Исследовательские работы.
Всякая плодотворная гипотеза кладёт начало удивительному
извержению потока непредвиденных открытий.
(Л. Биллюзн)
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 2.79 МБ |
![]() | 2.94 МБ |
![]() | 490.5 КБ |
![]() | 173.95 КБ |
![]() | 2.87 МБ |
![]() | 31.1 КБ |
![]() | 737 КБ |
![]() | 1.93 МБ |
![]() | 686.5 КБ |
![]() | 387 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Актуальность проблемы: Тема «Квадратные уравнения» очень важна для изучения курса математики средней школы, т. к. является ступенькой в изучении более сложного материала. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчит прохождение многих тем курса математики и поможет успешно сдать экзамены. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют решать их очень быстро и рационально.
Изучив учебный и дополнительный материал, найти различные способы решения квадратных уравнений.
Решение квадратного уравнения по общей формуле. 5 х 2 + 4х -1=0 D = b 2 – 4 a с =16 – 4 ·5·(-1) = 36;36 > 0 Ответ:
Решение квадратного уравнения по формуле с четным b . 5 х 2 + 4х -1=0 Ответ:
Решение квадратного уравнения по теореме , обратной теореме Виета. 5 х 2 + 4х -1=0 Ответ:
Решение квадратного уравнения методом переброски старшего коэффициента 5 х 2 + 4х -1=0 5 х 2 + 4х -1=0 |∙ 5 25 x 2 + 20 x- 5 =0 (5 x ) 2 + 4(5 x ) - 5 =0 t 2 + 4 t - 5 =0 Пусть 5 x=t, тогда получаем: + =-4 ∙ =-5 ; =1 =-5 Вернёмся к замене: 5x = 1 x 5x = -5 x = -1 5х = t Ответ:
Приведение уравнения к виду [f(x)] 2 =[g(x)] 2 5 х 2 + 4х -1=0 9 x 2 - 4 x 2 + 4х -1 =0 9 x 2 = 4 x 2 - 4х+1 (3 x ) 2 = ( 2x-1 ) 2 | 3 x| = | 2x-1| 3 x=2x-1 3 x - 2x=-1 x=-1 3 x=1 - 2x 5 x=1 Ответ:
Метод разложения левой части квадратного уравнения на множители. 5 х 2 + 4х -1=0 5 x 2 + 5х-х-1 = 0 (5 x 2 + 5х)+(-х-1) = 5х . (х+1)-1 . (х+1)= (x+1) . ( 5х -1) (x+1) . ( 5х -1)=0 x+1 =0 x=-1 5 х -1=0 5х =1 Ответ:
Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0. 1) Если, а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = с/а. Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + b / a • x + c / a = 0. Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = - b / a , x 1 x 2 = 1• c / a . По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом, x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1•( - c/a), т.е. х 1 = -1 и х 2 = c / a , что и требовалось доказать. .
Свойства коэффициентов Если коэффициенты квадратного уравнения ax² +bx + c = 0 (a≠0) удовлетворяют условию a + b + c = 0 , то корни такого квадратного уравнения равны : Х 1 = 1, Х 2 =c/a . Если же – такому условию: a - b + c = 0 , то корни таковы: Х 1 = - 1 , Х 2 = - c/a 5 х 2 + 4х -1=0 Удовлетворяет условию a –b + c =0, т.к 5-4-1=0 Значит Х1= -1;Х2= - c/a . Х2= 1 /5 . Ответ:
Графический способ 5 х 2 + 4х -1=0 5 х 2 + 4х -1=0 | 5 Ответ:
Метод «Выделение полного квадрата» 5 х 2 + 4х -1=0 | 5 x = -1 Ответ:
Метод «Уменьшение степени уравнения» 5 х 2 + 4х -1=0 Пользуясь свойствами коэффициентов , вычисляем , что Х1= -1 (5 x 2 + 4 x-1 ) : ( x +1) = 5 x-1 Уравнение принимает вид (5 x - 1) (х+1) =0 5 x-1=0 x=1/ 5 Х-1=0 Х = - 1 Ответ: .
Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х 1 ; 0 ) и D (х 2 ; 0), где х 1 и х 2 - корни уравнения ах 2 + b х + с = 0 , и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c / a ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC , откуда OC = OB • OD / OA = х 1 х 2 / 1 = c / a . Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому 1) построим точки (центр окружности) и A (0; 1) ; 2) проведем окружность с радиусом SA ; 3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения. При этом возможны три случая. 1) Радиус окружности больше ординаты центра ( AS > SK , или R > a + c /2 a ) , окружность пересекает ось Ох в двух точках . 2) Радиус окружности равен ординате центра ( AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох в одной точке 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс уравнение не имеет решения .
Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки . 5 х 2 + 4х -1=0 -центр окружности Ответ:
Геометрический способ решения квадратного уравнения . В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. 5 х 2 + 4х -1=0 | 5 5 х 2 + 4х -1=0 x 2 + 0 ,8x –0,2= 0 x 2 + 0 ,8x =0,2 S=x 2 +0,8x +0,16, но x 2 +0,8x =0 ,2 . S=0,2+0,16=0,36 . Сторона квадрата 0 , 6. X =0 ,6-0,2-0,2=0,2 = 1/ 5 Хорезми не признавал отрицательных корней, значит пользуясь геометрическим способом мы можем найти только положительные корни. Ответ:
Решение квадратного уравнения с помощью номограммы Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q =0 позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. Решим с помощью номограммы уравнение 5 х 2 + 4х -1=0 Разделим коэффициенты этого уравнения на 5, получим уравнение Ответ:
Решать задачу разными способами очень интересно!
Выводы: Несмотря на то, что имеются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения, существуют и другие способы их решения, позволяющие рационально и быстро решать многие уравнения. Это должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.
Спасибо за внимание.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Актуальность. Недавно я смотрел мультфильм, как козлёнок умел считать до десяти. Потом вспомнил, как в цирке дрессированные тюлени, медведи, собаки решали простые арифметические задачи . А умеют ли на самом деле животные считать, выполнять простые арифметические действия? Мне стало интересно, и мне захотелось узнать о способностях животных больше.
Предмет исследования. Я решил изучить информацию об умственных способностях животных через интернет и провести эксперименты на своих домашних питомцах. На основе проведённой работы ответить на вопрос «Умеют ли животные считать?»
Выдвижение гипотезы. Я предполагаю, что у животных есть способности к элементарному сравнению объектов и элементарному счёту.
Введение. Учёным уже не раз удалось доказать, что «братья наши меньшие» действительно обладают интеллектом. Сперва наиболее сообразительными были признаны высшие приматы, собаки и дельфины, за ними попугаи и вороны, а потом дело дошло до овец, поросят и даже насекомых.
Наблюдения за животными. Исследователи пришли к выводу, что шимпанзе умеют считать до пяти . Так, обученный счету, шимпанзе вынимает из коробки и даёт экспериментатору столько палочек, сколько тот просит. В коробке осталось четыре палочки. Экспериментатор попросил пять. Подумав некоторое время, обезьянка ломает одну палочку пополам и протягивает человеку пять палочек.
Слоны умеют считать. Азиатский слон по имени Ашийя доказал, что слоны удивительно хорошо умеют считать простые числа и выполнять несложные математические действия. Когда их дрессировщик бросила три яблока в одно ведро и одно в другое, а потом еще четыре яблока в первое и пять во второе, Ашийя понял, что три плюс четыре больше, чем один плюс пять, и перекусил семью яблоками .
Умная лошадь. А это уже не эксперимент - реальный случай из жизни. Жил-был дед и была него лошадь по имени Лада . Ежедневно запрягал дед Ладу в телегу и развозил на ней населению мешки с углем. Подъедет дед к загрузочной станции и ждет, пока ему восемь мешков угля не загрузят, а сам и не смотрит на грузчиков. Решили они его проучить, не доложили мешок. «Трогай» - сказали они ему, а дед им: «Вы еще не весь уголь погрузили». Удивились грузчики: «А откуда ты знаешь, ты ведь не считал?». « А за меня моя лошадушка считает», - ответил дед . И правда - лошадь каждый брошенный ей за спину в телегу мешок провожала взглядом. После восьмого мешка заржала и ударила копытом. И так повторялось каждый день.
С читать могут даже маленькие муравьи. Однажды на лесной поляне исследователи рядом с муравейником положили кусочек пищи, разделив его на три неравные части. Сначала эту добычу увидал один муравей, он обошел все три куска, как бы измеряя их, а затем уполз в муравейник. Вскоре к каждому кусочку из муравейника приползли три группы муравьев, причем к каждому кусочку пошла определенная группа. В одной было 25 муравьев, в другой - 44, в третьей - 89. Эти числа четко соответствовали соотношению веса добычи. Случайность? Вряд ли. Это муравей-разведчик смог не просто рассказать о своей находке, но и произвести точные расчеты необходимой рабочей муравьиной силы.
Птицы способны считать. Американский зоолог Ирэн Папперберг имел попугая , который умел считать до восьми. Попугай мог, посмотрев на рассыпанные перед ним синие и красные кубики, ответить, сколько синих. Умеют считать до шести и голуби . Голубю предлагали зерна по одному, подкладывая после каждого шестого «вкусного» одно «невкусное». Голубь очень быстро стал отбраковывать каждое седьмое семечко.
Знаете ли вы, что рыбы умеют считать ? Выяснилось , что рыбы могут посчитать , сколько сородичей плавает рядом с ними. Правда , рыбы могут безошибочно считать только до четырех, свыше этого у них идет понятие "много".
Мои экперименты . Я предлагал котёнку разное количество пирамидок с едой. Сначала он выбирал две или одну пирамидку. Из 10 случаев он выбрал 9 раз две пирамидки. Вероятность составила 0,9. Потом я предлагал котёнку три группы пирамидок, количественно отличающихся на одну. В каждой группе было не больше 10 пирамидок. Например, 10, 9, 8 . Из 10 случаев котёнок выбрал 7 раз большее количество пирамидок. Вероятность составила 0,7.
Подобные экперименты провёл со своим щенком. Сначала он выбирал две или одну пирамидку. Из 10 случаев он выбрал 10 раз две пирамидки. Вероятность составила 1. Потом я предлагал щенку четыре группы пирамидок, количественно отличающихся на одну. В каждой группе было не больше 10 пирамидок. Например, 10, 9, 8, 7. Из 10 случаев щенок выбрал 6 раз большее количество пирамидок. Вероятность составила 0,6.
Заключение. Итак, я убедился, животные в состоянии отличить большое количество чего-либо от меньшего. Многие из них из двух мисок, в одной из которых лежит пять кусочков пищи, а в другой — шесть, выбирают вторую. То же самое, однако, можно сказать и про совсем маленьких детей, не имеющих представления о цифрах и числах. Однако способность отличить большее от меньшего и умение считать — это не одно и то же.
Вывод: В результате работы я убедился, что животные в состоянии отличить большее количество интересующих их объектов от меньшего. Н екоторые виды зверей и птиц действительно обладают слабым умением считать, но осознано пользуется счётом только человек . Полученные знания помогут мне в общении с животными, помогут лучше их понимать.
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Актуальность. Понимание процентов и умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни.
Предмет исследования. Меня заинтересовал вопрос: Где в современном мире пригодятся проценты и ориентируются ли мои сверстники в этой теме?
Ситуация 1 Вам предложили кредит 2% в месяц, сроком на один год. Верно ли, что вы возьмёте кредит под 24 % годовых, что на сегодня выгодно? -Верно -Процент кредита будет выше 24 % в год. - Процент кредита будет ниже 24 % в год.
Ситуация 1 Вам предложили кредит 2% в месяц, сроком на один год. Верно ли, что вы возьмёте кредит под 24 % годовых, что на сегодня выгодно?
Ситуация 2 В магазине действует скидка 60 % на все товары. У вас есть дисконтная карта со скидкой 60 %. Какое событие вас ожидает? - Получите товар бесплатно - Вам доплатят 20 % стоимости товаров - Заплатите незначительную сумму
Ситуация 2 В магазине действует скидка 60 % на все товары. У вас есть дисконтная карта со скидкой 60 %. Какое событие вас ожидает? -
Ситуация 3 Работодатель снизил заработную плату на 10 %, а потом поднял её на 10 %. Верно ли , что вы будете получать первоначальную зарплату? Как изменится зарплата? -Останется прежней -Станет выше -Понизится
Ситуация 3 Работодатель снизил заработную плату на 10 %, а потом поднял её на 10 %. Верно ли , что вы будете получать первоначальную зарплату? Как изменится зарплата?
Цель работы: Изучить одну из нужнейших тем математики. Разобраться в решении практических задач на проценты. Задачи: • изучить историю происхождения процентов; • выяснить сферы пользования процентов, их роль в жизни человека; • познакомиться с формулами вычисления простых и сложных процентов, подобрать примеры их применения; • решить задачи из ЕГЭ на данную тему; • провести анализ вкладов банков со сложным процентом и с простым, сравнить их, на основе анализа сделать вывод; • составить список рекомендаций для начинающих вкладчиков
Методы исследования • диагностика и обработка результатов; • изучение научно-популярной и учебной литературы по теме исследования, анализ Интернет-источников; • решение задач из ЕГЭ, связанных с простыми и сложными процентами; • анализ депозитов, кредитования, кредитных карт, предлагаемых банками, скидок
Что такое «Процент»? Процент – это сотая часть любой величины: пути, массы, площади, количества объёма и т.д. Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому. Действительно, сотая часть метра – сантиметр, сотая часть центнера – килограмм, сотая часть рубля – копейка. Чтобы количество процентов выразить в виде десятичной дроби, надо это число разделить на 100 или умножить на 0,01. 136%= 136:100=1,36
Применение процентов. Проценты часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что например, в выборах приняли участи 52,5% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленной производство сократилось на 11,3%, уровень инфляции 8/% в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира, материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера и т.д.
Три основных действия с процентами. Три основных действия с процентами. 1.Нахождение процента числа. (Найдите 48% от 250. 0,48 * 250 = 120); 2.Нахождение числа по его проценту (Найти число, 8% которого равны12. 12/0,08= 150); 3.Нахождение процентного отношения чисел. (Сколько % составляют 180 от 450? 180/450 * 100% = 0,4 * 100% = 40%)
История происхождения процентов. В России понятие процент впервые ввел Пётр I. Само слово «процент» происходит от лат. «procentum», что означает в переводе «на сто (сотню)». В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матьеде ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращённо от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход
Люди ежедневно имеют дело с деньгами. Они проводят с их помощью различные операции, покупают товар, вкладывают в банки, берут кредиты. Именно об этом мы с вами сейчас поговорим. Вклады - (депозиты), денежные средства предприятий, организаций и населения, хранящиеся в банках на определенных условиях. По вкладам получают доходы в виде процентов. Кредиты - предоставление денег или товаров в долг (пользование на срок на условиях возвратности) и, как правило, с уплатой процента Ссуды - денежные средства банка, предоставленные в кредит с уплатой процента.
Общие формулы для нахождения ежемесячной суммы гашение кредита:: S кредит = S 0 /12 k ; где S кредит – сумма гашения кредита, S 0 – размер кредита, k – срок кредитования, S кредит = const . Гашение процентов: S n % =( S 0 -( n – 1) S кредит) / 12) * p % ; где S n % - гашение процентов для n -го месяца платежа, p % - процент кредитования S n -1 % > S n % . Платёж за кредит за n -й месяц выплаты: S n = S кредит + S n %
Депозит Расчет процентов по привлеченным во вклады (депозиты) средствам производится с применением стандартных формул простых или сложных процентов.
Простые проценты. Увеличение вклада по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада ( So ), независимо от срока хранения и количества начисления процентов. Начисляемые на вклад проценты причисляются к вкладу в конце срока депозита или вообще не причисляются, а переводятся на отдельный счет. Sn = So (1+р* n /100)
Пример: Пусть вкладчик открыл в сберкассе счет и положил на него S руб. Пусть банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года р% от первоначальной суммы So . Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составляет So /100* р руб. и величина вклада станет равной S = So + So /100* р = So (1+р/100) руб.; р% называют годовой процентной ставкой.
Сложные проценты. вкладчик не снимает со счёта сумму начисленных процентов, а эта сумма присоединяется к основному вкладу. В конце следующего года банк будет начислять проценты уже на новую, увеличенную сумму. То есть банк станет начислять проценты не только на основной вклад, но и на проценты. Такой способ начисления «процентов на проценты» называют сложными процентами. S n = S 0 (1+р/100) n , где n = 1,2,3…. В банках такие вклады называют вклады с капитализацией процентов.
Рассмотрим 2 варианта: 1. Простой процент . Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Всю прибыль Вы снимаете. 2. Сложный процент . Вы инвестировали 50 000 руб. на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к основной сумме.
Начальная сумма: 50 000 рублей, процентная ставка: 20% годовых. Чем больше проценты прибыли, чем дольше срок инвестирования, тем ярче проявляет себя сложный процент. В случае простого процента график увеличения капитала получается линейный, поскольку вы снимаете прибыль и не даёте ей работать и приносить новую прибыль. В случае сложногопроцента с течением времени кривая увеличения капитала становится всё круче, всё больше стремится вверх. Это происходит оттого, что из года в год прибыль накапливается и создаёт новую прибыль. На графике показано, как вырастет капитал, если положить 50 000 руб. на 15 лет под 10%, 15% и 20%.
Вложения с использованием сложного процента гораздо выгоднее, чем с простым процентом.
Рекомендации для начинающих вкладчиков Вам следует тщательно изучить предлагаемые банком предложения по вкладам. Но прежде чем выбрать между простым и сложным процентом, Вам необходимо понять, какой цели Вы хотите достичь. Если Вы планируете снимать деньги каждый месяц (период зависит от условий вклада), Вам подойдет простой процент. В ситуации со сложным процентом снимать деньги тогда, когда вкладчику они понадобятся, чаще всего невозможно или очень невыгодно, так как проценты начисляются на уже увеличенную сумму. Деньги чаще всего станут доступны только в конце действия вклада. Если же у Вас есть возможность вложить деньги на долгий период и Ваша цель – получить максимальную прибыль, Вам подойдет вклад со сложным процентом. В любом случае Вы должны ответственно подойти к этому вопросу и все тщательно подсчитать. Иногда, хотя и очень редко, простой процент может дать большую прибыль, чем сложный. Это происходит тогда, когда срок вклада маленький и проценты не успевают капитализироваться. Тогда уже все будет зависеть от разницы процентных ставок.
Решение ситуации 1 ( Вам предложили кредит 2% в месяц, сроком на один год. Верно ли, что вы возьмёте кредит под 24% годовых, что на сегодня выгодно?) Формула сложных процентов А*(1+р/100)^ n =А*(1+2/100)^12=А*1,02^12=А*1,2682417945 Взяли 100000 руб.1)100000*1,2682417945=126824,17945- придётся заплатить за год 2)126824,17945-100000=26824,17945 (26,8%, а не 24%)
Решение ситуации 2 ( В магазине действует скидка 60 % на все товары.У вас есть дисконтная карта со скидкой 60 %. Какое событие вас ожидает?). А – цена 0,4А – 1 скидка 0,4* (0,4А)= 0,16А – 2 скидка Скидка 84 %
Решение ситуации 3 (Работодатель снизил заработную плату на 10 % , а потом поднял её на 10 %. Верно ли, что вы будете получать первоначальную зарплату?). Пусть зарплата была А рублей. После понижения на 10% А-0,1А=0,9А После поднятия на 10% зарплата стала 0,9А+0,1*0,9А=0,9А*1,1=0,99А, т.е. стала ниже на 0,01А (1%) После поднятия на 10% А+0,1А=1,1А снизили на 10% 1,1А-0,1*1,1А=1,1А*0,9=0,99А
Вывод: Проценты обладают коммутативным свойством, т.е. порядок понижения и повышения не важен, потому что от перемены мест множителей произведение не меняется.
Заключение В работе над этой темой я открыла много нового для себя: изучила большое количество литературы по этой теме, познакомилась с определениями, выводами формул, разобралась в сферах применения процентов, убедилась в их важности в жизни современного человека, рассмотрела задачи из ЕГЭ, что очень пригодится мне уже в ближайшие два года. Работа над этой темой позволила мне узнать, как вычисляются простые и сложные проценты. Также у меня была возможность проанализировать реальные вклады банков, найти рациональные способы использования депозитов и кредитов. После того, как я выполнила данную работу, я стала лучше разбираться в формулах, которые предлагают банки, так как поняла, каким образом они работают. В ходе исследования я создала список рекомендаций начинающим вкладчикам, который поможет грамотно сделать вклад в банк для преумножения имеющихся сбережений.
Вывод: Я считаю, что, ознакомившись с моей работой, каждый сможет найти для себя полезную информацию, которая пригодится в дальнейшей жизни. Надеюсь, что вся предоставленная информация по теме «Проценты» поможет учащимся лучше и легче решать задачи.
Список используемой литературы 1. Лаврушина О.И. « Деньги, кредит, банки» М.: Финансы и статистика, 2000. 2. Верченко А.И. Журнал «Математика в школе» №1,8 – 2002, №10 – 2006, ООО «Школьная Пресса» 3.Борисов А.Б. Большой экономический словарь. М.: Книжный мир, 2003. 4. Кох К.П. журнал « Квант » статья « Скидки » 2015 5. Фоксфорд. Центр онлайн обучения. Курсы « Подготовка учащихся к ЕГЭ и вузовским олимпиадам » . МФТИ « Текстовые задачи » 6. Сайты из Интернета: http://www.bashedu.ru/konkurs/luchenko/rus/base/procent.htm http://www.rambler.ru www.banki.ru www.credit.ru
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Новобатайская средняя общеобразовательная школа №9
Кагальницкий район Ростовская область.
Исследовательская работа
«Значение и применение процентов в современном мире»
Автор:
Ушакова Юлия, 9 «А» класс
Руководитель:
Оноприенко Елена Владимировна,
учитель математики
МБОУ Новобатайская СОШ № 9
2015/2016 гг.
Оглавление:
- Введение. Почему я выбрала тему «Проценты»? – 1 стр.
- История происхождения процентов. – 3 стр.
- Что такое процент? – 4 стр.
4. Применение процентов. – 5 стр.
5.Три основных действия с процентами – 5 стр.
6.Проценты и банки – 6 стр.
- Погашение кредита – 6 стр.
- Простые проценты – 8 стр.
- Сложные проценты – 8 стр.
- Рекомендации для начинающих вкладчиков – 10 стр.
7.Практическая часть. – 11 стр.
- Разбор задач из ЕГЭ – 11 стр.
- Одновременное использование кредитов и депозитов–12 стр.
- Коварные вопросы из жизни – 14 стр.
8.Заключение. – 15 стр.
9.Список использованной литературы.- 15 стр.
Введение:
Почему я выбрала тему «Проценты»?
Проценты – это одна из важнейших тем математики. Они проникли практически, во все отрасли знаний. Понимание процентов и умение производить расчёты необходимы для каждого человека. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни.
Помимо этого люди ежедневно имеют дело с деньгами. Они проводят с их помощью различные операции, покупают товар и валюту, вкладывают в банки. Именно последнее мне захотелось рассмотреть более подробно.
Меня заинтересовал вопрос: Где в современном мире пригодятся проценты и ориентируются ли мои сверстники в этой теме? Я провела диагностику сверстников, предложив им ситуации, связанные с процентами из жизни.
Ситуация 1.
Вам предложили кредит 2% в месяц, сроком на один год. Верно ли, что вы возьмёте кредит под 24 % годовых, что на сегодня выгодно?Были предложены варианты ответов:
-Верно
-Процент кредита будет выше 24 % в год.
-Процент кредита будет ниже 24 % в год.
Ситуация 2.
В магазине действует скидка 60 % на все товары. У вас есть карта со скидкой 60 %. Какое событие вас ожидает?
Были предложены варианты ответов:
- Получите товар бесплатно
- Вам доплатят 20 % стоимости товаров
- Заплатите незначительную сумму
Ситуация 3.
Работодатель снизил заработную плату на 10 % , а потом поднял её на 10 %. Верно ли, что вы будете получать первоначальную зарплату? Как изменится зарплата?
Были предложены варианты ответов:
-Останется прежней
-Станет выше
-Понизится
Проведя диагностику, я увидела, что не все мои сверстники хорошо ориентируются в теме «Проценты» и могут попасть в затруднительную ситуацию в жизни. Я посчитала своим долгом исправить ситуацию, выполнив исследовательскую работу.
Цель работы:
Изучить одну из нужнейших тем математики «Проценты».
Разобраться в решении практических задач на проценты.
Задачи:
- провести анкетирование и обработать его результаты;
- изучить историю происхождения понятия «процент»;
- выяснить сферы пользования процентов, их роль в жизни человека;
- познакомиться с формулами вычисления простых и сложных процентов, подобрать примеры их применения;
- решить задачи из ЕГЭ на данную тему;
- провести анализ вкладов банков со сложным процентом и спростым, сравнить их, на основе анализа сделать вывод;
- составить список рекомендаций для начинающих вкладчиков;
Методы исследования:
- диагностика и обработка результатов;
- изучение научно-популярной и учебной литературы по теме исследования, анализ Интернет-источников;
- решение задач из ЕГЭ, связанных с простыми и сложными процентами;
- анализ депозитов, кредитования, кредитных карт, предлагаемых банками, скидок.
Основная часть:
История происхождения процентов.
В Древнем Риме, задолго до существования десятичной системы счисления, вычисления часто производились с помощью дробей, которые были множителями, были кратны 1/100. Например, Октавиан Август взимал налог в размере 1/100 на товары, реализуемые на аукционе, это было известно как Centesima Rerum Venalium (сотая доля продаваемых вещей). Вычисление с помощью множителей было похоже на вычисление процентов. При деноминации валюты в средние века, вычисления со знаменателем 100 стали более привычными, а с конца XV века до начала XVI века, данный метод расчета стал повсеместно использоваться, судя по содержанию изученных материалов, содержащих арифметические вычисления. Во многих из этих материалов данный метод применялся для расчета прибыли и убытка, процентных ставок. В XVII веке данная форма вычислений стала стандартом для представления процентных ставок в сотых долях.
В России понятие процент впервые ввел Пётр I. Но считается, что подобные вычисления начали применяться в Смутное время, как результат первой в мировой истории привязки чеканных монет 1 к 100, когда рубль сначала состоял из 10 гривенников, а позже из 100 копеек.
Само слово «процент» происходит от лат. «procentum», что означает в переводе «на сто (сотню)». В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матьеде ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращённо от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход
Что такое «Процент»?
Процент – это сотая часть любой величины: пути, массы, площади, количества объёма и т.д.Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому. Действительно, сотая часть метра – сантиметр, сотая часть центнера – килограмм, сотая часть рубля – копейка.
Чтобы количество процентов выразить в виде десятичной дроби, надо это число разделить на 100 или умножить на 0,01.
Например: 136%= 136:100=1,36; 136%=136 * 0,01= 1,36
Применение процентов.
Проценты часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что например, в выборах приняли участи 52,5% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленной производство сократилось на 11,3%, уровень инфляции 8/% в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира, материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера и т.д.
Три основных действия с процентами.
1.Нахождение процента числа.
(Найдите 48% от 250. 0,48 * 250 = 120);
2.Нахождение числа по его проценту
(Найти число, 8% которого равны12. 12/0,08 = 150);
3.Нахождение процентного отношения чисел.
(Сколько % составляют 180 от 450?
180/450 * 100% = 0,4 * 100% = 40%)
1 | 2 | 3 |
Нахождение процентов от числа | Нахождение числа по его проценту | Нахождение процентного отношения чисел |
Правило: | Правило: | Правило: |
Чтобы найти проценты от числа, нужно сначала найти один процент, а потом умножить полученное число на количество процентов. (Число умножить на дробь) | Чтобы найти число по его проценту, нужно сначала найти один процент, а потом умножить полученное число на 100 процентов. (Число разделить на дробь) | Чтобы найти процентное отношение чисел надо отношение этих чисел умножить на 100%. |
Пример: | Пример: | Пример: |
В бензобаке автомашины было 40,5л бензина. На поездку израсходовали 24% этого бензина. Сколько литров бензина израсходовали на поездку? Решение: 1)40,5:100=0,405(л)-составляет 1%. 2)0,405*24=9,72(л). Ответ: 9,72 л израсходовали на поездку. Или 40,5*0,24=9,72 | Заасфальтировав 27,5 км дороги, ремонтники тем самым выполнили 25% плана. Сколько километров дороги надо заасфальтировать по плану? Решение: 1)27,5:25=1,1(км)-составляет 1%. 2) 1,1*100%=110(км). Ответ: 110км- вся дорога. Или 27,5:0,25=110 | Мама купила 650граммов сыра. За завтраком съели 260 граммов сыра. Сколько процентов имеющегося сыра съели за завтраком? Решение: 1)Находим отношение съеденного сыра к общему количеству: 260:650=0,4. 2)Выражаем получившуюся дробь в процентах: 0,4*100=40(%) Ответ: 40% сыра съели. |
Проценты и банки.
Вклады - (депозиты), денежные средства предприятий, организаций и населения, хранящиеся в банках на определенных условиях. По вкладам получают доходы в виде процентов.
Кредиты- предоставление денег или товаров в долг (пользование на срок на условиях возвратности) и, как правило, с уплатой процента
Ссуды - денежные средства банка, предоставленные в кредит с уплатой процента.
Общие формулы для нахождения ежемесячной суммы гашение кредита::
- Sкредит = S0 /12 k ;
где Sкредит – сумма гашения кредита, S0 – размер кредита, k – срок кредитования, Sкредит = const.
- Гашение процентов: Sn% =(S0 -(n – 1) Sкредит) / 12) * p% ;
где Sn% - гашение процентов для n-го месяца платежа, p% - процент кредитования Sn-1% >Sn% .
- Платёж за кредит за n-й месяц выплаты:Sn =Sкредит + Sn%
Задача Сберегательный Банк России предлагает населению «образовательный кредит» для получения высшего и среднего образования, составляющий 70% от общей суммы оплаты обучения, под 17% годовых на срок не более 11 лет. Стоимость обучения в ДГТУ составляет в среднем 32000 рублей за семестр, срок обучения– 5 лет. Подсчитайте сумму гашения кредита и сумму гашения процентов для первых трёх месяцев выплаты, если образовательный кредит выдан сроком на 5 лет.
Решение.
Подсчитаем общую сумму на обучение (стоимость одного семестра * на
количество семестров в течение 5 лет): 32 000 * 10 = 320 000 (р.)
- Подсчитаем размер кредита (как 70% от суммы на обучение):32 000 * 70% = 224 000 (р.)
- Подсчитаем ежемесячную сумму на гашение кредита (как отношение размера кредита к количеству месяцев кредитования): 224 000 : (5 * 12) = 3 733, 333 ≈ 4 000 (р.)
- на гашение процентов для первого месяца выплаты (17% от кредита : на количество месяцев в году): 224 000 * 17% : 12 = 3 173, 333 ≈ 3 200 (р.)
- Подсчитаем сумму платежа за кредит для первого месяца выплаты (как сумму гашения кредита и гашения процентов):4 000+3 200 =7 200 р.
- Подсчитаем остаток после первого месяца выплаты (как разность кредита и платежа кредита за 1 месяц): 224 000 – 4 000 = 220 000 (р.)
- Подсчитаем сумму гашения процентов для второго месяца платежа (17% от остатка: на количество месяцев в году):
220 000 * 17%: 12 = 3 116, 667 ≈ 3 100 (р.)
- Подсчитаем остаток после второго месяца выплаты ( как разность остатка после первого месяца выплаты и гашения кредита): 220 000 – 4 000 =216 000 (р.)
- Подсчитаем сумму гашения процентов для третьего месяца выплаты (17% от остатка после второго месяца выплаты : на количество месяцев в году): 216 000 *17% : 12 = 3 060, 333 ≈ 3 100 (р.)
- Ответ: Гашение кредита – 4 000 рублей в месяц. Гашение процентов: 1-й месяц – 3200 рублей; 2-й месяц – 3100 рублей; 3-й месяц – 3100 рублей. Сумма платежа за кредит для первого месяца выплаты – 7 200 рублей.
Депозит
Расчет процентов по привлеченным во вклады (депозиты) средствам производится с применением стандартных формул простых или сложных процентов.
Простые проценты.
Увеличение вклада по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов втечение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада (So), независимо от срока хранения и количества начисления процентов. Начисляемые на вклад проценты причисляются к вкладу в конце срока депозита или вообще не причисляются, а переводятся на отдельный счет. Такая схема не предусматривают капитализации процентов. Простые проценты применяют в следующих случаях:
- при выдаче краткосрочных ссуд на срок менее года;
- когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору заемщиком в конце каждого конверсионного периода;
- при сберегательных вкладах с ежемесячной выплатой процентов и т.д.;
Пример: Пусть вкладчик открыл в сберкассе счет и положил на него S руб. Пусть банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года р% от первоначальной суммы So. Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составляет So/100* р руб. и величина вклада станет равной S = So+ So/100* р = So (1+р/100) руб.; р% называют годовой процентной ставкой.
Если по прошествии одного года вкладчик снимает со счёта начисленные проценты So/100* р, а за два года начисленные проценты составят 2So*р/100 руб., через n лет на вкладе по формуле простого процента будет:Sn=So (1+р*n/100)
Сложные проценты.
Рассмотрим другой способ расчёта банка с вкладчиком. Он состоит в следующем: если вкладчик не снимает со счёта сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять проценты уже на новую, увеличенную сумму. Это означает, что банк станет начислять проценты не только на основной вклад, но и на проценты, которые на него полагаются. Такой способ начисления «процентов на проценты» называют сложными процентами. Sn=S0 (1+р/100)n, гдеn = 1,2,3…. В банках такие вклады называют вклады с капитализацией процентов.
Рассмотрим 2 варианта:
1. Простой процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Всю прибыль Вы снимаете.
2. Сложный процент. Вы инвестировали 50 000 руб. на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к основной сумме.
Начальная сумма: 50 000 рублей, процентная ставка: 20% годовых. | ||||
Простой процент | Сложный процент | |||
Сумма | Прибыль | Сумма | Прибыль | |
Через 1 год | 60 000р. | 10 000р. | 60 000р. | 10 000р. |
Через 2 года | 70 000р. | 10 000р. | 72 000р. | 12 000р. |
Через 3 года | 80 000р. | 10 000р. | 86 400р. | 14 400р. |
Через 4 года | 90 000р. | 10 000р. | 103 680р. | 17 280р. |
Через 5 лет | 100 000р. | 10 000р. | 124 416р. | 20 736р. |
Через 6 лет | 110 000р. | 10 000р. | 149 299р. | 24 883р. |
Через 7 лет | 120 000р. | 10 000р. | 179 159р. | 29 860р. |
Через 8 лет | 130 000р. | 10 000р. | 214 991р. | 35 832р. |
Через 9 лет | 140 000р. | 10 000р. | 257 989р. | 42 998р. |
Через 10 лет | 150 000р. | 10 000р. | 309 587р. | 51 598р. |
Через 11 лет | 160 000р. | 10 000р. | 371 504р. | 61 917р. |
Через 12 лет | 170 000р. | 10 000р. | 445 805р. | 74 301р. |
Через 13 лет | 180 000р. | 10 000р. | 534 966р. | 89 161р. |
Через 14 лет | 190 000р. | 10 000р. | 641 959р. | 106 993р. |
Через 15 лет | 200 000р. | 10 000р. | 770 351р. | 128 392р. |
Суммарная прибыль: | 150 000р. | 720 351р. |
Получается, что вложения с использованием сложного процента гораздо выгоднее, чем с простым процентом.
Чем больше проценты прибыли, чем дольше срок инвестирования, тем ярче проявляет себя сложный процент. В случае простого процента график увеличения капитала получается линейный, поскольку вы снимаете прибыль и не даёте ей работать и приносить новую прибыль. В случае сложногопроцента с течением времени кривая увеличения капитала становится всё круче, всё больше стремится вверх. Это происходит оттого, что из года в год прибыль накапливается и создаёт новую прибыль. На графике показано, как вырастет капитал, если положить 50 000 руб. на 15 летпод 10%, 15% и 20%.
Рекомендаций для начинающих вкладчиков
Вам следует тщательно изучить предлагаемые банком предложения по вкладам. Но прежде чем выбрать между простым и сложным процентом, Вам необходимо понять, какой цели Вы хотите достичь. Если Вы планируете снимать деньги каждый месяц (период зависит от условий вклада), Вам подойдет простой процент. В ситуации со сложным процентом снимать деньги тогда, когда вкладчику они понадобятся, чаще всего невозможно или очень невыгодно, так как проценты начисляются на уже увеличенную сумму. Деньги чаще всего станут доступны только в конце действия вклада. Если же у Вас есть возможность вложить деньги на долгий период и Ваша цель – получить максимальную прибыль, Вам подойдет вклад со сложным процентом.В любом случае Вы должны ответственно подойти к этому вопросу и все тщательно подсчитать. Иногда, хотя и очень редко, простой процент может дать большую прибыль, чем сложный. Это происходит тогда, когда срок вклада маленький и проценты не успевают капитализироваться. Тогда уже все будет зависеть от разницы процентных ставок.
Практическая часть. Разбор задач из ЕГЭ
В ЕГЭ часто встречаются задачи, связанные с вычислением сложных и простых процентов. Через 2 года я собираюсь сдавать экзамен по математике, поэтому я включила этот раздел в свое исследование. Рассмотрим некоторые их таких задач.
Распродажа | Бюджет, зарплата. | Тарифы. | Штрафы |
В июне 1 кг помидоров стоил 60 рублей. В июле цена помидоров снизилась на 30%, а в августе ещё на 50%. Сколько рублей стоил 1 кг помидоров после снижения цены в августе? | Налог на доходы составляет 13% от заработанной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 13920 рублей. Сколько рублей составляет заработанная плата Марии Константиновны? | В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 3 р. 15 к. вместо 2 р. 27 к. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5 %. | Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4 % от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю? |
Решение: | Решение: | Решение: | Решение: |
1)100%-30%=70%=0,7- от цены в июне составила цена в июле, т.е.: 60*0,7=42(р) 2)Т.к.снижение на 50%-значит цена в августе снизилась в 2 раза от июльской цены: 42:2=21(р) Ответ:21рубль. | Один из способов решение данной задачи- с помощью пропорции:х рублей- вся зарплата; 100%-13%=87% от всей зарплаты - это деньги, полученные на руки. Составим пропорцию:х р - 100% 13920р-87% Х=(13920*100):87=16000р Ответ: 16000 рублей. | Разность тарифов составляет 0,4 р., а ее отношение к старому тарифу равно 0,14545… Выразив это отношение в процентах, получим примерно 14,5 %. О т в е т: да, соответствует. | Так как 4 % от 250 р. составляют 10 р., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если родители просрочат оплату на день, то им придется заплатить 250 + 10 = 260 (р.),на неделю 250 + 10·7 = 320 (р.). Ответ:320 |
Задачи на проценты из открытого банка заданий ЕГЭ 2016.(Решить эти задачи мне составит труда)
1.Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 2%. Книга стоит 150 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?
2.Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из скидок. Либо скидку 20% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо скидку 30% на звонки в другие регионы, либо скидку 15% на услуги мобильного интернета.
Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 305 рублей на звонки абонентам других компаний в своём регионе, 210 рублей на звонки в другие регионы и 400 рублей на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты будут такими же, и исходя из этого выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Сколько рублей составит эта скидка, если звонки и пользование Интернетом действительно сохранятся в прежнем объёме?
3.В городе N живёт 150 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых 45% не работают (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?
4.Пачка сливочного масла стоит 55 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 10%. Сколько рублей заплатит пенсионер за две пачки масла?
5.Авторучка в магазине стоит 17 рублей. Сколько рублей заплатит покупатель за 90 авторучек, если при покупке больше 50 авторучек магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?
Зачем некоторые люди имеют одновременно в банках и кредиты и депозиты?
Ставка по кредитам обычно выше, чем ставка по депозитам. Меня заинтересовал вопрос «Не проще ли, если имеются свободные средства, направить их на погашение кредита, а затем уже накапливать свободные средства на депозит?». В общем случае, это действительно так. После проведённой работы я поняла, что есть некоторые моменты, которые делают целесообразным кредитование при наличии депозитов.
Во-первых, возможна ситуация, когда понадобились деньги при наличии депозита, но при досрочном отзыве депозита потенциально упущенные доходы будут больше, чем проценты по кредиту. Тут надо правильно все просчитать. Возможно, более выгодно будет взять кредит на текущие потребности, а когда закончится срок депозита досрочно погасить кредит.
Следующая ситуация может заключаться в том, что человек вообще не испытывает потребность в кредитных ресурсах, но например, планирует в будущем брать ипотеку. С целью формирования хорошей кредитной истории он берет в кредит небольшие суммы и исправно их погашает, тем самым, формирует хорошую кредитную историю.
Кроме вышеперечисленных случаев, бывают ситуации, когда ипотечный кредит обходится дешевле, чем ставки по депозиту.
Образованный человек должен грамотно планировать личные финансы и для улучшения благосостояния пользоваться всем набором возможностей, которые предоставляют банки.
Часто встречаются выгодные предложенияцелевого кредитования у дилеров на покупку новой автомашины. Это тот случай, когда кредит действительно стоит брать. Ведь имея собственные сбережения на автомашину, выгодно купить авто частично за счет кредитных средств по льготной ставке, а остаток собственных средств положить на депозит в банк по более высокой ставке. Пример. Некто недавно покупал у дилера Тойоту новый РАВ4 стоимостью 1 миллион 100 тысяч рублей. За несколько дней до покупки он в автосалоне подал заявку на кредит в соответствии с одной из кредитных программ предлагаемых Тойота банком. В результате ему одобрили кредит на следующих условиях: первоначальный взнос за автомашину 50%, сумма кредита 550 тысяч рублей, процентная ставка 6,9% годовых, срок кредита – один год. Кредит будет погашаться равными платежами. В результате, купив свой РАВ с использованием кредита, у человека осталось 550 тысяч наличных денег, которые он положил в банк на годовой депозит с ежемесячной капитализацией процентов по ставке 11% годовых.Грубо, сравнительный эффект за год от такой операции можно посчитать 550000*(11-6,9)/100=22550 рублей дополнительной прибыли.
Выгодно пользоваться кредитными средствами с использованием кредитной карты(MasterCardGold или VisaGold). Большинство кредитных карт имеет так называемый грейс период, в течение которого не начисляются проценты за пользование кредитом. В некоторых банках грейс период составляет 50-60 дней.Вы покупаете в кредит товары и услуги, рассчитываясь кредитной картой, и при этом не платите проценты за кредит. Если по карте большой кредитный лимит, то вполне можно жить за счет бесплатного кредита, а собственные свободные средства разместить на депозит в банке и получать дополнительный доход.
Коварные вопросы из жизни
Решение ситуации 1 (Вам предложили кредит 2% в месяц, сроком на один год.Верно ли, что вы возьмёте кредит под 24% годовых, что на сегодня выгодно?)
Формула сложных процентов А*(1+р/100)^n=А*(1+2/100)^12=А*1,02^12=А*1,2682417945
Взяли 100000 руб.1)100000*1,2682417945=126824,17945- придётся заплатить за год
2)126824,17945-100000=26824,17945 (26,8%, а не 24%)
Решение ситуации 2(В магазине действует скидка 60 % на все товары.У вас есть дисконтная карта со скидкой 60 %. Какое событие вас ожидает?).А – цена, 0,4А – 1 скидка, 0,4* (0,4А)= 0,16А – 2 скидка, Скидка 84 %
Решение ситуации 3(Работодатель снизил заработную плату на 10 % , а потом поднял её на 10 %. Верно ли, что вы будете получать первоначальную зарплату?).
Пусть зарплата былаА рублей.
- После понижения на 10% А-0,1А=0,9Азарплата стала 0,9А+0,1*0,9А=0,9А*1,1=0,99А, т.е. стала ниже на 0,01А (1%)
- После поднятия на 10% А+0,1А=1,1А
снизили на 10% 1,1А-0,1*1,1А=1,1А*0,9=0,99А
Вывод: проценты обладают коммутативным свойством, т.е. порядок понижения и повышения не важен, потому что от перемены мест множителей произведение не меняется.
Заключение.
В работе над этой темой я открыла много нового для себя: изучила большое количество литературы по этой теме, познакомилась с определениями, выводами формул, разобралась в сферах применения процентов, убедилась в их важности в жизни современного человека,рассмотрела задачи из ЕГЭ, что очень пригодится мне уже в ближайшие два года. Работа над этой темой позволила мне узнать, как вычисляются простые и сложные проценты. Также у меня была возможность проанализировать реальные вклады банков, найти рациональные способы использования депозитов и кредитов. После того, как я выполнила данную работу, я стала лучше разбираться в формулах, которые предлагают банки, так как поняла, каким образом они работают. В ходе исследования я создала список рекомендаций начинающим вкладчикам, который поможет грамотно сделать вклад в банк для преумножения имеющихся сбережений.
Я считаю, что, ознакомившись с моей работой, каждый сможет найти для себя полезную информацию, которая пригодится в дальнейшей жизни.Надеюсь, что моя работа поможет научиться учащимся лучше и легче решать задачи.
Литература:
1. Лаврушина О.И. «Деньги, кредит, банки» М.: Финансы и статистика, 2000.
2.ВерченкоА.И. Журнал «Математика в школе»№1,8 – 2002,№10 – 2006, ООО «Школьная Пресса»
3.Борисов А.Б. Большой экономический словарь. М.: Книжный мир, 2003.
4.Кох К.П. журнал «Квант» статья «Скидки» 2015
5.Фоксфорд. Центр онлайн обучения. Курсы «Подготовка учащихся к ЕГЭ и вузовским олимпиадам». МФТИ «Текстовые задачи»
6. Сайты из Интернета:http://www.bashedu.ru/konkurs/luchenko/rus/base/procent.htm
- http://www.rambler.ru
- www.banki.ru ;www.credit.ru
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Актуальность. Домашнее задание для школьников всегда было мучением: вроде бы вырвался на волю после окончания уроков, но, придя домой, нужно вновь раскрывать тетради и учебники... Однако всё может измениться: вопросом домашнего задания занялось Министерство образования России и предложило ограничить время выполнения домашней работы школьниками, а чуть раньше президент Путин распорядился, чтобы руководство подготовило проект поручений образовательным учреждениям о «добровольности выполнения домашних заданий учениками старших классов». Так что же, мы скоро простимся с домашними заданиями? К каким последствиям приведут такие изменения? Эта проблема актуальны в наши дни.
Предмет исследования. Меня заинтересовал вопрос: - Нужно ли выполнять домашнюю работу или лучше заняться более интересными делами, например, посещением кружков, спортом, чтением?
Выдвижение гипотезы. Я предполагаю, что домашнее задание выполнять необходимо, но в меньших объёмах. Мне хочется в этом убедиться самой и убедить других.
Цель работы: Выяснить, насколько обязательным условием успешной учебы является выполнение домашних заданий. По итогам работы выйти с предложениями к учителям, учащимся школы, Минобразования по организации домашней работы. Задачи: Провести математически обоснованный анализ зависимости между успеваемостью учеников и потраченным на домашнее задание временем.
Работа над проектом. Сначала была проведена работа с учащимися. Большинство ребят согласились принять участие в данном проекте и ответили на вопросы.
Осмысление того, как обрабатывать данные. Мы решили ограничиться вычислением: 1. Среднего арифметического значения по времени на каждый день по каждому предмету по каждому ученику и вычислением общего среднего арифметического времени по каждому предмету. 2. Среднего размаха времени каждого ученика и общего среднего размаха по каждому предмету. Мы проанализировали успеваемость во время испытательного срока, используя данные журнала.
1. Как вы считаете, нужно ли выполнять домашнюю работу?
2.Насколько самостоятельно вы выполняете домашнюю работу?
3.Сколько времени в среднем уходит на выполнение русского языка?
Сколько времени в среднем уходит на выполнение алгебры (математики)?
Сколько времени в среднем уходит на выполнение географии?
Сколько времени в среднем уходит на выполнение всех уроков?
4.Какие причины мешают добросовестно выполнять домашнюю работу?
5.К каким последствиям может привести недобросовестное выполнение домашнего задания?
6. Какие факты помогают выполнить домашнюю работу качественно и оперативно?
7.Если бы разрешили выполнять домашнее задание по выбору, задания по каким предметам вы бы выполняли?
8.Поддерживаете ли вы проект Минобразования России ограничить время выполнения домашней работы школьниками 6-8 классов до 2,5 часов, 9-11 классов до 3,5 часов. Почему?
9. С какой просьбой вы бы обратились к учителям, подбирающим для вас домашнее задание?
Прежде чем сделать выводы, я решила изучить информацию о домашнем задании в других странах и сравнить её с нашей страной. Россия по показателям PISA пока входит лишь в третью десятку. Вместе с тем, согласно исследованиям, школьники из России много занимаются самостоятельно, ответственно подходят к выполнению домашнего задания.
Согласно данным, полученным в результате международного исследования, российские школьники занимаются подготовкой домашнего задания в среднем около 10 часов в неделю. Переплюнули их только китайские учащиеся, у которых уходит 14 часов. Министерство образования и науки считает, что это слишком много. По словам работников министерства, им регулярно поступают жалобы от родителей на то, что в школах детям приходится выдерживать «нечеловеческие нагрузки, что они перегружены занятиями».
Позицию большинства российских школьников наиболее красноречиво выразил оставшийся неизвестным интернет-пользователь, очевидно из тех, кто наиболее «перегружен»: «А во франции ваще незадают д/з. Лудшеб и в россии не задовали». Таким горе-ученикам хочется напомнить исторические факты. В 1901 году в Калифорнии под нажимом реформаторов образования были запрещены домашние задания школьникам вплоть до тринадцатилетнего возраста. Стивен Шлоссман, занимающийся историей образования в университете Карнеги, обращает внимание на тот факт, что даже в конце шестидесятых годов многие прогрессивные педагоги рассматривали домашнюю работу как вредную для детского здоровья и препятствующую обучению, поскольку якобы она перегружает ребят и заставляет дилетантов-родителей вмешиваться в деятельность профессионалов-учителей. Сегодня ясно, что эти теоретики были не правы.
Обнаружено, что американские школьники выполняют на 22 процента меньше домашних заданий, чем их сверстники в Азии, и на 45 процентов меньше европейских. Поэтому не удивительно, что американские ученики получают 75 процентов плохих оценок. Американские школьники все хуже знают математику. Исследование, проведенное Brown Center on Education Policy показало, что число семнадцатилетних школьников, знающих математику, в 2002 году самое низкое за последнее десятилетие. Для определения уровня знаний, школьникам предложили решить определенное количество задач за ограниченное время. Образец задания: «Вы заплатили за обед $11.45 и хотите дать «на чай» официанту 15 процентов от этой суммы. Сколько всего Вы потратите денег на обед?». Опрос, проведенный среди иностранных школьников, обучающихся в американских школах показал, что 29 процентов из них считают, что в американской школе «легче» учиться, 56 процентов — «намного легче». Половина опрошенных тратит на выполнение домашних заданий намного меньше времени, чем у себя на родине.
ИНТЕГРАЛЫ И ДРОБИ Академик В. И. Арнольд: «Во Франции я читаю студентам такие же лекции, как и в Москве. Принимаю там экзамены. И вот во время письменного экзамена парижский студент спрашивает меня: «Профессор, я нахожусь в затруднении: скажите, четыре седьмых меньше или больше единицы?» Это студент четвертого курса, математик! Он провел сложные вычисления, решил дифференциальное уравнение и получил верную цифру — четыре седьмых. Но дальнейшие его расчеты шли двумя путями в зависимости от того, больше или меньше единицы оказывается полученный результат. Всё, чему я его учил — а это дифференциальные уравнения, интегралы и так далее, — он понял, но я его не учил дробям, и дробей он не знает... Аналогичная ситуация грозит и нам. А это приведет к тому, что не только атомоходы будут тонуть, но и все остальное, не только башня будет гореть, но и остальное тоже...»
Американские выпускники школ недостаточно подготовлены, чтобы учиться в университете. Главное требования к выпускнику школы — умение сто одиннадцать разделить на три! К семнадцати годам школьник должен эту арифметическую операцию производить без компьютера. Оказывается, сейчас они этого делать не умеют... Более того, 80 процентов современных учителей математики в Америке понятия не имеют о дробях, не могут сложить половину с третью. А среди учеников таких — 95 процентов! В американской Федеральной программе обучения, в частности, говорится, что школьник должен знать о двух фазовых состояниях воды, которая в холодильнике превращается в лед. Гленн Сиборг потребовал, чтобы в программу ввели три фазовых состояния — еще и водяной пар. Однако конгресс и сенаторы запротестовали, прошли бурные дебаты, и штат Калифорния был осужден и осмеян за то, что посмел усомниться в качестве образования американцев. Уровень знаний американских учащихся снижается. Шестьдесят четыре процента крупных компаний страдают из-за того, что пополняющие рабочую силу выпускники средних школ плохо читают, пишут и логически мыслят,
Чтобы избежать аналогичную ситуацию в нашей стране, я считаю, необходимо аккуратно проводить изменения образования, в том числе в вопросе домашнего задания.
Математический анализ результатов.
3.Сравнив успеваемость учащихся и затраченное время на выполнение домашнего задания, можно выделить три группы учеников. «Умники» – тратят мало времени на Д.З. и получают хорошие отметки. «Трудоголики» – тратят много времени на Д.З. и тоже получают хорошие отметки. И «основная масса» для которой прослеживается линейная зависимость отметок от времени, затраченного на Д.З. Можно разрешить «умникам» делать домашнее задание по их желанию. Они сами могут выбрать те предметы, которые им наиболее интересны и не только делать домашние задания по этим предметам, но и углубить свои знания, используя высвободившееся время.
Вывод: Без занятий дома не обойтись, так как они помогают закрепить материал, пройденный в школе . По мнению психологов, дети имеют одну особенность памяти — если не закреплять полученные днем знания с помощью домашнего задания, 70% полученной информации они забудут за короткое время. Еще Кант говорил, что занятия в школе могут лишь «вдолбить все правила, добытые чужим пониманием, но способность правильно пользоваться ими разовьет только домашний самостоятельный труд». «Думаю, что все сколько-нибудь ценное, чему я научился, приобретено мною путем самообразования» (Чарльз Дарвин)
Предварительный просмотр:
Уважаемые учителя, пожалуйста, помните:
Главное, чтобы домашняя работа развивала учащихся, позволяла им не просто закреплять материал, но продвигаться по лестнице знаний вверх под заботливым оком учителей, наставников.
|
|
Памятка для школьников «Садимся за уроки».
- Садись за уроки всегда в одно и то же время.
- Проветри комнату за 10 минут до начала занятий.
- Выключи компьютер, телевизор. В комнате, где ты работаешь, должно быть тихо.
- Сотри со стола пыль.
- Проверь, на своем ли месте находится настольная лампа (с левой стороны).
- Приготовь письменные принадлежности для занятий.
- Убери со стола все лишнее.
- Уточни расписание уроков на завтра.
- Проверь, все ли задания записаны в дневнике.
- Организованно выполняй домашнее задание по мере поступления, а не в ночь перед ее сдачей.
- От простого к сложному? Не факт.
Если ты активно берёшься за любую работу, а через некоторое время быстро теряешь к ней интерес, начни с более трудных заданий. Если же ты привык долго раскачиваться, а потом все делать в ударном темпе, можно начать с легких уроков.
- Если ты работаешь продолжительное время, не забывай делать через 20-30 минут динамические паузы, гимнастику для глаз.
- По окончании работы сложи портфель по расписанию, приведи рабочее место в порядок.
- Помни, что ученики регулярно и самостоятельно выполняющие домашнее задание, учатся успешнее. Для выполнения домашнего задания достаточно всего 70 минут сосредоточенной работы!
Уважаемые родители, Вы хотите, чтобы Ваш ребенок с хорошим настроением садился за такие нелюбимые домашние задания? Тогда примите советы.
- По возвращении домой, встречая ребенка на пороге, не спрашивайте об уроках — найдите другие слова для приветствия.
- Не отрывайте его от выполнения домашнего задания просьбами выключить чайник или сходить в магазин. Дайте ему понять, что его уроки по значимости находятся на одном уровне с самыми серьезными делами, которыми заняты взрослые.
- Не стойте у ребенка над душой. Разберите вместе условия заданий, а затем позвольте ему быть самостоятельным.
- Не делайте выполнение домашних заданий инструментом для наказаний за проступки.
- Если ребенок допустил ошибку, не «давите» на него фразами: «Я так и знала», «Когда, наконец, ты поймешь…», «Сколько можно ошибаться…». Предложите ему самому найти ошибку, а затем помогите найти правильное решение.
- Выполняйте с детьми только то, что задано в школе. Не стоит перегружать их дополнительными заданиями. Помните: ребенок находится в школе 4–5 часов, а затем его рабочий день продолжается, когда он делает уроки дома.
- Ищите возможность похвалить родное чадо за любые успехи: «Сегодня ты выполнил работу аккуратнее, чем вчера», «Видно, что ты старался», «Молодец, и если потренироваться, будет еще лучше».
- Никогда не подменяйте слово «вместе» словом «вместо». Ничего, кроме вреда, это не принесет.
- Ни в коем случае не ругайте ребенка за оценки. Вы же не хотите, чтобы он приобрел комплекс неполноценности, ненависть к учебе и недоверие к собственным родителям. Главное — не десятки любой ценой, а интерес ребенка к познанию и вера в собственный успех.
- Любите своего ребёнка и примите его таким, какой он есть.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Актуальность. В 7 классе мы начали изучать геометрию. Предмет оказался интересным, наглядным, нужным в практической деятельности. Сначала всё было легко и понятно. Трудности начались во время формирования понятийного аппарата, т.е. введения определений, свойств, аксиом, теорем. Все эти понятия крутились в голове, путались, мешались, некоторые слова выпадали, заменялись другими. Учитель при этом был не доволен и делал массу замечаний.
Предмет исследования. Меня заинтересовал вопрос: Так ли важна точная формулировка понятия? Может быть это каприз учителя, который хочет на отказ забить память учеников? Как научиться точно давать определения?
Выдвижение гипотезы. Я предполагаю, что точная формулировка в геометрии необходима, но хочется в этом убедиться самой и убедить других.
Цель работы: Рассмотреть роль точности формулировки в геометрических понятиях. Задачи: Объяснить почему именно так сформулированы геометрические понятия. Научиться и научить других правильно формулировать понятия.
Введение. Человек каждому предмету поставил в соответствие слово, термин, понятие, отличающее этот предмет от других. Определение понятия — это логическая операция, с помощью которой раскрывается его содержание. Сформировать понятие об объекте – значит, раскрыть все существенные свойства объекта в их целостной совокупности. Часто при определении понятий ученики называют не все существенные свойства объекта, получая в результате совсем другое понятие. Приведу несколько примеров.
Определение треугольника ВЕРНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ: «Геометрическая фигура, состоящая из трех точек не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками, называется треугольником». НЕВЕРНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Геометрическая фигура, состоящая из трех точек, соединенных отрезками, называется треугольником.(Пропущена фраза «не лежащих на одной прямой») НЕВЕРНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Геометрическая фигура, состоящая из трех точек не лежащих на одной прямой, называется треугольником.(Пропущена фраза «соединенных отрезками») .
Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника ВЕРНАЯ ФОРМУЛИРОВКА: «Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию , является медианой и высотой». НЕВЕРНАЯ ФОРМУЛИРОВКА: «Биссектриса равнобедренного треугольника, является медианой и высотой». (Пропущена фраза «проведенная к основанию»)
Теорема параллельности прямых ВЕРНАЯ ФОРМУЛИРОВКА: «Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются». НЕВЕРНАЯ ФОРМУЛИРОВКА: «Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются». (Пропущена фраза «на плоскости», получились скрещивающиеся прямые – не лежащие в одной плоскости).
Ошибочное историческое определение Известен исторический пример такой ошибки. Однажды древнегреческий философ Платон дал определение понятию «человек»: «Человек — это двуногое животное без перьев». Другой древнегреческий философ Диоген принес на лекцию ощипанного петуха со словами: «Вот человек Платона». Признав свою ошибку, Платон «уточнил»: «Человек — это двуногое животное без перьев и с широкими ногтями».
Почему же так трудно дать определение понятия? Дать определение понятия трудно потому, что определить понятие – это значит выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы каждое из них было необходимо, а все вместе достаточны для отличия этого понятия от других.
Как научиться точно определять понятия? Необходимо строить понятия через известные ранее понятия. Попробуем дать определение простому, общеизвестному понятию «стул». Стул – это предмет мебели, на котором сидят.
Учимся определять понятия Самый распространенный способ определения понятий — классический — через ближайший род и видовые отличия. Род указывает на тот круг предметов и понятий, из числа которых надо выделить определяемое понятие. Видовыми отличиями называются признаки, существенные для данного понятия. Введем обозначения: А – определяемое понятие. В – родовые признаки, родовое понятие для понятия. С – видовые признаки, видовое отличие. «Квадратом называется прямоугольник с равными сторонами.» А – квадрат, В — прямоугольник, С – равные стороны.
Примеры определений Тупоугольный треугольник – треугольник (род) один угол которого тупой (видовое отличие). Окружностью называется геометрическая фигура (род), состоящая из всех точек плоскости, расположенном на заданном расстоянии от заданной точки (видовое отличие). Гипотенуза – сторона прямоугольного треугольника (род), лежащая против прямого угла (видовое отличие).
Запоминанию определений помогает их историческое происхождение Гипотенуза - от греческого слова "сторона, которая стягивает прямой угол". Катет - от греческого "катетос" ("отвес", "опущенный перпендикулярно"). Радиус - от латинского слова "радиус", которым называли спицу в колесе. Центр - от греческого слова, обозначающего острие циркуля. Слово "точка" происходит от латинского глагола "ткнуть«, ("укол") Понятие «параллельность» происходит от греческого слова, которое означает «рядом идущий» и «оба, один с другим».
Заключение: схема определения. Любой предмет обладает различными признаками. Одни признаки будут существенными, а другие — несущественными. Признаки предмета — это те особенности, которые присущи данному предмету и отличают его от других . . Для того, чтобы дать определение понятия (А) нужно указать родовое понятие ( В) — все необходимые признаки этого понятия, а затем ограничить видовыми ( С) , достаточными для вычленения этого понятия из других, принадлежащих этому роду. Хочу предложить для практического применения схему определения: А = В + С.
Вывод: Итак, понятие – это форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объектов реального мира. Я убедилась, что точная формулировка понятия необходима, так как она содержит его существенные свойства, каждое из которых необходимо, а все вместе достаточны для отличия этого понятия от других. Я усвоила схему любого определения и поделилась её с другими для осознанной формулировки понятия.
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Актуальность. Задачи по нахождению площадей фигур на клетчатой бумаге встречаются в заданиях ЕГЭ и практической деятельности: увеличение масштаба рисунка, вышивание, художественная графика и др.
Определение предмета исследования. При решении задач в 11 классе один ученик предложил свой способ нахождения площадей четырехугольников: найти площадь прямоугольника, описанного около данного четырехугольника, и разделить на 2.
Формулировка проблемы. Проверить достоверность предложенного способа. Изучить и предложить разные способы решения задач по нахождению площадей фигур на клетчатой бумаге.
Выдвижение гипотезы. Площадь вписанного четырехугольника в прямоугольник равна половине площади этого прямоугольника.
Проверка гипотезы. Для решения задач используем свойство площадей: «Если многоугольник разбит на несколько многоугольников, не имеющих общих внутренних точек, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников».
Вычислим площадь фигуры на рисунке 2. Sиск. = 5∙8-(7+6+6+1)=20 Проверим гипотезу: Sиск. =S опис. 4-хуг : 2 Sиск.=40:2=20 - гипотеза верна.
Интерпретация. Гипотеза подтверждается, если хотя бы две противоположные вершины четырехугольника лежат на прямой, параллельной одной из сторон прямоугольника, описанного около четырёхугольника. В этом случае площадь четырёхугольника равна половине площади прямоугольника, описанного около него.
b Докажем эту теорему.
Вывод: Итак, мы доказали, утверждение «Если хотя бы две противоположные вершины четырехугольника лежат на прямой, параллельной одной из сторон прямоугольника, описанного около четырёхугольника, то площадь четырёхугольника равна половине площади прямоугольника».
Узел – пересечение двух прямых. A, B – внутренние узлы. C,D – узлы на границе. Меня заинтересовала проблема нахождения площадей, и я изучила формулу Пика, для которой необходимо знать понятие узла.
Формула Пика.
В заданиях ЕГЭ встречаются такие задачи:
Задача: рассмотреть углы и найти их связь с узлами клеток.
Я построила с помощью транспортира углы от 10° до 80° со стороной, идущей по горизонтальной линии сетки, отметила у каждого угла ближайший узел сетки, через который прошла другая сторона каждого угла. 10 20
30 40 50 60 70 80
Величина угла Клеток вправо Клеток вверх 10 6 1 20 8 3 30 7 4 40 6 5 50 5 6 60 4 7 70 3 8 80 1 6 «Путь» из вершины угла в отмеченную точку я занесла в таблицу, по которой легко определить величину угла без транспортира.
Вывод: Площадь фигур на клетчатой бумаге можно вычислять По формулам площадей. По свойству площади фигуры, составленной из нескольких фигур. По формуле Пика. По доказанной мною гипотезе.
Открывать новое для себя и других очень интересно! Присоединяйтесь!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Актуальность. Обучаясь в школе, очень много времени приходится уделять математике. Пригодится ли математика в будущем? Сможем ли мы найти ей применение в жизни?
Предмет исследования. Нужна ли математика в такой отрасли , как медицина?
Выдвижение гипотезы. Я предполагаю, что математические знания в медицине необходимы.
Цель работы: Рассмотреть роль математики в медицине. Задачи: Изучить открытия, связавшие медицину с математикой. Подобрать математические формулы, используемые в медицине для решения биологических задач. Рассмотреть математические пропорции человеческого тела.
Содержание: Цели и задачи. Введение. История статистических наблюдений в медицине. Открытие Леонардо да Винчи. Математические пропорции человеческого тела. Примеры медицинских задач. Заключение Список используемой литературы.
Введение. Роль математического образования в профессиональной подготовке медицинских работников очень велика. Процессы, происходящие в настоящее время во всех сферах жизни общества, предъявляют новые требования к профессиональным качествам специалистов. Современный этап развития общества характеризуется качественным изменением деятельности медицинского персонала, которое связано с широким применением математического моделирования, статистики и других важных явлений, имеющих место в медицинской практике . 1
На первый взгляд медицина и математика могут показаться несовместимыми областями человеческой деятельности. Математика, по общему признанию, является "царицей" всех наук, решая проблемы химии, физики, астрономии, экономики, социологии и многих других наук. Медицина же, долгое время развиваясь "параллельно" с математикой, оставалась практически неформализованной наукой тем самым подтверждая, что "медицина - это искусство".
История статистических наблюдений в медицине. Основателем теории статистики считается бельгийский статистик Адольф Кетле (1796—1874). Он приводит примеры использования статистических наблюдений в медицине: “Два профессора сделали любопытное наблюдение относительно скорости пульса. Сравнив мои наблюдения с их данными, они заметили, что между ростом и числом пульса существует зависимость. Возраст может влиять на пульс только при изменении роста, который играет в этом случае роль регулирующего элемента. Число ударов пульса находится в обратном отношении с квадратным корнем роста. Приняв за рост среднего человека 1,684 м, они полагают число ударов пульса равным 70. Имея эти данные, можно вычислить число ударов пульса у человека какого бы то ни было роста”
В 60-е годы XX века, после очевидных успехов прикладной статистики в технике и точных науках, вновь начал расти интерес к использованию статистики в медицине. В.В. Алпатов в статье “О роли математики в медицине” писал: “Чрезвычайно важна математическая оценка терапевтических воздействий на человека. Новые лечебные мероприятия имеют право заменить собою мероприятия, уже вошедшие в практику, лишь после обоснованных статистических испытаний сравнительного характера.
Открытие Леонардо Да Винчи Леонардо Да Винчи – математик и анатом, открыл математические пропорции человеческого тела. Леонардо Да Винчи говорил: «Пусть не читает меня в основах моих тот, кто не математик». Пытаясь найти математическое обоснование законов природы, считая математику могучим средством познания, он применяет ее даже в такой науке, как анатомия. Один из современников, посетивший Леонардо в 1517 г., писал: «Этот человек так детально разобрал анатомию человека, показав на рисунках части тела, мышцы, нервы, вены, связки и все остальное, как никто не сделал этого до него. Все это мы видели своими глазами»
Математические пропорции человеческого тела. "Природа распорядилась в строении человеческого тела следующими пропорциями: длина четырёх пальцев равна длине ладони, четыре ладони равны стопе, шесть ладоней составляют один локоть, четыре локтя - рост человека. Четыре локтя равны шагу, а двадцать четыре ладони равны росту человека. Длина вытянутых рук будет равна росту. . .
ПРИВЕДУ В ПРИМЕР НЕКОТОРЫЕ ИЗ НИХ. В практической деятельности медицинским работникам приходится решать задачи.
Примеры медицинских задач. Задача 1. По назначению врача пациенту прописан препарат 10 мг по 3 таблетки в день. У него в наличии препарат по 20 мг. Сколько таблеток должен выпить пациент, не нарушая указания врача? Решение: 10 мг. - 1 таблетка 10*3= 30 мг в день. Дозировка превышена в 2 раза. (20:10=2) 30-20= 10 мг не хватает 10:20= 0.5 0.5+1таб.=1.5 Таким образом, пациент должен выпить 1.5 по 20 мг вместо 3 по 10 мг, не нарушая прописанной дозы.
Задача 2. Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин? Решение: х 1 =15, d=10, х n =105 мин. х n = х 1 + d(n - 1). х n = 15 + d(n – 1)х n = 15 + 10n – 10. 10n = 100. n=10 Ответ. 10 дней
Задача№3 Ребёнок родился ростом 53см. Какой рост должен быть у него в 5 месяцев? Решение: Прирост за каждый месяц жизни составляет: в 1-ой четверти (1-3 месяца) по 3см. на каждый месяц, Во 2-ой четверти (4-6 мес.) – 2,5см., в 3-ей четверти (7-9 мес.) – 1,5см., в 4-ой четверти (10-12 мес.) – 1,0см. Рост ребёнка после года можно вычислить по формуле: 75+6n Где 75 – средний рост ребёнка в 1 год, 6 – среднегодовая прибавка, n – возраст ребёнка Ответ.: Рост ребёнка в 5 месяцев: Х = 53+3 * 3+2 *2,5 = 67см
Заключение Медики не должны закрывать глаза хотя бы на элементарную математику, которая просто необходима для организации быстрой, четкой и качественной работы. Каждый студент должен с первого курса обучения отметить для себя значение математики. И понять, что не только в работе, но и в повседневной жизни эти знания важны и намного упрощают жизнь.
Вывод: Итак , я убедилась , что математические знания необходимы для решения элементарных математических задач , встречающихся и в повседневной жизни, и в медицине.
Список используемой литературы 1. А. А. Дадаян « Математика» 2-е издание, издательство «ФОРУМ - ИНФРА-М», Москва 2006 г; 2.И.Я.Депман «За страницами учебника математики» 3. Новейший полный справочник «Естественные науки» Москва «ЭКСМС» 20008 г. 4. А. П. Савина «Энциклопедический словарь юного математика», издательство «Педагогика», Москва 1985 г. 5.И.Ф. Шарыгин «Наглядная геометрия» Москва 1992 г Internet-ресурсы: WWW.Colledg.Ru Программное обеспечение: MS Word ; MS Power Point ; Сканер.
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
ВВЕДЕНИЕ. Меня часто тревожит вопрос: как можно сделать какое-либо открытие в современном мире, если научный прогресс «дошёл до невиданных небес» и кажется, что всё уже открыли до тебя?
ЦЕЛИ РАБОТЫ , ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Цель моей работы – подвергнуть сомнению известные факты с целью поиска новых знаний. Задачи: 1.Подобрать материал, который хотелось бы оспорить. 2. Найти новый способ доказательства известного утверждения. 3. Сравнить результаты нового доказательства и принятого традиционного. 4. В случае расхождения результатов попытаться объяснить их причины. Методы исследования: Наблюдение, анализ, сравнение, предположение, синтез.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ РАБОТЫ. В шестом классе мы опытным путём установили, что число П - есть отношению длины окружности к диаметру окружности. В десятом классе мы узнали, что в окружности П радиан, то есть П центральных углов, опирающихся на дугу окружности, равную радиусу. Принято считать, что П =3,14
Попробуем рассчитать значение числа П другим способом. Для этого предварительно докажем утверждение о периметре прямоугольника. Пусть дан прямоугольник АВСД, периметр которого равен Р. Тогда периметр фигуры, полученной путём вырезания прямоугольников от вершин также будет равен Р. Действительно, так как противоположные стороны прямоугольника равны, то MN + QR +ET =BA RE + TS + KL = AD ZX + WL + KS = CD QN + MZ + XW =BC ( рисунок 1) Значит периметр невыпуклого 12-и угольника равен периметру прямоугольника АВСД, то есть равен Р. B A C S K L Q N M R E T X W Z D
Аналогично доказывается, что периметр ступенчатого невыпуклого многоугольника равен Р. (рисунок 2)
(рисунок 3)
Возьмём на окружности точку и опустим перпендикуляры к сторонам квадрата. Периметр полученного невыпуклого шестиугольника по доказанному ранее утверждению равен 4. (рисунок 4)
Выполнив аналогичные построения, получим, что периметр данного 12-и угольника также равен 4. B A C S K L Q N R E T X W D (рисунок 5)
Продолжим аналогичные построения. Очевидно, что периметр полученного в результате многоугольника не изменяется. Обозначим количество углов нашего многоугольника за n . Выполняя те же самые построения, устремим n к бесконечности . Согласно утверждению о периметре, периметр построенного n -угольника не зависит от величины n и является постоянным, то есть периметр n - угольника при n стремящимся к бесконечности равен 4. Мы получим n -угольник, который фактически сольётся со вписанной в него окружностью. Таким образом, мы получим утверждение, что периметр n -угольника при n стремящемся к бесконечности стремится к длине окружности . (рисунок 6)
Значит, C =4. Но . , , То есть П = 4. Как видно, полученные результаты расходятся с принятыми . В чём причина такой погрешности нового доказательства?
Очевидных ошибок нет . Хотя, факт о равенстве периметра квадрата и длины окружности, вписанного в квадрат, вызывает сомнение. Выходит - это софизм ( удивительное рассуждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки ) . Софизмы и парадоксы являются важным двигателем человеческой мысли. Теперь я могу предложить Вам раскрыть секрет предложенного утверждения П=4, так как это только мой первый шаг в науку и доказательство противоречивости данного утверждения требует довольно нетривиальных вычислений и математических знаний, которые выходят за рамки школьного курса математики.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Оказывается, анализировать известные факты, подвергать их сомнению очень интересно. В результате могут родиться новые идеи, открытия, которые являются двигателем прогресса.
Ахманов А. С., Логическое учение Аристотеля, М., 1960; Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева Л. К., Ошибки в математических рассуждениях, 3 изд., М., 1967. Брадис В. М., Минковский В. Л., Еленев Л. К., Ошибки в математических рассуждениях, 3 изд., М., 1967. Ивин А. А. Искусство правильно мыслить. — М.: 1990. Игнатьев Е.И. «Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы». – Москва, изд. «Омега»,1994. Мадера А.Г и Мадера Д.А, “Математические софизмы”, М., “Просвещение”, 2003г. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка». – Москва, изд. «Просвещение»,1988. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2004 г.» Литература