0,4 ;

д) f (x) =  ;

е) f (x) = 3x -2 – x-1/2 + x;

ж) f (x) = sin (3ax);

з) f (x) = cos (a/x);

и) f (x) = tq (2x + 3);

к) f (x) = ctq ax.

Повторение производной функции                       В – 3

1. При каком значении t скорость точки, движущейся по закону S = t2 - 4t + 5 равна 0?
2. Найти производную функции:

а) f (x) = x5 – ¼ x4 + 3,5 x2 – x;    б) f (x) = ¼ x4 – ½ x2 + x + 1;

в) f (x) = ;                        г) f (x) = 6;

д) f (x) = 2;                      е) f (x) = ;

ж) f (x) = sinn x;                            з) f (x) = cos 3 x2;

      3. f (x) = tq x – x. Доказать, что .

      4.  y = ctq x. доказать, что .

      5. Найти производную функции : f (x) = sin x cos x/2 + cos x sin x/2.

Повторение производной функции                     В – 4

1. Высота S (в м.), достигаемая в t с телом, брошенным вертикально вверх с начальной скоростью V0 м/с, задается формулой S = V0t - , где q = 10 м/c2. а)Полагая V0 = 100 м/с, найти скорость движения тела в конце второй секунды. б) Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки подъема? 
2. Найти производную функции:

а) f (x) = 1/5 x3 – 1/3 x2 – x + 0,5;             б) f (x) = ;

в) f (x) = ;                               г) f (x) = 3 - 4;

д) f (x) = ;                         е) f (x) = x 1,2 - ;

ж) f (x) = cos n x;                                     з) f (x) = tq n bx;

3. y = - ctq x – x.  Доказать, что ;

4. y = 2x + sin 2x. Доказать, что ;

5. Найти производную функции: f (x) = cos 2x – cos 2 x + sin 2 x + 1.

«АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ n-ОЙ СТЕПЕНИ И ЕГО СВОЙСТВА» 

ДЕВИЗ:   Приобретать знания - храбрость,

                Приумножать их - мудрость,

                А умело применять - великое искусство.

Цель:    обобщить, систематизировать и расширить знания учащихся по теме «Арифметический корень n-ой степени и его свойства», определить степень подготовленности школьников к контрольной работе по данной теме.

Задачи:  

1. Развивать математическую речь, интерес к математике.
2. Развивать умение работать в микрогруппе, навыки само- и взаимоконтроля, желание поиска решения.
3. Ввести учащихся в современный деловой мир.
4. Воспитывать чувство поддержки и ответственности за своих товарищей, работать над чёткостью и аккуратностью записей учащихся.
5. Воспитывать у учащихся стремление к непрерывному совершенствованию своих знаний.
6. Подготовить учащихся к выполнению контрольной работы.

Форма проведения: деловая игра (рассчитана на 2 урока).

Оборудование: графики настроения, вопросы для взаимопроверки, задания к математическому диктанту, карточки с формулами, карточки с дифференцированными заданиями, таблица наблюдателя.

Структура урока:

- сообщение темы и целей, формы проведения урока;

- проверка д/р;

- актуализация опорных знаний (взаимопроверка, самопроверка)

- математический диктант;

- самостоятельная работа;

- объявление результатов игры;

- д/з.

- итог урока.

Ход урока.

I. Сегодня мы проводим обобщающий урок по теме «Арифметический корень n-ой степени и его свойства». Какие цели на урок можно поставить? (ответы учащихся: повторить теоретический материал по этой теме, применять свойства корня для преобразования выражений, выяснить на сколько усвоен материал, над чем надо ещё поработать, подготовиться к контрольной работе).

Учитель:  Урок проведём в форме игры «математик-бизнесмен». Для этого надо разбиться на группы. Каждая группа представляет финансово-кредитное учреждение, которое осуществляет денежные расчёты и наращивает «капитал». Прошу объявить название банка и представить управляющих банка (слово предоставляется учащимся).          

Названия банков : «альфа-банк, «плюс-банк», «би-банк», «омега-банк».          

Учитель: Ознакомимся с правилами игры.

1. Каждый банк получает стартовый капитал в размере 10 тыс. рублей.
2. Каждый банк имеет наблюдателя, который заносит результаты всех видов работы каждого члена правления банка в таблицу. Таблицы наблюдателей лежат на столах, где указаны все виды работ.
3. Выигрывает тот банк, который набрал наибольшее количество денег.
4. Кроме того представитель банка, получивший высшую оценку за работу, освобождается от письменного домашнего задания.
5. Критерии оценок написаны на доске. Поэтому предлагаю работать не только на банк, но и на свою зарплату.

II. Ход игры.

1. Домашнее задание.

Учитель: Вам было задано на дом задание – работать со словарем и выяснить значения слов: банк, кредит, капитал, банкир.

Ожидаемый ответ учащихся:

Банк – крупное финансово-кредитное учреждение.

Кредит – предоставление в долг товаров или денег.

Капитал – стоимость, которая в результате ее использования дает прибыль.

Банкир – банковский делец, владелец или крупный акционер банка.

За каждый правильный ответ член правления банка получает 2000 рублей. Наблюдатели заносят результаты в таблицу, отмечая при этом фамилии отвечающих.

Учитель: проверим надежность вашего партнера. Для этого вы должны ответить на несколько вопросов. За каждый правильный ответ дается 3000 рублей.

2. ВЗАИМОПРОВЕРКА.

Учитель Начинает управляющий банком, он задаёт любой вопрос одному из представителей своего банка(можно по желанию), ответив на вопрос этот представитель задаёт следующему и т. д. по кругу пока на все вопросы не ответят. Вопросы не повторять.

а) что обозначает запись ? (корень n степени из числа «а»);

б) как называется число «а»? (подкоренное выражение);

в) а знак ? (радикал);

г) число «n» - это…? ( показатель корня);

д)что называется корнем n-ой степени из числа «а»?                          (корнем n-ой степени из числа «а» называется такое число, n-ая степень которого равна «а»);

е) что называется арифметическим корнем n-ой степени из числа «а»?  (неотрицательное число, n-ая степень которого равна «а»).                       

Наблюдатели заносят результаты в таблицу, отмечая при этом фамилии отвечающих.

3.Заполни пропуски (проверяется знание свойств корня).

Выбирая банк, надо быть уверенным в его надёжности. У вас есть возможность доказать надёжность вашего банка. Заполнив пропуски в формулах-свойствах корня n-ой степени, за каждый правильный ответ можно заработать по 2000 рублей.

САМОПРОВЕРКА

Свойства арифметического корня n–ой степени.

1. Корень из произведения.

Если  N, то  

2. Корень из дроби.

Если a, b, то   

3. Извлечение корня из корня.

Если an, k то

4. Основное свойство корня.

Если  a и m, k, n , то  

Учитель: Вы показали степень надёжности своего банка.

4. Математический диктант.

 Учитель: Теперь проверим, может ли ученик быть членом правления банка, выполнив следующее задание. В этом задании зашифровано слово. В таблице. Помещённой на доске, найдите букву, соответствующую значению выражения.

Вычисли:

*)

Ответ: 0,3

*)  -

Ответ: -0,4

*)  

Ответ: 4

*)      

Ответ: 2

*)  

Ответ: 1,5

*)  4

Ответ: -16

*) 6

Ответ: -9

На доске:

Шифр:

Ответ: Кристоф.

Тот, у кого в ответе получится фамилия математика КРИСТОФА РУДОЛЬФА, получает 4000 рублей.

Учитель: Кто знает, кто такой Кристоф Рудольф?

Ожидаемый ответ. (Впервые знак корня употребил немецкий математик Кристоф Рудольф в 1525году, по другим источникам Томас. Символ корня произвольной степени стал использовать Альберт Жирар(1629г) .Происходит этот символ от стилизованной первой буквы слова radix (корень). Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт для иной цели(вместо скобок). И эта черта вскоре слилась со знаком корня).

 Учитель: вы доказали, что можете быть членами правления банка. Деловые люди говорят, что существуют несколько причин банкротства банка. Кто из вас знает хотя бы одну из этих причин?

Ожидаемый ответ:

1 причина - плохое управление.
2 причина - плохое управление.
3 причина - плохое управление.

Плохо управляют, как обычно люди некомпетентные. Надеюсь, мы сегодня не потерпим банкротства, это зависит от вас. А сейчас продолжим работу  банка.

Каждый член правления банка выполняет по выбору задания из                    карточки, которые лежат на ваших столах.

КАРТОЧКА  

 №1 Вычисли:

а)   -2                                         (2 тыс.)                   Ответ: -1

б)                                  ( 3 тыс.)                  Ответ:  8

в)                                          (4 тыс.)                   Ответ: 1,35

 №2  Сравни с нулём значение выражения:

а)  -                                        (1 тыс.)                   Ответ:

б)  -                                  (2 тыс.)                   Ответ:

в)                                 (3 тыс.)                   Ответ:

 №3  Найди значение выражения:

а)                                      (5 тыс.)                   Ответ: 3

б)                 (10 тыс.)                 Ответ: 1

в)                    (15 тыс.)                 Ответ: 1

  №4  Вынеси множитель из-под знака корня:

а)                                          (2 тыс.)                   Ответ: 4

б)                                       (4 тыс.)                   Ответ:  3а

в)                               (6 тыс.)       Ответ:

№5  Упрости выражение:

а)                  (10 тыс.)                 Ответ: 132

б)   9                 (15 тыс.)                 Ответ: 8

 в)                                   (20тыс.)                 Ответ: 1

Наблюдатели заносят результаты в таблицу и подсчитывают итоги игры, и сумму, которую должны вложить в банк. Оценивают работу каждого члена правления банка по критериям оценок, которые представлены на доске.

Оценки: критерий оценок (на доске)

30 -50 тыс.- оценка “3”

50-85-оценка “4”

свыше 85-оценка “5”

Учитель: Теперь узнаем сколько заработал каждый банк. Каждый управляющий банком называет заработанную сумму, которая заносится в итоговую таблицу на доске.

Таблица наблюдателя.

Объявление результатов игры.

Д/з: подготовиться к контрольной работе, тематическая тетрадь тема 2.4, по желанию  решить  «ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ РАДИКАЛЫ»

Известно,что =2+4+8+1+5+5+7+8+0+2+6+7+5+2+1=64;

= 2+4+7+9+4+9+1+1+2+9+6=54, т.е. для некоторых радикалов их значение равно сумме цифр числа, стоящего под знаком радикала.

Обладают ли этим свойством следующие радикалы:

а)        б) ;       в) ;       г)   ?

Итог урока: Какой момент был наиболее интересен на уроке? Где пришлось более всего концентрироваться? Узнали ли что-нибудь новое на этом уроке? Все ли цели поставленные в начале урока достигнуты? С помощью графика покажите своё настроение на каждом этапе урока.

Спасибо за работу.

Практическая работа «Исследование графиков функции»

Используя график функции  (см. рис. ниже), определите и запишите ответ:

1. Область определения функции
2. Наибольшее значение функции
3. Наименьшее значение функции
4. Точки максимума функции
5. Точки минимума функции
6. Промежутки возрастания функции
7. Промежутки убывания функции
8. При каких значениях x
9. При каких значениях x