Олимпиады и Конкурсы

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

ЗАДАЧИ

1. Решите в целых числах уравнение 2x2 – 2xy + 9x + y = 2.

2. Решите в целых числах уравнение y2 + 2y + 13 = x2.

3. Найдите все целые х и у, для которых 2ху + х + у = 83.

4. Решите в целых числах уравнение y2 + 2y + 13 = x2.

5. Докажите, что уравнение 15х2 – 7у2 = 9 не решается в целых числах.

6. Найдите все пары целых чисел, сумма которых равна их произведению.

7. Решите в целых числах уравнение .

8. Решите в целых числах уравнение y – x – xy = 2.

9. Решите в целых числах уравнение 3ху + 2х + 3у = 0.

10. Решите в натуральных числах уравнение х! + у! = 4z + 3, где х! – произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до х (читается х-факториал).

11. Найдите двузначное число, которое в шесть раз больше суммы его цифр.

12. Решите в целых числах уравнение 19x2 + 91y2 = 1991.

13. Решите уравнение x2 – 4y2 = 9 в простых числах.

14. Решите уравнение xy = 3x + 5y в натуральных числах.

15. Найдите целые решения системы уравнений:  

16. Найдите двузначное число, которое вдвое больше произведения его цифр.

17. Назовем тройку простых чисел «отличной», если произведение этих чисел в пять раз больше их суммы. Найдите все «отличные» тройки.

18. Трёхзначное число начинается цифрой 4. Если эту цифру перенести в конец числа, то получится число, составляющее  от исходного. Найдите исходное трёхзначное число.

19. Найдите все целые решения уравнения 3x2 – 7xy + 2y2 = 0.

20. Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если к этому числу прибавить 63, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите данное число.

Ответы:

1. y – 2xy = 2 – 2x2 – 9x,

y (1 – 2x) = –2x2 – 9x + 2,

y (2x – 1) = 2x2 + 9x – 5 + 3,

y = , y = x + 5 + ,  – целое число.

Возможны 4 случая:

1) 2x – 1 = 1,  x = 1, y = 9.

2) 2x – 1 = 3,  x = 2, y = 8.

3) 2x – 1 = –1,  x = 0, y = 2.

4) 2x – 1 = –3,  x = –1, y = 3.

Ответ: (1; 9), (2; 8), (0; 2), (–1; 3).

2. x2 – (y – 1)2 = 12;

(x – y – 1)(x + y + 1) = 12.

Множители: ±1; ±2; ±3; ±4; ±5; ±6.

Пользуясь методом полного перебора, получаем 12 систем.

Ответ: (4; – 3);(4; 1);( – 4; – 3);( – 4; 1).

3. Имеем 2ху + х + у = 83,

4ху + 2х + 2у = 166,

(2х + 1)(2у + 1) = 167. 167 – простое число.

Возможны четыре случая:

Решив каждую из этих систем, получаем ответ.

Ответ: (–84; –1), (–1; –84), (0; 83), (83; 0).

4. y2 + 2y + 1 + 12 = x2,

(y + 1)2 – x2 = –12,

x2 – (y + 1)2 = 12,

(x – y – 1)(x + y + 1) = 12.

Произведение двух целых чисел равно 12. При этом первый множитель может принимать одно из двенадцати значений: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Получаем двенадцать систем уравнений. Нужно набраться терпения и решить каждую из этих систем.

1)

Получили дробное решение. Этот случай не подходит.

2)

Получили дробное решение. Этот случай не подходит.

3)

Получили упорядоченную пару (–4; –3).

4)

Получили упорядоченную пару (4; 1).

Самостоятельно рассмотрите остальные случаи.

Ответ: (–4; –3), (4; 1), (–4; 1), (4; –3).

5. 15х2 = 9 + 7у2.

1) Если у = 5 k, то 15х2 – 7у2 делится на 5, а 9 не делится на 5.

2) Если у = 5k + 1 или у = 5k + 4, то у2 сравнимо с 1 (mod 5), 7у2 сравнимо с 7 (mod 5), 7у2 + 9 сравнимо с 1 (mod 5), что не может быть.

3) Если у = 5 k + 2 или у = 5 k + 3, то у2 сравнимо с 4 (mod 5), 7у2 сравнимо с 28, то есть сравнимо с 3 (mod 5), 7у2 + 9 сравнимо с 2 (mod 5), что невозможно.

Итак, решений в целых числах нет.

6. Пусть x и y – искомые целые числа.

По условию x + y = xy. Откуда получаем xy – x = y, x(y – 1) = y.

Если y = 1, то получается равенство 0 = 1, чего быть не может.

Значит, y не равен 1, а поэтому x = .

x должно быть целым числом, поэтому необходимо, чтобы цифра 1 нацело делилась на (y – 1). Это возможно только в 2 случаях:

1) y – 1 = 1, то есть y = 2 и x = 2.

2) y – 1 = –1, y = 0, поэтому и x = 0.

Условию задачи удовлетворяют 2 пары чисел, сумма которых равна их произведению, 0; 0 или 2; 2.

Ответ: 0; 0 или 2; 2.

7. По условию имеем: , 14x + 14y = xy,

xy – 14x = 14y, x(y – 14) = 14y.

Если y = 14, то получаем равенство 0 = 196, чего быть не может, поэтому y ≠ 14. В этом случае

x =  = 14 – .

У числа 196 имеется 18 различных делителей: ±1; ±2; ±4; ±7; ±14; ±28; ±49; ±98; ±196. Учитывая, что y ≠ 14, получаем 17 различных случаев, каждый из которых даёт пару целых чисел.

Получаем 17 решений: (15; 210), (16; 112), (18; 63), (21; 42), (28; 28),
(42; 21), (63; 18), (112; 16), (210; 15), (13; –182), (12; –84), (10; –35),
(7; –14), (–14; 7), (–35; 10), (–84; 12), (–182; 13).

Ответ: (15; 210), (16;112), (18; 63), (21; 42), (28; 28), (42; 21), (63; 18),
(112; 16), (210; 15), (13; –182), (12; –84), (10; –35), (7; –14), (–14; 7),
(–35; 10), (–84; 12), (–182; 13).

8. Преобразуем уравнение следующим образом:

y – x – xy = 2,

y – x – xy + 1 = 3,

y + 1 – x(y + 1) = 3,

(y + 1)(1 – x) = 3,

(y + 1)(x – 1) = –3.

Произведение  двух  целых  чисел  равно  –3  в  следующих  четырёх
случаях:

1) у + 1 = 1, х – 1 = –3. Получаем (–2; 0).

2) у + 1 = –1, х – 1 = 3. Получаем (4; –2).

3) у + 1 = 3, х – 1 = –1. Получаем (0; 2).

4) у + 1 = –3, х – 1 = 1. Получаем (2; –4).

Ответ: (4; –2), (0; 2), (–2; 0), (2; –4).

9. 3ху + 3у + 2х + 2 = 2,

3у(х + 1) + 2(х + 1) = 2,

(х + 1)(3у + 2) = 2.

Произведение  двух  целых  чисел  равно  2  в  следующих  четырёх
случаях:

1) х + 1 = 1, 3у + 2 = 2. Получаем (0; 0).

2) х + 1 = –1, 3у + 2 = –2. Получаем х = –2, у = . Значение у не является целым.

3) х + 1 = 2, 3у + 2 = 1. Получаем .

Значение у не является целым.

4) х + 1 = –2, 3у + 2 = –1. Получаем (–3; –1).

Ответ: (0; 0), (–3; –1).

10. Правая часть равенства – нечётное число, следовательно, одно из чисел, х или у, равно 1.

Пусть для определенности х = 1, тогда 1! + у! = 4z + 3, у! = 4z + 2.

Теперь правая часть равенства – чётное число, не кратное 4, следовательно, у ≤ 3. Возможны три случая:

1) у = 1, 1! = 4z + 2, 4z = –1, z не является натуральным числом.

2) у = 2, 2! = 4z + 2, 4z = 0, z не является натуральным числом.

3) у = 3, 3! = 4z + 2, 4z = 4, z = 1. Получаем упорядоченную тройку чисел (1; 3; 1).

Аналогично, рассматривая случай у = 1, получаем упорядоченную тройку чисел (3; 1; 1).

Ответ: (1; 3; 1), (3; 1; 1).

11. По условию задачи получаем 10х + у = 6(х + у).

10х + у = 6х + 6у.

4х = 5у. Единственная возможность: х = 5, у + 4. Искомое число 54.

Ответ: 54.

12. Перепишем уравнение 19x2 + 91y2 = 1991 в виде

19x2 – 1900 = 91 – 91y2,

19(x2 – 100) = 91(1 – y2).

Так как наибольший общий делитель чисел 19 и 91 равен 1,
D (91; 19) = 1, то число x2 – 100 кратно 91, то есть x2 – 100 = 91k.

Подставляя в данное уравнение, получаем: 19 ∙  91k = 91(1 – y2).

Откуда 1 – y2 = 19k. Составляем систему уравнений:

Из второго уравнения следует, что k не может быть ≥ 1.

Из второго уравнения следует, что k не может быть = –1, так как в этом случае y2 = 20, откуда y не является целым.

Из первого уравнения следует, что k не может быть ≤ –2, так как в этом случае x2 отрицательно.

Остаётся рассмотреть только одно возможное целое значение k : k = 0.

Если k = 0, то x2 = 100,  y2 = 1, отсюда находим четыре решения данного уравнения в целых числах: (10; 1), (10; –1), (–10; 1), (–10; –1).

Ответ: (10; 1), (10; –1), (–10; 1), (–10; –1).

13. Рассмотрим уравнение x2 – 4y2 = 9.

(x + 2y)(x – 2y) = 9.

Произведение двух целых чисел равно 9. При этом первый сомножитель положителен и может принимать одно из четырёх значений: 1, 3, 9. Получаем три системы уравнений. Решим каждую из этих систем.

1)

Этот случай не подходит, так как y < 0.

2)

Этот случай не подходит, так как y = 0.

3)

Этот случай подходит, так как x = 5 и y = 2. В этом случае числа x и y простые.

Ответ: (5; 2).

14. Пусть xy = 3x + 5y, тогда xy – 3x = 5y, x(y – 3) = 5y, где у ≠ 3.

Откуда х =  = 5 + .

х принимает натуральные значения, если у – 3 принимает последовательно значения: 1, 3, 5, 15.

Находим четыре решения: (20; 4), (10; 6), (8; 8), (6; 18).

Ответ: (20; 4), (10; 6), (8; 8), (6; 18).

15. Рассмотрим систему  

Сложим сначала все 8 уравнений системы:

3(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8) = 0, x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 +
+ x8 = 0.

Сложим (1), (4), (7): x1 + x2 +  x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x1 = 1, x1 = 1.

Сложим (2), (5), (8): x1 + x2 +  x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x2 = 1, x2 = 2.

Далее последовательно находим:

1 + 2 + x3 = 6, x3 = 3;

2 + 3 + x4 = 9, x4 = 4;

3 + 4 + x5 = 3, x5 = –4;

4 – 4 + x6 = –3, x6 = –3;

–4 – 3 + x7 = –9, x7 = –2;

–3 – 2 + x8 = –6, x8 = –1.

Ответ: (1; 2; 3; 4; –4; –3; –2; –1).

16. По условию задачи получаем:

10х + у = 2ху,

10х = у(2х – 1),

у = ,

y = ,

y = 5 + .

Знаменатель 2х – 1 может принимать только четыре различных значения: –5, 5, –1, 1. Рассматривая эти четыре случая, находим единственное решение – двузначное число 36.

Ответ: 36.

17. Пусть искомая тройка простых «отличных», чисел будет p, q, r.

По условию p ∙  q ∙  r = 5(p + q + r). Значит, p = 5. 5 ∙  q ∙  r = 5(5 + q + r),

q ∙  r = 5 + q + r, q ∙  r – r = q + 5, r ∙  (q – 1) = q – 1 + 6, r = 1 + .

Знаменатель может принимать только четыре разных значения:

1) q – 1 = 1, q = 2, r = 7. Получили тройку простых «отличных» чисел: р = 5, q = 2, r = 7.

2) q – 1 = 2, q = 3, r = 4. 4 не является простым числом.

3) q – 1 = 3, q = 4, r = 3. 4 не является простым числом.

4) q – 1 = 6, q = 7, r = 2. Получили ту же тройку простых «отличных» чисел: 2, 5, 7.

Ответ: 2, 5, 7.

18. Данное число а = 400 + z, b = 10z + 4 – новое. По условию

10z + 4 = ,  = 296, z = 32.

Исходное число 432.

Ответ: 432.

19. 3x2 – 7xy + 2y2 = 0, 3x2 – 6xy – xy + 2y2 = 0, 3x(x – 2y) – y(x – 2y) = 0,

(x – 2y)(3x – y) = 0, x = 2y или y = 3x.

Ответ: (2y, y), где y ∈ Z; (x, 3x), где x ∈ Z.

20. Пусть цифры данного двузначного числа будут х и у.

Тогда х + у = 11.

Если к этому числу прибавить 63, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, поэтому 10х + у + 63 = 10у + х. Получаем 9у – 9х = 63, у – х = 7. Складывая почленно обе части последнего уравнения с уравнением х + у = 11, находим: 2у = 18, у = 9, х = 2. Данное двузначное число будет 29.

Ответ: 29.

ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

ЗАДАЧИ

1. Дано пятизначное натуральное число 37 ∙  86, в котором неизвестна средняя цифра, отмеченная звёздочкой. Какую цифру нужно вставить вместо звёздочки, чтобы это число нацело делилось на 11?

2. К числу 199719971997 припишите справа и слева по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 36.

3. Найдите десятизначное натуральное число, кратное 11 и состоящее из десяти различных цифр: 0, 1, 2, 3, …, 9.

4. Двузначное число записано подряд три раза. Докажите, что полученное шестизначное число делится на 3, 7, 13, 37.

5. Доказать, что разность квадратов чисел, не делящихся на 3, делится на 3.

6. Докажите, что число 1 ∙  3 ∙  5 ∙  7 ∙  9 ∙  11 ∙  13 ∙  15 ∙  17 + 2 ∙  4 ∙  6 ∙  8 ∙  
∙  10 ∙  12 ∙  14 ∙  16 ∙  18 нацело делится на 1995.

7. Сколько нулей на конце числа n!?

Например, у числа 328!, где n! = 1 ∙  2 ∙  3…n.

8. Докажите, что (а5 – а) делится на 5 при любом натуральном а.

9. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 6 и имеющее ровно 14 различных делителей.

10. Докажите, что при любом натуральном n число 7 ∙  52n + 12 ∙  6n делится на 19.

11. Докажите, что p2 – 1 кратно 24, если р – простое число, больше 3.

12. Докажите,  что  при  любом  целом  а  выражение  а3 + 11а  делится на 6.

13. Делится ли число 11…1, где единица повторяется 81 раз, на число 81?

14. Докажите, что при любом натуральном n n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 делится нацело на 9.

15. Докажите, что n5 – n делится на 10 при любом натуральном n.

16. Пусть a, b – целые числа такие, что a2 + b2 делится на 3. Докажите, что в этом случае, а делится на 3 и b делится на 3.

17. Докажите, что значение выражения 3n + 2 – 2n + 2 + 3n – 2n  при любом натуральном n кратно 10.

18. Докажите, что число 116 + 146 – 133 кратно 10.

19. Докажите, что значение выражения 333555 + 555333  делится на 37.

20. Докажите,  что  при  любом  натуральном  a  число  a3 + 29a делится на 6.

21. Докажите, что разность квадратов чисел, не делящихся на 3, делится на 3.

22. Найдите трёхзначное число, всякая степень которого оканчивается тремя цифрами, составляющими первоначальное число.

23. Выписали 100 чисел: 1, 12, 123, … , 123456789, … , 12345678910, 1234567891011, … , 123…9899100.

Сколько среди них чисел, делящихся на 3?

24. Выписаны все натуральные числа от 1 до 31: 1, 2, 3, …, 31. Какое наибольшее количество чисел можно из них выбрать таким образом, чтобы произведение любых двух выбранных чисел при делении на 3 дало в остатке единицу?

25. Найдите такие натуральные n > 1, что числа 1984, 2206, 2465 имеют одинаковые остатки при делении на n.

26. Докажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два числа, разность которых кратна 5.

27. Найдите все простые числа р, при которых число р3 + р2 + 11р + 2 простое.

28. Докажите, что число 20071000 + 4 ∙  20061000 является составным.

29. На какую цифру оканчивается число 20072006 – 20062007?

30. В пятизначном числе, делящемся на 17, 19 и 23, на месте десятков стоит 0. Найдите это число.

31. Произведение  числа  21  на  некоторое  четырёхзначное  число
«****» – точный куб. Найдите множитель «****».

32. Мальчик написал некоторое натуральное число, сосчитал сумму цифр числа и произведение цифр числа. Перемножив два полученных результата, он получил 69.

Определите, какое число написал мальчик, и определите количество чисел, удовлетворяющих условию задачи.

33. Найдите такое натуральное число n большее 1, что числа 1984, 2206, 2464 имеют одинаковые остатки при делении на число n.

34. Число является квадратом целого числа и оканчивается цифрой 5. Докажите, что его третья справа цифра чётная.

35. Определите, при каких натуральных значениях n выражение  является целым числом.

Ответы:

1. Воспользуемся признаком делимости на 11. Рассмотрим разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах. 3 + x + 6 – (7 + 8) = x – 6. Учитывая, что x – цифра числа, которая может принимать значения от 0 до 9, и x – 6 кратно 11, получаем единственную возможность: x = 6.

Ответ: 6.

2. Припишем к числу справа и слева по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 36: х199719971997у.

1) Число, составленное из двух последних цифр, то есть число 7у, должно делиться на 4. Возможные значения для у: у = 2, у = 6.

2) Пусть у = 2. Воспользуемся признаком делимости на 9.

3(1 + 9 + 9 + 7) + х + 2 делится на 9, то есть 80 + х делится нацело на 9, что возможно только при х = 1.

3) Пусть у = 6. Снова воспользуемся признаком делимости на 9.

3(1 + 9 + 9 + 7) + х + 6 делится на 9, то есть 84 + х делится нацело на 9, что возможно только при х = 6.

Итак, получаем две пары значений х и у: (1; 2); (6; 6).

Ответ: (1; 2); (6; 6).

3. Пусть x1 – сумма цифр искомого числа, стоящих на чётных местах, а x2 – сумма цифр искомого числа, стоящих на нечётных местах. По признаку делимости на 11 их разность должна быть кратна 11. Подберём х1 и х2 таким образом, чтобы х1 – х2 = 11.

Найдём сумму цифр числа х1 + х2 = 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45.

Получаем систему:  

Решив систему, находим, что х1 = 28,  х2 = 17.

Остается разбить все цифры на две группы таким образом, чтобы в одной группе сумма цифр была 28, а в другой 17.

Например: х1 = 2 + 4 + 6 + 7 + 9 = 28,

х2 = 1 + 3 + 5 + 0 + 8 = 17. Искомых чисел много, так как можно осуществлять всевозможные перестановки найденных групп цифр.

Получаем, например, что число 2041637598 делится на 11.

Ответ: например, 2041637598.

4. Пусть данное число n состоит из цифр ab, которые повторяются 3 раза. Данное число n = .

Заметим, что число 10101 нацело делится на 3 10101 = 3 ∙  3367. В свою очередь 3367 нацело делится на 7 3367 = 7 ∙  481 = 7 ∙  13 ∙  37.

Таким образом, 10101 = 3 ∙  7 ∙  13 ∙  37. Откуда вытекает, что число n нацело делится на 3, 7, 13, 37, что и требовалось доказать.

5. Число, не делящееся на 3, имеет вид 3k + 1, либо 3l + 2. Пусть данные числа будут a и b.

Рассмотрим разность a2 – b2. a2 – b2 = (a + b)(a – b).

Если при делении на 3, числа a и b принадлежат к одному и тому же классу вычетов по модулю 3, то есть имеют одинаковые остатки при делении на 3, то a – b кратно трём.

Если  при  делении  на  3,  числа  a  и  b  принадлежат  к  разным  классам вычетов по модулю 3, то есть имеют разные остатки при делении на 3, то a + b кратно трём. Что и требовалось доказать.

6. Разложим 1995 на простые множители: 1995 = 3 ∙  5 ∙  7 ∙  19 = 105 ∙  19. Преобразуем данное число.

1 ∙  3 ∙  5 ∙  7 ∙  9 ∙  11 ∙  13 ∙  15 ∙  17 + 2 ∙  4 ∙  6 ∙  8 ∙  10 ∙  12 ∙  14 ∙  16 ∙  18 =
= 105 ∙  (9 ∙  11 ∙  13 ∙  15 ∙  17 + 2 ∙  2 ∙  8 ∙  2 ∙  12 ∙  2 ∙  16 ∙  18).

Значит, данное число делится на 105.

Поскольку числа 19 и 105 взаимно простые, D (105, 19) = 1, то остается доказать, что данное число делится на 19.

Рассмотрим сравнение чисел по модулю 19, то есть рассмотрим классы вычетов по модулю 19.

Учитывая, что сравнимы по модулю 19 пары чисел: 1 и –18, 2 и –17, 3 и –16 и так далее, получаем, что данное число 1 ∙  3 ∙  5 ∙  7 ∙  9 ∙  11 ∙  13 ∙  15 ∙
∙  17 + 2 ∙  4 ∙  6 ∙  8 ∙  10 ∙  12 ∙  14 ∙  16 ∙  18 сравнимо с числом 1 ∙  3 ∙  5 ∙  7 ∙  9 ∙
∙  (–8) ∙  (–6) ∙  (–4) ∙  (–2) + 2 ∙  4 ∙  6 ∙  8 ∙  (–9) ∙  (–7) ∙  (–5) ∙  (–3) ∙  (–1), и сравнимо с 1 ∙  2 ∙  3 ∙  4 ∙  5 ∙  6 ∙  7 ∙  8 ∙  9 – 1 ∙  2 ∙  3 ∙  4 ∙  5 ∙  6 ∙  7 ∙  8 ∙  9 = 0.

То есть данное число сравнимо с 0 по модулю 19, то есть оно нацело делится  на  19.  Если  число  нацело  делится  на  105  и  оно  нацело  делится на  19,  а  также  D (105, 19) = 1, то данное число делится на произведение 105 ∙  19 = 1995. Вот как здорово и оригинально применяются классы вычетов по модулю 19!.

7. Определим количество пятёрок в разложении числа на простые множители. Для этого число делим на 5. Полученное неполное частное слева делим на 5. Узнаём вторую пятёрку в числах вида 25t, полученное неполное частное слева делим на 5, то есть считаем количество третьих пятёрок в числах вида 125t. Процесс продолжается до тех пор, пока не станет неполное частное меньше пяти.

328 = 5 ∙  65 + 3; 65 = 5 ∙  13; 13 = 5 ∙  2 + 3; 2 = 5 ∙  0 + 2.

Получаем: 65 + 13 + 2 + 0 = 80.

Значит, на конце у числа 328! будет 80 нулей.

Ответ: 80 нулей.

8. n = a5 – a = a(a4 – 1) = a(a2 – 1)(a2 + 1) = a(a – 1)(a + 1)(a2 + 1) =
= (a – 1) a(a + 1)(a2 + 1).

Рассмотрим 5 возможных случаев, показывающих остатки от деления числа a на 5:

1) a = 5k, тогда n нацело делится на 5.

2) a = 5k + 1, тогда a – 1 = 5k, нацело делится на 5, соответственно n нацело делится на 5.

3) a = 5k + 2, тогда a2 + 1 = (5k + 2)2 + 1 = 25k2 + 20k + 5 = 5 ∙  (5k2 +
+ 4k + 1), нацело делится на 5, соответственно n нацело делится на 5.

4) a = 5k + 3, тогда a2 + 1 = (5k + 3)2 + 1 = 25k2 + 30k + 10 = 5 ∙  (5k2 +
+ 6k + 2), нацело делится на 5, соответственно n нацело делится на 5.

5) a = 5k + 4, тогда a + 1 = 5k + 5 = 5 ∙  (k + 1), нацело делится на 5, соответственно n нацело делится на 5.

Таким образом, в любом возможном случае (а5 – а) делится на 5.

9. Понятно, что 14 = 7 ∙  2 = (6 + 1) ∙  (1 + 1).

Если дано разложение натурального числа n, имеющего два различных простых делителя p и q: n = pm ∙  qt, то количество делителей числа n вычисляется по формуле k = (m + 1) ∙  (t + 1).

В нашем случае показатели степеней простых множителей равны m = 6, t = 1, а сами простые делители равны 2 и 3, поскольку данное число делится на 6. Всего таких чисел будет два: 26 ∙  31 = 192 и 21 ∙  36 = 1458. Наименьшее из них 192.

Ответ: 192.

10. Преобразуем число:

7 ∙  52n + 12 ∙  6n = 7 ∙  52  – 7 ∙  6n + 19 ∙  6n = 7 ∙  (52n – 6n)  + 19 ∙  6n.

Второе слагаемое 19 ∙  6n кратно 19. Рассмотрим первое слагаемое.

7 ∙  (52n – 6n) = 7 ∙  (25n  – 6n) = 7 ∙  (25 – 6)(25n – 1 + 25n – 2 6 + 25n – 3 62 +
+ … +  2526n – 3 +  25 ∙  6n – 2 +  6n – 1) = 7 ∙  19 ∙  (25n – 1 + 25n – 2 6 + 25n – 3 62 +
+ … +  2526n – 3 +  25 ∙  6n – 2 +  6n – 1).

Первое слагаемое тоже кратно 19, поэтому и все данное число кратно 19, что и требовалось доказать.

11. р2 – 1= (р – 1)(р + 1). Из двух последовательных чётных одно делится на 4, значит, (р – 1)(р + 1) делится на 8. Если р – простое число больше 3, то оно имеет вид либо 3k + 1, либо 3k – 1.

В первом случае p – 1 делится на 3, а во втором случае p + 1 делится на 3, следовательно, р2 – 1 кратно 24.

12. а3 + 11а = а3 – а + 12а = а(а2 – 1) + 12а = (а – 1) а(а + 1) + 12а. 12а при любом а делится на 6. Рассмотрим (а – 1) а(а + 1).

Из трёх последовательных натуральных чисел гарантированно одно делится на 3 и по крайней мере одно из них делится на 2, поэтому при любом целом а данное выражение делится на 6.

13. Разобьём данное число на 9 слагаемых, выделяя группы по 9 единиц в каждой. Обозначим t = 111111111. Сумма цифр числа t равна 9, поэтому t = 9k. Получаем вот такое представление данного числа:

1072 ∙  t + 1063 ∙  t + 1054 ∙  t + 1045 ∙  t + 1036 ∙  t + 1027 ∙  t + 1018 ∙  t + 109 ∙  t +
+ t = t ∙  (1072 + 1063 + 1054 + 1045 + 1036 + 1027 + 1018 + 109 + 1) =
= 9k ∙  9m = 81km.

Итак, число 1072 + 1063 + 1054 + 1045 + 1036 + 1027 + 1018 + 109 + 1 состоит из девяти слагаемых, каждое из которых при делении на 9 даёт остаток 1, поэтому указанная сумма кратна 9.

Значит, данное число делится на 81.

Ответ: делится на 81.

14. n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 = n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 + n3 + 6n2 + 12n + 8 =
= 3n3 + 9n2 + 15n + 9 = 9(n2 + 1) + 3n(n2 + 5).

Задача свелась к другой задаче: доказать, что n(n2 + 5) делится на 3 при любом n.

n = 3k; 3k(9k2 + 5) делится на 3. Рассмотрим два случая:

1) n = 3k + 1; n2 + 5 = (3k + 1)2 + 5 = 9k2 + 6k + 1 + 5 = 9k2 + 6k + 6 =
= 3(3k2 + 2k + 2) делится на 3.

2) n = 3k + 2; n2 + 5 = (3k + 2)2 + 5 = 9k2 + 12k + 4 + 5 = 9k2 + 12k + 9 =
= 3(3k2 + 4k + 3) делится на 3.

Таким образом, при любом натуральном n n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 делится нацело на 9.

15. 1) n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = (n – 1) n(n + 1) (n2 + 1).

2) Из трёх последовательных натуральных чисел хотя бы одно чётное, поэтому n5 – n  делится на два. Остается доказать, что n5  делится на пять. Возможны пять случаев.

3) n = 5k, в этом случае n делится на 5.

n = 5k + 1, в этом случае (n – 1) делится на 5.

n = 5k + 2, в этом случае n2 + 1 = 25k2 + 20k + 5 делится на 5.

n = 5k + 3, в этом случае n2 + 1 = 25k2 + 30k + 10 делится на 5.

n = 5k + 4, в этом случае (n + 1) делится на 5.

Итак, число в любом случае делится на 2 и на 5, поэтому оно делится и на 10.

16. Если число х не делится на 3, то его квадрат при делении на три даёт остаток 1.

На самом деле (3у + 1)2 = 9у2 + 6у + 1 при делении на три даёт остаток 1; (3у + 2)2 = 9у2 + 12у + 4 при делении на три даёт остаток 1.

Если оба числа: а и b – не являются кратными 3, то сумма a2 + b2 при делении на три даёт остаток 2. Если одно из чисел (а или b) не кратно 3, а другое кратно 3, то сумма a2 + b2 при делении на три даёт остаток 1. Остается, что a2 + b2 делится на 3 тогда и только тогда, когда и а делится на 3, и b делится на 3.

17. 3n + 2 + 3n – 2n + 2 – 2n = 3n(32 + 1) – 2n(22 + 1) = 10 ∙  3n – 2n – 1(23 + 2) =
= 10 ∙  3n – 10 ∙  2n – 1 = 10(3n – 2n – 1).

То есть доказано, что число делится на 10.

18. У 116 последняя цифра – 1, у 146 последняя цифра – 6,

у 133 последняя цифра – 7. 1 + 6 – 7 = 0.

Число оканчивается на 0, значит, кратно 10.

19. 333555 ∙  1115 + 555333 ∙  111333 = 111(333555 ∙  111554 + 555333 ∙  111332) =
= 3 ∙  37 ∙  a. Значит, данное число делится на 37.

20. a3 + 29a = a3 – a + 30a = (а – 1)а(а + 1) + 30а.

Второе слагаемое кратно 6, а первое является произведением трёх последовательных натуральных чисел, которое делится и на 2, и на 3, то есть тоже делится на 6.

Сумма двух чисел, делящихся на 6, будет кратна 6.

21. a2 – b2 = (a – b)(a + b). Если у а и b при делении на 3 остатки одинаковы (3k + 1, 3f + 1 либо 3k + 2, 3f + 2), то a – b кратно 3, а если разные, то a + b кратно 3.

22. n – данное число, n = ,

n2 = 1000t + .

n2 – n = n(n – 1) = 1000t, n(n – 1) делится на 1000, n(n – 1) делится на 2353. Числа n и n – 1 взаимно простые. Значит, одно из них делится на 125, а второе на 8.

Осуществим перебор вариантов. Существует всего 7 трёхзначных чисел, кратных 125, из них нечётных – всего четыре.

Получаем всего два значения:

n = 376, n – 1 = 375.

n = 625, n – 1 = 624.

Значит, = 625 или = 376.

Произведение двух чисел вида (1000а + )(1000b + ) равно
1000р +  ⋅  = 1000t  + . Поэтому любая степень числа  оканчивается теми же тремя числами.

Ответ: 376, 625.

23. Поскольку делимость числа на 3 зависит только от того, делится ли на 3 сумма его цифр, то, составляя указанную в условии последовательность чисел, можно приписывать каждый раз не очередное число, а сумму его цифр; более того, при этом сумму его цифр можно заменить остатком от её деления на 3.

В результате мы будем иметь следующую последовательность чисел:

1, 12, 120, 1201, 12012, 120120, 1201201, …, 120120…1201.

Совершенно очевидно, что в этой последовательности на 3 делятся все члены, кроме первого, четвертого, седьмого и т. д., вплоть до сотого. Остальные 66 чисел делятся на 3.

Ответ: 66.

24. В множество выбранных чисел не может входить ни одно число, кратное трём, так как его произведение с любым другим числом будет кратно трём. Числа, не кратные 3, разобьём на два множества классов по модулю 3. Множество M = {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31} – множество чисел, каждое из которых при делении на 3 даёт остаток 1.

Множество N = {2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29} – множество чисел, каждое из которых при делении на 3 даёт остаток 2.

Произведение любых двух чисел множества M при делении на 3 даёт в остатке единицу. (3k + 1)(3h + 1) = 9kt + 3k + 3h + 1 = 3s + 1.

Произведение любых двух чисел множества N при делении на 3 даёт в остатке единицу. (3k + 2)(3h + 2) = 9kt + 6k + 6h + 4 = 3s + 1.

Произведение любых двух чисел, одно из которых выбрано из множества M, а другое – из множества N, при делении на 3 даёт в остатке двойку. (3k + 1)(3h + 2) = 9kt + 6k + 3h + 2 = 3s + 2.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют либо числа множества M, либо числа множества N. В первом множестве 11 элементов, а во втором только 10, поэтому в качестве ответа выбираем первое множество.

Ответ: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31.

25. Разложим данные числа следующим образом:

1984 = n ∙  х + k, 2206 = n ∙  у + k, 2465 = n ∙  z + k.

Теперь найдём разности этих чисел:

1) 2465 – 2206 = 259 = 37 ∙  7 = n ∙  z + k – (n ∙  у + k) = n ∙  z + k – n ∙  у –
– k = n ∙  (z – у);  37 ∙  7 = n ∙  (z – у);

2) 2465 – 1984 = 481 = 37 ∙  13 = n ∙  z + k – (n ∙  х + k) = n ∙  z + k – n ∙  х –
– k = n ∙  (z – x);  37 ∙  13 = n ∙  (z – x);

3) 2206 – 1984 = 222 = 2 ∙  3 ∙  37 = n ∙  у + k – (n ∙  х + k) = n ∙  у + k –
– n ∙  х – k = n ∙  (у – k);  2 ∙  3 ∙  37 = n ∙  (у – k).

У всех трёх разностей имеется общий делитель n. Но единственный общий делитель чисел 259, 481 и 222 – это 37. Таким образом, n может быть равно только 37. Проверим это.

1984 : 37 = 53 (ост. 23); 2206 : 37 = 59 (ост. 23); 2465 : 37 = 66 (ост. 23). Остаток одинаковый и равен 23, значит, n = 37.

Ответ: 37.

26. Разобьём множество всех целых чисел на 5 классов: в один класс поместим числа:

…–14, –9, –4, 1, 6, 11, 16, 21, 26, …, дающие остаток 1 при делении на 5, в другой – числа.

…–13, –8, –3, 2, 7, 12, 17, 22, 27, …, дающие остаток 2, в третий – числа, дающие остаток 3 при делении на 5, и так далее.

Значит, различных остатков получается пять: 0, 1, 2, 3, 4. Поскольку всего чисел будет 6, то согласно принципу Дирихле найдутся два числа с одинаковыми остатками, их разность будет кратна 5.

27. 1) Если р = 3а + 1, то α = 27а3 + 27а2 + 9а + 1 + а2 + 6а + 1 +
+ 33а + 11 + 2 = 3(1 + 5), делится на 3.

2) р = 3а + 2. α = 27а3 + 54а2 + 18а + 8 + 9а2 + 12а + 4 + 33а + 22 + 2 =
= 3(1 + 1), делится на 3.

Значит, р = 3k, но среди этих чисел только одно простое число р = 3.

В этом случае 33 + 32 + 11 ∙  3 + 2 = 27 + 9 + 35 = 36 + 35 = 71 – простое число.

Ответ: р = 3.

28. 71 = 7, 72 = …9, 73 = …3, 74 = …1, 75 = …7.

Далее последняя цифра повторяется с периодом 4. Значит, 20071000 оканчивается на 1, так как 1000 делится на 4. 2006 в любой степени оканчивается на 6, значит, 4 ∙  20061000 оканчивается на 4.

Таким образом, всё число 20071000 + 4 ∙  20061000 оканчивается на 1 + 4 = 5, если число оканчивается на 0 или на 5, то оно делится на 5.

А так как число 20071000 + 4 ∙  20061000 явно больше, чем 5, то оно имеет, как минимум, 3 делителя: 1, 5 и само число, то есть является составным. Что и требовалось доказать.

29. 71 = 7, 72 = …9, 73 = …3, 74 = …1, 75 = …7.

Далее последняя цифра повторяется с периодом 4. 61 = 6, 62 = …6 при возведении числа, оканчивающегося на 6, в любую степень последняя цифра 6. Остаток от деления 2006 на 4 равен 2, значит, число 20072006 оканчивается на 9, а число 20062007 оканчивается на 6. 9 – 6 = 3, значит, искомое число оканчивается на 3.

Ответ: 7.

30. Искомое число делится на 17 ∙  19 ∙  23 = 7429 и, следовательно, имеет вид 7429k, где 2 ≤ k ≤ 13. Имеем 7429k = 7430k – k.

В этом числе на месте десятков стоит 0, тогда как в числе 3k на месте единиц стоит 1 при 2 ≤ k ≤ 9 или 2 при 10 ≤ k ≤ 13. Это возможно только при k = 7. Итак, искомое число есть 52003.

Ответ: 52003.

31. Пусть искомое число – xyzt, тогда 21 ∙  xyzt = 213 ∙  m3, yzt = 441m3.

при m = 1 xyzt = 441,

при m = 2 xyzt = 3528,

при m = 3 xyzt = 11907,

при m > 4 xyzt содержит более 4 знаков.

Таким образом, только число 3528 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 3528.

32. Число 69 раскладывается на произведение двух натуральных чисел двумя различными способами:

1) 69 = 1 ∙  69. Понятно, что 1 – произведение цифр, а 69 – их сумма. В этом случае искомое число состоит из цифры 1, записанной 69 раз.

2) 69 = 3 ∙  23. 3 – произведение цифр, а 23 – их сумма. Произведение цифр будет равно 3, если одна цифра – тройка, а остальные единицы. Чтобы сумма цифр была равна 23 единицам, нужно взять 20. Таким образом, искомое число состоит из одной тройки и 20 единиц. Тройку можно поставить на любое место из 21.

Получаем числа: 311…1, 1311…1, 11311…1, …, 11…13, где в каждом из приведенных чисел будет одна тройка и 20 единиц.

3) Получается, что всего искомых чисел будет 22.

Ответ: всего таких чисел будет 22, например: 111…1, где число единиц равно 69.

33. Если числа 1984, 2206, 2464 имеют одинаковые остатки при делении на число n, то разности этих чисел кратны n.

Рассмотрим разности:

1) а = 2465 – 2206 = 259 = 37 ∙  7.

2) b = 2465 – 1984 = 481 = 37 ∙  13.

3) с = 2206 – 1984 = 222 = 2 ∙  3 ∙  37.

Единственным, кроме единицы, общим делителем чисел а, b, с будет число 37. Получили:

1984 = 37 ∙  53 + 23, 2206 = 37 ∙  59 + 23, 2465 = 37 ∙  66 + 23.

Ответ: 37.

34. (10a + 5)2 = 100 (a2 + a) + 25, а число a2 + a = а(а + 1) чётно, так как из двух последовательных натуральных чисел одно непременно будет чётным.

35. Рассмотрим числитель дроби:

3n2 – 26n + 35 = 3n2 – 21n – 5n + 35 = 3n(n – 7) – 5(n – 7) =
= (n – 7)(3n – 5).

Знаменатель будет 4(n – 7).

При n ≠ 7, получаем .

Чтобы выражение являлось целым числом, необходимо выбрать
n = 4k – 1, где k – натуральное число, не равное 2.

Ответ: n = 4k – 1, где k – натуральное число, k ≠ 2.

Условие

От вулканостанции до вершины вулкана Стромболи надо идти 4 часа по дороге, а затем — 4 часа по тропинке. На вершине расположено два кратера. Первый кратер 1 час извергается, потом 17 часов молчит, потом опять 1 час извергается, и т. д. Второй кратер 1 час извергается, 9 часов молчит, 1 час извергается, и т. д. Во время извержения первого кратера опасно идти и по тропинке, и по дороге, а во время извержения второго опасна только тропинка. Ваня увидел, что ровно в 12 часов оба кратера начали извергаться одновременно. Сможет ли он когда-нибудь подняться на вершину вулкана и вернуться назад, не рискуя жизнью?

Скрыть решение

Решение

  Путь по дороге и тропинке (туда и обратно) занимает 16 часов. Значит, если выйти сразу после извержения первого кратера, то он не будет опасен.

Движение по тропинке (туда и обратно) занимает 8 часов. Значит, если начать движение по тропинке сразу после извержения второго кратера, то он не будет опасен.

Ване для безопасного подъема достаточно, чтобы к началу движения по дороге перестал извергаться первый кратер, а спустя 4 часа, к началу движения по тропинке, перестал извергаться второй кратер.

Найдем такой момент времени. Первый кратер извергается 1-й, 19-й, 37-й часы. Второй кратер извергается 1-й, 11-й, 21-й, 31-й, 41-й часы. Значит, если выйти в начале 38-го часа, то к началу тропинки Ваня попадет как раз к концу извержения второго кратера, что и требовалось.

Комментарий. Мы решили задачу перебором. На самом деле, можно было бы составить диофантово уравнение. Первый кратер извергается в часы с номерами 18x + 1, где x — целое число; второй кратер — в часы с номерами 10y + 1. Нам нужно, чтобы они извергались со сдвигом в 4 часа, и мы приходим к уравнению

10y - 18x = 4.

Наименьшее решение в натуральных числах — y = 4, x = 2.