Использование понятий равновеликости и равносоставленности в геометрии
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Задачи исследования Поиск и изучение литературы различных авторов по данной тематике; Знакомство с историческими сведениями; Описание понятий и определений, связанных с многоугольниками; Введение системы измерения площадей многоугольников; Описание методов нахождения площадей многоугольников; Рассмотрение теорем, устанавливающих связь между отношениями равновеликости и равносоставленности многоугольников.
Определение системы измерения площадей : Каждой фигуре F ставится в соответствие число S(F) , называемое площадью фигуры, так, что выполняются требования: 1) Площадь фигуры есть неотрицательное число; 2)Площадь фигуры, составленной из нескольких фигур без общих внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур; 3)Равные фигуры имеют равные площади; 4)Площадь единичного квадрата равна единице.
Теорема сущуствования и единственности 1. Система измерения площадей многоугольников с заданным единичным квадратом существует. 2 .Система измерения площадей многоугольников с заданным единичным квадратом является единственной.
. Две фигуры называются равновеликими, если площадь одной фигуры равна площади другой фигуры. Равносоставленными, называются такие две фигуры, если, определенным образом разрезав одну из них на конечное число частей, можно составить из них вторую фигуру.
Лемма 1. Если фигура А равносоставлен с фигурой В, а фигура В равносоставлена с фигурой С, то фигуры А и С тоже равносоставлены. Лемма 2. Всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником.
Лемма 3. Два параллелограмма, имеющих общее основание и одинаковую площадь, равносоставлены. Лемма 4. Два прямоугольника, имеющих равную площадь, равносоставлены. Лемма 5. Всякий многоугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником.
Теорема Бойяи-Гервина . Два многоугольника, имеющие равные площади, равносоставлены.
Теорема Хадвигера-Глюра Любые два многоугольника, имеющие равные площади, являются S - равносоставленными.
А S -равносоставлен с В , С S -равносоставлен с В А и С также S -равносоставлены.
Метод разбиения
Метод дополнения
Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей из его диагоналей.
Результаты исследования Рассмотрено введение системы измерения площадей многоугольников; Изучены отношения равновеликости и равносоставленности многоугольников; установлена эквивалентность этих отношений; Описаны методы нахождения площадей многоугольников; Решено 13 задач школьного курса геометрии с использованием равновеликости и равносоставленности.