Подготовка к олимпиаде

Задачи на движение

1. Два туриста одновременно вышли из пункта А в пункт В. Первый турист половину времени шёл со скоростью 5 км/ч, а другую половину – со скоростью 4 км/ч.

Второй турист 4/9 пути шёл со скоростью 6 км/ч, а остальную часть – со скоростью 4 км/ч.

Какой турист раньше прибыл в пункт В?

2. После того как бегун пробежал треть всей дистанции и еще 400 м, ему осталось пробежать еще треть пути и еще 200 м.

Чему равна длина дистанции?

3. Поезд проходит мост длиной 250 метров за 1 минуту, а мимо телеграфного столба он проходит за полминуты.

Какова длина поезда?

4. Маша доходит до школы и обратно без остановки за 12 минут, а ее брат Миша добегает до школы и обратно без остановки за 8 минут.

Во сколько раз скорость Миши больше, чем скорость Маши?

5. Автомобиль прошел АВ со скоростью 40 км/ч и обратно со скоростью 30 км/ч.

Найдите среднюю скорость автомобиля.

6. Если велосипедист будет ехать со скоростью 10 км/ч, то он опоздает на 1 час, если он будет ехать со скоростью 15 км/ч, то он приедет на 1 час раньше.

С какой скоростью он должен ехать, чтобы приехать вовремя?

7. От  двух  станций  А  и  В  одновременно на станцию С вышли 2 поезда. Первый, вышедший из А, пришел на станцию С раньше на 20 минут. Скорость первого 75 км/ч, скорость второго составляет 120% скорости первого.

Найдите АС и ВС, если АС меньше ВС на 75 км.

8. Собаке нужно 15 секунд, чтобы догнать бегущую кошку, до которой сейчас 10 м. Кошке нужно 2 секунды, чтобы догнать бегущую мышку, до которой сейчас 6 м.

Сколько времени нужно собаке, если она побежит догонять мышку, до которой сейчас 5,5 м?

9. Баба-яга отправилась в гости к Лешему. Первые 4 км пути она прошла пешком, а последние 2 км пролетела в ступе (летит она в 4 раза быстрее, чем идёт). На весь путь она затратила 3 часа. На обратном пути, наоборот, первые 4 км она пролетела в ступе, а оставшиеся 2 км прошла пешком.

Сколько времени она затратила на обратный путь?

10. Велосипедист поднимался на холм со скоростью 12 км/час, а спустился он с холма тем же путем со скоростью 20 км/час, потратив на спуск на 16 минут меньше, чем на подъем.

Чему равна длина дороги, ведущей на холм?

11. Турист 80% пути проехал на велосипеде, 40% оставшегося пути прошел пешком и 12 километров проехал.

Найдите весь путь туриста.

12. Поезд проходит мост длиной 450 м за 45 секунд и 15 секунд идет мимо телеграфного столба.

Вычислите длину поезда и его скорость.

13. Пассажир едет в поезде, который идет со скоростью 60 км/ч, и видит, что мимо окна проходит встречный поезд в течение 4 секунд.

Какова скорость встречного поезда, если его длина равна 120 метрам?

14. Заяц соревновался с черепахой в беге на 100 метров. Когда заяц прибежал к финишу, черепахе оставалось до него еще 90 метров. На сколько метров надо отодвинуть назад стартовую линию для зайца, чтобы при новой попытке оба бегуна пришли к финишу одновременно?

15. Турист проехал расстояние между двумя городами за 3 дня. В первый день он проехал 20% всего пути и еще 60 км, во второй – 1/4 всего пути и еще 20 км, а в третий день – 23/80 всего пути и оставшиеся 25 км.

Найдите расстояние между городами.

16. Брат вышел из дома на 5 минут позже сестры вслед за ней, но шел в 1,5 раза быстрее, чем она.

Через сколько минут после выхода брат догонит сестру?

17. На числовой оси живет кузнечик, который умеет прыгать вправо и влево на 1 и на 4 единицы. Может ли он за 1996 прыжков попасть из точки 1 и в точку 2 числовой оси, если он не должен попадать в точки с координатами, кратными 4 (точки 0, ±4, ±8 и т. д.)?

18. Поезд из А в В шёл со скоростью 60 км/ч, а возвращался назад со скоростью на 20 км/ч меньшей.

Какова средняя скорость поезда?

19. Мальчик опоздал в школу на 35 минут, тогда он решил сбегать в киоск за мороженым. Но когда он вернулся, второй урок уже начался. Он тут же побежал за мороженым во второй раз и отсутствовал такое же время. Когда он вернулся, оказалось, что он опять опоздал, и до начала четвертого урока надо ждать 50 минут.

За какое время можно сбегать из школы до киоска с мороженым и обратно,  если  последний  урок  вместе  с  переменой  после  него  длится 55 минут?

20. Когда пассажир проехал половину пути, он стал смотреть в окно и смотрел до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, что он проехал, смотря в окно.

Какую часть всего пути пассажир смотрел в окно?

О Т В Е Т Ы

1. Пусть 2а км – длина пути, тогда а км – длина половины пути. Пусть первый турист прошёл весь путь за 2t часов. Тогда за первую часть времени он прошёл 5t км, а за вторую часть времени он прошёл 4t км. Весь путь будет 9t км.

Значит, 2а = 9t.

Второй турист – 4/9 пути, то есть 4t км шёл со скоростью 6 км/ч и затратил времени 2/3t часов. 5/9 пути, то есть 5t км, он шёл со скоростью 4 км/ч и затратил времени 5/4t часов.

Общее время у второго туриста будет 23/12t часов, что меньше, чем 2t часов, затраченных на путь первым туристом.

Второй турист раньше прибыл в пункт В.

Ответ: второй турист раньше прибыл в пункт В.

2. Весь путь состоит из  пути + 200 м + 400 м. Значит, 600 м составляет  пути. Весь путь 600 м ∙  3 = 1800 м.

Ответ: 1800 м.

3. За минуту паровоз поезда проходит всю длину моста и ещё всю длину поезда. Поскольку мимо телеграфного столба паровоз проходит за полминуты, то за полминуты он проходит всю длину поезда, а на прохождение длины моста у него остается еще полминуты. Получается, что длина поезда равна длине моста и равна 250 метров.

Ответ: 250 м.

4. Поскольку при одном и том же расстоянии скорости движения обратно пропорциональны затраченному времени, то получаем, что скорость Миши больше, чем скорость Маши, в 1,5 раза.

Ответ: 1,5 раза.

5. Пусть а км – длина пути. Путь АВ автомобиль прошел за а/40 часов, а обратно за а/30 часов.

Общее время в пути (а/40 + а/30) часов, то есть 7а/120 часов.

Весь пройденный путь 2а км.

Чтобы найти среднюю скорость автомобиля, нужно длину всего пути разделить на общее время.

Получаем: 240а/7 км/ч – средняя скорость автомобиля.

Ответ: 34 км/ч.

6. Пусть t часов – время, необходимое велосипедисту, чтобы приехать вовремя.

х км/ч – cкорость велосипедиста.

Тогда по условию задачи имеем: 10 ∙  (t + 1) = 15 ∙  (t – 1).

Откуда получаем:

10t + 10 = 15t – 15,

5t = 25,

t = 5.

Следовательно, x ∙  t = 10 ∙  (t + 1), 5x = 60, x = 12.

Получили, что велосипедист должен ехать со скоростью 12 км/ч, чтобы приехать вовремя.

Ответ: 12 км/ч.

7. Скорость второго будет 120% от 75 км/ч, то есть 75 км/ч ∙  1,2 =
= 90 км/ч. Если АС = х км, то ВС = (х + 75) км.

Время первого будет х/75 ч, а второго – (х + 75)/90 ч. Учитывая, что первый, вышедший из А, пришел на станцию С раньше на 1/3 часа, получаем: х/75 + 1/3 = (х + 75)/90.

Откуда, умножив обе части уравнения на 2250, получаем:

30х + 750 = 25 ∙  (х + 75), 30х + 750 = 25х + 1875, 5х = 1125, х = 225.

АС = 225 км.

ВС = 225 + 75 = 300 (км).

Ответ: 225 км, 300 км.

8. Скорость сближения собаки и кошки равна 10/15 м/с, то есть 2/3 м/с. Скорость сближения кошки и мышки равна 6/2 м/с, то есть 3 м/с. Значит, скорость сближения собаки и мышки будет 3 м/с + 2/3 м/с = 11/3 м/с.

Следовательно, собаке нужно, если она побежит догонять мышку, до которой сейчас 5,5 м, времени 5,5 ∙  3/11 = 1,5 (с).

Ответ: 1,5 с.

9. Пусть скорость пешком равна х, тогда скорость полета на ступе 4х. Зная, что на весь путь она затратила 3 часа, то 4/х + 2/4х = 3.

(16 + 2)/4х = 3.

х = 1,5 (км/ч).

Время на обратный путь будет 4/6 + 2/1,5 = 2/3 + 4/3 = 2 (ч).

Ответ: 2 часа.

10. Для данной длины пути скорость и время будут величины обратно пропорциональные.

Пусть спуск продолжался х ч, тогда подъем (х + 4/15) ч. Составляем пропорцию:

Откуда следует, что 20х = 12 ∙  (х + 4/15);

5х = 3 ∙  (х + 4/15);

2х = 4/5;

х = 0,4.

Длина пути равна 20 ∙  0,4 = 8 (км).

Ответ: 8 км.

11. Пусть весь путь равен х км, тогда по условию задачи получаем:

0,8х + 0,4 ∙  0,2х + 12 = х, 0,12х = 12, х = 100. Длина пути равна 100 км.

Ответ: 100 км.

12. 1) Когда локомотив выезжает с места, то мимо столба у конца моста он будет идти еще 15 секунд.

Значит, локомотив проходит мост за 45 с – 15 с = 30 с.

2) 450 м : 30 с = 15 м/с – скорость поезда.

3) 15 м/с ∙  15 с = 225 м – длина поезда.

Ответ: 225 м, 15 м/c.

13. (x + 60) км/ч – скорость сближения.

 (x + 60) = 0,12; x + 60 = 1,8 ∙  60; x + 60 = 108, x = 48.

Ответ: 48 км/ч.

14. Скорость зайца больше в 100/10 = 10 раз. Поэтому пройденный им путь за одно и то же время будет в 10 раз больше.

Следовательно, когда черепаха проползет 100 м, заяц пробежит за это время в 10 раз больше, то есть 1000 м, поэтому стартовую линию для зайца, чтобы при новой попытке оба бегуна пришли к финишу одновременно, следует отодвинуть назад на 900 м.

Ответ: 900 м.

15. Пусть х км – длина всего пути. По условию задачи составляем уравнение:

0,2х + 60 + 0,25х + 20 + 23/80х + 25 = х.

105 + 45/100х + 23/80х = х.

105 + 9/20х + 23/80х = х.

105 = х – (36 + 23)/80х.

105 = 21/80х.

х = 105 ∙  80/21 = 400.

Значит, длина пути составляет 400 км.

Ответ: 400 км.

16. Скорость сближения составляет половину скорости, с которой идет сестра, поэтому, чтобы покрыть расстояние, пройденное со скоростью сестры за 5 мин, необходимо время, в 2 раза большее, – 10 минут.

Ответ: 10 минут.

17.

1) числа  0, 4, 8, … , –4, –8, –12, … делят числовую ось на промежутки 1-й, 2-й, 3-й, … –1-й, –2-й, –3-й и т. д.

2) из одного промежутка в другой можно попасть только «4-единичным» прыжком. Каждому «левому» «4-единичному» прыжку соответствует ровно 1 «правый» «4-единичный» прыжок. Значит, количество «4-единичных» прыжков – четно, иначе нам не вернуться на 1-й промежуток;

3) Всего прыжков 1996, а количество «4-единичных» – четно, значит, «единичных» прыжков – четно.

4) окрасим зелеными точки –2, 2, 6, 10, … , а фиолетовым цветом – все нечетные числа;

5) каждый нечетный «единичный» прыжок будет с фиолетовой точки на зеленую точку, а каждый четный «единичный» прыжок с зеленой точки на фиолетовую точку.

6) Так как последний «единичный» прыжок будет «четным», то он переводит кузнечика на фиолетовую точку, а никакое количество «4-единичных» прыжков не способно перевести на точку другого цвета. Следовательно, попасть в точку 2 он не сможет.

Ответ: не может.

18. Пусть S км – длина пройденного пути, тогда, чтобы найти среднюю скорость, нужно весь пройденный путь, равный 2S км, разделить на общее время в пути.

Общее время складывается из времени от А до В, которое равно , и времени прохождения пути от В до А, которое равно , поэтому средняя скорость V будет равна: V =  = 48 (км/ч).

Ответ: 48 км/ч.

19.

1) Уроки начинаются: 0 мин, 55 мин, 110 мин, 165 минут;

2) 165 мин – 50 мин = 115 мин – удвоенное время путешествия за мороженым, сложенное с 35 минутами;

3) 115 мин – 35 мин = 80 мин – удвоенное время путешествия за мороженым;

4) 80 мин : 2 = 40 мин.

Ответ: 40 минут.

20. Пусть пассажиру осталось проехать a км, тогда, смотря в окно, он проехал 2a км. Половина пути равна 3a км, а весь путь равен 6a км.

Следовательно, та часть пути, проезжая которую пассажир смотрел в окно, равна .

Ответ: .

У М А       П А Л А Т А

Задачи

1. Попрыгунья стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть – пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме.

Сколько часов в сутки она готовилась к зиме?

2. Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1392 цифры.

Сколько страниц в этой книге?

3. Мама положила на стол сливы и сказала детям, чтобы они, вернувшись из школы, разделили их поровну. Первой пришла Аня, взяла треть слив и ушла. Потом вернулся из школы Боря, взял треть оставшихся слив и ушел. Затем пришел Витя и взял 4 сливы – треть от числа слив, которые он увидел.

Сколько слив оставила мама?

4. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, и оказалось, что их 30, а затем он сосчитал количество ног, и оказалось, что их 84.

Сколько гусей и сколько поросят было на скотном дворе?

5. Жучка тяжелее кошки в 6 раз, мышка легче кошки в 20 раз, репка тяжелее мышки в 720 раз.

Во сколько раз репка тяжелее Жучки?

6. Рост Буратино 1 м, а длина его носа раньше была 9 см. Каждый раз, когда Буратино врал, длина его носа удваивалась. Как только длина его носа стала больше его роста, Буратино перестал врать.

Сколько раз он соврал?

7. Найдите десятизначное натуральное число, кратное 11 и состоящее из десяти различных цифр 0, 1, 2, 3, … , 9.

8. В чёрном ящике 15 белых, 20 синих, 45 красных, 30 зелёных шаров. Какое наименьшее число шаров нужно вытащить из ящика, не заглядывая в него, чтобы среди вытащенных шаров оказалось обязательно:

а) хотя бы по одному шарику каждого цвета;

б) 10 шариков одного цвета;

в) синих больше, чем белых.

9. Числа p и q отрицательны, причём p < q. Какое из следующих чисел самое большое: (1) –7p, (2) 4p, (3) 7q, (4) –4q?

10. Если сумма 2000 положительных целых чисел равна 2001, то чему равно их произведение?

11. Из восьми внешне одинаковых монет одна фальшивая, одна легче. Как определить фальшивую монету на весах без гирь не более чем двумя взвешиваниями?

12. Есть 6 карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Используя их, можно составить два трёхзначных числа, например 645 и 321. Вася составил эти числа так, что их разность оказалась самой маленькой из всех возможных.

Чему равна эта разность?

13. Собака, находясь в точке A, погналась за лисицей, которая была на расстоянии 30 м от собаки.

Прыжок собаки равен 2 м, а прыжок лисицы – 1 м. Собака делает два прыжка в то время, когда лисица делает три прыжка.

На каком расстоянии от точки A собака нагонит лисицу?

14. Победителей олимпиады выстроили в ряд на сцене. Директор школы, поздравляя их, заметил, что пятым справа стоял Коля, выступивший лучше всех. Учитель математики же обратил внимание на то, что Коля стоял девятым слева.

Сколько учеников стояло на сцене?

15. Разделите 7 полных, 7 пустых и 7 полупустых бочек меда между тремя купцами, чтобы каждому досталось поровну и бочек, и меда. (Мед из бочки в бочку не переливать!)

16. На  одну  чашку  весов  положили  круг  сыра,  а  на  другую  чашку весов 0,75 такого же круга и еще килограммовую гирю. Установилось равновесие.

Сколько весит круг сыра?

17. Сумма двух чисел равна 180, частное от деления большего на меньшее равно 5. Найдите эти числа.

18. Делимое в 6 раз больше делителя, а делитель в 6 раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?

19. Малыш может съесть 600 г варенья за 6 минут, а Карлсон – в 2 раза быстрее. За какое время они вместе съедят это варенье?

20. За 25 бубликов заплатили столько рублей, сколько бубликов можно купить на рубль.

Сколько стоит один бублик?

21. Имеются двое песочных часов: на 7 минут и на 11 минут. Каша должна вариться 15 минут.

Как сварить ее, перевернув часы минимальное количество раз?

22. Хозяин обещал работнику за 30 дней 9 рублей и кафтан. Через 3 дня работник уволился и получил кафтан.

Сколько стоит кафтан?

23. Несколько ложек стоят 2 рубля, а то же количество вилок стоит
1 рубль 76 копеек.

Сколько стоят 5 ложек, если каждая дешевле 50 копеек?

24. 0,5 кг лука, 3 кг картофеля и 1 кг огурцов стоят вместе 2,38 рублей, а 2 кг лука и 4 кг огурцов стоят 8,20 рублей.

Сколько стоят 1 кг лука, 2 кг картофеля и 2 кг огурцов вместе?

25. В корзине лежат 30 грибов. Среди любых 12 из них имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов – хотя бы один груздь.

Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

26. Можно ли отмерить 15 литров воды, находясь у реки и имея два ведра: одно вместимостью 11 литров, другое – вместимостью 7 литров?

27. У Маши, Саши и Даши вместе 11 воздушных шариков. У Маши на
2 шарика меньше, чем у Даши, а у Саши на 1 шарик больше, чем у Даши.

Сколько шариков у Даши?

28. Среднее арифметическое шести чисел равно 345, а среднее арифметическое четырех других чисел равно 555.

Чему равно среднее арифметическое всех десяти чисел?

29. Известно, что 7 карандашей дороже 8 тетрадей.

Что дороже 8 карандашей или 9 тетрадей?

30. Арбуз разрезали на 4 части и съели.

Могло ли получиться 5 корок?

31. Имеются два кирпича обычной формы, сделанные из одинакового материала. Один из них весит 5 кг. Сколько весит второй кирпич, если все размеры его в пять раз меньшие?

32. Имеется 4 чемодана и к ним 4 ключа. Но ключи перемешались. Сколько испытаний в худшем случае нужно произвести, чтобы подобрать для каждого из чемоданов его ключ?

33. Если из числа отличников вычесть число тех отличников, которые не являются спортсменами, то получится такой же результат, как если бы от числа всех спортсменов вычесть число тех спортсменов, которые не являются отличниками. Докажите.

34. Мышь, мышонок и сыр в мышеловке вместе весят 180 г. Мышь весит на 100 г больше, чем мышонок и сыр, вместе взятые. Сыр весит в три раза меньше, чем мышонок.

Сколько весит каждый из них?

35. Три мальчика нашли 27 белых грибов.

– Витя, сколько ты нашёл белых грибов? – спросил Вася.

– Я нашел грибов вдвое больше, чем ты и Гена вместе, – ответил Витя. А Гена сказал:

– Я нашёл грибов вдвое больше, чем Вася.

Сколько белых грибов нашёл каждый мальчик?

36. Я еду со скоростью 60 км/час. С какой скоростью мне надо ехать, чтобы проезжать 1 километр на 1/3 минуты быстрее?

37. – Который теперь час? – спросил сын у отца.

– А вот сосчитай, – ответил отец. – До конца суток осталось вдвое больше того времени, которое прошло от их начала.

Так который же теперь час?

38. На двух книжных полках было книг поровну. Когда с верхней полки переложили на нижнюю 24 книги, то на нижней стало в 5 раз больше книг, чем на верхней полке.

Сколько книг было на каждой полке первоначально?

39. Из чисел 2, 3, 9, 27, 81, 243, 567 выберите делимое, делитель, частное, остаток.

40. Три мальчика решили сообща купить мяч, но у одного из них не было с собой денег, поэтому один из его товарищей уплатил 1 рубль 20 копеек, а второй – 1 рубль 80 копеек. В тот же вечер он отдал им 1 рубль. Как надо разделить эти деньги?

41. Два пирата играли на золотые монеты.

Сначала первый проиграл (отдал второму) половину своих денег, потом второй проиграл первому половину своих денег, потом снова первый проиграл половину своих денег второму. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго – 33.

Сколько монет было в начале игры у каждого?

42. После того как на борт были подняты 30 человек, потерпевших кораблекрушение, то оказалось, что запасов питьевой воды, имеющихся на корабле, хватит только на 50 дней, а не на 60, как раньше. Сколько человек было на корабле сначала?

43. Четырех кошек взвесили попарно во всех возможных комбинациях. Получились веса: 7 кг, 8 кг, 9 кг, 10 кг, 11 кг и 12 кг.

Найдите общий вес всех четырех кошек.

44. От потолка комнаты вертикально вниз по стене поползли два паука. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первый паук полз все время с постоянной скоростью, а второй хотя и поднимался вдвое медленнее первого, но зато спускался вдвое быстрее первого.

Какой паук раньше приполз обратно?

45. Тигра пришёл на день рождения Крошки Ру на 5 минут раньше, чем ослик Иа-Иа, но на 3 минуты позже, чем Винни-Пух.

Когда всё угощение было съедено, гости стали расходиться. Первым ушёл Винни-Пух: он ушёл на 2 минуты раньше, чем Иа-Иа, и на 5 минут раньше, чем Тигра.

На сколько минут Тигра был дольше в гостях, чем Иа-Иа?

46. Двузначное число записано подряд три раза. Докажите, что полученное число делится на 3, 7, 13, 37.

47. По столбу, высотой 10 м, взбирается улитка. За день она поднимается по столбу на 5 метров, а за ночь опускается на 4 метра.

Сколько дней ей потребуется, чтобы подняться на вершину?

О Т В Е Т Ы

1. В сутках 24 часа, из них стрекоза спала 12 часов, танцевала 8 часов, пела 4 часа. Поэтому всего времени она потратила 24 часа в сутки, значит, на подготовку к зиме у нее уходило по 24 – 24 = 0 часов.

Ответ: 0 часов.

2. На первые 9 страниц потребуется 9 цифр, на каждые следующие 90 страниц надо по 2 цифры на каждую страницу, значит, надо 180 страниц.

Пусть всего будет х страниц, тогда 9 + 2 ∙  90 + 3(х – 99) = 1392;

х = 500.

Ответ: 500 страниц.

3. Витя взял 4 сливы. Значит, увидел он 3 ∙  4 = 12 (слив). Боря оставил те самые 12 слив, которые увидел Витя. Боря взял треть увиденных им слив. Значит, Боря взял 6 слив, а увидел 18 слив. Именно столько слив оставила Аня.

Значит, мама оставила 18 : (2 : 3) = 27 (слив).

Ответ: 27 слив.

4. Если бы все поросята встали на задние ноги, то на земле оказалось бы 30 ∙  2 ног. Тогда сверху будет 84 – 60 = 24 ноги. Так как каждый поросенок вверх поднял 2 ноги, то поросят будет 24 : 2 = 12.

Тогда гусей будет 30 – 12 = 18.

Ответ: 12 поросят и 18 гусей.

5. По условию Жучка тяжелее кошки в 6 раз, а кошка тяжелее мышки в 20 раз, поэтому Жучка тяжелее мышки в 120 раз. Но по условию задачи репка тяжелее мышки в 720 раз.

Значит, репка тяжелее Жучки в 6 раз.

Ответ: 6.

6. После первого вранья длина носа Буратино стала равной 9 ∙  2 = 18 см, после второго – 18 ∙  2 = 36 см, после третьего – 36 ∙  2 = 72 см, после четвертого – больше 100 см. Значит, длина носа стала больше 1 м после четвертого вранья.

Ответ: 4.

7. Признак делимости на 11: если разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр на нечетных местах кратна 11, то данное число делится на 11. Пусть х1 – сумма цифр, стоящих на четных местах, пусть х2 – сумма цифр на нечетных местах.

Подберем х1 – х2 так, чтобы данная разность была кратна 11. Сначала найдем сумму всех цифр от 1 до 9.

х1 + х2 = 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45.

х1 – х2 = 11.

х1 + х2 = 45.

Подбираем х1 = 28, х2 = 17.

Например: х1 = 2 + 4 + 6 + 7 + 9 = 28.

х2 = 1 + 3 + 5 + 0 + 8 = 17.

Искомых чисел будет очень много.

Например, число 2041637598 кратно 11.

Ответ: например, 2041637598.

8. Рассмотрим самый худший вариант вытягивания шаров:

а) Пусть сначала мы вытягиваем 45 красных, потом 30 зелёных, затем 20 синих, а уж следующий шар непременно будет белым, и мы гарантированно получаем хотя бы по одному шарику каждого цвета:

45 + 30 + 20 + 1 = 96.

б) Снова рассмотрим самый худший вариант вытягивания шаров для условия второй задачи.

Получаем: 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 37.

в) Рассуждая аналогично, получаем: 45 + 30 + 15 + 16 = 106.

Ответ: а) 96; б) 37; в) 106.

9. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Числа  –7p  и  –4q  положительны,  при  этом  –p > –q,  значит, –4p > –4q, –7p > –4p. Отсюда следует, что –7p – наибольшее число.

Ответ: –7p.

10. Так как все числа – целые и положительные, то они все больше или равны 1. Самая минимальная сумма будет 2000. Чтобы получить 2001, надо одну единицу заменить на двойку. Если мы увеличим еще какое-нибудь число, то в сумме мы получим больше 2001. Значит, произведение 1999 единиц и одной двойки будет равно 2.

Ответ: 2.

11. Самая рациональная стратегия – делить на три части и две части помещать на различные чашки весов, а последнюю держать для дальнейших действий.

Разобьем 8 = 3 + 3 + 2. На чашке весов положим по три монеты. Если они уравновесятся, то из двух оставшихся вторым взвешиванием определяем фальшивую. Если чашки весов, на которые положены по три монеты, не уравновесятся, то определяем тройку монет, среди которых одна фальшивая.

Эту тройку разбиваем 1 + 1 + 1 и по одной монете кладем на чашки весов. Вторым взвешиванием определяем фальшивую из трех монет.

Ответ: фальшивая монета определяется двумя взвешиваниями.

12. 412 – 365 = 47.

Ответ: 47.

13. Ответ: 120 м.

14. Ответ: 13.

15. Всего бочек 21. Каждому, если делить бочки поровну, должно достаться 7 бочек. Меда всего 7 + 3,5 = 10,5 (бочек). Каждому должно достаться 3,5 бочки меда. Отдадим первому и второму купцам по 2 полных бочки меда и по 3 полупустых, добавив каждому по две пустых бочки. Тогда третьему останется 3 полных, 1 полупустая и 3 пустых. Все условия задачи выполнены.

Ответ: отдадим первому и второму по 2 полных бочки меда, по 3 полупустых и по 2 пустых бочки, третьему дадим 3 полных, 1 полупустую и
3 пустых.

16. На второй чашке 0,75 круга сыра и еще килограммовая гиря. Значит, на 0,25 круга сыра приходится 1 кг, а на весь круг сыра 1 кг ∙  4 = 4 кг.

Ответ: 4 кг.

17. Если частное от деления большего на меньшее равно 5, то меньшее число а и большее 5а.

Сумма двух чисел равна 180, поэтому 6а = 180, а = 30. Искомые числа 30 и 150.

Ответ: 30 и 150.

18. Пусть частное будет х, тогда делитель – 6х, делимое – 36х.  = х. Отсюда следует, что х = 6. Значит, 216 : 36 = 6.

Ответ: 216 : 36 = 6.

19. 600 : 6 = 100 (г) за 1 минуту может съесть варенье малыш.

6 : 2 = 3 (минуты) – за такое время Карлсон съест все варенье.

600 : 3 = 200 (г) съест Карлсон за 1 минуту, значит,

100 + 200 = 300 (г) – могут съесть Карлсон и малыш за 1 минуту.

600 : 300 = 2 (мин) – за такое время они оба съедят все варенье.

Ответ: 2 минуты.

20. 1) Пусть х рублей стоит 1 бублик, тогда

25х = 1/х,

25х2 = 1,

х = 0,2.

Ответ: 0,2 рубля.

21. Поставим одновременно часы на 7 и 11 минут. Через 7 минут в первых часах закончится песок, а во вторых останется на 4 минуты. В этот момент начнем варить кашу. Через 4 минуты закончится песок в часах на 11 минут и тогда их перевернем, через 11 минут общее время приготовления каши будет равно 15 минутам.

22. За  30  дней  рабочий получает 9 рублей и 1 кафтан, 30 дней = 9 рублей + 1 кафтан;  за  3  дня  рабочий  получает  1  кафтан,  3 дня = 1 кафтан; 30 дней = 10 кафтанам. Приравняем объемы работы, выполняемой за 30 дней: 10 кафтанов стоят 9 рублей и 1 кафтан, 9 кафтанов стоят 9 рублей, поэтому 1 кафтан стоит 1 рубль.

Ответ: 1 рубль.

23. В условии задачи, конечно, подразумевается, что цены выражаются целым числом копеек. Число ложек, стоимость которых в сумме составляет 200 копеек, равно числу вилок, стоимость которых в сумме составляет 176 копеек, и должно быть делителем 200 и 176. Таких чисел три – 2, 4 и 8. Поэтому цена одной ложки равна либо 100 копейкам, либо 50 копейкам, либо 25 копейкам. Условию задачи удовлетворяет последняя цена – 25 копеек. Следовательно, 5 ложек стоят 1 рубль 25 копеек.

Ответ: 1 рубль 25 копеек.

24. Так как 2 кг лука и 4 кг огурцов стоят 8,20 рублей, то 0,5 кг лука и
1 кг огурцов стоят 8,20 : 4 = 2,05 (р.); зная, что 0,5 кг лука, 3 кг картофеля и 1 кг огурцов стоят 2,38 рублей, то 3 кг картофеля стоят 2,38 – 2,05 = 0,33 (р.), тогда 2 кг картофеля стоят 0,22 рубля, 1 кг лука и 2 кг огурцов стоят 8,20 : 2 = 4,10 (р.). Получаем: искомая стоимость продуктов данной массы стоит 4,10 + 0,22 = 4,32 (р.) Таким образом, 1 кг лука, 2 кг картофеля и 2 кг огурцов вместе стоят 4,32 рубля.

Ответ: 4,32 рубля.

25. Если бы в корзине нашлись 12 груздей, то ни один из них не был бы рыжиком.

Поэтому количество груздей не превосходит 11. Если бы груздей было меньше 11, то их было бы не больше 10. В таком случае можно было бы найти 20 не груздей.

Значит, груздей ровно 11. Аналогично, рыжиков – 19.

Ответ: 19 рыжиков и 11 груздей.

26. Набираем 11 литров и отливаем воду в ведро вместимостью 7 литров, остается 4 литра, переливаем 4 литра в семилитровое ведро.

Затем снова наполняем одиннадцатилитровое ведро, в сумме получается 15 литров.

27. Пусть у Даши было х шариков, тогда у Маши (х – 2) шарика, а у Саши (х + 1) шарика.

Зная, что у трех девочек было 11 шариков, имеем х – 2 + х + х + 1 = 11.

3х = 12, х = 4. Тогда у Даши 4 шарика.

Ответ: 4 шарика.

28. Сумма всех десяти чисел равна 345 ∙  6 + 555 ∙  4 = 4290.

4290/10 = 429.

Ответ: 429.

29. Если 7 карандашей дороже 8 тетрадей, то 63 карандаша дороже 72 тетрадей. Тогда 64 карандаша дороже 72 тетрадей, следовательно, 8 карандашей дороже 9 тетрадей.

Ответ: 8 карандашей дороже.

30. Если постараться, из арбуза можно вырезать кусок в виде «столбика», идущего сквозь весь арбуз. У этого куска будут две корки, соединенные арбузной мякотью.

Ответ: можно.

31. 40 г, ибо его объем меньше в 5 ∙  5 ∙  5 = 125 (раз).

Ответ: 40 г.

32. 3 + 2 + 1 = 6 испытаний.

Ответ: 6.

33. В обоих случаях получаем число спортсменов-отличников. Полученный результат можно наглядно изобразить с помощью двух пересекающихся кругов.

Первый круг будет соответствовать количеству отличников, другой – количеству спортсменов. Общая часть кругов показывает отличников, занимающихся спортом. Вне общей части будут отличники, не являющиеся спортсменами, и спортсмены, не являющиеся отличниками. Такие круги активно ввел в практику решения задач по математике знаменитый русский математик Эйлер, поэтому их называют круги Эйлера.

Ответ: поровну.

34. Пусть  х  граммов  весит  сыр,  тогда  3х  граммов  весит  мышонок, а (4х +100) граммов весит мышь. Зная, что мышь, мышонок и сыр весят вместе 180 граммов, имеем: х + 3х + 4х + 100 = 180.

Решая это уравнение, получаем х = 10. Значит, вес сыра 10 граммов, вес мышонка 30 граммов, вес мыши 140 граммов.

Ответ: 140 г; 30 г; 10 г.

35. Пусть Вася нашел х грибов, тогда Гена нашел 2х грибов; так как Витя нашел грибов вдвое больше, чем Вася и Гена, то у Вити 6х грибов.

Зная, что вместе они нашли 27 грибов, составим уравнение:

х + 2х + 6х = 27,

9х = 27,

х = 3.

Таким образом, Вася нашел 3 гриба, Витя 18 грибов, Гена 6 грибов.

Ответ: Витя – 18 грибов, Гена – 6 грибов и Вася – 3 гриба.

36. 1 километр я еду за 1 минуту. 1 километр я проеду за 2/3 минуты, если моя скорость увеличится в 1,5 раза.

60 ∙  1,5 = 90.

Ответ: 90 км/ч.

37. С начала суток прошла третья часть времени суток.

24/3 = 8 (часов). Поэтому сейчас 8 часов утра.

Ответ: 8 часов утра.

38. Пусть х книг было на каждой полке. После того как с одной из полок переложили 24 книги на другую, на первой полке стало в 5 раз меньше книг, чем на второй, тогда 5 ∙  (х – 24) = (х + 24).

Решив уравнение, получим х = 36.

Ответ: по 36 книг.

39. Ответ: 567 = 243 ∙  2 + 81.

40. Стоимость мяча – 1 рубль 20 копеек + 1 рубль 80 копеек = 3 рубля. Поэтому каждый мальчик должен заплатить по 1 рублю. Значит, следует вернуть первому – 20 копеек, второму – 80 копеек.

Ответ: первому – 20 копеек, второму – 80 копеек.

41. Будем решать задачу «с конца».

«Передавая» монеты назад, получим:

Ответ: 24 и 24.

42. (х ∙  60) = (х + 30) ∙  50, 10х = 30 ∙  50, х = 150.

Ответ: 150.

43. Найдем сумму всех попарных комбинаций.

7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 57.

Вес каждой кошки в этой сумме складывается трижды, поэтому

57 : 3 = 19 – общий вес всех кошек.

Ответ: 19 кг.

44. Пусть h (м) – расстояние от потолка до пола, а x (м/с) – скорость первого паука, тогда время, затраченное первым пауком на то, чтобы спуститься с потолка на пол, равно t = h/x.

Так как первый паук двигался столько же времени обратно, то время, затраченное на обратный путь, тоже равно t.

Общее время t1 = 2h/x.

Скорость второго паука при движении вниз была в два раза больше скорости первого паука, тогда t = h/2x. При обратном движении второго паука им было затрачено время t = 2h/x.

Общее время второго паука t2 = h/2x + 2h/x = 5h/2x.

Таким образом, t1 < t2, так как 2h/x < 5h/2x. Значит, первый паук приползет быстрее второго.

Ответ: первый паук приползет быстрее.

45. Так как Винни-Пух ушёл на 2 минуты раньше, чем Иа-Иа, и на 5 минут  раньше,  чем  Тигра,  то Иа-Иа ушёл на 3 минуты раньше, чем Тигра. Тигра пришёл на 5 минут раньше, чем Иа-Иа и ушёл на 3 минуты позже, чем ослик. Тогда получаем, что Тигра был дольше в гостях, чем Иа-Иа, на 8 минут.

Ответ: Тигра был дольше в гостях, чем Иа-Иа, на 8 минут.

46. , а 10101 = 3 ∙  7 ∙  13 ∙  37. Поэтому полученное число делится на 3, 7, 13, 37.

47. 1) За 5 суток – 5 метров.

На шестой день улитка достигнет вершины.

Ответ: 6 дней.