ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Огибающая семейства линий на плоскости - линия, которая в каждой своей точке касается одной линии семейства, геометрически отличной от огибающей в сколь угодно малой окрестности точки касания.
Понятие огибающая имеет значение не только в геометрии, но и в некоторых вопросах математического анализа (особые решения в теории дифференциальных уравнений), теоретической физики (в оптике — каустика, фронт волны).
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Огибающая | 899 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель работы: исследование закономерностей проявления огибающей. Объект исследования: огибающая. Предмет исследования: использование навыка нахождения огибающей при решении практических задач. Гипотеза: человек в своей деятельности постоянно сталкивается с предметами и явлениями, в основе которых лежит огибающая. Основные задачи: изучить научную литературу по данному вопросу; собрать недостающую информацию в Интернете; подобрать рисунки по теме; провести сбор и анализ практических материалов; подготовить презентацию.
ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ТЕМЫ Исследование закономерностей проявления огибающей, на наш взгляд, является актуальным по той причине, что понятие огибающей играет важнейшую роль в математике. Понятие огибающая имеет значение не только в геометрии, но и в некоторых вопросах математического анализа (особые решения в теории дифференциальных уравнений), теоретической физики (в оптике — каустика, фронт волны).
ПОНЯТИЕ ОГИБАЮЩЕЙ Огибающая семейства линий на плоскости - линия, которая в каждой своей точке касается одной линии семейства, геометрически отличной от огибающей в сколь угодно малой окрестности точки касания.
ОГИБАЮЩИЕ СЕМЕЙСТВА ПРЯМЫХ Пример Применение парабола астроида циклоида Библиотека с крышей в форме параболы в норвежском городке Циклоидальный маятник Парковая архитектура
ОГИБАЮЩИЕ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ Пример Применение эллипс параллельные прямые парабола огибающая семейства окружностей зона обстрела
УРАВНЕНИЯ, ЗАДАЮЩИЕ ОГИБАЮЩУЮ Огибающая нашего семейства прямых — это множество таких точек (р, q ) , при которых уравнение x 2+ px + q = O имеет кратный корень. У уравнения x 2+ px + q = O кратный корень бывает в случае, когда p 2 = 4 q . Это уравнение квадратичной параболы и задает огибающую. Поэтому кривая на рисунке— парабола. На рисунке на каждой прямой написан ее «номер», т.е. то значение х, при котором уравнение x 2+ px + q =0 задает именно эту прямую.
УРАВНЕНИЯ, ЗАДАЮЩИЕ ОГИБАЮЩУЮ Для кубического уравнения огибающая получается не гладкой кривой, а кривой с острием, или «клювом». Рассмотрим уравнение x 3+ px + q =0. Оно задает на (р, q )- плоскости некоторое семейство прямых. На рисунке эти прямые построены для х=0, ±1/3, ±1/2, ±1, ±3/2.
ОГИБАЮЩИЕ СЕМЕЙСТВА ОКРУЖНОСТЕЙ Пример Применение одна ветвь гиперболы характеристический угол окружность радиуса R с центрами на заданной окружности Зона слышимости самолета, подводной лодки Распространение волн на поверхности воды Подшипники
Огибающая поверхность семейства плоскостей Уравнение x 4+ px 2+ q х+ r =0 и ласточкин хвост. Эта поверхность возникает в трехмерной геометрии очень часто, к ней приводят многие естественные задачи анализа и механики. Огибающая семейства плоскостей — линейчатая поверхность. Более того, все построенные прямые касаются некоторой пространственной кривой.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Задача 1. Найти огибающую семейства прямых Решение: Полученное уравнение является уравнением огибающей. Это уравнение параболы .
НАХОЖДЕНИЕ ОГИБАЮЩЕЙ Задача 2. Найти (алгебраически) огибающую семейства линий и дайте геометрически пояснение результата. Решение: y = 1 или y = -1 Полученное уравнение является уравнением огибающей. Это - две линии, параллельные оси x .
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Задача 3. Дан прямой угол; рассматриваются всевозможные прямые, отсекающие от этого угла треугольники, у которых сумма длин катетов равна а. Докажите, что огибающая этого семейства прямых представляет собой дугу параболы. Решение. Полученное уравнение является уравнением огибающей. Это дуга параболы.
Полученное уравнение является уравнением огибающей. Это – окружность радиуса 1, с центром в т. (0,0). РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Задача 4 . Рассматриваются всевозможные прямые ax + by =1, где коэффициенты a , b удовлетворяют условию . Найдите огибающую этого семейства прямых. Решение.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Огибающие часто встречаются в окружающем мире. Знание методов нахождения огибающей может пригодиться в дальнейшем при изучении математики Работу над проектом можно продолжать, так как при нахождении огибающей часто используется понятие производной