Лист Мёбиуса

У каждого есть представление о том, что такое "поверхность". Мы просто окружены различными поверхностями: поверхность листа бумаги, поверхность озера, поверхность земного шара... Как правило мы представляем поверхность с двумя сторонами: внешняя и внутренняя, лицевая и изнаночная и т. п. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Оказывается может.

В 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) открыл поверхность, которую позже стали называть "лист Мёбиуса". Согласно легенде открыть Мёбиусу свой «лист» помогла горничная, которая неправильно сшила концы ленты. И если служанка не увидела в этом ничего интересного (а скорее всего испытала досаду от того, что придется переделывать работу), то для наблюдательного ученого это стало настоящим открытием! Что же так привлекло в этой поверхности ученого?

Попробуем и мы сделать для себя это открытие: сначала вместе с горничной "сошьем неправильно" ленту, а затем посмотрим на нее глазами исследователя. Конечно шить не каждый умеет, поэтому мы сделаем ленту из бумаги.

Итак, нам понадобится: лист формата А4, линейка, простой карандаш, ножницы, клей.

1. Расчертим лист на полоски шириной 4 см и разрежем. Это будут заготовки "ленты".

2. Из одной полоски мы склеим обычное кольцо, а из другой - лист Мёбиуса. Для этого полоску повернем на полоборота и склеим концы.

3. Вот что должно у нас получиться:

4. А теперь займемся экспериментами! Возьмите фломастер, поставьте точку и начинайте непрерывно закрашивать одну сторону кольца. Вы увидите, что закрасится только внутренняя поверхность кольца.

5. Теперь то же самое проделайте с "неправильно сшитой лентой". Чудеса - весь лист Мёбиуса стал закрашен. А ведь вы вели фломастером только по обной стороне! У ленты, из которой сделан лист Мёбиуса, две стороны. А у него самого, оказывается, есть только одна сторона!

6. Исследуем дальше. Что будет если разрезать посередине кольцо? Правильно - получим два одинаковых кольца, только поуже.

7. А теперь разрежем лист Мёбиуса посередине (помните, вы разрезаете фигуру у которой лишь одна поверхность). Что же у вас получилось? Два кольца? Или...

8. А что получится, если разрезать лист Мёбиуса не по середине, а ближе к краю?

Да,  поверхность у которой только одна сторона полна сюрпризов! Недаром ее сразу стали использовать любители всего необычного и занимательного. Например, фокусники проделывали перед публикой такие опыты и дали этой ленте загадочное название "Афганская лента". А ведь ленту можно скручивать не только на полоборота, но и на один и два. И всякий раз вы будете удивляться ее свойствам.

Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения"). Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. Иногда ее называют «резиновая геометрия».

Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике:

- полоса ленточного конвейера, шлифовальная лента, выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается.

- в матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это дает ощутимую экономию.

Лист Мёбиуса вдохновил и людей искусства. Он встречается в скульптурных композициях, архитектуре, прикладном творчестве.