Комплексные числа

Комплексные числа

Выполнила ученица 9 «А» класса

МОУ «Гимназии №87»

г. Саратова

Лобанова Анастасия

Руководитель: учитель математики МОУ «Гимназия №87»

Манина С. В.

Содержание.

1. Какие множества чисел существуют в алгебре?

2. Введение.

3. История возникновения комплексных чисел.

4. Определение комплексного числа и свойства действий с комплексными числами.

5. Алгебраическая форма записи комплексного числа

6. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Числа, которые используются для

счета предметов,

называют натуральными.

Они обозначается латинской буквой N.

Если к натуральным числам добавить им

противоположные и ноль, то получим

множество целых чисел.

Они обозначается латинской буквой Z.

Добавив к множеству целых чисел дробные,

получим

множество рациональных чисел.

Обозначают иx латинской буквой Q.

Если к множеству рациональных чисел добавить

иррациональные, получим

множество действительных чисел.

Обозначают иx латинской буквой R.

Докажем, что существуют отрезки, длина которых не выражается рациональным числом.

Рассмотрим диагональ единичного квадрата.

1

1

По теореме Пифагора, квадрат её длины есть c²=1²+1²=2

Докажем, что это число не является рациональным, то есть его нельзя представить в виде несократимой дроби вида

Допустим, что существуют такие натуральные числа m и n, что

и эта дробь несократимая.

Возведем последнее равенство в квадрат и умножим на n2, получим:

Следовательно, m – четное число, то есть

Тогда

следовательно, n – четное.

Поэтому

- сократимая дробь, что противоречит предположению.

Вывод:

число

нельзя представить в виде

несократимой дроби вида .

не является рациональным числом.

Введение.

В школьной программе алгебры большое внимание уделяется уравнениям 1-ой и 2-ой степени с одним неизвестным.

Для этих уравнений существуют формулы в нахождении корней.

1) Если дано линейное уравнение ax+b=0, где а≠0, то x=-b/a – единственный корень.

2) Если дано квадратное уравнение ax²+bx+c=0, где a,b,c – действительные числа, a≠0, то число корней зависит от величины D (дискриминанта):

Если D»0, два действительных корня;

D=0, один корень (или два одинаковых корня);

D«0, нет действительных корней.

Возникает вопрос: если нет действительных корней, может быть есть корни какой-либо другой природы?

История возникновения комплексных чисел

История решения квадратных уравнений берет свое начало еще из Древнего Вавилона.

Вавилоняне умели решать отдельные виды квадратных уравнений 2000 лет до н.э., правда, они находили только положительные корни и не владели общими методами решений.

Индус Брахмагупта (VII в.) изложил общее правило решения квадратного уравнения.

Аль-Хорезми (IX в.) дал классификацию линейных и квадратных уравнений и привел способы их решений, правда, и он (как, впрочем, и все математики вплоть до XVII века) не принимал во внимание нулевые и отрицательные решения.

Вывод формул решения квадратных уравнений в общем виде привел Франсуа Виет (XVI в.). Однако и он признавал только положительные решения.

Комплексные числа возникли в математике в начале XVI века в связи с решением алгебраических уравнений 3-ей степени.

Некоторые итальянские математики того времени (Сципионе дель Ферро, Николо Тарталья, Рафаэль Бомбели, Джероламо Кардано) ввели в рассмотрение символ как решение уравнения х²+1=0.

Справка.

Сципионе дель Ферро (1465 – 1526) – итальянский математик. Он прославился тем, что одним из первых открыл формулу для решения уравнения 3-ей степени. Ферро оберегал секрет своего решения уравнения 3-ей степени, доверив его лишь своему ученику Фиоре. После смерти своего наставника Фиоре решил прославиться, используя доверенную ему формулу. Но он не обладал математическими способностями своего учителя и на публичном диспуте с выдающимся математиком Николо Тарталья потерпел поражение.

Справка

Николо Тарталье (1499 – 1557) – талантливый итальянский учёный. Его настоящая фамилия была «Фонтана». Он сделал ряд открытий в геометрии и комбинаторике и прославился тем, что одним из первых открыл формулу для решения общего вида уравнения 3-ей степени.

Справка.

Рафаэль Бомбели (ок. 1546 – 1601) – итальянский математик и инженер. В своём сочинении по алгебре он ввёл формальные операции над комплексными числами. Введение общих операций над комплексными числами выдвигает алгебру Бомбели в ряд основополагающих сочинений в истории математики мнимых объектов.

Справка.

Джероламо Кардано (1501 – 1576) – итальянский математик. Кардано нашёл алгоритм алгебраического решения уравнения 3-ей степени. Формула, выражающая корни кубического уравнения, названа формулой Кардано, хотя до сих пор не известно, кто первый вывел эту формулу – Дж. Кардано, Н. Тарталье или С. Ферро. В своей книге «великое искусство» Дж. Кардано дал механическое правило решения систем двух линейных уравнений по их коэффициентам.

Символ «i» для обозначения « » ввел Леонард Эйлер в XVIII веке. Этих чисел оказалось достаточно для решения любого квадратного уравнения (даже в случае, если D « 0).

Лишь в XVII веке, благодаря работам Жирара, Ньютона, Декарта и других математиков, решение квадратных уравнений приобретает современный вид.

После того как в XIX в появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, особенно гидро- и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии.

Гаусс

Арган

Справка.

Альберт Жирар (1595 – 1632) – бельгийский математик. Он внёс большой вклад в развитие алгебры. Основным его сочинением была книга «Новое открытие в алгебре». Жирар, как многие математики того времени, занимался основной теоремой алгебры о корнях уравнения. Он первым сформулировал эту теорему, хотя строгое доказательство впервые дал Гаусс. Жирару принадлежит вывод формулы площади сферического треугольника.

Справка.

Исаак Ньютон ( 1643 – 1727) – великий английский учёный, сделал выдающиеся открытия в области физики и математики. Основным трудом его жизни было научное сочинение «Математические начала натуральной философии». Ньютон и Лейбниц считаются основателями математического анализа, но Ньютон ещё сумел создать математическую основу физики.

С этого времени существование «мнимых» или комплексных чисел стало общепризнанным фактом, и они получили такое же реальное содержание, как и числа действительные.

К настоящему времени изучение комплексных чисел развилось в важнейший раздел современной математики – теорию функций комплексного переменного (ТФКП).

Множество комплексных чисел принято обозначать латинской буквой C.

По Гамильтону комплексные числа – это упорядоченные пары z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:

Определение комплексного числа

Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX веке ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон.

(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2, y1+y2);

(x1,y1)∙(x2,y2)=(x1x2 – y1y2, x1y2 + x2y1).

Свойства действий с комплексными числами

1. Переместительный закон (коммутативность)

сложения умножения

z1+z2=z2+z1

z1z2=z2z1

2. Сочетательный закон (ассоциативность)

сложения умножения

z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3

z1(z2z3)=(z1z2)z3

3. Распределительный закон (дистрибутивность)

(z1+z2)z3=z1z3+z2z3

Свойства действий с комплексными числами

1. Переместительный закон (коммутативность) сложения умножения

z1+z2=z2+z1

z1z2=z2z1

2. Сочетательный закон (ассоциативность)

сложения умножения

z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3

z1(z2z3)=(z1z2)z3

3. Распределительный закон (дистрибутивность)

(z1+z2)z3=z1z3+z2z3

Алгебраическая форма записи комплексного числа

Числа вида

, где

, называются

КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ.

Действительная часть

Мнимая часть

Мнимая единица

Real – действительный

Imanginerum – мнимый

0∙

Действительное число

0

Чисто мнимое число

-

Комплексно- сопряженные числа

Обозначают:

- сопряженные числа

a

b

c

d

=

=

z1=z2

Равенство комплексных чисел

Сравнение комплексных чисел

Понятия «больше» и «меньше» в области комплексных чисел теряют всякий смысл.

Например, нельзя сказать, что больше

или

Можно лишь сравнить по отдельности действительную и мнимую части.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Пусть даны комплексные числа:

Тогда

и

Это стоит знать!

Сумма и произведение комплексно-сопряженных чисел являются действительными числами.

Сумма и произведение комплексно-сопряженных чисел являются действительными числами.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Пусть даны комплексные числа:

Тогда

и

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Пусть даны комплексные числа:

Тогда

и

Совет!




Комплексные числа можно складывать и перемножать точно так же, как это делают с алгебраическими выражениями. При этом привычные законы сложения и умножения (сочетательный, переместительный, распределительный) – остаются в силе!

Роль же мнимой единицы i совершенно особая и не имеет аналогов в «обычной» арифметике:

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Пусть даны комплексные числа:

Тогда

и

Совет!




При делении комплексных чисел нужно избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножают на число, сопряженное знаменателю (ведь произведение комплексно-сопряженных чисел – число действительное).

Далее следует произвести действия в числителе и знаменателе.

Таким образом, можно сделать следующие выводы :

множество комплексных чисел (C) является расширением множества действительных чисел;

комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам, которым подчиняются действительные числа.

Литература:

Новейший справочник школьника «Математика»/ филологическое общество «Слово». – М.:Эксмо, 2005.

Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав.ред. М. Аксенова – М.: Аванта+, 2004.

http://www.allbest.ru

http://mat.1september.ru

http://www.w3c.org

http://www.91.ru