Квадратичная функция и ее свойства в задачах 1 части ОГЭ по математике

2025 г.

 

 

           «Именно функция является тем средством математического языка,

которое позволяет описывать процессы движения,

изменения ,присущие природе»

Галилео Галилей

В процессе проведения индивидуальной исследовательской работы на тему "Квадратичная функция  и ее свойства в задачах  ОГЭ по математике" мы наглядно продемонстрировали применение свойств квадратичной функции при решении экзаменационных задач в 1 части ОГЭ по математике.

Оглавление

Введение

1.Появление понятия функции

2. Квадратичная функция. Ее график и свойства

3. Исследование. Влияние коэффициентов квадратного трехчлена на расположение параболы на координатной плоскости.

4. Применение квадратичной функции, ее графика и свойств при решении экзаменационных задач.

5.Квадратичная функция в окружающем нас мире.

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Актуальность:

Тема «Квадратичная функция и её свойства» является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, и других областях науки,  имеет теоретическую и практическую значимость. Ведь почти все, что окружает человека так или иначе связано с параболой. 

Объект исследования:  Квадратичная функция.

Предмет исследования: График квадратичной функции – парабола.

Методы:

⦁ Наблюдение.

⦁ Теоретический.

⦁ Аналитический.

 

Цель работы: показать применение свойств квадратичной функции при решении экзаменационных задач  1 части ОГЭ по математике.

Задачи работы:

⦁ Сбор информации о применении квадратичной функции и ее свойств на примере образовательного портала «Сдам ГИА: Решу ОГЭ»;

⦁ Провести анализ и систематизацию собранной информации;

⦁ Исследовать влияние коэффициентов квадратного трехчлена на расположение параболы на координатной плоскости;

⦁ Показать решения заданий разного типа.

Гипотеза: предполагаем, что знание свойств  квадратичной функции полезно при решении экзаменационных задач  ОГЭ по математике.

Появление понятия функции

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S = 3 r2.

Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита x, y, z, ... - известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т. д. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Кроме того, у Декарта и Ферма в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы.

В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется стечением времени. В «Геометрии» Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями. Мировоззренческой основой теории решения уравнений должно быть понимание того факта, что уравнения являются математической моделью реальных процессов и явлений действительности.

Квадратичная функция. Ее график и свойства

Определение. Квадратичной функцией называется функция вида

у=ах2+вх+с, а не равно 0

График – парабола  с вершиной в точке х0у0, где х0=в/2а, у0=ах2/0+вх0+с

х0 = - b/2а, у0 = ах2/0 +bх0+с.

 

Рис. 1. График функции у = ах2 + вх +с , где а не равно 0

D (f): х Є R.

Функция непрерывна на всей D (f)

 

Свойства функции

1) У = ах2 + bx + c  в случае а больше 0.

Пусть а больше 0.

Свойства:

1. D (f): х Є R;

2. Е (f) : у больше у0;

3. у убывает при х Є - ∞ х0; у возрастает при х Є х0 + ∞;

4. Унаим = У0, Унаиб    - не существует;

5. Непрерывна;

6. Выпукла вниз.

Свойства функции

2) У = ах2 + bx + c  в случае а меньше 0.

Пусть а меньше 0.

Свойства (см. Рис. 2):

 

Рис. 2. График функции у = ах2 +bx+c в случае а меньше 0.

1. D (f): х Є R ;

2. Е (f) : у < y0 ;

3. y возрастает при хЄ( - ∞; х0); у убывает при хЄ(х0 + ∞);

4. Унаиб = У0, Унаим - не существует;

5. Непрерывна;

6. Выпукла вверх.

В задачах, не требующих построения графика, можно ограничиться схематическим изображением: ось абсцисс, расположение нулей функции (два, один или ни одного) и направление ветвей параболы. Такого схематического изображения достаточно для получения информации о наличии нулей функции и о знаке коэффициента a.

Исследование. 

Влияние коэффициентов квадратного трехчлена на расположение параболы на координатной плоскости

Цели исследования выяснить влияние коэффициентов квадратного трехчлена на расположение параболы на координатной плоскости.

План исследования

эксперимент №1

Расположение графика при а>0

1. b>0,c>0

2. b>0,c<0

3. b<0, c>0

4. b<0,c<0 эксперимент №2

Расположение графика при а<0

1.b>0,c>0

2.b>0,c<0

3.b<0, c>0

4.b<0,c<0

Результаты исследования

эксперимент №1

Расположение графика при а>0

1. b>0,c>0  вершина находится во II или III четверти.

  

 

2. b>0,c<0  вершина параболы находится в III четверти

 

 

3. b<0, c>0 вершина находится в I или IV четверти

  

 

4. b<0,c<0  вершина находится в IV четверти

эксперимент № 2

Расположение графика при а<0

1.b>0,c>0 вершина параболы находится в I четверти

 

 

2. b>0, c<0 вершина находится вo I или IV четверти

  

 

3.b<0, c>0  вершина параболы находится вo II четверти

 

 

4.b<0,c<0 вершина находится вo II или III четверти.

  

 

 

Применение квадратичной функции, ее графика и свойств при решении экзаменационных задач

 

Задание 11 № 1

Найдите значение a по графику функции y = ax2 + bx + c , изображенному на рисунке.

 

1)1 -  

2)1     

3)2      

4) 3

Решение: Абсцисса вершины параболы равна −1, поэтому  минус дробь, числитель — b, знаменатель — 2a = минус 1, откуда b=2a. Парабола пересекает ось ординат в точке с ординатой 3, поэтому c=3. Тем самым, уравнение параболы принимает вид y = ax2 + 2x + 3 . Поскольку парабола проходит через точку (−1; 2), имеем:

2=a умножить на ( минус 1) в степени 2 плюс 2a умножить на ( минус 1) плюс 3 равносильно 2= минус a плюс 3 равносильно a= 1.

Верный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2.

Задание 11 № 2

Найдите значение b по графику функции y = ax2 + bx + c, изображенному на рисунке.

 

1)-2 

2)1 

3)2

4) 3

Решение.

Абсцисса вершины параболы равна −1, поэтому  минус дробь, числитель — b, знаменатель — 2a = минус 1, откуда b=2a. Парабола пересекает ось ординат в точке с ординатой 3, поэтому c=3. Тем самым, уравнение параболы принимает вид y=ax в степени 2 плюс 2ax плюс 3. Поскольку парабола проходит через точку (−1; 2), имеем:

2=a умножить на ( минус 1) в степени 2 плюс 2a умножить на ( минус 1) плюс 3 равносильно 2= минус a плюс 3 равносильно a= 1.

Таким образом, b=2a=2 умножить на 1=2. Верный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3.

Задание 11 № 3

Найдите значение с по графику функции y = ax2 + bx + c , изображенному на рисунке.

 

1) -3 

2)1     

3)2      

4) 3

Решение.

Значение c — это ордината графика при x=0. Значит, c=3. Такой ответ указан под номером 4.

Ответ 4.

Задание 11 № 4

На рисунке изображён график квадратичной функции y = f(x). Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера в порядке возрастания.

 

1) Функция возрастает на промежутке (−∞;  −1].

2) Наибольшее значение функции равно 8.

3) f(−4) ≠ f(2).

Решение.

Проверим каждое утверждение.

1) На луче (−∞;  −1] большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, функция возрастает на этом луче; первое утверждение верно.

2) Наибольшее значение функции равно 9, а не 8, как сказано во втором утверждении. Второе утверждение неверно.

3) Значения функции в точках −4 и 2 равны нулю, поэтому f(−4) = f(2). Третье утверждение неверно.

В ответе следует указать номера неверных утверждений, то есть 23.

Ответ: 23.

Задание 11 № 5 

На рисунке изображён график функции y = ax2 + bx + c . Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения выполняются. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

 

УТВЕРЖДЕНИЯ ПРОМЕЖУТКИ

А) функция возрастает на промежутке

Б) функция убывает на промежутке 1) [1;2]

2) [0;2]

3) [-1;0]

4) [-2;3]

Ответ:

Решение.

Функция, изображённая на графике возрастает на промежутке [-1; 0]  и убывает на промежутке [1;2]. Следовательно, функция возрастает на третьем промежутке и убывает на первом.

Ответ: 31.

Задание 11 № 6

На рисунке изображены графики функций вида y = ax2 + bx + c. Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента a и дискриминанта D.

 

                                    

1) a > 0, D > 0 2) a > 0, D < 0 3) a < 0, D > 0 4) a < 0, D < 0

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А Б В Г

 

Решение.

График функции — парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, если и вниз, если а меньше 0.

При D > 0 уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два корня, то есть график функции y = ax2 + bx + c имеет два пересечения с осью абсцисс. Если D < 0, то корней нет, а соответственно график не пересекает ось абсцисс. Таким образом, получаем ответ: A — 1, Б — 2, В — 4, Г — 3.

Ответ: 1243.

Задание 11 № 7

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

 

1) у = х2

2) у = х/2

3) у = 2/х

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.

А Б В

 

Решение.

Определим вид графика каждой из функций.

1) у = х2 — уравнение параболы, ветви которой направленны вверх.

2) у = х/2 — уравнение прямой.

3) у = 2/х — уравнение гиперболы.

Тем самым найдено соответствие: A — 1, Б — 3, В — 2.

Ответ: 132.

Задание 11 № 8

График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

 

1) у = х2-х         

2) у = - х2-х               

3) у = х2+х

4) у = - х2 + х

Решение.

Ветви изображённой на рисунке параболы направленны вверх, а абсцисса вершины отрицательна. Следовательно, данному графику могут соответствовать функции y=x в степени 2 минус x или y=x в степени 2 плюс x. Найдем координаты вершин параболы:

Формула 1: y=x в степени 2 минус x: x_0= минус дробь, числитель — b, знаменатель — 2a = минус дробь, числитель — минус 1, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

Формула 3: y=x в степени 2 плюс x: x_0= минус дробь, числитель — b, знаменатель — 2a = минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 = минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

Следовательно, графику соответствует вариант под номером 3.

Ответ 3

Задание 11 № 9

На одном из рисунков изображен график функции у = х2-2х+3. Укажите номер этого рисунка.

 

Решение

Коэффициент, поэтому ветви параболы направлены вверх. Абсцисса вершины параболы равна: -b/2a=1.

Правильный вариант ответа указан под номером 1.

Ответ:1

Задание 11 № 10

На рисунке изображены графики функций вида y = ax2 + c. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов a и c.

 

ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ

1) a > 0, c < 0 2) a < 0, c > 0 3) a > 0, c > 0 4) a < 0, c < 0

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Решение. График функции y=ax в степени 2 плюс c — парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, если a больше 0 и вниз, если a меньше 0. Значение c определяет ординату вершины параболы. Если c больше 0, то вершина параболы находится над осью абсцисс, а если меньше нуля, то ниже. Таким образом, получаем, ответ: A — 4, Б — 1, В — 2, Г — 3.

Ответ: 4123.

Задание 11 № 11      

На рисунке изображены графики функций вида y = ax2 + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c < 0 Б) a < 0, c > 0 В) a > 0, c > 0

 

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Решение.

Если парабола задана уравнением y=ax в степени 2 плюс bx плюс c, то: при a больше 0, то ветви параболы направлены вверх, а при a меньше 0 — вниз. Значение c соответствует значению функции в точке x = 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c положительно, если ниже оси абсцисс — отрицательно.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А — 1, Б — 3, В — 2.

Ответ: 132.

Квадратичная функция в окружающем нас мире.

Квадратичная функция является наиболее хорошо изученной функцией, она довольно часто встречается на практике. Графиком квадратичной функции является парабола. Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча, струи воды, выпущенной из шланга, парашютиста, выпрыгнувшего из горизонтально летящего самолета, артиллерийского снаряда, будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха).

Замечательное свойство параболы широко используется в науке и технике, например, параболическая арка; свод моста.

Известно также, что многие законы природы выражаются в виде квадратичной зависимости.

Свойство параболических зеркал используют при конструировании солнечных печей, солнечных электростанций, отражательных телескопов - рефлекторов.

Параболы в природе

Природный парк Ергаки, Западные Саяны, гора Парабола

Радуга – природная парабола.

 Наша галактика – вогнутая парабола.

Заключение

В ходе проектно-исследовательской работы мы изучили литературу о квадратичной функции, ее свойствах. Выяснили влияние коэффициентов квадратного трехчлена на расположение параболы. В результате работы мы убедились,  что знание свойств  квадратичной функции полезно при решении экзаменационных задач  ОГЭ по математике.

 Работа позволяет развивать интерес школьников к урокам математики, убеждает в высокой практической значимости математической науки, формирует представление о взаимосвязи математики с объектами реального мира, убеждает в необходимости применять полученные знания на практике.

Литература и интернет ресурсы

⦁ Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М. Просвещение, 1989г

⦁ Алгебра. 9 класс. Учебник для  учащихся общеобразовательных организаций А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир М.: М.. «Вентана-Граф», 2018.

⦁ Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: справочные материалы: книга для учащихся. М. Просвещение. 1988г

⦁ Образовательный портал «Сдам ГИА: Решу ОГЭ»