Разработки методических указаний по теме :"Матрица"

Опубликовано 18.03.2015 - 13:58 - Ислямова Эльмира Ленуровна

Данная разработка является методическим руководством для изучения темы:"Матрица", курса высшей математики. Она содержит материал, изложенный в краткой форме с примерами и варианты заданий для самостоятельной работы.

Скачать:

Вложение	Размер
matritsa.doc	383.5 КБ

Предварительный просмотр:

Элементы линейной алгебры.

1. Матрицы, частные виды матриц.

Мaтрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

История

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Так же, волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.

Обозначения

Матрица обозначается круглыми скобками по бокам таблицы. Матрицы также обозначают большими латинскими буквами А, В, С, Е, Х, … .

Примеры матриц:

А=, В=, С=, F=

Здесь показаны различные виды матриц. Матрица А – квадратная, размерностью (33), первая цифра указывает количество строк, вторая цифра – количество столбцов.

Матрица В – прямоугольная, размерностью (23). Матрица С состоит из одного столбца (матрица – столбец), матрица F состоит из одной строки ( матрица – строка).

Транспонированная матрица

Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица A размера mxn при этом преобразовании станет матрицей размерностью nxm .

А=, АТ=,

Диагональная матрица

Диагональная матрица - квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных – нулевые

D =

Единичная матрица

Единичная матрица - матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами

E =

Нулевая матрица

Для обозначения нулевой матрицы - матрицы, все элементы которой нули (при сложении ее с любой матрицей та остается неизменной, а при умножении на любую получается нулевая матрица)

2. Операции над матрицами

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B , элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

Свойства умножения матриц на число:

1. 1A = A;

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

4. λ(A+B) = λA + λB

2) Сложение матриц

Сложение матриц A+B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B , то есть каждый элемент матрицы равен

, i = 1,2,…, j = 1,2,… .

Свойства сложения матриц:

1.коммутативность: A+B = B+A;

2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);

3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;

4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;

3) Умножение матриц

Умножение—операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Аnm .Bml=C nl

Пример.

Перемножить матрицы А32 .B24l=C 34

Решение.

.==

3. Определители 2 и 3 порядков, вычисление, свойства.

Рассмотрим квадратную матрицу 2 × 2

(1)

Определителем второго порядка, соответствующим матрице (1),

называется число, равное a11a22 − a12a21 и обозначается как

По определению = a11a22 − a12a21 (2)

Элементы, составляющие матрицу данного определителя, называются элементами этого определителя.

Рассмотрим квадратную матрицу 3 × 3

(3)

Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (3),

называется число равное

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

и обозначаемое символом

(4)

Итак, по определению

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

Числа a11, a12, ….,a33 называют элементами определителя, первая цифра индекса указывает номер строки, в которой стоит элемент, вторая цифра индекса указывает номер индекса. Элементы a11, a22, a33 составляют главную диагональ определителя, а элементы a13, a22, a31 – побочную диагональ.

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали.

Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-»,

располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:

Пример.

Свойства определителей.

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

Свойство 2. При умножении элементов строки (столбца) определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.

Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку (столбец), равен 0.

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки (два равных столбца), равен 0.

Свойство 5. Определитель, две строки (два столбца) которого пропорциональны, равен 0.

Свойство 6. При перестановке двух строк (столбцов) определителя он умножается на –1.

Свойство 7.

Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (некоторого столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на одно и то же число.

4. Минор, алгебраическое дополнение, разложение определителя по элементам ряда.

Минором Мij элемента aijопределителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент.

Например, для элемента а13 определителя (4) минор имеет вид:

М13 =
Алгебраическим дополнением данного элемента называется его минор, умноженный на ( - 1)i+j.

Aij = (-1)i+j .Mij

Значение определителя равно сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, определитель разложенный по первой строке, имеет вид

=a11 . A11+a12 .A12+a13 .A13

а его разложение по второму столбцу, имеет вид

=a12 . A12+a22 .A22+a32 .A32

5. Обратная матрица, её вычисление.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Способ нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений

$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\cdot C^{T}$

$C^{T}$ — транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

$A^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix}= \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-c \\ -b & \,a \\ \end{bmatrix}^{T}= \frac{1}{\det A}\cdot C^{T}.$

Пример:

Для матрицы найти обратную матрицу.

Решение.

Находим сначала детерминант матрицы А

значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле:

, где Аi j (i,j=1,2,3)-алгебраические дополнения

элементов аi j исходной матрицы.

откуда

6. Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью правила Крамера.

Правило Крамера (метод Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

Описание метода

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы $\Delta$ , отличным от нуля, решение записывается в виде:

$x_i=\frac{1}{\Delta}\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & \ldots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n-1,1} & \ldots & a_{n-1,i-1} & b_{n-1} & a_{n-1,i+1} & \ldots & a_{n-1,n} \\ a_{n1} & \ldots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \ldots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}$

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\ \ x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\ \ x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}$

Пример.

Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений

Решение.

Решение системы находим по формулам Крамера

Вычислим определитель системы

Последовательно заменив в , первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим соответственно

;

Ответ : .

7. Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью метода Гаусса

Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Описание метода

$\left\{\begin{array}{lcc} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots + a_{1n} \cdot x_n & = b_1 & (1) \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots + a_{2n} \cdot x_n & = b_2 & (2) \\ \ldots & & \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots + a_{mn} \cdot x_n & = b_m & (m) \end{array}\right.$

Пример

Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

Решение

Обнулим коэффициенты при $x\!$ во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на $\textstyle-\frac{3}{2}\!$ и $-1\!$ , соответственно:

Теперь обнулим коэффициент при $y\!$ в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на $4\!$ :

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

$z = -1\!$

из третьего;

$y = 3\!$

из второго, подставив полученное $z\!$

$x = 2\!$

из первого, подставив полученные $z\!$ и $y\!$ .

Таким образом исходная система решена.

Ответ: x=2; y=3; z=-1.

8. Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):

${ \begin{cases} a_{11}x_1+ \ldots +a_{1n}x_n=b_1, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}x_1+ \ldots +a_{nn}x_n=b_n \end{cases} }$

Тогда её можно переписать в матричной форме:

AX = B , где — основная матрица системы, и — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

Умножим это матричное уравнение слева на $A^{-1}$ — матрицу, обратную к матрице : $A^{-1}\left( AX \right) = A^{-1}B$

Так как $A^{-1}A = E$ , получаем $X = A^{-1}B$ . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

$\det A \ne 0$ .

Пример.

Дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Установить, что система уравнений имеет единственное решение и найти его с помощью обратной матрицы