Параллелограмм. Свойства параллелограмма.

Конспект урока геометрии (8 класс)

Тема: Параллелограмм. Свойства параллелограмма.

Тип урока: Урок открытия новых знаний.

Продолжительность: 45 минут.

Учитель: Медведева Мария Ивановна

 Важное условие: Ученики знают определение параллелограмма, признаки и свойства параллельных прямых, признаки равенства треугольников, но еще не знают признаков параллелограмма.

Цели и планируемые результаты

Цель урока: Создание условий для формирования у обучающихся системы знаний о свойствах параллелограмма и умения применять их для решения задач на доказательство и вычисление.

Планируемые результаты:

• Предметные: Ученик научится формулировать и доказывать свойства параллелограмма (равенство противоположных сторон и углов, свойство диагоналей), опираясь на определение и признаки равенства треугольников.
• Метапредметные (УУД):

• Познавательные: строить логическую цепь рассуждений (доказательство), анализировать чертеж, выдвигать гипотезы.
• Регулятивные: самостоятельно ставить учебную задачу, осуществлять самоконтроль в процессе доказательства.
• Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, работать в парах, оценивать вклад партнера.

• Личностные: Формирование логического мышления, эстетического восприятия математических доказательств, навыков самоконтроля.

Ход урока

1. Организационный момент (1 минута)

• Формирующее оценивание: «Термометр настроения». Ученики на полях тетради отмечают уровень своей готовности к уроку (от 1 до 5). Это дает учителю быстрый срез состояния класса.

2. Актуализация знаний (7 минут) Фронтальный опрос (инструменты для доказательства):

1. Сформулируйте определение параллелограмма.
2. Признаки параллельности прямых (накрест лежащие углы).
3. Первый признак равенства треугольников.

• Задание «Верю — не верю» (Формирующее оценивание):

• Учитель: «Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то это параллелограмм». (Ученики поднимают карточки "?" — это будущий признак, мы его еще не доказывали).
• Учитель: «Если AB ||CD, то ABCD — параллелограмм». (Ученики отвечают "Нет" — нужна вторая пара сторон).

• Цель: Разграничить в сознании учеников определение (дано) и свойства (следствия).

3. Мотивация и постановка проблемы (4 минуты)

• Ситуация: На доске нарисован параллелограмм ABCD.
• Учитель: «Мы назвали его так, потому что AB || CD и BC || AD. Но геометрия — наука о связях. Обязаны ли параллельные стороны быть равными? Давайте не будем гадать, а докажем это».

4. Изучение нового материала (15 минут) Доказательство ведется строго от определения.

Свойство 1. Противоположные стороны и углы параллелограмма равны. Доказательство (совместная работа):

1. Проведем диагональ AC.
2. Рассмотрим Δ ABC и ΔCDA.
3. AC — общая сторона.
4. ∟ 1 = ∟ 2 (накрест лежащие при BC || AD).
5. ∟3 = ∟4 (накрест лежащие при AB || CD).
6. ΔABC = ΔCDA (по стороне и двум прилежащим углам).
7. Следовательно AB = CD, BC = AD и ∟B = ∟D.
8. ∟A = ∟1 + ∟3, ∟C = ∟2 + ∟4 следовательно  ∟A = ∟C.

Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Доказательство (ученики в парах обсуждают 1 минуту, затем оформляют у доски):

1. Рассмотрим ΔAOB и ΔCOD.
2. AB = CD (доказано выше).
3. ∟1 = ∟2, ∟3 = ∟4 (накрест лежащие).
4. ΔAOB = ΔCOD следовательно AO = OC, BO = OD$.

5. Физкультминутка (2 минуты) Упражнения для глаз: «Обведите взглядом периметр параллелограмма, проведите диагонали к точке пересечения».

6. Первичное закрепление (10 минут)

Задание 1. «Найди ошибку в плане» (Формирующее оценивание) Цель: Проверка понимания логической структуры доказательства. Ситуация: На слайде представлен «черновик» доказательства свойства «Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам». Шаги перепутаны, в одном — ошибка. Текст на слайде:

1. ΔAOB = ΔCOD (по трём сторонам).
2. Рассмотрим ΔAOB$ и ΔCOD.
3. AO = OC, BO = OD (как соответственные элементы).
4. AB = CD (по свойству 1).
5. ∟1 = ∟2, ∟3 = ∟4 (накрест лежащие). Задача: В парах восстановить порядок и найти «ловушку» (ошибка в п. 1: нельзя использовать 3-й признак, так как AO и OC — это то, что мы доказываем). Правильный порядок: 2 - 4 - 5 - 1(исправленный: по стороне и двум углам)- 3.

Задание 2. «Ловушка в условии» (Решение задачи) Задача: В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр, если BK = 7 см, KC = 5 см. Решение:

1. BC || AD следовательно ∟BKA = ∟KAD (накрест лежащие).
2. AK — биссектриса следовательно ∟BAK = ∟KAD.
3. Следовательно ∟BKA = ∟BAK следовательно ΔABK — равнобедренный (AB = BK).
4. BC = 7 + 5 = 12 (см).
5. AB = 7 (см).
6. P = 2 * (7 + 12) = 38 (см). Ответ: 38 см.

7. Практическая работа: «Математическая эстафета» (8 минут) Цель: Отработка навыка применения свойств в быстром темпе. Организация: 3 команды. На доске 3 задания. Ученики по очереди выходят и делают 1 шаг.

• Задание 1 (Ряд 1): AB=12, BC=8. Найти P.
• (Шаги: CD=12, AD=8, P=40).
• Задание 2 (Ряд 2): Диагонали пересекаются в O. AO=15, BO=7. Найти AC, BD. (Шаги: AC=30, BD=14).
• Задание 3 (Ряд 3): ∟ABC = 55о. Найти остальные углы. (Шаги: ∟CDA=55, ∟BCD=125, ∟DAB=125).

8. Рефлексия и формирующее оценивание (2 минуты)

• Прием «Билет на выход»: Ученики на листочках пишут: «Сегодня мы доказали, что в параллелограмме... Самым сложным в доказательстве для меня было...»
• Цель: Учитель собирает листочки для планирования следующего урока.

9. Домашнее задание (1 минута)

1. Выучить доказательства свойств 1 и 2.
2. Задача: Диагональ AC параллелограмма ABCD образует со стороной AB угол 30о. Найдите углы треугольника ABC.