Исследовательские работы

Районная научно-практическая конференция

«Шаги в науку-2019»

Секция: Математика

Исследовательская работа

Тема: Комплексные числа

2018 год

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………3

2.Историческая справка…………………………………………………...4

3. Алгебраическая форма комплексного числа…………………………6

4. Геометрическая форма комплексного числа…………………………7

5. Действия над комплексными числами в алгебраической форме……8

6.Заключение……………………………………………………………....10

7.Литература……………………………………………………………….11

Введение

В данной исследовательской работе изучаются комплексные числа. В рамках школьной программы комплексные числа не изучаются, однако с их помощью можно решить множество задач. Например, уравнение х2= -4  будет иметь 2 корня, хотя в действительных числах данное уравнение решений не имеет.

Итак, объектом исследования являются комплексные числа, а предметом – их свойства и применение в науке.

Целью этой работы является изучение комплексных чисел, описание правил сложения, вычитания и других действий с ними, в том числе вывод формул сокращенного умножения.

Для достижения этих целей были поставлены следующие задачи:

- изучение понятия комплексных чисел;

- изучение истории «открытия» комплексных чисел;

- алгебраическая и геометрическая формы комплексного числа;

- изучение арифметических действий над комплексными числами;

- решение примеров с комплексными числами.

Актуальность работы состоит в том, что в 8 классе как раз начинается подробное  изучение квадратных уравнений с одной переменной. В школьном курсе все действия проходят во множестве действительных чисел, поэтому некоторые такие уравнения не имеют корней. Но на множестве комплексных чисел каждое квадратное уравнение будет иметь 2 корня.

Историческая справка

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Древнегреческие ученые считали «настоящими» только натуральные числа, но в практических расчетах за тысячелетия до н. э. в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте уже использовались дроби.

   Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было появление отрицательных величин. Их ввели китайские ученые за два века до н. э. а древнегреческий математик Диофант в третьем веке н.э. уже умел производить действия над отрицательными числами. В 13 веке стали извлекать квадратные корни из положительных чисел и установили, что с числами отрицательными эта операция невозможна. Но в 16 веке в связи с изучением кубических уравнений математики столкнулись с этой проблемой.

 Поэтому итальянский математик Дж. Кардано в 1545 году в своем труде «Великое искусство, или «Об алгебраических правилах» предложил ввести числа новой природы. Он назвал эти величины «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными», но считал их совершенно бесполезными и стремился не пользоваться ими. Однако в 1572 году его соотечественник Р. Бомбелли выпустил книгу, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Название «мнимые числа» в 1637 году было введено французским математиком и философом Р. Декартом. А в 1777 году один из крупнейших математиков 18 века – Л. Эйлер – предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа I = √-1. Сам же термин «комплексное число» ввел в 1803 году Л. Карно, но в употребление он вошел только благодаря работам К. Гаусса. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже 17 – 18 веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, а полное геометрическое истолкование «мнимым» величинам дали в своих работах К. Вессель и Ж. Арган.

Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексным числом z называется выражение z = a + b·i , где a и b –действительные числа,  i2= -1,

a = Re z –действительная  часть z (вещественная) (Re, от фр. réele – «реальный», «действительный»);

 b = Im z  мнимая часть z (Im, от фр. imaginaire – «мнимый»).

b – коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Запись комплексного числа z = a + b·i  называется алгебраической формой комплексного числа. Рассмотрим уравнение:

х2+1=0

х2=–1

х=,

Обозначим i= мнимая единица

i2=–1, тогда i3= i2· i=–i

i24=( i2)12=(–1)12=1

i13=( i2)6·i=(–1)6·i=i

Добавив ко всем действительным числам числа мнимые, получим множество комплексных чисел K.

Определение. Числа вида z = a + b·i  (где а–действительная часть;

b–мнимая часть; i– мнимая единица), называются комплексными.

Запись z = a + b·i  называется алгебраической формой комплексного числа.

Геометрическая форма комплексного числа

Ось OX – действительная ось

Ось OY – мнимая ось

Комплексная плоскость

Z = a + b·i

ReZ = a– действительная часть

ImZ = b– мнимая часть

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

1) Сумма (разность) комплексных чисел

Z1=a1±b1i;  Z2=a2±b2i

Z1±Z2=(a1±a2)+(b1±b2)i

Пример 1.

Z1=4+3i

Z2=11+4i

Z1+Z2=(4+11)+(3i+4i)=15+7i

Пример 2.

Z1=3-i,

Z2=5+4i

Z1-Z2=(3-5)+(-i-4i)=-2-5i

2) Произведение комплексных чисел

Z1·Z2=(a1+b1i)( a2+b2i)= a1a2+ a1b2i+b1ia2+ b1ib2i=( a1a2- b1ib2)+( a1b2+ b1a2)i

 (учли, что i2=–1)

Пример 3.

Z1=4+2i

Z2=7-3i

Z1·Z2=(4+2i)( 7-3i)=28-12i+14i+6=34+2i

Пример 4.

Z1=3+i,

Z2=4-5i

Z1·Z2=(3+i)(4-5i)=12-15i+4i+5=17-11i

3) Деление комплексных чисел

Для того чтобы выполнить деление комплексных чисел, надо числитель и знаменатель умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю:

Z2’=a2-b2i

Следовательно,

Пример 5.

Z1=3+2i

Z2=6+3i

Пример 6.

Решите уравнение х2х+6=0

Решение:

D=b2-4ac=16-24=

x1==2-i

x2==2+i

Пример 7.

Решите уравнение х2х+2=0

Решение:

D=b2-4ac=4-8=

x1==2-i.

x2==2+i

Заключение

В данной работе мы рассмотрели определение комплексных чисел. Была приведена историческая справка, освещен вклад в изучение комплексных чисел одного из величайших ученых  - Фридриха Гаусса.

Также привели примеры арифметических действий с ними, показав на практике, что для данных вычислений не требуется каких-либо специальных знаний, рассмотрели решения квадратных уравнений, которые не имеют действительных корней.

Литература

1.А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.

2. М. Я. Выгодский; Справочник по элементарной математике. М.: Государственное издательство физико–математической литературы, 1960.

3. Н.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. 11 кл. М.: Мнемозина, 2004.

4. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.

5 . История математики в школе под редакцией Г. И. Глейзер. – Москва-1983.

6.. Избранные вопросы математики под редакцией И. Н. Антипова. – Москва-1979.

7. За страницами учебника математики под редакцией Н. Я. Виленкина. - Москва-1996.

8. Н.Б. Алфутова. Алгебра и теория чисел. М.: МЦНМО, 2005.

9.Колмагоров А.Н., Абрамов, Дудицин/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г

10.НикольскийС.М., Потапов Н.К, и др. Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г