Исследовательская карта по теме "Отрезки"

Автор: Белик Екатерина,

Руководитель: учитель математики Белик О.И.

Исследовательская карта по теме «Отрезки»

1. Задача

На прямой (рис. 1) отметили точки А, В, С и D.

 Сколько отрезков изображено на этой прямой?

2. Проблема

Как зависит количество отрезков на прямой от числа точек, отмеченных на ней?

3. Пробы

       1   __________А____________  (0)

         2   ___А___________В_________ (1)

           3 ___А_______В_______С______ (3)

              4 ____А______В______С_____D__ (6)

                 5 __А_____В______С____D____Е___ (10)

Рис. 2

4. Таблица результатов

5. Гипотезы

I.        Каждое следующее число хn, равняется предыду щему хn-1, сложенному с числом точек, соответст вующих ему:

1=0+1;   3=1+2;  6 = 3 + 3;   10=6 + 4. Значит,  хn = хn-1 + (n — 1).

II.        Каждое следующее число хn равняется полови не произведения соответствующего ему числа  n   и предыдущего числа  n— 1   точек:

1 = 2•1/2;   3 = 3•.2/2;  6 = 4•3/2;  10 = 5 •4/2.

Значит, хn=(n-1)/2

 III.        Каждое следующее число хп равняется сумме всех натуральных чисел, предшествующих числу п:

1 = 1; 3=1+2; 6=1+2 + 3;   10 =1+2 + 3 +4.

Значит,  хп = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1).

IV.        Каждое следующее число  хn,   начиная с чет вертого, получается путем последовательного удво ения нечетных чисел натурального ряда   3, 5, ... :

6 = 2-3;   10 = 2 • 5. Значит,  хn+3 = 2(2n + 1).

6. Проверка гипотез

Пусть п = 6  (рис. 3). Тогда:

а) фактическое число отрезков х6 = 15;

15

Рис. 3

б) число отрезков согласно гипотезы:

 I.  х6 = х5 + (6 - 1) = 10 + 5 = 15;

II. х6 = 5•.6/2 = 15

1. х6 =1+2 + 3 + 4 + 5= 15;
2. х6 = 2 • (2 • 3 + 1) = 2 • 7 = 14.
   Заключение по проверке:
   гипотеза   I  получила подтверждение;
   гипотеза  II  получила подтверждение;
   гипотеза   III   получила подтверждение;
   гипотеза   IV не получила подтверждение.

7. Доказательство (опровержение) гипотез

1)        Гипотеза   I  равносильна гипотезе   III.
Действительно,

хn = хn-1 + (n — 1) = хn-2 + (n — 2) + (n — 1) =

= хn-3 + (n — 3) +(n — 2) + (n — 1) = … =

= хn-(n-1) + (n — (n - 1) + …. + (n — 3) +(n — 2) + (n — 1) =

= х1 + 1 +2 +3 +…+ (n – 1)

2)        Гипотеза   II равносильна гипотезе  III.
Действительно,

 1 + 2 + 3 +…+ (n -1) = n(n-1)/2

3) Докажем гипотезу III.

        Рис.4

Пусть на прямой отмечено п точек: А1, А2, А3,..., Аn-1,Аn (рис. 4). Тогда число всех отрезков, левый коней, которых находится в 1 -ой точке, равно

 n - 1, во 2-й точке - n - 2, в 3-й? n - 3 и т.д., в (n - 1)-й точке n - 1. Значит, число всех отрезков, образующихся на прямой при выделении на ней n то чек, будет равняться сумме последовательных нату ральных чисел от   1   до  (n — 1),   т.е.

хn = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1), что и требовалось доказать.

Поскольку гипотезы I—III равносильны, то все их можно считать доказанными.

Учебно-исследовательская карта поможет усво ить учащимся процедуру исследования. Эффектив ность всей работы напрямую зависит от той ин формации, которая содержится в карте. Заметим, что в приведенной выше карте текст, набранный обычным шрифтом, присутствует изначально, а курсивом дан тот текст, который записывает сам ученик. В зависимости от возможностей ученика, соотношение объемов этих текстов может сущест венно варьироваться. Тем самым будет обеспечен дифференцированный подход к учащимся.

Заметим также, во многих случаях полезны до полнительные фрагменты учебно-исследователь ской карты, связанные с развитием темы исходной задачи, а стало быть, и с постановкой и исследова нием новых проблем. Так, в рассмотренном выше примере исходную задачу можно сформулировать для луча, отрезка, лесенки, стенки и т.п. (рис. 5).

Рис. 5

Наконец, важно подчеркнуть, что по мере обре тения опыта работы с учебно-исследовательскими картами у школьников формируется особый подход к решению нестандартных задач: они начинают ис кать решение, применяя процедуру исследования.

Приведем еще ряд задач, которые можно поме стить в соответствующую учебно-исследователь скую карту.

1. Из вершины развернутого угла провели луч, делящий его пополам, затем еще два луча, делящие пополам получившиеся углы (рис. 6). Сколько все го получилось тупых углов?

1. Сколько диагоналей имеет выпуклый семи угольник?
2. В шахматном турнире участвовали 5 человек. Каждый сыграл

с каждым по одной партии. Сколь ко всего партий было сыграно?

3. Имеется   3   листа бумаги, из них несколько листов разрезали на три части. Затем несколько новых кусков разрезали на три более мелкие части
   и т.д. Сколько всего получилось листков, если сде лали 10 разрезов?